2016考研数学一真题(WORD清晰版)
2016年全国硕士研究生招生考试数学(一)真题(含解析)
Cov(x,y)
PXY
VD(X) - VD(Y)
二、填空题
2
---------- X
一9
=----1
94
2'
（9）【答案】
【解】
Zln(l + Zsin t)dt
lim 0
■r f 0
i
1
―
COS
X
2
t ln( 1 + /sin / )dt
lim 0
工f 0
14
—X
2
（10）［答案】_/ +（》一1）4
x ln( 1 + j? sin x )_ 1
lim
j--*0
2工3
【解】rot A
a
a
=j + (y — 1)R.
xyz
N
(11) 【答案】 一djr +2d』・
【解】将x =Q ,y =1代入得n 1.
(工l)z — y2 =x2f (x —nq)两边关于jc求偏导得
n + («z +1)n： = 2jc f Jjc 一 z
:
*:
*
9
)9
)
99
)) 99
))
8
(8
(
:
*
9
)
99
))
8
(
2016年数学（一）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（O.
「+°°
【解】
0
dx ( 1 + j? )6
1
cLz
*
o j?"(l +工)"
1
djr
1+ 壬“（
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)
2016年全国硕士研究生入学考试数学一一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题纸．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y px y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点（C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似（C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2fx x x=在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ） （A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面 （7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ） （A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加（C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA （11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a（13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n x x ∞+=-∑绝对收敛；（II ）limn n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ 分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016年考研数学一真题及解析
5. 设 A, B 是可逆矩阵, 且 A 与 B 相似, 则下列结论错误的是
[C ]
(A) AT 与 BT 相似.
(B) A−1 与 B−1 相似.
(C) A + AT 与 B + BT 相似.
(D) A + A−1 与 B + B−1 相似.
数学（一） 试题及解答 · 第 1 页（共 7 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
=
1 2
.
10. 向量场 A(x, y, z) = (x + y + z)i + xyj + zk 的旋度 rotA = j + (y − 1)k .
11. 设函数 f (u, v) 可微, z = z(x, y) 由方程 (x + 1)z − y2 = x2f (x − z, y) 确定, 则 dz|(0, 1) = −dx + 2dy .
x < 1,
(D) F (x) = x(lnx − 1) + 1, x ⩾ 1.
3.
若y
√ = (1 + x2)2 − 1 + x2,
y
=
(1
+
x2)2
+
√ 1
+
x2
是微分方程
y′
+
p(x)y
= q(x) 的
两个解, 则 q(x) =
[A]
(A) 3x(1 + x2).
(B) −3x(1 + x2).
其中 C1, C2 是任意常数, λ1 < 0, λ2 < 0 是特征方程的两个根 ⇒
y(x) dx 收敛.
2016考研数学一真题(WORD清晰版)
2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()22222211,11y x x y x x =+-+=+++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩ ，则（ ） （A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμNX ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题．．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()t L f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学一真题及答案解析完整版
2016考研数学一真题及答案解析(完整版)2016年考研数学一真题及答案解析(完整版)一、单选题1.已知函数 f(x) 在(0, +∞) 上连续，且满足 f(x+y) = f(x) + f(y) +2√[f(x)f(y)]，则 f(x) 的解析式是（） A. f(x) = x^2 B. f(x) = x^2 + 2x C. f(x) = x^2 + 4x D. f(x) = x^2 + 6x答案：C解析：将 x=y=0 代入方程得到 f(0) = 0，将 y=0 代入方程得到 f(x) = f(x) + f(0)，所以 f(0) = 0。
将 y=x 代入方程得到 f(2x) = 4f(x)，所以 f(2x) =4f(x) = 4(x^2 + 2x) = (2x + 4)^2。
所以 f(x) = (x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4。
2.在等差数列 1, 3, 5, 2015 中，有多少个数能被 3 整除？ A. 672 B. 671C. 670D. 669答案：A解析：等差数列的公差是 2，所以第 n 项是 1 + (n-1)2 = 2n-1。
要使 2n-1 能被 3 整除，则 n 必须是 3 的倍数。
2015 ÷ 3 = 671 余 2，所以有 671 个数能被 3 整除。
3.设 A 是m×n 的矩阵，B 是n×m 的矩阵，则 AB 的秩为（） A. m B. nC. m + nD. 0答案：D解析：秩的定义是矩阵的非零行的最大数目。
AB 的秩等于 B 的非零行的最大数目，因为 AB 的行是 A 的行与 B 的列的线性组合，所以 AB 的秩不可能超过 B 的非零行的最大数目。
而 B 的非零行的最大数目不可能大于 n，所以 AB 的秩不可能大于 n，所以 AB 的秩为 0。
二、填空题1.设函数 f(x) = x^2 + ax + b，其中 a, b 是常数，f(x) 的图像经过点 (1,2)，则 a + b 的值是 ______。
2016考研数学一真题完整版
（2）已知函数
f
(x)
2(x 1), x 1,
ln x, x 1.
则
f
(x)
的一个原函数是（
）
（A）
F
(
x)
(x 1)2 , x 1,
x(ln
x
1),
x
1.
（B）
F
(
x)
Hale Waihona Puke (x 1)2 x(ln x 1)
, x 1, 1, x
1.
（C）
（（9） （10）向量场
(11)设函数
可微，
. 的旋度
由方程
. 确定，则
=.
2
（12）设函数
f
x = arctan
x
x 1 ax2
，且
，则 a= .
（13）行列式
=
.
（14）设
为来自总体
的简单随机样本，样本均值 =9.5，参数 的置信
度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8，则 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 .
（D） A A1 与 B B1 相似
（6）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2 x3 ，则 f (x1, x2 , x3 ) 2
在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ （A）单叶双曲面 （C）椭球面
） （B）双叶双曲面 （D）柱面
（Ⅱ）
lim
n
xn
存在，且
0
lim
n
xn
2
.
（20）（本题满分 11 分）
考研数学一真题(word清晰版)
2016考研数学一真题(W O R D清晰版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2016考研数学（一）真题完整版一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与T B B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ） （A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式1000100014321λλλλ--=-+____________.（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,t f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值 （18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz x I 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n x x ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B aa a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2016考研数学一真题及标准答案解析(完整版)
２０16考研数学(一）真题完整版一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (１）若反常积分()011b a dx x x +∞+⎰收敛,则（ )()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且 （2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ) ()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3)若()()222211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解,则()q x =（ )()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（４)已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩,则（ )(A)0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点(C)()f x 在0x =处连续但不可导 (D)()f x 在0x =处可导(5）设A ，Ｂ是可逆矩阵,且A 与B 相似,则下列结论错误的是（ )（A ）T A 与T B 相似 （B)1A -与1B -相似(C ）T A A +与T B B +相似 (D ）1A A -+与1B B -+相似(6)设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++,则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ )（A ）单叶双曲面 (B)双叶双曲面 (C ）椭球面 （C)柱面(7)设随机变量()()0,~2>σσμN X ,记{}2σμ+≤=X P p ,则（ ） （A)p 随着μ的增加而增加 （B)p 随着σ的增加而增加（C)p 随着μ的增加而减少 （D)p 随着σ的增加而减少（8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次,X 表示2次试验中结果1A 发生的次数,Y 表示２次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为( )二、填空题：9-14小题，每小题４分,共24分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （９）()__________cos 1sin 1ln lim 200=-+⎰→x dt t t t x x(10)向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA(１１)设函数()v u f ,可微,()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（１2)设函数()21arctan axx x x f +-=,且()10''=f ,则________=a （1３)行列式1000100014321λλλλ--=-+_________＿＿_. (１4）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,N μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =,参数μ的置信度为0.９5的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为０.9５的双侧置信区间为_＿__＿_．三、解答题：１５—23小题,共94分．请将解答写在答题．．纸．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）(本题满分10分)已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭,计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（1６)（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛;。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016考研数学（一）真题完整版
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分
()
11b
a
dx x x +∞
+⎰
收敛，则（ ）
()()()()11111111
A a b
B a b
C a a b
D a a b <>>><+>>+>且且且且
（2）已知函数()()21,1
ln ,1
x x f x x x -<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）
()()()()()()()()()()()()()()()()2
2
221,1
1,1
ln 1,1
ln 11,1
1,11,1
ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨
⎨
-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨
++≥-+≥⎪⎪⎩⎩
（3）若(
)
(
)2
2
2
211y x y x =+=+是微分方程()()y p x y q x '+=的两
个解，则()q x =（ ）
()()()()
()
()222
2
313111x
x A x x B x x C D x x +-+-
++
（4）已知函数(),0111
,,1,2,1
x x f x x n n n n ≤⎧⎪
=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）
（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）T
A 与T
B 相似 （B ）1
A -与1
B -相似 （
C ）T
A A +与T
B B +相似 （D ）1
A A -+与1
B B -+相似
（6）设二次型()2
2
2
123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在
空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）
（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面
（7）设随机变量(
)()0,~2
>σσ
μN X ，记{}2
σμ+≤=X P p ，则（ ）
（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为
3
1
，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim
2
00
=-+⎰→x dt t t t x
x
（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA
（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,12
2
-=-+确定，则
()_________
1,0=dz
（12）设函数()2
1arctan ax
x
x x f +-
=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式
10001
0001
4
3
2
1
λλλ
λ--=-+____________.
（14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2
,N
μσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的
置信度为的双侧置信区间的置信上限为，则μ的置信度为的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,2
2D r r π
πθθθ⎧⎫
=≤≤+-
≤≤
⎨⎬⎩
⎭
，
计算二重积分
D
xdxdy ⎰⎰.
（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程''
'
20,y y ky ++=其中01k <<.
()I 证明：反常积分0
()y x dx +∞
⎰收敛；
()II 若'
(0)1,(0)1,y y ==求0
()y x dx +∞
⎰的值.
（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足
2(,)
(21),x y f x y x e x
-∂=+∂且(0,)1,t
f y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)
()t
L f x y f x y I t dx dy x y
∂∂=
+∂∂⎰
，并求()I t 的最小值
（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()
zdxdy
ydzdx dydz x
I 3212
+-+=
⎰⎰∑
（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，1
0'()2
f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数
1
1
()n n n x
x ∞
+=-∑绝对收敛；
（II ）lim n n x →∞
存在，且0lim 2n n x →∞
<<.
（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a
a a --⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝
⎭
当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解
（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
（I ）求99
A
（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2
B BA =，记100
123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表
示为123,,ααα的线性组合。
（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 在区域()
{2
,01,D x y x x
y =<<<<上服从均匀分布，令
1,0,X Y
U X Y
≤⎧=⎨>⎩
（I ）写出(,)X Y 的概率密度；
（II ）问U 与X 是否相互独立并说明理由； （III ）求Z U X =+的分布函数()F z .
（23）设总体X 的概率密度为()⎪⎩
⎪
⎨⎧<<=其他,00,3,32
θθθx x x f ，其中()∞+∈，
0θ为未知参数，321,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本，令()321,,max X X X T =。
（1）求T 的概率密度
（2）确定a ，使得aT 为θ的无偏估计
参考答案：。