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北师大版七年级下册数学期中测试卷一．选择题（共 10 小题）1．下列运算正确的是（ ）A ． a 2?a 3=a 6B ．（a 2） 3=a 5C ．（﹣ 2a 2b ） 3=﹣ 8a 6 b 3D ．（ 2a+1） 2=4a 2+2a+1 2．下列能平方差公式计算的式子是（）A ．（ a ﹣b ）（ b ﹣ a ）B ．（﹣ x+1）（x ﹣ 1）C ．（﹣ a ﹣ 1）（ a+1）D ．（﹣ x ﹣y ）（﹣ x+y ）3．已知 a ﹣b=3 ，则代数式 a 2﹣ b 2﹣ 6b 的值为（ ） A ． 3 B ． 6 C ． 9 D ． 122 2）4．已知 a+b=3， ab=2，则 a +b =（ A ． 4 B ． 6 C ． 3 D ． 55．已知 x ﹣ =2 ，则代数式 5x 2+﹣ 3 的值为（）A ．27B ．7C ．17D ．26．如图，直线 AB ∥ CD ， AE 平分∠ CAB ． AE 与 CD 相交于点 E ，∠ ACD=40 °，则∠ BAE的度数是（）A ． 40°B ． 70°C ． 80°D ． 140°7．如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CD ∥AB ，∠ ACD=40 °，则∠ B 的度数为（ ）A ． 40°B ． 50°C ． 60°D ． 70°8．如图，直线 AB ∥ CD ，∠ A=40 °，∠ D=45 °，则∠ 1 的度数是（ ）A ． 80°B ． 85°C ． 90°D ． 95°9．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（ ）A ．乙前 4 秒行驶的路程为 48 米B ．在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米 /秒C ．两车到第 3 秒时行驶的路程相等D ．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度10．如图， CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线， 若∠ B=35 °，∠ ACE=60 °，则∠ A=（）A ． 35°B ． 95°C ． 85°D ． 75°二．填空题（共10 小题）mnm +n． 11．若 a =2 ， a =8 ，则 a =12．计算：（﹣ 5a 4） ?（﹣ 8ab 2） =．13．若 a+b=3， ab=2，则（ a﹣ b）2=．14．若（ 7x﹣ a）2=49x2﹣ bx+9，则 | a+b| =．15．一个角与它的补角之差是20o，则这个角的大小是.16．如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图 2 中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠ 1 与∠ 2，则∠ 1与∠ 2 的度数和是度．17．如图， AB ∥ CD，直线 EF 分别交 AB 、CD 于 M ，N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75 °，则∠ PNM 等于度．18．如图，在△ ABC 中，∠ A=40 °，D 点是∠ ABC 和∠ ACB 角平分线的交点，则∠ BDC=．19．如图，在△ ABC 中，点 D 、E、F 分别为 BC、AD 、CE 的中点．若 S△BFC=1，则 S△ABC =．20．如图，△ ABC 中，∠ ABC=70 °，∠ BAC 的外角平分线与∠ACB 的外角平分线交于点O，则∠ ABO=度．三．解答题（共10 小题）21．先化简，再求值（ x﹣ 1）（ x﹣ 2）﹣（ x+1）2，其中 x=．22．已知（ a+b）2=25，（ a﹣ b）2=9，求 ab 与 a2+b2的值．23．已知：如图，AB∥CD，∠ A = ∠ D，试说明AC∥ DE 成立的理由。

下面是彬彬同学进行的推理，请你将彬彬同学的推理过程补充完整。

解：∵AB∥ CD（已知）∴ ∠A =（两直线平行，内错角相等）又∵∠A=∠D（）∴ ∠=∠（等量代换）∴AC ∥DE（）ADB C E24．如图，直线a∥ b， BC 平分∠ ABD ，DE⊥ BC ，若∠ 1=70 °，求∠ 2 的度数．25．如图，直线AB ．CD 相交于点O，OE 平分∠ BOC ，∠ COF=90 °．（1）若∠ BOE=70 °，求∠ AOF 的度数；（2）若∠ BOD ：∠ BOE=1 ：2，求∠ AOF 的度数．26．在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度 y 与所挂物体的质量x 的几组对应值．所挂物体质量012345x/kg弹簧长度 y/cm182022242628（1）上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）写出弹簧长度 y（ cm）与所挂物体质量 x（ kg）的关系式．（3）当所挂重物为 3kg 时，弹簧有多长？不挂重物呢？（4）若弹簧的长度为30cm 时，此进所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）．27．如图所示，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4，∠ BAC=63 °，求∠DAC 的度数．28．如图，△ ABC 中， AD 是高， AE 、BF 是角平分线，它们相交于点 O，∠ CAB=50 °，∠C=60 °，求∠ DAE 和∠ BOA 的度数．29．已知： a、 b、 c 为三角形的三边长化简： | b+c﹣ a|+| b﹣c﹣a| ﹣ | c﹣ a﹣b| ﹣ | a﹣ b+c|30．如图， AD 是△ ABC 的高， AE 是△ ABC 的角平分线，且∠C=30 °，∠ B=80 °．（1）求∠ DAE 的度数；（2）请探究∠ DAE 与∠ B、∠ C 的关系，并说明理由．北师大版七年级下册数学期中测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共 10 小题）1．（ 2016?哈尔滨）下列运算正确的是（）2362 35A ． a ?a =aB ．（a ） =aC ．（﹣ 2a 2b ） 3=﹣ 8a 6 b 3D ．（ 2a+1） 2=4a 2+2a+1【分析】 分别利用幂的乘方运算法则以及合并同类项法则以及完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则、积的乘方运算法则分别化简求出答案．【解答】 解： A 、a 2?a 3=a 5，故此选项错误；B 、（ a 2） 3=a 6，故此选项错误；C 、（﹣2 3 6 3，正确；2a b ）=﹣ 8a bD 、（ 2a+1） 2=4a 2+4a+1，故此选项错误； 故选： C ．【点评】 此题主要考查了幂的乘方运算以及合并同类项以及完全平方公式、 同底数幂的乘法运算、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．2．（ 2016 春 ?滦县期末）下列能平方差公式计算的式子是（ ）A ．（ a ﹣b ）（ b ﹣ a ）B ．（﹣ x+1）（x ﹣ 1）C ．（﹣ a ﹣ 1）（ a+1）D ．（﹣ x ﹣y ）（﹣ x+y ）【分析】 由能平方差公式计算的式子的特点为： （ 1）两个两项式相乘； （ 2）有一项相同，另一项互为相反数，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】 解： A 、（ a ﹣b ）（ b ﹣ a ）中两项均互为相反数，故不能平方差公式计算，故本选项错误；B 、（﹣ x+1）（ x ﹣1）中两项均互为相反数，故不能平方差公式计算，故本选项错误；C 、（﹣ a ﹣ 1）（ a+1）中两项均互为相反数，故不能平方差公式计算，故本选项错误； 2 2故选 D ．【点评】 此题考查了平方差公式的应用条件．此题难度不大，注意掌握平方差公式：（ a+b ）（a ﹣ b ） =a 2﹣ b 2．3．（ 2016?重庆校级二模）已知 a ﹣ b=3 ，则代数式 a 2﹣ b 2﹣ 6b 的值为（）A ．3B ．6C ．9D ．12【分析】 由 a ﹣ b=3 ，得到 a=b+3，代入原式计算即可得到结果． 【解答】 解：由 a ﹣ b=3，得到 a=b+3，则原式 =（ b+3） 2﹣ b 2﹣6b=b 2+6b+9﹣ b 2﹣ 6b=9， 故选 C【点评】 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．4．（ 2016?丰润区二模）已知 a+b=3 ， ab=2，则 a 2+b 2=（）A ．4B ．6C ．3D ． 5【分析】 把 a+b=3 两边平方，利用完全平方公式化简，将ab=2 代入计算即可求出所求式子的值．【解答】 解：把把 ab=2 代入得：故选 D2 2 2a+b=3 两边平方得：（ a+b ） =a +b +2ab=9，a 2+b 2=5，【点评】 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．（ 2016 春 ?嵊州市期末）已知 x ﹣ =2，则代数式 5x 2+﹣ 3 的值为（ ）A ．27B ．7C ．17D ．2【分析】 原式前两项提取 5，利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】 解：∵ x ﹣ =2，∴原式 =5（x 2+）﹣ 3=5[ （x ﹣ ）2 +2] ﹣ 3=30﹣ 3=27，故选 A【点评】 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．（2016?大连）如图，直线 AB ∥ CD ，AE 平分∠ CAB ．AE 与 CD 相交于点 E ，∠ ACD=40 °， 则∠ BAE 的度数是（）A ． 40°B ． 70°C ． 80°D ． 140°【分析】 先由平行线性质得出∠ ACD 与∠ BAC 互补，并根据已知∠ ACD=40 °计算出∠ BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠ BAE 的度数．【解答】 解：∵ AB ∥CD ， ∴∠ ACD +∠ BAC=180 °， ∵∠ ACD=40 °，∴∠ BAC=180 °﹣ 40°=140 °， ∵AE 平分∠ CAB ，∴∠ BAE=∠ BAC=×140°=70 °，故选 B ．【点评】 本题考查了平行线的性质和角平分线的定义， 比较简单； 做好本题要熟练掌握两直线平行 ① 内错角相等， ② 同位角相等， ③ 同旁内角互补； 并会书写角平分线定义的三种表达式：若 AP 平分∠ BAC ，则① ∠ BAP= ∠PAC ，② ∠BAP= ∠ BAC ，③ ∠BAC=2 ∠ BAP ．7．（ 2016?宁波）如图，在△ ABC 中，∠ ACB=90 °，CD ∥ AB ，∠ ACD=40 °，则∠ B 的度数 为（）A ． 40° B． 50° C． 60° D． 70°【分析】由 CD ∥ AB ，∠ ACD=40 °，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠ A 度数，继而求得答案．【解答】解：∵ CD ∥AB ，∠ ACD=40 °，∴∠ A= ∠ ACD=40 °，∵在△ ABC 中，∠ ACB=90 °，∴∠ B=90 °﹣∠ A=50 °．故选 B．【点评】此题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理．注意两直线平行，内错角相等．8．（ 2016?临沂）如图，直线AB ∥ CD，∠ A=40 °，∠ D=45 °，则∠ 1 的度数是（）A ． 80° B． 85° C． 90° D． 95°【分析】根据∠ 1= ∠D +∠C，∠ D 是已知的，只要求出∠ C 即可解决问题．【解答】解：∵ AB ∥CD ，∴∠ A= ∠ C=40 °，∵∠ 1=∠ D+∠ C，∵∠ D=45 °，∴∠ 1=∠ D+∠ C=45°+40°=85°，故选 B．【点评】本题考查平行线的性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是利用三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，属于中考常考题型．9．（2016?宜宾）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A ．乙前 4 秒行驶的路程为48 米B．在 0 到 8 秒内甲的速度每秒增加 4 米 /秒C．两车到第 3 秒时行驶的路程相等D．在 4 至 8 秒内甲的速度都大于乙的速度【分析】前 4s 内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x 轴的直线，即速度不变，速度×时间=路程．甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加；求出两图象的交点坐标， 3 秒时两速度大小相等，3s 前甲的图象在乙的下方，所以 3 秒前路程不相等；图象在上方的，说明速度大．【解答】解： A 、根据图象可得，乙前 4 秒的速度不变，为 4 米/秒，则行驶的路程为 12×4=48 米，故 A 正确；B、根据图象得：在 0 到 8 秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0 均匀增加到32 米 /秒，则每秒增加=4 米秒 /，故 B 正确；C、由于甲的图象是过原点的直线，斜率为4，所以可得v=4t （ v、 t 分别表示速度、时间），将 v=12m/s 代入 v=4t 得 t=3s，则 t=3s 前，甲的速度小于乙的速度，所以两车到第 3 秒时行驶的路程不相等，故 C 错误；D、在 4 至 8 秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故 D 正确；由于该题选择错误的，故选 C．【点评】此题考查了函数的图形，通过此类题目的练习，可以培养学生分析问题和运用所学知识解决实际问题的能力，能使学生体会到函数知识的实用性．10．（ 2016?乐山）如图， CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，若∠B=35 °，∠ ACE=60 °，则∠ A=（）A ． 35° B． 95° C． 85° D． 75°【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD ，根据三角形外角性质求出∠ A 即可．【解答】解：∵ CE 是△ ABC 的外角∠ ACD 的平分线，∠ ACE=60 °，∴∠ ACD=2 ∠ ACE=120 °，∵∠ ACD= ∠B+∠A ，∴∠ A= ∠ ACD ﹣∠ B=120 °﹣ 35°=85 °，故选： C．【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．二．填空题（共 10 小题）m n m+n16 ．11．（2016?大庆）若 a =2， a =8，则 a =【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．m n∴a m+n=am?an=16 ，故答案为： 16【点评】 此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．4 25 2．12．（ 2016?临夏州）计算： （﹣ 5a ） ?（﹣ 8ab ） = 40a b 【分析】 直接利用单项式乘以单项式运算法则求出答案．425 2故答案为： 40a 5b 2．【点评】 此题主要考查了单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．13．（ 2016?巴中）若 a+b=3 ， ab=2，则（ a ﹣ b ） 2= 1 ．a 2+b 2的值，所【分析】 将 a+b=3 两边平方，利用完全平方公式化简，将 ab 的值代入求出 求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】 解：将 a+b=3 平方得：（ a+b ） 2=a 2 +2ab+b 2=9，22把 ab=2 代入得： a +b =5，则（ a ﹣ b ）2=a 2﹣ 2ab+b 2=5﹣ 4=1 ． 故答案为： 1【点评】 此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（ 2016?靖江市二模）若（ 7x ﹣ a ） 2=49x 2﹣ bx+9，则 | a+b| = 45 ．【分析】 先将原式化为 49x 2﹣ 14ax+a 2=49x 2﹣ bx+9，再根据各未知数的系数对应相等列出关于 a 、 b 的方程组，求出 a 、 b 的值代入即可．【解答】 解：∵（ 7x ﹣ a ） 2=49x 2﹣bx+9，∴ 49x 2﹣ 14ax+a 2=49x 2﹣bx+9，∴﹣ 14a=﹣ b ， a 2=9，解得 a=3， b=42 或 a=﹣3， b=﹣ 42．当 a=3， b=42 时， | a+b| =| 3+42| =45 ；当 a=﹣ 3， b=﹣ 42 时， | a+b| =| ﹣3﹣ 42| =45．故答案为 45．【点评】 本题是一个基础题， 考查了完全平方公式以及代数式的求值， 要熟练进行计算是解此题的关键．15．（ 2016?菏泽）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板 的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1 的度数是15° ．【分析】 过 A 点作 AB ∥ a ，利用平行线的性质得 AB ∥ b ，所以∠ 1=∠2，∠ 3=∠ 4=30°，加上∠ 2+∠ 3=45°，易得∠ 1=15°． 【解答】 解：如图，过 A 点作 AB ∥ a ， ∴∠ 1=∠ 2， ∵a ∥ b ，第10页（共 19页）∴∠ 3=∠ 4=30°，而∠ 2+∠ 3=45°，∴∠ 2=15°，∴∠ 1=15°．故答案为15°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．16．（ 2016?湖州）如图 1 是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图 2 所示的∠ 1与∠ 2，则∠ 1 与∠ 2 的度数和是90度．【分析】如图 2， AB ∥CD ，∠ AEC=90 °，作 EF∥ AB ，根据平行线的传递性得到EF∥ CD ，则根据平行线的性质得∠1=∠AEF ，∠ 2=∠ CEF，所以∠ 1+∠ 2=∠ AEC=90 °【解答】解：如图2， AB ∥ CD ，∠ AEC=90 °，作 EF∥AB ，则 EF∥ CD，所以∠ 1=∠AEF ，∠ 2=∠ CEF，所以∠ 1+∠2=∠ AEF +∠ CEF= ∠ AEC=90 °．故答案为90．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．17．（ 2016?吉林）如图， AB ∥CD，直线 EF 分别交 AB 、 CD 于 M ， N 两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75 °，则∠ PNM 等于30度．【分析】根据平行线的性质得到∠ DNM= ∠BME=75 °，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45 °，即可得到结论．【解答】解：∵ AB ∥CD ，∴∠ DNM= ∠BME=75 °，∵∠ PND=45 °，∴∠ PNM= ∠ DNM ﹣∠ DNP=30 °，故答案为： 30．【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．18．（ 2016?大庆）如图，在△ ABC 中，∠ A=40 °，D 点是∠ ABC 和∠ ACB 角平分线的交点，则∠ BDC= 110° ．【分析】由 D 点是∠ ABC 和∠ ACB 角平分线的交点可推出∠DBC +∠DCB=70 °，再利用三角形内角和定理即可求出∠BDC 的度数．【解答】解：∵ D 点是∠ ABC 和∠ ACB 角平分线的交点，∴∠ CBD= ∠ ABD=∠ ABC，∠ BCD=∠ACD=∠ ACB，∴∠ ABC +∠ ACB=180 °﹣ 40°=140 °，∴∠ DBC +∠ DCB=70 °，∴∠ BDC=180 °﹣ 70°=110°，故答案为： 110°．【点评】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，熟记三角形内角和定理是解决问题的关键．19．（ 2016?丰润区二模）如图，在△ ABC 中，点 D 、E、F 分别为 BC、 AD 、CE 的中点．若S△BFC=1，则 S△ABC = 4 ．【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用S△ABC表示出△ ABD 、△ACD 、△ BDE ，△ CDE 的面积，然后表示出△BCE 的面积，再表示出△BEF 的面积，即可得解．【解答】解：如图，连接BE ．∵点 D 、E 分别为 BC、 AD 的中点，∴S△ABD =S△ACD=S△ABC，SS△ABD =S△ABC，△BDE=SS△ACD =S△ABC，△ CDE=∴S△BCE=S△BDE +S△CDE= S△ABC + S△ABC =S△ABC，∵F 是 CE 的中点，∴S△BEF=S△BFC= S△BCE=×S△ABC =S△ABC，∴S△BFC： S△ABC =1： 4．∵S△BFC=1 ，∴S△ABC =4．故答案为： 4．【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．20．（ 2016?宜兴市一模）如图，△ ABC 中，∠ ABC=70 °，∠ BAC 的外角平分线与∠ ACB 的外角平分线交于点 O，则∠ ABO= 35 度．【分析】过点 O 作 OE⊥ AB 于点 E，OF⊥ BC 于点 F，OG ⊥ AC 于点 G，由于点 O 是∠ BAC 的外角平分线与∠ ACB 的外角平分线的交点，故 OE=OG=OF ，所以 OB 是∠ ABC 的平分线，由此即可得出结论．【解答】解：过点 O 作 OE⊥AB 于点 E， OF⊥ BC 于点 F， OG⊥AC 于点 G，∵点 O 是∠ BAC 的外角平分线与∠ACB 的外角平分线的交点，∴OE=OG ， OF=OG ，∴OE=OG=OF ，∴OB 是∠ ABC 的平分线，∴∠ ABO=∠ ABC=× 70°=35°．故答案为： 35．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质进行解答即可．三．解答题（共10 小题）21．（ 2016?常州）先化简，再求值（x﹣ 1）（ x﹣2）﹣（ x+1）2，其中 x=．【分析】根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答．2【解答】解：（ x﹣ 1）（ x﹣ 2）﹣（ x+1），=﹣5x+1当 x= 时，原式 =﹣ 5× +1=﹣．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记多项式乘以多项式．22．（ 2016 春 ?西藏校级期末）已知（a+b）2=25 ，（a﹣ b）2=9，求 ab 与 a2+b2的值．【分析】把已知两个式子展开，再相加或相减即可求出答案．22∴a 2+2ab+b2=25①， a2﹣ 2ab+b2=9②，22∴① +②得： 2a +2b=34 ，∴a 2+b2=17 ，① ﹣②得： 4ab=16，∴ab=4．注意：（ a+b）2=a2+2ab+b2，（ a﹣ b）2=a2﹣2ab+b2．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，23．（ 2016?厦门校级一模）如图，已知AB ∥ CD，若∠ C=40°，∠ E=20 °，求∠ A 的度数．【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠ 1=∠C，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，∵ AB ∥ CD，∴∠ 1=∠ C=40 °，∴∠ A= ∠ 1﹣∠ E=40 °﹣ 20°=20°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．24．（ 2016?江西模拟）如图，直线 a∥ b，BC 平分∠ ABD ， DE⊥ BC，若∠ 1=70 °，求∠ 2 的度数．【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠ABD=70 °，由角平分线的定义得到∠EBD=ABD=35 °，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵直线a∥ b，∴∠ 1=∠ ABD=70 °，∵BC 平分∠ ABD ，∴∠ EBD=ABD=35 °，∵DE⊥BC，∴∠ 2=90°﹣∠ EBD=55 °．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．25．（ 2016 春 ?大石桥市期末）如图，直线 AB ．CD 相交于点O，OE 平分∠ BOC ，∠COF=90 °．（1）若∠ BOE=70 °，求∠ AOF 的度数；（2）若∠ BOD ：∠ BOE=1 ：2，求∠ AOF 的度数．【分析】（ 1）根据角平分线的定义求出∠BOC 的度数，根据邻补角的性质求出∠AOC 的度数，根据余角的概念计算即可；（2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可．【解答】解：（ 1）∵ OE 平分∠ BOC，∠ BOE=70 °，∴∠ BOC=2 ∠ BOE=140 °，∴∠ AOC=180 °﹣ 140°=40 °，又∠ COF=90 °，∴∠ AOF=90 °﹣40°=50 °；（2）∵∠ BOD ：∠ BOE=1 ：2， OE 平分∠ BOC ，∴∠ BOD ：∠ BOE ：∠ EOC=1： 2： 2，∴∠ BOD=36 °，∴∠ AOC=36 °，又∵∠ COF=90 °，∴∠ AOF=90 °﹣36°=54 °．【点评】本题考查的是对顶角、邻补角的性质以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、邻补角之和等于180°是解题的关键．26．（ 2016 春 ?金堂县期末）在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是测得的弹簧的长度y 与所挂物体的质量x 的几组对应值．所挂物体质量012345x/kg弹簧长度 y/cm182022242628（1）上述表格反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）写出弹簧长度 y（ cm）与所挂物体质量 x（ kg）的关系式．（3）当所挂重物为 3kg 时，弹簧有多长？不挂重物呢？（4）若弹簧的长度为30cm 时，此进所挂重物的质量是多少？（在弹簧的允许范围内）．【分析】（ 1）上述表格反映了弹簧的长度 ycm 与所挂物体的质量 xkg 这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量 xkg 是自变量，弹簧的长度 ycm 是因变量；（2）设 y=kx +b，然后将表中的数据代入求解即可；（3）从图表中直接得出当所挂重物为3kg 时，弹簧的长度和不挂重物时弹簧的长度；（4）把 y=30 代入（ 2）中求得的函数关系式，求出x 的值即可．【解答】解：（ 1）上述表格反映了弹簧的长度ycm 与所挂物体的质量xkg 这两个变量之间的关系．其中所挂物体的质量xkg 是自变量，弹簧的长度ycm 是因变量．（2）设弹簧长度 y（ cm）与所挂物体质量 x（kg ）的关系式为 y=kx +b，将 x=0 ， y=18； x=1 ，y=20 代入得：k=2， b=18，∴y=2x +18．（3）当 x=3 时， y=24；当 x=0 时， y=18 ．所以，当所挂重物为3kg 时，弹簧有24cm 长；不挂重物时，弹簧有18cm 长．（4）把 y=30 代入 y=2x +18，得出： x=6 ，所以，弹簧的长度为主30cm 时，此进所挂重物的质量是6kg ．【点评】本题主要考查了函数关系式和常量与变量的知识，解答本题的关键在于熟读题意并求出弹簧的长度与所挂物体的质量之间的函数关系式．27．（ 2016 春 ?沈丘县期末）如图所示，在△ ABC 中， D 是 BC 边上一点，∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠4，∠ BAC=63 °，求∠ DAC 的度数．【分析】△ABD 中，由三角形的外角性质知∠3=2∠ 2，因此∠ 4=2 ∠2，从而可在△ BAC 中，根据三角形内角和定理求出∠ 4 的度数，进而可在△ DAC 中，由三角形内角和定理求出∠ DAC的度数．【解答】解：设∠ 1=∠ 2=x ，则∠ 3=∠ 4=2x ．因为∠ BAC=63 °，所以∠ 2+∠4=117°，即 x+2x=117°，所以 x=39 °；所以∠ 3=∠4=78°，∠D AC=180 °﹣∠ 3﹣∠ 4=24°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．28．（ 2016 春 ?高密市期末）如图，△ ABC 中， AD 是高， AE 、 BF 是角平分线，它们相交于点 O，∠ CAB=50 °，∠ C=60°，求∠ DAE 和∠ BOA 的度数．【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ ABC ，在直角三角形 ACD 中，易求∠ DAC ；再根据角平分线定义可求∠ CBF 、∠ EAF ，可得∠ DAE 的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠ AFB ，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA ．【解答】解：∵∠ A=50 °，∠ C=60 °∴∠ ABC=180 °﹣ 50°﹣ 60°=70 °，又∵ AD 是高，∴∠ ADC=90 °，∴∠ DAC=180 °﹣ 90°﹣∠ C=30°，∵AE 、 BF 是角平分线，∴∠ CBF= ∠ ABF=35 °，∠ EAF=25 °，∴∠ DAE= ∠ DAC ﹣∠ EAF=5 °，∠A FB= ∠ C+∠ CBF=60 °+35°=95°，∴∠ BOA= ∠ EAF +∠ AFB=25 °+95°=120 °，∴∠ DAC=30 °，∠ BOA=120 °．故∠ DAE=5 °，∠ BOA=120 °．【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠ EAF 、∠ CBF，再运用三角形外角性质求出∠ AFB ．29．（ 2016 春 ?故城县期末）已知：a、 b、 c 为三角形的三边长化简： | b+c﹣ a|+| b﹣c﹣a| ﹣ | c﹣ a﹣b| ﹣ | a﹣ b+c|【分析】根据三角形的三边关系得出a+b＞ c，a+c＞ b，b+c＞ a，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵ a、 b、 c 为三角形三边的长，∴a+b＞ c， a+c＞b， b+c＞ a，∴原式 =| （b+c）﹣ a|+| b﹣（ c+a） | ﹣ | c﹣（ a+b） | ﹣| （ a+c）﹣ b|=b+c﹣ a+a+c﹣ b﹣ a﹣ b+c+b﹣ a﹣ c=2c﹣ 2a．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．30．（ 2016 春 ?安岳县期末）如图，AD 是△ ABC 的高，AE 是△ ABC 的角平分线，且∠ C=30 °，∠B=80 °．（1）求∠ DAE 的度数；（2）请探究∠ DAE 与∠ B、∠ C 的关系，并说明理由．【分析】（1）首先计算出∠BAC 的度数，然后再根据角平分线定义可得∠BAE 的度数，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠BAD 的度数，进而可得∠DAE 的度数；（2）由（ 1）知∠ DAE= ∠ BAE ﹣∠ BAD ，再把∠ BAE=∠ BAC，∠ BAD=90°﹣∠ B代入整理可得答案．【解答】解：（ 1）∵∠ BAC +∠B +∠C=180°，∠ B=80 °，∠ C=30 °，∴∠ BAC=180 °﹣（∠ B+∠ C） =180﹣（ 80°+30°） =70°，∵AE 平分∠ BAC ，∴∠ BAE=∠ BAC=×70°=35°，∵AD ⊥BC，∴∠ B+∠BAD=90 °，∴∠ BAD=90 °﹣∠ B=90 °﹣ 80°=10 °，∴∠ DAE= ∠ BAE ﹣∠ BAD=35 °﹣ 10°=25°；（2）∠ DAE=（∠ B﹣∠ C），理由：由（ 1）可知，∠ DAE= ∠ BAE ﹣∠ BAD ，∠B AE= ∠ BAC ，∠ BAD=90 °﹣∠ B，∴∠ DAE= ∠ BAC ﹣（ 90°﹣∠ B ），=（ 180°﹣∠ B﹣∠ C）﹣（ 90°﹣∠ B），=（∠ B﹣∠ C）．【点评】此题主要考查了三角形内角和，关键是掌握三角形内角和为180 度，理清角之间的关系．。