高一数学人教b版必修4精练：3.2.1_倍_角_公_式_含解析
数学人教B版必修4作业：3.2.1 倍角公式 Word版含解析
一、选择题1.2sin 2α1＋cos 2α·cos2αcos 2α＝()A．tan 2αB．tan αC．1 D.1 2【解析】原式＝2sin 2α2cos2α·cos2αcos 2α＝tan 2α.【答案】 A2．函数f(x)＝sin x cos x的最小值是()A．－1 B．－1 2C.12D．1【解析】f(x)＝12sin 2x，∴f(x)min＝－12.【答案】 B3．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，是cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝()A.16 B.13C.12 D.23【解析】∵sin 2α＝23，∴cos2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.【答案】 A4．设sin α＝35(π2＜α＜π)，tan(π－β)＝12，则tan(α－2β)＝()A．－247B．－724C.247 D.724【解析】 ∵sin α＝35，α∈(π2，π)， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. 又∵tan(π－β)＝12，∴tan β＝－12， ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－43. ∴tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β＝－34－(－43)1＋(－34)·(－43)＝724. 【答案】 D5.2－2cos 8＋21－sin 8的化简结果是( ) A ．2cos 4－4sin 4 B ．2sin 4 C ．2sin 4－4cos 4 D ．－2sin 4【解析】 原式＝2(1－cos 8)＋21－2sin 4cos 4＝2×1－(1－2sin 24)＋2(sin 4－cos 4)2＝2|sin 4|＋2|sin 4－cos 4|， ∵sin 4<0，sin 4<cos 4，∴原式＝－2sin 4＋2(cos 4－sin 4)＝2cos 4－4sin 4. 【答案】 A 二、填空题6．(2013·广州高一检测)已知sin(π4－x )＝35，则sin 2x 的值等于________． 【解析】 法一 ∵sin(π4－x )＝35，∴cos(π2－2x )＝1－2sin 2(π4－x )＝1－2×(35)2＝725，∴sin 2x ＝cos(π2－2x )＝725.法二 由sin(π4－x )＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， ∴sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825，∴sin 2x ＝725. 【答案】 7257．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－14，则sin C 的值为________． 【解析】 cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14且0<C <π.所以sin C ＝104. 【答案】1048．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22·sin 2x 的最小正周期是________． 【解析】 f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x ＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x － 2 ＝sin(2x ＋π4)－2，故该函数的最小周期为2π2＝π. 【答案】 π 三、解答题9．(1)求函数f (x )＝cos(x ＋23π)＋2cos 2x2，x ∈R 的值域； (2)已知tan α＝3，α∈(π4，π2)，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．【解】 (1)f (x )＝cos x cos 23π－sin x sin 23π＋cos x ＋1＝－12cos x －32sin x ＋cos x ＋1＝12cos x －32sin x ＋1＝sin(x ＋5π6)＋1，因此f (x )的值域为[0,2]．(2)∵α∈(π4，π2)，tan α＝3，∴sin α＝31010，cos α＝1010.∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×31010×1010＝35，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×110－1＝－45，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－34.10．已知sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16，且α∈(π2，π)，求sin 4α的值． 【解】 因为(π4＋α)＋(π4－α)＝π2. 所以sin(π4－α)＝cos(π4＋α) 因为sin(π4＋α)sin(π4－α)＝16， 所以2sin(π4＋α)·cos(π4＋α)＝13， 即sin(π2＋2α)＝13. 所以cos 2α＝13.又因为α∈(π2，π)，所以2α∈(π，2π)， 所以sin 2α＝－1－cos 2 2α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝－429.11．(2013·安徽高考)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性． 【解】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π4＋ 2.因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0， 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2＜2x ＋π4≤5π4，即π8＜x ≤π2时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8上单调递增，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π8，π2上单调递减.。
人教B版高中数学必修四《3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_13
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学设计教材的地位及作用:1.本节内容是三角函数中最基础的知识之一。
它是在学生学过三角函数的诱导公式和两角和与差的正弦、余弦、正切公式之后的又一重要公式。
2.本节在本章中处于承上启下的地位。
3.三角函数是高考的热点问题，而二倍角的正弦、余弦、正切公式是三角函数求值、化简及证明必备的基础知识点之一。
它为研究三角函数图象及性质等问题提供了又一必备的要素。
本节教材的作用则主要是可以培养学生逻辑思维能力和化归的重要数学思想方法，使学生体验的数学知识发生发展（形成）的过程，增进学生对数学知识的理解，增强学生学数学的兴趣和信心。
教学目标：式，掌握二倍角公式，运用二倍角公式解决有关问题。
2、过程与方法：培养学生观察分析问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。
3、情感、态度及价值观：培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
教学重点：二倍角公式推导及其应用.教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.教学方法和手段（1）采用问题解决教学模式，培养学生不断地发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力；（2）注重类比、联想、构造、转化等数学方法在问题解决中的应用，（3）注重整体意识、换元思想、方程思想在解题中的灵活应用，特别注重对知识与方法的总结和提炼。
多媒体平台教学流程：复习引入，创设情境观察探究、推进新课引导探究、深化认识例题讲解、归纳步骤课堂练习、巩固提高课堂小结、构建体系课后作业、深化拓展?D C BA100米50米教学过程 教学 步骤教学过程设计意图 一、复习引入1.（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式 （学生回答，教师板书）2.创设情境如图,为了得到塔的高度,某人在距塔的竖直山脚B 100米的A 处测得塔底的仰角为α、塔顶的仰角为2α,并测得山高为50米,求塔高?将实际问题转化为数学问题,并进行分析:温旧知新，让学生明确学习的内容，通过复习公式，使学生熟练掌握公式，深刻理解公式的本质内涵，为顺利的推导二倍角公式垫定基础。
高中数学(人教B)必修四课件：3.2.1 倍角公式
3 4
，则tan2x
＝( )
A．274
B．－274
C．－274
D．274
• [答案] C
[解析]
tan2x＝1－2tatannx2x＝2×1－－19634＝－274.
3．已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝( )
A．－2245
B．－1225
C．1225
• [答案] A
D．2245
[解析] ∵sinα＝35，α∈(π2，π)， ∴cosα＝－ 1－352＝－45， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×35×(－45) ＝－2245.
＝2sinπ4c＋osxπ4·＋coxs(π4＋x)＝153，且0<x<π4， ∴π4＋x∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2π4＋x＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
已知cosx－π4＝ 102，x∈π2，34π. (1)求sinx的值； (2)求sin2x＋π3的值．
1 2
[1＋cos(120°－2A)]＋
1 2
[1＋cos(120°＋
2A)]
＝32＋12cos2A＋12·[cos(120°－2A)＋cos(120°＋2A)]
＝32＋12cos2A＋12(2cos120°cos2A)
＝32＋12cos2A－12cos2A＝32.
给值求值
[解析]
已知sin(π4－x)＝153，0<x<π4，求cocsoπ4s2＋xx的值． 原式＝scionsπ2π4＋＋2xx
• 二倍角的正弦、余弦、正切公式： • S2α：sin2α＝2_si_nα_co_sα________. • C2α：cos2α＝co_s2_α－_s_in_2α______2_co_s2_α－_1＝
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式学案 新人教B版必修4
3.2.1 倍角公式点、易错点名师点拨(1)T 2α只有当α≠k π＋2(k ∈Z )及α≠2＋4(k ∈Z )时才成立．(2)对于二倍角公式的“倍”有广义的含义，2α是α的二倍角，同样地，4α是2α的二倍角，α是12α的二倍角，3α是32α的倍角．一般地，(2n m )α是(2n －1m )α的二倍角(n ∈Z )，于是二倍角公式可对应变形为：sin(2n m α)＝2sin(2n －1m α)cos(2n －1m α)；cos(2n m α)＝cos 2(2n －1m α)－sin 2(2n －1m α)；tan(2nm α)＝n －1m α1－tan 2n －1m α. 【自主测试1】已知tan α＝2，则tan 2α等于( )A ．4B ．45C ．－43D ．43答案：C【自主测试2】(2012·广东珠海质检)函数f (x )＝sin x cos x 是( ) A ．周期为2π的偶函数 B ．周期为2π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的奇函数 答案：D【自主测试3】已知sin α＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19 C ．19 D ．53解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案：B关于升降幂公式的解读 剖析：口诀如下： (1)1加余弦想余弦； (2)1减余弦想正弦； (3)幂升一次角减半； (4)幂降一次角翻番． 图表如下：归纳总结(1)对于公式sin 2α＝2sin αcos α，有①cos α＝sin 2α2sin α，②sin α＝sin 2α2cos α；(2)对于(sin α＋cos α)2＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α，有(sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α，同理有(sin α－cos α)2＝1－sin 2α；(3)对于公式tan 2α＝2tan α1－tan 2α，有1tan α－tan α＝1－tan 2αtan α＝2tan 2α； (4)对于等腰三角形，已知底角的三角函数值求顶角的三角函数值正用倍角公式，已知顶角的三角函数值求底角的三角函数值逆用倍角公式．题型一 化简、求值问题【例题1】求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．分析：应通过“切化弦”化为关于弦函数的分式，然后利用“分式通分”技巧求解．解：原式＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝sin 50°×＋cos 10°＝2sin 40°sin 50°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 反思问题中含有正弦、正切，采用“切化弦”，变为仅含有正弦、余弦的三角函数式，然后利用两角和公式、倍角公式等变形，将问题化简到底．题型二 给值求值问题【例题2】若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79 B ．－13 C ．13 D ．79解析：观察发现2π3＋2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案：A反思通过角的形式的变化，生成所求的角或再变形即得所求角，是三角变换的重要方式．求解时应当对所给角有敏锐的感觉，这种感觉的养成要靠平时经验的积累．题型三 给值求角问题【例题3】已知tan α＝13，tan β＝－17且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．分析：tan α＝13→tan 2α→α－β→确定2α－β的范围→在确定范围中找出角解：∵tan α＝13＞0，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2α∈(0，π)，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34＞0， ∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.又∵tan β＝－17＜0，β∈(0，π)，∴β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－171＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝1.又∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－3π4.反思在给值求角时，一般选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，然后再求出角，确定角的范围是关键的一步．题型四 恒等式的证明【例题4】已知tan(α＋β)＝3tan α.求证：2sin 2β－sin 2α＝sin(2α＋2β)．分析：解答本题可先将条件式切化弦，再设法推出待证式，最后进行解答． 证明：tan(α＋β)＝3tan α，可变为sin(α＋β)cos α＝3sin αcos(α＋β)⇒sin(α＋β)cos α－sin αcos(α＋β)＝2sin αcos(α＋β) ⇒sin[(α＋β)－α]＝2sin α(cos αcos β－sin αsin β)⇒sin β＝2sin αcos αcos β－2sin 2αsin β⇒(1＋2sin 2α)sin β＝sin 2αcos β.当cos β＝0时，上式中因为1＋2sin 2α≠0，所以sin β＝0，矛盾．所以cos β≠0，上式两边同乘以2cos β，得(1＋2sin 2α)sin 2β＝sin 2α2cos 2β⇒sin 2β＋(1－cos 2α)sin 2β＝sin 2α(1＋cos 2β) ⇒2sin 2β－sin 2α＝sin 2αcos 2β＋cos 2αsin 2β＝ sin(2α＋2β)，所以等式成立，即得证．反思证明三角恒等式常用的方法是：观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，决定从该等式的哪边证明(也可两边同时化简)，当差异不易消除时，可采用转换命题法或分析法等方法作进一步的化简．题型五 三角函数的综合问题【例题5】已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 分析：(1)利用两角的和差公式、三角函数基本关系式、倍角公式，将f (x )化成同角的函数形式，然后变成切的形式代入求解；(2)将(1)中的结论用公式将其变形为正弦函数，再研究其性质．解：(1)f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45，cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.题型六 易错辨析【例题6】已知sin α2＝45，cos α2＝－35，则角α所在的 象限为________．错解：由sin α2＝45＞0，cos α2＝－35＜0，可知α2为第二象限的角，即2k π＋π2＜α2＜2k π＋π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜α＜4k π＋2π(k ∈Z )，∴α为第三或第四象限的角．错因分析：仅根据α2的正弦、余弦的正负来判断α2的范围是比较粗浅的，尤其由α2的范围通过不等式的性质得α的范围往往使范围扩大，具体的操作还要求出α的正弦值、余弦值来确定．正解：∵sin α＝2sin α2cos α2＝2×45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－2425＜0，cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－725＜0，∴α是第三象限的角．1．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( )A ．724B ．－724C ．247D ．－247解析：∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案：D2．(2012·山东曲阜期末)函数y ＝cos 2x cos π5－2sin x ·cos x sin 6π5的递增区间是( )A ．⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π10，k π＋3π5(k ∈Z ) B ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π20，k π＋7π20(k ∈Z ) C ．⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π10，2k π＋3π5(k ∈Z ) D ．⎝⎛⎭⎪⎫k π－2π5，k π＋π10(k ∈Z ) 答案：D3．已知一个等腰三角形的一个底角的正弦值为23，那么这个等腰三角形顶角的正弦值为( )A ．259B ．－259C ．459D ．－459答案：C4．cos π12sin π12＝________，cos 2π12－sin 2π12＝________，tan 15°1－tan 215°＝________. 解析：cos π12sin π12＝12·2sin π12cos π12＝12sin π6＝14；cos 2π12－sin 2π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝cos π6＝32；tan 15°1－tan 215°＝12·2tan 15°1－tan 215°＝12tan(2×15°)＝12tan 30°＝36. 答案：14 32 365．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝513，则cos 2α的值为__________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴0＜π4－α＜π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1213，∴cos 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2×513×1213＝120169. 答案：1201696．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.。
高一数学人教B版必修4课时作业3.2.1 倍角公式 Word版含解析
C. D.
解析：∵sin ＝cos ＝ ，
∴cos ＝cos2 ＝2cos2 －1
＝2× 2－1＝－ .
答案：A
4．函数f(x)＝sin2x＋ sinxcosx在区间 上的最大值是()
A．1 B.
C. D．1＋
解析：∵f(x)＝ ＋ sin2x＝ sin2x－ cos2x＋ ＝sin ＋ ，且 ≤x≤ ，∴ ≤2x－ ≤ π.从而可得ymax＝1＋ ＝ .
A. B.
C. D.
解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝ .
答案：B
2．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2 ，则△ABC是()
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解析：由sinBsinC＝cos2 得sinBsinC＝ ，
∴2sinBsinC＝1＋cosA，
答案：C
5．已知tan ＝2，则 的值为()
A．－ B.
C. D．－
解析：由tan ＝ ＝2得tanα＝ .
原式＝ ＝tanα－ ＝ － ＝－ .
答案：A
6．若α∈ ，且sin2α＋cos2α＝ ，则tanα的值等于()
A. B.
C. D.
解析：∵sin2α＋cos2α＝ ，∴sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝ .
(1)求tanα的值；
(2)求 的值．
解析：(1)tan ＝ ，
所以 ＝2,1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝α.
因为tanα＝ ，所以cosα＝3sinα，
又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝ ，
又α为锐角，所以sinα＝ ，
所以 ＝ .
11．函数f(x)＝5 cos2x＋ sin2x－4sinxcosx.
精品高中数学3-2倍角公式和半角公式3-2-1倍角公式课后导练新人教B版必修4
∴BC=BE-CE=AE(cotθ-cot2θ),
同理,可得CD=CE-DE=AE(cot2θ-cot4θ),
∴,
即.
而
=2cos2θ=,
∴2cos2θ=cos2θ=2θ=30°.
∴θ=15°,
∴AE=AC=BC=15 m.
∴2sin2θ=1-cos2θ.
答案：D
5.已知sinα=,则sin2(α-)=_____________.
解析：原式=-cos2α（诱导公式）.
答案：2-
6.化简.
解：原式=
=sin50°+cos50°-(sin50°-cos50°)=2cos50°.
7.已知sin(+x)sin(-x)=,x∈(,π),求sin4x的值.
又0<α<,0<β<,
∴0<α+2β<π.∴α+2β=.
拓展探究
12.如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进m至D处,测得顶端A的仰角为４θ.同学们能否依据所测得的数据,计算出θ的大小与建筑物AE的高吗？
解：由已知BC=30 m,CD=10 m.
解:∵tan(+θ)==3,
∴tanθ=.
∴原式=
.
综合运用
9.已知cos(+x)=,,求的值.
解：∵,
∴<+x<2π.
∵cos(+x)=,
∴<+x<2π.
∴sin(+x)=,tan(+x)=.
人教B版高中数学必修四《3.2 倍角公式和半角公式 3.2.1 倍角公式》_19
《二倍角的正弦、余弦、正切公式》的教学设计一、教学目标1. 知识与技能（1）能清楚二倍角公式是指哪一些,能够应用和差公式推导三角函数的二倍角公式；（2）能熟练地应用公式进行化简、求值等运算，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理的能力；（3）揭示三角函数运算的主要技巧，引发学生学习兴趣，激发学生分析探求的学习态度，强化学生的参与意识，培养学独立分析问题解决问题的能力。
让学生参与由和差公式推导倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式蕰含的和谐美，激发学生学习数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法。
通过做练习，巩固所学知识。
2. 情感态度价值观通过本节学习，使同学对三角函数各个公之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆用思维的能力二、学习重点、难点重点：二倍角公式的应用。
难点：整体法的应用三、教材分析本节在学习了两角和与差的三角函数的基础上，进一步学习了二倍角关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和与差公式的特殊化，又为以后的学习提供了理论基础，因此对这一节的学下就显得成就尤为重要。
四、教学流程与教学内容1. 提出今天学习的四个问题：(1)二倍角公式是什么？(2)二倍角公式是怎么推导得来的?(3）主要有哪些题型？（4）我们主要的解题思想是什么？如何解题？学生带着这四个问题，预习这一节课内容，同时也是这一节课的主线。
2. 采用分析、讨论、讲、练、点评总结，让学生充分参与整节课的学习过程中来，体验学自主学习的成就与快乐，让学生掌握学习新知识的一般思路、方法。
让学生自主学习，自主探索成为一种习惯。
3. 授课过程（1）先让学生课前根据第一点提出的四个问题进行预习，并完成课本上的例题与练习。
（2）老师再对这四个问题进行讲解，让学生检查自己的自学是否正确？能否完老师课件里提出的例题与练习。
（3）讲练结合，及时检查学生学习效果，并对每一题进行总结，强调解题思想。
人教B版高中数学必修四高一同步训练：3.2.1倍角公式.docx
§3.2 倍角公式和半角公式3．2.1 倍角公式一、基础过关1． 函数y ＝2cos 2(x －π4)－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．3－sin 70°2－cos 210°的值是( )A.12B.22C ．2 D.32 3． 若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A ．－13B ．－79C.13D.79 4． 若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( ) A ．3B ．－3C ．－2D ．－125． 已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是 ( )A.459B.259 C ．－459D ．－2596． 2sin 222.5°－1＝________.7． 函数f (x )＝cos x －sin 2x －cos 2x ＋74的最大值是______．8． 已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos (2α－π4)sin (α＋π2)的值．二、能力提升9． 如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是( ) A ．－105B.105C ．－155D.15510．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.11．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求α.12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°.三、探究与拓展 13．化简：(1)cosπ11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11； (2)cos x 2cos x 4cos x 8…cos x 2n .答案1．A 2.C 3.B 4.A 5.A 6.－227.2 8.1459.C10.311.π612．(1)116(2) 213．解(1)原式＝125sin π11·25sinπ11·cosπ11cos2π11·cos⎝⎛⎭⎫π－8π11cos4π11·cos⎝⎛⎭⎫－π＋16π11＝1 25sin π11·24sin2π11cos2π11cos4π11·⎝⎛⎭⎫－cos8π11⎝⎛⎭⎫－cos16π11＝1 25sin π11·23sin4π11cos4π11cos8π11·cos16π11＝1 25sin π11sin32π11＝1 25sin π11sin⎝⎛⎭⎫3π－π11＝sinπ1125sin π11＝132.(2)原式＝12n sin x2n·2n sinx2n·cosx2·cosx4…cosx2n＝1 2n sin x2n·2n－1⎝⎛⎭⎫2sinx2n·cosx2n·cosx2cosx4…cosx2n－1＝1 2n sin x2n·2n－1sinx2n－1·cosx2·cosx4…cosx2n－1＝sin x 2n sin x2n .。
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第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．若cos θ>0，sin2θ<0，则角θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] D[解析] ∵cos θ>0，sin2θ＝2sin θcos θ<0， ∴sin θ<0，∴角θ是第四象限角．2．若tan θ＋1tan θ＝4，则sin2θ＝( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] 本题考查了三角恒等变换与三角函数的求值． tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝112sin2θ＝4，∴sin2θ＝12.3．(2015·湖南浏阳一中高一月考)已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(π＋2θ)等于( )A ．－429B ．429C ．－79D ．79[答案] D[解析] cos(π＋2θ)＝－cos2θ ＝－(2cos 2θ－1)＝－(2×19－1)＝79.4．函数f (x )＝cos 4x －sin 4x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] f (x )＝cos 4x －sin 4x ＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x ) ＝cos2x ，∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 5．计算1＋cos100°－1－cos100°等于( ) A ．－2cos5° B ．2cos5° C ．－2sin5° D ．2sin5°[答案] C [解析] 1＋cos100°－1－cos100°＝1－cos80°－1＋cos80°＝2sin 240°－2cos 240° ＝2(sin40°－cos40°) ＝2(22sin40°－22cos40°) ＝2sin(40°－45°)＝－2sin5°. 6.2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α＝( ) A ．tan α B ．tan2α C ．1 D ．12[答案] B[解析] 原式＝2sin2α2cos 2α·cos 2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α.二、填空题7．(2015·湖南浏阳一中高一月考)sin15°cos15°＝________. [答案] 14[解析] sin15°cos15°＝12sin30°＝14.8．tan π12－1tan π12的值等于________．[答案] －2 3[解析] tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2(1－tan 2π12)2tanπ12＝－2cot π6＝－2 3.三、解答题9．已知cos α＝－1213，α∈(π，3π2)，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[解析] ∵cos α＝－1213，α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－1213)2＝－513，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×(－513)×(－1213)＝120169，cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－1213)2－1＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119.10．(2015·胶州二中高一期末测试)已知函数f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1(x ∈R )，求f (x )的单调递增区间．[解析] f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝sin(2x －π6)＋cos2x＝sin2x cos π6－cos2x sin π6＋cos2x＝32sin2x ＋12cos2x ＝sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z .一、选择题1．设a ＝(32，sin α)，b ＝(cos α，13)，且a ∥b ，则锐角α为( )A ．30°B ．60°C ．75°D ．45°[答案] D[解析] 由题意，得32×13＝sin αcos α，∴sin αcos α＝12，∴12sin2α＝12， ∴sin2α＝1. ∴α为锐角， ∴2α＝90°，∴α＝45°.2．设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos2θ等于( ) A ．22B ．12C ．0D ．－1 [答案] C[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0. ∴－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos2θ＝0. 3．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32， 则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c[答案] A [解析] a ＝22cos17°＋22cos17°＝sin(45°＋17°)＝sin62°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°＝sin(90°－26°)＝sin64°，c ＝32＝sin60°. 由正弦函数单调性可知：b >a >c .4．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是( )A ．459B ．259C ．－459D ．－259[答案] A[解析] 令底角为α，则顶角β＝π－2α，且cos α＝23，∴sin α＝53，∴sin β＝sin(π－2α)＝sin2α ＝2sin αcos α＝2×53×23＝459. 二、填空题5．函数f (x )＝sin 2(2x －π4)的最小正周期是________．[答案] π2[解析] f (x )＝sin 2(2x －π4)＝1－cos (4x －π2)2＝12－12sin4x ， ∴T ＝2π4＝π2.6．已知θ为第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin2θ＝________.[答案]223[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝59，∴(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59，∴1－12sin 22θ＝59，∴sin 22θ＝89.∵θ为第三象限角， ∴2k π＋π<θ<2k π＋3π2，k ∈Z ，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π，k ∈Z ， ∴sin2θ＝223.三、解答题7．(2014·江苏，15)已知α∈(π2，π)，sin α＝55.(1)求sin(π4＋α)的值；(2)求cos(5π6－2α)的值．[解析] (1)∵α∈(π2，π)，sin α＝55，∴cos α＝－1－(55)2＝－255， ∴sin(π4＋α)＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×(－255)＋22×55＝－1010. (2)由(1)得sin2α＝2sin αcos α ＝2×55×(－255)＝－45， cos2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos(5π6－2α)＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝(－32)×35＋12×(－45)＝－33＋410. 8．(2015·河北正定高一期末测试)设f (x )＝sin x cos x －cos 2(x ＋π4)，求f (x )的单调区间．[解析] f (x )＝sin x cos x －cos 2(x ＋π4)＝12sin2x －1＋cos (2x ＋π2)2 ＝12sin2x ＋12sin2x －12 ＝sin2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π4，k π＋π4]，k ∈Z ，单调递减区间为[k π＋π4，k π＋3π4]，k ∈Z .9. (2015·天津理，15)已知函数f ()x ＝sin 2x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12⎝⎛⎭⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4 上的最大值为34，最小值为－12.。