有关圆的经典练习题及答案

圆的经典练习题及答案一、填空题1.（2011省，15，4分）如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：①AC∥OD；②OECE=；③△ODE ∽△ADO；④ABCECD⋅=22．其中正确结论的序号是．【答案】①④2. （2011，13，5分）如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径是．【答案】3. （2011，15,3分）如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD=50°，则∠ACD=【答案】40°4. （2011日照，14，4分）如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的接正形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次程是．【答案】如：x2-5x+1=0；5. （2011，23 ，3分）如图，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC==320，则∠P的度数为。

（第16题）A BDCOE【答案】2606. （2011威海，15，3分）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE=5,BE=1,42CD ,则∠AED= .【答案】30°7. （2011，16,4分）如图，△ABC的外心坐标是__________.【答案】（－2，－1）8. （2011，14，4）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD十∠CAO= °．【答案】53°9. （2011，14，5分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，连结CA，CB，DC，DB．已知∠D=30°，BC＝3，则AB的长是．O xyBCA【答案】610．（2011省，16，5分）如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB分别交OC 于点E ，交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①S △AEC =2S △DEO ；②AC=2CD ；③线段OD 是DE 与DA 的比例中项；④AB CE CD ⋅=22．其中正确结论的序号是 ．【答案】①④11. （2011，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 .（写出符合的一种情况即可）【答案】 2（符合答案即可）12. （2011，16，4分）如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD=度。

【答案】63° 13. （2011，7，3分）如图2，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且∠C =70°，则∠OAB =__________.图 2OBAO DBC （第16题） A B DCOE14. （2011，15，3分）如图，点D为边AC上一点，点O为边AB上一点，AD=DO.以O 为圆心，OD长为半径作半圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连接EF.若∠BAC=22º，则∠EFG=_____.【答案】1215. （2011，19，3分）如图3所示，若⊙O的半径为13cm，点p是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cmPOBA【答案】2416. （2011江津，16，4分）已知如图,在圆接四边形ABCD中,∠B=30º,则∠D=____________.【答案】150°17. (2011綦江，13，4分) 如图,已知AB为⊙O的直径，∠CAB＝30°,则∠D＝ .【答案】：60°18. （2011，13，3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB = 度.第13题图ABD第16题图图319. (2011，13，2分)如图，海边有两座灯塔A 、B ，暗礁分布在经过A 、B 两点的弓形（弓形的弧是⊙O 的一部分）区域，∠AOB=80°，为了避免触礁，轮船P 与A 、B 的角∠APB的最大值为______°．【答案】40 20．（2011，17，4分）如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝_________．【答案】621. （2011，18，2分）如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = _____________．【答案】65 22. （2011，14，3分）如图（5），△ABC 接于圆O ，若∠B ＝300.AC ＝3，则⊙O 的直径为 。

【答案】2323. （2011，16，3分）如图，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，∠EOD =40°，则∠FCD 的度数为 ．【答案】 20yxOA B D C（第18题） NM O CB AA B OP(第13题)24.（2011永州，8，3分）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知⊙O的半径为2，AB=32,则∠BCD=________度．【答案】3025.(20011,15,2分)如图,DE是⊙O的直径,弦AB⊥DE,垂足为C,若AB=6,CE=1,则OC=_____,CD=_____.答案：4，926.（2011乌兰察布，14，4分）如图，BE是半径为6 的⊙D的41圆，C点是BE上的任意一点，△ABD是等边三角形,则四边形ABCD的长P的取值围是第14题图BAC【答案】18182p<≤+27.（2011，16，3分）如图7，点O为优弧ACB所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D在AB的延长线上，BD=BC,则∠D=__°．（第8题）EOCBA图7A ODC【答案】2728. （2011荆州，12，4分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，CD 是直径，∠B ＝40°，则∠ACD 的度数是 .O DA BC第12题图【答案】50°二、选择题1. （2011省，6，3分）如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12【答案】A2. （2011，7，4分）如图，⊙O 的半径是1，A 、B 、C 是圆上的三点，∠BAC =36°，则劣弧的长是（ ）A ．B ．πC ．πD ．π【答案】B3. （2011，9，4分）如图2,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若（第6题） A BONM B A 120AOB ∠=,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ）A ．3R r =B ．3R r =C ．2R r =D ．22R r =【答案】C4. （2011，10 ，3分）如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB =，则⊙O 的半径为（ ） A. B.2 C. D.【答案】A5. （2011市，9，3分）在圆柱形油槽装有一些油。

截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）（A ）6分米 （B ）8分米 （C ）10分米 （D ）12分米【答案】C6. （2011，1,3分）一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆角45ACB ∠=︒，则这个人工湖的直径AD 为（ ）A. 502mB.1002mC.1502mD. 2002m【答案】B 7. （2011，4，4分）如图，AB O 为的直径，点C 在O 上，若16C ∠=︒,则BOC ∠的度数是（ ）A.74︒B. 48︒C. 32︒D. 16︒ A OBCDA BOC图2 (第8题)(第6题图)8. （2011，6，4分）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB ，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是（ ）A.16B.10C.8D.6COA B【答案】A9. （OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）A. 12个单位B. 10个单位C.4个单位D. 15个单位【答案】B10．（2011，6，4分）如图，⊙O 是△A BC 的外接圆，∠OCB ＝40°则∠A 的度数等于( )A ． 60°B ． 50°C ． 40°D ． 30°【答案】B11. （2011省，6，4分）如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为（ ）（A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12 (第5题图) BOC【答案】A12.（2011台北，16）如图(六)，BD为圆O的直径，直线ED为圆O的切线，A、C两点在圆上，AC平分∠BAD且交BD于F点。

若∠ADE＝19，则∠AFB的度数为？A．97 B．104 C．116 D．142【答案】C13. （2011全区，24）如图(六)，△ABC的外接圆上，AB、BC、CA三弧的度数比为12：13：11．自BC上取一点D，过D分别作直线AC、直线AB的并行线，且交BC于E、F两点，则∠EDF的度数为？A．55 B．60 C．65 D．70【答案】Ｃ14. （2011，12，4分）如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰Rt△ABC的部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6。

则⊙O的半径为A．6 B．13 C13D．13（第6题）A BO【答案】C15.（2011，7,3分）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD=（B）(A)116°(B)32°(C)58°（D)64°A【答案】B16. （2011江，9，3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为A．1B C．2 D．OCAB【答案】D17. (2011，6，2分)如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）(a＞2)，半径为2，函数y=x的图象被⊙P的弦AB的长为a的值是2+C．D．2+【答案】B18. （2011，8，3分）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O 的半径等于A.8B. 2C. 10D. 5AB CO【答案】D19. （2011，6，3分）如图，⊙O的直径CD＝5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB 的长是（）A．2cm B．3cmC．4cm D．221cm【答案】CBC=，点P在边AB上，且BP＝3AP，20．（2011，6，4分）矩形ABCD中，AB＝8，35如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．(A) 点B、C均在圆P外；(B) 点B在圆P外、点C在圆P；(C) 点B在圆P、点C在圆P外；(D) 点B、C均在圆P．【答案】C21.（20116，3分）如图（3），CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC=40°，则∠ABD=A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C22.（2011凉山州，9，4分）如图，100∠=，点C在O上，且点C不与A、BAOB∠的度数为（）重合，则ACBA．50B．80或50C．130D．50或130【答案】D23. （2011，7，3分）如图，四边形ABCD 是圆接四边形，E 是BC 延长线上一点，若∠BAD ＝105°， 则∠DCE 的大小是A ． 115°B ． 105°C ． 100°D ． 95°【答案】B24. （2011乌兰察布，9，3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700，那么∠A 的度数为（ ）A .70︒B . 35︒C . 30︒D . 20︒第9题图OCD【答案】B25. （2011市潼南,3,4分）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠A=30°,则∠B 的度数为 A ．15° B. 30°C. 45°D. 60°CABOABC DE【答案】D 三、解答题1. （2011，21，8分）如图，射线PG 平分∠EPF ，O 为射线PG 上一点，以O 为圆心，10为半径作⊙O ，分别与∠EPF 两边相交于A 、B 和C 、D ，连结OA ，此时有OA ∥PE . （1）求证：AP ＝AO ；（2）若弦AB ＝12，求tan ∠OPB 的值；（3）若以图中已标明的点（即P 、A 、B 、C 、D 、O ）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 .证明：（1）∵PG 平分∠EPF ， ∴∠DPO =∠BPO ， ∵OA//PE ，∴∠DPO =∠POA ， ∴∠BPO =∠POA ，∴PA =OA ； ……2分解：（2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则AH =HB =12AB ，……1分 ∵ tan ∠OPB =12OH PH =，∴PH =2OH ， ……1分 设OH =x ，则PH =2x ，由（1）可知PA =OA = 10 ，∴AH =PH －PA =2x －10，∵222AH OH OA +=， ∴222(210)10x x -+=， ……1分 解得10x =（不合题意，舍去），28x =，∴AH =6， ∴AB=2AH=12； ……1分（3）P 、A 、O 、C ；A 、B 、D 、C 或 P 、A 、O 、D 或P 、C 、O 、B .……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分)2.（2011，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为直径在第一象限作半圆C ，点B 是该半圆上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF .P（1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）连结BC ,∵A （10，0）, ∴OA =10 ,CA =5, ∵∠AOB =30°,∴∠ACB =2∠AOB =60°,∴弧AB 的长=35180560ππ=⨯⨯; ……4分（2）连结OD, ∵OA 是⊙C 直径, ∴∠OBA =90°, 又∵AB =BD,∴OB 是AD 的垂直平分线, ∴OD =OA =10, 在Rt △ODE 中，OE ==-22DE OD 681022=-, ∴AE =AO －OE=10-6=4,由 ∠AOB =∠ADE =90°-∠OAB ，∠OEF =∠DEA ， 得△OEF ∽△DEA,∴OE EF DE AE =,即684EF=，∴EF =3；……4分 （3）设OE =x ，①当交点E 在O ，C 之间时，由以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，有∠ECF =∠BOA 或∠ECF =∠OAB ，当∠ECF =∠BOA 时，此时△OCF 为等腰三角形，点E 为OC 中点，即OE =25， ∴E 1（25，0）；当∠ECF =∠OAB 时，有CE =5-x , AE =10-x ，∴CF ∥AB ,有CF =12AB , ∵△ECF ∽△EAD,∴AD CF AE CE =,即51104x x -=-,解得：310=x ,∴E 2（310，0）;②当交点E 在点C 的右侧时， ∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO ， 连结BE ，∵BE 为Rt △ADE 斜边上的中线， ∴BE =AB =BD, ∴∠BEA =∠BAO, ∴∠BEA =∠ECF, ∴CF ∥BE, ∴OEOCBE CF =, ∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠，∴△CEF ∽△AED, ∴CF CEAD AE =, 而AD =2BE , ∴2OC CEOE AE=, 即55210x x x-=-, 解得417551+=x , 417552-=x ＜0（舍去）， ∴E 3（41755+，0）;③当交点E 在点O 的左侧时，∵∠BOA =∠EOF ＞∠ECF .∴要使△ECF 与△BAO 相似，只能使∠ECF =∠BAO 连结BE ，得BE =AD 21=AB ，∠BEA =∠BAO ∴∠ECF =∠BEA, ∴CF ∥BE, ∴OEOCBE CF =, 又∵∠ECF =∠BAO , ∠FEC =∠DEA =Rt ∠，∴△CEF ∽△AED, ∴AD CFAE CE =， 而AD =2BE , ∴2OC CEOE AE=, ∴5+5210+x x x=, 解得417551+-=x , 417552--=x ＜0（舍去）, ∵点E 在x 轴负半轴上, ∴E 4（41755-，0）,综上所述：存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似,此时点E 坐标为：1E （25，0）、2E （310，0）、3E （41755+，0）、4E （41755-，0）．……4分3. （201122,10分）●观察计算当5a =，3b =时，2a b+_________________．当4a =，4b =时， 2a b+_________________． ●探究证明如图所示，ABC ∆为圆O 的接三角形，AB 为直径，过C 作CD AB ⊥于D ，设AD a =，BD =b ．（1）分别用,a b 表示线段OC ，CD ； （2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b+与的大小关系是：_________________________． ●实践应用要制作面积为1平米的长形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框长的最小值． 【答案】●观察计算:2a b +， 2a b+. …………………2分 ●探究证明：（1）2AB AD BD OC =+=， ∴2a bOC +=…………………3分 AB 为⊙O 直径, ∴90ACB ∠=︒.90A ACD ∠+∠=︒，90ACD BCD ∠+∠=∴∠A =∠BCD .∴△ACD ∽△CBD . …………………4分∴AD CDCD BD =. 即2CD AD BD ab =⋅=,∴CD = …………………5分（2）当a b =时,OC CD =, 2a b+；a b ≠时,OC CD >, 2a b+6分 ●结论归纳: 2a b+≥ ………………7分●实践应用BAB设长形一边长为x 米,则另一边长为1x米,设镜框长为l 米，则 12()l x x=+≥4= ． ……………9分当1x x=,即1x =（米）时,镜框长最小．此时四边形为正形时,长最小为4 米. ………………10分4. （2011，19，6分）如图，AD 为ABC ∆外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD .(1) 求证：BD CD =；(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.【答案】（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥，∴BD CD =.∴BD CD =. ······················································································· 3分（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. ····································· 4分 理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =.························································································· 6分 由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. …………………7分5. （2011，25,12分）已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点G ，E 是直线AB 上一动点（不与点A 、B 、G 重合），直线DE 交⊙O 于点F ，直线CF 交直线AB 于点P .设⊙O 的半径为r .（1）如图1，当点E 在直径AB 上时，试证明：OE ·OP ＝r 2（2）当点E 在AB （或BA ）的延长线上时，以如图2点E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.ABCEFD(第19题)（图1）（图2）【答案】（1）证明：连接FO并延长交⊙O于Q，连接DQ.∵FQ是⊙O直径，∴∠FDQ＝90°.∴∠QFD＋∠Q＝90°.∵CD⊥AB，∴∠P＋∠C＝90°.∵∠Q＝∠C，∴∠QFD＝∠P.∵∠FOE＝∠POF，∴△FOE∽△POF.∴OE OFOF OP=.∴OE·OP＝OF2＝r2.（2）解：（1）中的结论成立.理由：如图2，依题意画出图形，连接FO并延长交⊙O于M，连接CM.∵FM是⊙O直径，∴∠FCM＝90°，∴∠M＋∠CFM＝90°.∵CD⊥AB，∴∠E＋∠D＝90°.∵∠M＝∠D，∴∠CFM＝∠E.∵∠POF＝∠FOE，∴△POF∽△FOE.∴OP OFOF OE=，∴OE·OP＝OF2＝r2.6. （2011市，25，10分）阅读下面的情境对话，然后解答问题（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？（2）在Rt∆ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt∆ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．1求证：∆ACE是奇异三角形；2当∆ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】解：（1）真命题（2）在Rt∆ABC中a2＋b2＝c2，∵c＞b＞a＞0∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2∴若Rt∆ABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋a2∴2b2＝a2＋（a2＋b2）∴b2＝2a2 得：b＝a∵c2＝b2＋a2＝3a2∴c＝a∴a：b：c＝1：：(3)1∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°在Rt∆ABC中，AC2＋BC2＝AB2在Rt∆ADB中，AD2＋BD2＝AB2∵点D是半圆的中点∴＝∴AD＝BD∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2∴AC2＋CB2＝2AD2又∵CB＝CE，AE＝AD∴AC2＝CE2＝2AE2∴∆ACE是奇异三角形2由1可得∆ACE是奇异三角形∴AC2＝CE2＝2AE2当∆ACE是直角三角形时由（2）可得AC：AE：CE＝1：：或AC：AE：CE＝：：1（Ⅰ）当AC：AE：CE＝1：：时AC：CE＝1：即AC：CB＝1：∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝30°∴∠AOC＝2∠ABC＝60°(Ⅱ)当AC：AE：CE＝：：1时AC：CE＝：1即AC：CB＝：1∵∠ACB＝90°∴∠ABC＝60°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC＝2∠ABC＝120°∴∠AOC的度数为60°或120°7. （2011，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE. （1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点(即P、A、B、C、D、O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或 .GFEOABDCP【解】（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB，∵AB=12，∴AH=6，由（1）可知PA=OA=10，∴PH=PA+AH=16，OH==8，∴tan∠OPB==；（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.8. （2011市，25，14分）如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．【答案】（1）∵AB 为⊙O 直径 ∴∠ACB=90°∵△DCE 为等腰直角三角形 ∴∠ACE=90°∴∠BCE=90°+90°=° ∴B 、C 、E 三点共线． （2）连接BD ，AE ，ON ． ∵∠ACB=90°，∠ABC =45° ∴AB=AC ∵DC=DE∠ACB=∠ACE=90° ∴△BCD ≌△ACE∴AE=BD ，∠DBE=∠EAC ∴∠DBE+∠BEA=90° ∴BD ⊥AE∵O ，N 为中点∴ON ∥BD ，ON=BD 同理OM ∥AE ，OM=AE ∴OM ⊥ON ，OM=ON ∴MN=OM （3）成立证明：同（2）旋转后∠BCD 1=∠BCE 1=90°－∠ACD 1 所以仍有△BCD 1≌△ACE 1，所以△ACE 1是由△BCD 1绕点C 顺时针旋转90°而得到的，故BD 1⊥AE 1 其余证明过程与（2）完全相同．9. （2011，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A (10，0)，以OA 为直径在第一象限作半圆C ，点B 是该半圆上的一动点，连结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF . （1）当∠AOB ＝30°时，求弧AB 的长； （2）当DE ＝8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.1 图8图7【解】(1)连结BC，∵A(10，0)，∴OA=10，CA=5，∵∠AOB=30°，∴∠ACB=2∠AOB=60°，∴的长==；（2）连结OD，∵OA是⊙C的直径，∴∠OBA=90°，又∵AB= BD，∴OB是AD的垂直平分线，∴OD= OA=10，在Rt△ODE中，OE===6，∴AE= AO－OE =10－6=4，由∠AOB=∠ADE= 90°－∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA，∴=，即=，∴EF=3；(3)设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC的中点，即OE=，∴E1(，0)；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5－x，AE=10－x，∴CF//AB，有CF=AB，∵△ECF∽△EAD，∴=，即=，解得x=，∴E2(，0)；②当交点E在C的右侧时，∵∠ECF>∠BOA∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD，∴∠BEA=∠BAO，∴∠BEA=∠ECF，∵CF//BE，∴=，∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴=，而AD=2BE，∴=，即=，解得x1=，x2=<0（舍去），∴E3(，0)；③当交点E在O的左侧时，∵∠BOA=∠EOF>∠ECF∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，得BE=AD=AB，∠BEA=∠BAO，∴∠ECF=∠BEA，∴CF//BE，∴=，又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED，∴=，而AD=2BE，∴=，∴=，解得x1=，x2=<0（舍去），∵点E在x轴负半轴上，∴E4(，0)，综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，此时点E坐标为：∴E1(，0)、E2(，0)、E3(，0)、E4(，0).10．（2011，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）。