有关直线与圆的几个典型例题

有关直线与圆的几个典型例题
本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解 答题中往往是出现在第(1)小题中，考查的热点是求直线的方程， 两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关 系及圆与圆的位置关系等。

要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据 已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的儿 何性质的应用。

例1：在A ABC 中，已知顶点A(3,-l),过点B 的内角平分线所在 直线的方程为x-4y+10=0,过点C 的中线所在直线的方程为 6x+10y-59=0,求顶点B 的坐标及BC 边的方程。

A + 3 J -1
解：设B 点坐标为(x,y),则AB 的中点E 的坐标为(丁'丁)， 因 E 在直线 6x+10y-59=0±,
乳 + 3
・•・ 6 ・ 2 +10 ・ 2 -59=0,整理得 3x+5y-55=Oo 乂过点B 的内角平分线所在直线方程为x-4y+10=0o
戸+ "-55 = 0, |x = 10,
解方程组仍10丸得卜"
・•・B 点坐标为(10,5)。

6
设BC 边所在直线斜率为k, AB 边所在直线斜率k AB = 7，角B 平
_1
分线的斜率为忆。

例2：已知过点A(1J),且斜率为的直线/与x,y 轴分别 交于P 、Q 点，过P 、Q 作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R, S,
2 - 9 - = k ・•・BC 边所在直线方程为2x+9y-65=0o
评注：本题是关于求直线方程的例
题。

6 一 7 6
一
7
求四边形PRSQ 的面积的最小值。

丄
解:设直线1的方程为y-l=-m(x-l),则P 、Q 的坐标分别为(1 +也,0),
(0,1 +m) o
1 m +1 m +1
/• PR 所在直线方程为y=2（x ・m ）,即x ・2y ・朋=0
丄
QS 所在直线方程为 y= 2 x+m+1,即 x-2y+2(m+l)=0。

| 2加十2十1十丄| 3十2眈十丄
m = m m +1
乂IPRI=怎,IQSI=品, •••四边形PRSQ 的面积为
(2 + -+m + 1) 3+2忍十丄2(购+丄尸十9⑻+丄)+ 10 .
〔。

〔 S=- • ———•—
=——世 ------------ 世—丄［(时丄)+分-丄, 2 75 10 5 4 80
丄
*.* m>0,・*. m+m
$2, ・°・、勺 m=l 时，Smin=3.6。

故四边形PRSQ 面积的最小值为3.6o
评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题
例3：根据下列条件求圆的方程：
(1) 圆心在直线/］： 5x-3y=O 上，并且圆与直线伍：x-6y-10=0 相切于点P(4,・l)；
(2) 圆过点P(-2,4), Q(3,-l),并且在x 轴上截得的弦长等于6；
(3) 圆心在曲线y 2=-18x ±,并且既与y 轴相切乂与圆 (x+2)2+(y-
3)2=l 外切。

解：(1)设圆心为C(3t,5t),
主十1 . 1
T PR//QS, |RS| = 75
•嘉=1,即3—4 6 =_1,则匸1,
••• PC 丄沧••• krc
・•・圆心C(3,5),又圆半径r=|PC|=®,
故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37«
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O,
(2D-4E-F - 20, (1)
将P、Q的坐标分别代入，得Vz)-£+F--10 (2)
又令y=0,得X2+D X+F=0O 由己知|X1-X2|=6(XI, X2为方程两根)，・・・ D2-4F=36 .. (3)
由(1),(2),⑶解得D=-2, E=-4, F=-8 或D=-6, E二& F=0。

故所求圆的方程为：x2+y2-2x-4y-8=0 或x2+y2-6x-8y=0o
(3)设圆心C(a,b),由题意知r=|a|,且阿2)2+@・夕=(1+1",
\b2 = -18a.
2
显然a<0,解得a=- 2 , b=3 或a=-2, b=6,
2 _i
故所求圆的方程为：(X+2 )2+(y_3)2=4 或(x+2)2+(y・6)2=4。

评注：求圆的方程应注意依据所给条件，恰当选择方程形式，用待定系数法求解。

例4：已知圈C： x2+(y-l)2=5,直线/： mx-y+l-m=Oo
(1)求证：对mUR,直线1与圆C总有两个不同的交点；
(2)设/与圆C交于A、B两点，若|AB|=J讦，求/的倾斜角大小：
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程；
AP= 1_
(4)若定点P(l,l)分弦AB为刘2,求此时直线1的方程。

解：(1)证法1：由己知/： y-l=m(x-l),
・•・直线/恒过定点P(l,l),又圆C的圆心为(0,1),
•・• (1-0)2+(1-1)2=1<5,
・•・P在圆C内，则直线1与圆C总有二个不同交点。

证法2：圆心C(O,1)到直线/的距离
d 二曲+1曲+ 1 <]<焉对mER 成立，
・・・对meR, /与圆C 总有二个不同的交点。

证法3:将y-l=m(x-l)代入圆C 方程，消去y,得
(1 +m 2)x 2-2m 2x+m 2
-5=0 (1)
A = 16m 2+20>0 恒成立， ・•・对meR, /与圆C 总有二个不同的交点。

评注：判断直线与圆相交，一般有以下三种方法：
① 直线过圆内一定点；
② 圆心到直线的距离小于半径；
③ 直线与圆的方程组成的方程组有二个不等实根。

(2)解法1：设A(xi,yJ, B(x2,y2),则xg 为方程⑴的两实根, ____
. . J16艸 2 + 20
・•・ IABI 二 Jl+沪 Ixiwl 二Jl + < ・
1+临$ , _____ J16艸2 十 20 则 J1
+ / . ____ 1+旳2 二历， 跖 2冗
••• /的倾斜角为a=5或T 。

____ 17
解法 2： ••TABIpJ/-/2 ,••• T =5-d\
阳 2冗
••• /的倾斜角为a = 3或T 。

评注：求圆的弦长一般有两种方法：
(1) 用两点间距离公式求；
(2) 利用圆中半径、弦心距、弦长间的关系求。

即半径2=弦心 距2+半弦2。

(3) I CM 丄MP, ••• M 点轨迹是以CP 为直径的圆，圆心为 丄 丄
(2,1),半径为r 二㊁,
・•・m 二土內,
3 溶2 ••• d 2=4，贝IJ1 + / 丄 "
4 m=±
丄 2
・•・M点轨迹方程为:(x-2)2+(y.i)2=4 o
评注：求弦中点轨迹方法很多，本题是利用圆的儿何性质求解, 较为简单。

1 兀1十亍乃
AP 1
—=— 1 + —
(4) •・・2,山定比分点公式，有1二 2 ,
_1 3 丄三
・°・ X1+ 2 X2= 2 ,同理有yi+ 2 y2= 2。

•*. xi= 2 - 2 X2, yi= 2 _ 2 y2,
V A、B 均在圆x2+(y-l)2=5 ±,
消去y2,得(3-X2)2-X2，=15,・：X2=-1,则X1=2,
・°・ y2=3 或-1, yi=0 或2, /. m=l 或-1。

则直线l的方程为：x-y=0或x+y-2=0o
例5：设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2； (2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1,在满足条件(1),(2)的所有圆中，求圆心到直线/：x-2y=0的距离最小的圆的方程。

解：设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴，y轴的距离分别为Ibl, laL
曲题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90° ,则圆P被x 轴所截得的弦长为屁r,
V2
故Ibl二2门即r=2b2o
又圆P截y轴所得弦长为2,所以a2+l=r2o
从而a2+l=2b2,即2b2-a2= 1 o
山_2纠
乂点P(a,b倒直线x-2y=0的距离为d= 忝, ・°・ 5d2=la-
2bl2=a2+4b2-4ab 2 a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2= 1。

/. dN 5 ,等号在a二1)时成立。

111 r2=2b2=2,可得r=V2 ,故所求圆的方程为：(x-l)2+(y-l)2=2
或(x+l)2+(y+l)2=2o
评注：本题关键是求距离d的最小值，求最值问题常用方法有: 配方法，不等式法，判别式法和参数法。