北师大版九年级下第二章《二次函数》单元测试含答案

北师大版九年级数学下册第二章单元测试一、选择题（每小题4分，共10小题，满分40分）每题有A、B、C、D四个选项，只有一个是正确的，请把正确的选项填写在题的括号内.评卷人得分1.二次函数y=a（x+m）+n 的图象如图，则一次函数y=mx+n 的图象经过（）2A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限k2.函数y= 与y=﹣kx +k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）2xA．B．C．D．3.关于二次函数y=x ﹣2x﹣3的图象，下列说法中错误的是（）2A．当x＜2，y 随x 的增大而减小B．函数的对称轴是直线x=1C．函数的开口方向向上D．函数图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣3）4.如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax +bx+c的大致图象为（2 ）A．B．C．D．5.如图所示是二次函数y=ax﹣x+a﹣1的图象，则a的值是（）2 212A．a=﹣1 B．a= C．a=1 D．a=1或a=﹣16.抛物线y=x﹣2x﹣3的图象向左平移2 个单位，再向上平移2 个单位，所得图象的解析式为y=x +bx+c，2 2则b、c的值为（）A．b=2，c=2 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣3，c=27.根据下列表格对应值：x 3 4 5y=ax +bx+c 0.5 ﹣0.5﹣12判断关于x 的方程ax2+bx+c=0（a≠）0的一个解x 的范围是（A．x＜3 B．x＞5C．3＜x＜4D．4＜x＜5）8.如图是二次函数y=ax +bx+c图象的一部分，其对称轴是x=﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc2＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y），（3，y）是抛物线上两点，则y ＜y，其中说法正确1 2 1 2的是（）A．①②B．②③C．①②④D．②③④9.如图是二次函数y=ax +bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax +bx+c＜0的解集是（2 2 ）A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1 或x＞510.已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=﹣1，P（x ，y）、1 1 1P （x，y）是抛物线上的点，P （x，y）是直线l上的点，且﹣1＜x＜x，x＜﹣1，则y、y、y的2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3大小关系为（）A．y ＜y＜y B．y ＜y＜y C．y ＜y＜y D．y ＜y＜y1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 1 3得分二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）请把正确的答案填写在横线上.11.二次函数y=x﹣2x+6的最小值是．212.抛物线y=x﹣5x+6与x轴交于A、B 两点，则AB 的长为．213.若函数y=mx +2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m 的值是．214.如图，抛物线y=﹣（x+1）（x﹣3）与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，点D 为该抛物线的3对称轴上一点，当点D 到直线BC和到x轴的距离相等时，则点D 的坐标为．得分三、解答题（共8小题，满分90分）15.二次函数y=x +bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．2（1）求b、c的值；（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．16.如图，二次函数y=ax﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）．2（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△A OP=8，请直接写出点P的坐标．17.已知二次函数y=﹣x+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐2标为（0，3）．（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．18.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度O M为12米，现在O点为原点，O M所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆A B、A D、D C的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．19.已知某种产品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查发现，该产品每降价1元，每星期可多卖出20件，由于供货方的原因销量不得超过380件，设这种产品每件降价x元（x为整数），每星期的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）该产品销售价定为每件多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）该产品销售价在什么范围时，每星期的销售利润不低于6000元，请直接写出结果．20.如图，抛物线y=x+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．2（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．21.如图，已知二次函数y=ax+bx+8（a≠）0的图象与x轴交于点A（﹣2，0），2B（4，0）与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（Ⅱ）求△B C D的面积；（Ⅲ）若直线C D交x轴与点E，过点B作x轴的垂线，交直线C D与点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．22.如图，已知正方形O A B C的边O A在y轴的正半轴上，O C在x轴的正半轴上，O A=A B=2，抛物线2y=x+bx+c经过点A，B，交正x轴于点D，E是O C上的动点（不与C重合）连接EB，过B点作32BF⊥BE交y轴与F（1）求b，c的值及D点的坐标；（2）求点E在OC上运动时，四边形OE BF的面积有怎样的规律性？并证明你的结论；（3）连接EF，BD，设OE=m，△B EF与△BE D的面积之差为S，问：当m为何值时S最小，并求出这个最小值．23.如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x+4x刻画，斜坡可以用一次函21数y=x刻画．2（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△P O A，求△PO A的面积；（4）在O A上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△M O A的面积等于△P O A的面积．请直接写出点M的坐标．参考答案及解析1.【答案】C．解析：∵抛物线的顶点在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故选C．2.【答案】B．解析：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选B．3.【答案】A．解析：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，当x＜1时y随x的增大而减小，故B、C正确，A不正确，令x=0可得y=﹣3，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），故D正确，故选A．4.【答案】B．解析：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；b∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，2a∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选B．5.【答案】C．解析：由图象得，此二次函数过原点（0，0），把点（0，0）代入函数解析式得a2﹣1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a＞0；所以a=1．故选C．6.【答案】B解析：y=x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，图象向左平移2个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣4+2=（x+1）2﹣2=x+2x﹣1，2则b=2，c=﹣1，故选B．7.【答案】C解析：∵x=3时，y=0.5，即ax2+bx+c＞0；x=4时，y=﹣0.5，即ax+bx+c＜0，2∴抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，∴关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠）0的一个解x的范围是3＜x＜4．故选C．8.【答案】A解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0，b∵抛物线对称轴为直线x=﹣=﹣1，2a∴b=2a＞0，则2a﹣b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＜0，所以①正确；∵x=2时，y＞0，∴4a+2b+c＞0，所以③错误；∵点（﹣5，y）离对称轴的距离与点（3，y）离对称轴的距离相等，12∴y=y，所以④不正确．12故选A．9.【答案】D.解析：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）．利用图象可知：ax+bx+c＜0的解集即是y＜0的解集，2∴x＜﹣1或x＞5．故选D．考点：二次函数利用图象.10.【答案】D．解析：对称轴为直线x=﹣1，且﹣1＜x＜x，当x＞﹣1时，y＜y，1221又因为x＜﹣1，由一次函数的图象可知，此时点P（x，y）在二次函数图象上方，3333所以y＜y＜y．213故选D．11.【答案】5.解析：y=x2﹣2x+6=x2﹣2x+1+5=（x﹣1）+5，2可见，二次函数的最小值为5．12.【答案】1.解析：当y=0，则0=x2﹣5x+6，解得：x=2，x=3，12故A B的长为：3﹣2=1．13.【答案】0或1①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若 m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．2314.【答案】（1，）或（1，﹣23）.解析：如图所示：∵抛物线y=﹣3x+1x3）（﹣）与轴交于、两点，与轴交于点，（x A B y C∴当﹣（）（﹣）时，﹣，或x=3，3x+1x3=0x=1当x=0时，y=33，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3∴B M=3﹣1=2，3），对称轴x=1，当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠A B C或∠A B E的平分线上，①点D在∠A B C的平分线上时，33∵tan∠A B C==3，3∴∠A B C=60°，∴∠A B D=30°，3333∴D M=B M=，323∴D（1，）；3②点D在∠A B E的平分线上时，∠A BE=180°﹣60°=120°，∴∠A B D=60°，∴D M=3B M=23，3∴D（1，﹣2）.b415.【答案】（1）；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=23c解析：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），3=16+4b c∴，093b cb4解得；3c（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质．16.【答案】（1）y=﹣x﹣4x；（2）（﹣2，4）、（﹣2+22，﹣4）、（﹣2﹣22，﹣4）．2c0解析：（1）由已知条件得，a(4)24(4)c0a1解得，c所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x；（2）∵点A的坐标为（﹣4，0），∴A O=4，设点P到x轴的距离为h，1则S△A OP=×4h=8，2解得h=4，①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，解得x=﹣2，所以，点P的坐标为（﹣2，4），②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，解得x=﹣2+22x=222，﹣﹣，12所以，点P的坐标为（﹣2+224222，﹣）或（﹣﹣，﹣4），综上所述，点P的坐标是：（﹣2，4）、（﹣2+224222，﹣）、（﹣﹣，﹣4）．17. 【答案】（1）b=2,c=3, y=﹣x +2x+3．(2) ﹣1＜x ＜32 解析：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入 y=﹣x 2+bx+c 中，得1b c 0 3b 2 ，解得．c 3c ∴y=﹣x 2+2x+3．（2）令 y=0，解方程﹣x 2+2x+3=0， 得 x =﹣1，x =3，抛物线开口向下， 1 2∴当﹣1＜x ＜3 时，y ＞0．16 18. 【答案】（1）M （12，0），P （6，6）；（2）y= x +2x ；（3）15 米．2解析：（1）M （12，0），P （6，6） （2）∵顶点坐标（6，6） ∴设 y=a （x ﹣6）2+6（a≠0） 又∵图象经过（0，0） ∴0=a （0﹣6）2+61∴a= 61 61∴这条抛物线的函数解析式为 y= （x ﹣6）2+6，即 y= x 2+2x ；6 （3）设 A （x ，y ）1∴A （x ， （x ﹣6）2+6）6∵四边形 A B C D 是矩形，1∴A B=D C= （x ﹣6）2+6，6根据抛物线的轴对称性，可得：OB=C M =x ， ∴BC=12﹣2x ，即 A D=12﹣2x ，11 31∴令 L=A B+A D +D C =2[ （x ﹣6）2+6]+12﹣2x=（x ﹣3）2+15．x 2+2x+12= 6 3 ∴当 x=3，L 最大值为 15∴A B 、A D 、D C 的长度之和最大值为 15 米．19. 【答案】（1）w =﹣20x +100x+6000，x ≤4，且 x 为整数；(2) 当定价为 57 或 58 元时有最大利润 61202 元；(3) 售价不低于 56 元且不高于 60 元时，每星期利润不低于 6000 元． 解析: （1）w=（20﹣x ）（300+20x ）=﹣20x 2+100x+6000， ∵300+20x≤380， ∴x≤4，且 x 为整数；5（2）w=﹣20x 2+100x+6000=﹣20（x ﹣ ）2+6125，25∵﹣20（x ﹣ ）2≤0，且 x≤4 的整数，2∴当 x=2 或 x=3 时有最大利润 6120 元，即当定价为 57 或 58 元时有最大利润 6120 元； （3）根据题意得：5﹣20（x ﹣ ）2+6125≥6000，2解得：0≤x≤5． 又∵x≤4， ∴0≤x≤4答：售价不低于 56 元且不高于 60 元时，每星期利润不低于 6000 元．20.【答案】（1）y=x ﹣2x ﹣3．（2）对称轴 x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）点 P 在该抛物线上滑动到（1+2 2 ，2 4）或（1﹣2 2 ，4）或（1，﹣4）时，满足 S △PAB =8．解析：（1）∵抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程 x 2+bx+c=0 的两根为 x=﹣1 或 x=3， ∴﹣1+3=﹣b ， ﹣1×3=c ，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是 y=x 2﹣2x ﹣3． （2）∵y=﹣x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴 x=1，顶点坐标（1，﹣4）． （3）设 P 的纵坐标为|y |， P ∵S △PAB =8，1∴ AB•|y |=8， 2P∵A B=3+1=4， ∴|y |=4， P ∴y =±4， P 把 y =4 代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3， P 解得，x=1±2 2 ，把 y =﹣4 代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3， P 解得，x=1，∴点 P 在该抛物线上滑动到（1+2 2 4 ， ）或（ ﹣ 1 2 2 ，4）或（ ，﹣ ）时，满足S△PAB=8．1 4 21. 【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式：y=﹣x +2x+8=﹣（x ﹣1） +9，顶点 D （1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.2 2 解析：（Ⅰ）将 A 、B 的坐标代入抛物线的解析式中，得：4a 2b 8 0 a 1，解得， 16a 4b 8 0b 2 ∴抛物线的解析式：y=﹣x 2+2x+8=﹣（x ﹣1）2+9，顶点 D （1，9）； （Ⅱ）如图 1，∵抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+8，∴C（0，8），∵B（4，0），∴直线B C解析式为y=﹣2x+8，∴直线和抛物线对称轴的交点H（1，6），11∴S△B D C=S△B D H+S△D H C=×3×1+×3×3=6．22（Ⅲ）如图2，∵C（0，8），D（1，9）；代入直线解析式y=kx+b，b8∴，b9k1k解得：，8b∴y=x+8，∴E点坐标为：（﹣8，0），∵B（4，0），∴x=4时，y=4+8=12∴F点坐标为：（4，12），设抛物线向上平移m个单位长度（m＞0），则抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+9+m；当x=﹣8时，y=m﹣72，当x=4时，y=m，∴m﹣72≤0 或m≤12，∴0＜m≤72，∴抛物线最多向上平移72个单位．422.【答案】（1）b=，c=2；D点坐标为（3，0）．（2）点E在O C上运动时，四边形OE BF的面积不3变；（3）当m=2﹣2时S最小为0．c 2238解析：（1）把点A（0，2）、B（2，2）代入抛物线y=x2+bx+c 得b c2234解得b=，c=2；324∴y=x2+x+2；3324令x2+x+2=033解得x=﹣1，x=312∴D点坐标为（3，0）．（2）点E在O C上运动时，四边形OE BF的面积不变；∵四边形O A B C是正方形∴A B=B C，∠B C E=∠B A E=∠A B C=90°又∵BF⊥BE∴∠FBE=90°∴∠A BF=∠C BE∴△A BF≌△B C E∴四边形OE BF的面积始终等于正方形O A B C的面积．（3）如图，可以看出S△BEF=S﹣S△OEF﹣S△BE C梯形O C BF111=（2+2+m）×2﹣m（2+m）﹣（2﹣m）×22221=﹣m+m+2221S△BE D=×（3﹣m）×22=3﹣m两个三角形的面积差最小为0，1即3﹣m=﹣m2+m+，2解得m=2±2，∵E是O C上的动点∴m=2﹣当m=2﹣2，2时最小为0．S7721423.【答案】（1）最高点P的坐标为（2，4）；（2）点A的坐标为（，）；（3）；（4）点M的坐24315标为（，）．24解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；72741x2xxy（2）联立两解析式可得：，解得：，或．yy x24x y77故可得点A的坐标为（，）；24（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，A B⊥x轴于点B．S△P O A=S△P O Q+S P Q B A﹣S△B O A梯形7△117177=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××22422246949﹣=4+161621=；4（4）过P作O A的平行线，交抛物线于点M，连结O M、A M，则△M O A的面积等于△P O A的面积．1设直线 P M 的解析式为 y= x+b ，2∵P 的坐标为（2，4），1∴4= ×2+b ，解得 b=3，2 1∴直线 P M 的解析式为 y= x+3．2 31 x y x 32 xy 2 15 42 由 ，解得 ， ， y 4 x 2 4x y3 15∴点 M 的坐标为（ ， ）．2 4。