湘教版义务教育教科书《数学》九年级(下)第2章2.3 垂径定理导学案(无答案)
九年级数学下册第二章2.3垂径定理练习新版湘教版
基础题知识点1 垂径定理1.（长沙中考改编）如图, 在OO中,2.3 垂径定理AB= 6,圆心0到AB的距离0C= 2,则OO的半径长为（B）7A.2B. 13C. 2 32.如图，AB是OO的弦, ODL AB 于交OO于E,则下列说法错误的是（D）A. AD= BD B . Z AOE=Z BOEC.AE= BE D . OD= DE3.如图, 在OO 中，直径CD垂直于弦AB.若Z C= 25°,则Z BOD的度数是（D）A. 25°B. 30°C. 40°D. 50°4.如图, AB是OO的弦, 半径OCLAB于点D.若OO的半径为5, AB= 8，贝U CD的长是（A）A. 2B. 3C.5.如图, AB是OO的直径，弦CDL AB 于点E, OC= 5 cm , CD= 6 cm，贝U OE= 4cm.圆心O 到水面的距离OC 是6,则水面宽 A . 16B . 106.（教材P59例1变式）如图，在O O 中，直径 AB 垂直弦CD 于点M, AM= 18, BMh 8,贝U CD 的长为 24.7.如图，AB 是OO 的直径，弦 CDLAB 于点E ,点M 在OO 上, MD 恰好经过圆心 0,连接 MB.若CD =16, BE = 4,求OO 的直径.解：••• AB! CD CD= 16, ••• CE= DE = 8.设 OB= x ,••• BE= 4,2 2 2•••X = (x — 4) + 8 .解得x = 10.• OO 的直径是20. 知识点2 垂径定理的实际应用& （教材P60习题T1变式）一条排水管的截面如图所示•已知排水管的截面圆半径0B= 10,截面圆C. 8D. 6AB= 3 m，弓形的高EF= 1 m,现计划9•如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度安装玻璃，请帮工程师求出AB所在圆0的半径r.解：由题意，知0A= 0E= r.••• EF= 1,.・.0F= r —1.•/ OEL AB1 1AF= —AB= — X 3= 1.5.2 2在Rt △ OAF 中, oF+AF"= OA2,13 即(r —1)2+ 1.5 2= r2.解得r =813•••圆0的半径为肓m.8易错点忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”10. 下列说法正确的是(D)A. 过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧B. 弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心C. 过弦的中点的直径垂直于弦D. 平分弦所对的两条弧的直径平分弦中档题11. 如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心0,则折痕AB的长为(C)A. 2 cmB. 3 cmC. 2 3 cm D . 2 5 cm12. （2018 •枣庄）如图，AB 是OO 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P, AP = 2, BP = 6,Z APC= 30° .贝U CD 的长为(C)提示：过点 O 作 OH L PD 于 H,连接 OD.AP= 2, BP = 6,贝U AO= BO= 4,贝U PO= 2，又/ OP 出/APC(2018 •黄冈)如图，△ ABC 内接于O O, AB 为OO 的直径，/ CAB= 60°，弦 AD 平分/ CAB 若 AD =6,则 AC = 2 .3.（2018 •孝感）已知OO 的半径为 10 cm, AB CD 是OO 的两条弦，AB// CD AB= 16 cm , CD= 12(2018 •安徽)如图，OO 为锐角△ ABC 的外接圆，半径为 5.(1)用尺规作图作出/ BAC 的平分线，并标出它与劣弧BC 的交点E ;(保留作图痕迹，不写作法) A. 15 B . 2 5 C. 2 15 D. 8=30°,「. OH= 1 , OD= OB= 4,在 Rt △ HOD 中, HD= oD — oH = 15,.・.CD= 2HD= 2 15.13.如图，以点 P 为圆心的圆弧与x 轴交于A, B 两点，点P 的坐标为(4 , 2)，点A 的坐标为(2 ,0)，则点B 的坐标为(6 , 0). 14. 15. cm, 则弦AB 和CD 之间的距离是 2 或 14cm.16.E ⑵若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长.解：(1)画图如图所示.(2) T AE 平分/ BAC••• BE= EC连接OE OC EC,则OEL BC 于点F, EF= 3.在Rt△ OFC中，由勾股定理可得，FC=J'O C— OF=订5 —( 5—3) = 21.在Rt△ EFC中，由勾股定理可得，CE= FC2+ EF= 21+ 32= 30.17. 如图，CD为OO的直径，弦AB交CD于点E,连接BD, OB.(1) 求证：△ AE3A DEB⑵若CDLAB AB= 8, DE= 2，求OO的半径.解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，得/ A=Z D,Z C=Z ABD•△AES A DEB.⑵•/ CDLAB O为圆心，1BE= —AB= 4.2设OO的半径为r , T DE= 2，贝U OE= r — 2.•••在Rt △ OEB中，由勾股定理，得OE+ EB"= OB, 即(r —2)2+ 42= r2,解得r = 5.•OO的半径为5.综合题18. 如图，已知/ MAI= 30°, O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作O 0,交AN于D, E两点, 设AD= x.当x为何值时，OO 与AM相交于B, C两点，且/ B0= 90°?解：过点0作OF! BC于点F.•••/ BOC= 90°, 0B= 0C= 2,•••/ OBC= 45°,BC= 0扌+ 0C= 2 2.••9FL BC • BF= 2BO ^2，/ B0F= 45 •••/ 0BF=Z B0F..•.0F= BF= 2.•••/ MAN= 30°,. 0A= 20F= 2 2. • AD= 2 2-2,即当x = 2 2 — 2 时，/ B0C= 90°.小专题（五）与圆的基本性质有关的计算与证明1.已知：如图， A, B, C , D 是OO 上的点，/ 1 = 7 2, AC = 3 cm. ⑴求证：AC = BD（2）求BD 的长.解：(1)证明：T/ 1 = 7 2, ••• CD= AB,CD^ BC = AB+ BCAC = BD⑵ T AC = BD• AC = BD.T AC= 3 cm ,• BD= 3 cm.B 是OO 上的两个定点，P 是OO 上的动点（P 不与A B 重合），我们称7 APB 是OO 上关于点⑵如图，若OO 解：连接OA OB AB.TOO 的半径是1，即OA= OB= 1 ,又T AB= 2,2. A ,B 的滑动角. 已知7 APB 是OO 上关于点 A , B 的滑动角. (1) 若AB 是OO 的直径，则7 APB= 90°;的半径是1 , AB= 2•••/ APB= 2/ AOB= 45°(1)求/ ABD 的度数;解：⑴连接AD.•••/ BCD= 45°,•••/ DAB=Z BCD= 45°.•/AB 是OO 的直径，•••/ ADB= 90°.•••/ ABD= 45°.⑵连接AC.•/AB 是OO 的直径，•••/ ACB= 90°.•••/ CAB=Z CDB= 30°, BC = 3,• AB= 6.•OO 的半径为3.4.如图，A , P , B, C 是圆上的四个点，/ APC=Z CPB= 60°,AP, CB 的延长线相交于点 D. (1)求证：△ ABC 是等边三角形；⑵ 若/ PAC= 90°, AB= 2 3，求 PD 的长.由勾股定理的逆定理可得，/ AOB= 90°3. 如图，AB 是OO 的直径, C, D 两点在OO 上.若/ C = 45 ⑵若/ CDB= 30°, BC= 3, 求OO 的半解：⑴证明：••• A, P, B, C是圆上的四个点，•••/ ABC=Z APC / CPB=Z BAC.•••/ APC=Z CPB= 60°,•••/ ABC=Z BAC= 60°.•••/ ACB= 60°.• △ ABC是等边三角形.(2) •••△ABC是等边三角形，•••/ ACB= 60°, AC= AB= BC= 2 3.•••/ PAC= 90°,「./ DAB=Z D= 30°.BD= AB= 2 3.•••四边形APBC是圆内接四边形，/ PAC= 90°,•••/ PBC=Z PBD= 90°.亠亠BD 2血在Rt△ PBD中，PD= = 、L = 4.cos30 寸3220 5. 如图，一圆弧形桥拱的圆心为E,拱桥的水面跨度AB= 80米，桥拱到水面的最大高度为米.求:(1) 桥拱的半径；(2) 现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米?解：⑴过点E作EF丄AB于点F,延长EF交圆于点D,则由题意得DF= 20.由垂径定理知，1 点F是AB的中点，AF= FB= ?AB= 40米,EF= ED- FD= AE- DF,由勾股定理知，A^= AF2+ EF2= AF2+ (AE—DF)2. 设圆的半径是r ,2 2 2则r = 40 + (r —20),解得r = 50.即桥拱的半径为50米.⑵设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H连接EM1则MH= NHk-MN= 30 米，2••• EH=502—302= 40(米).•/ EF= 50 —20= 30(米)，••HF= EH- EF= 10 米.6. 已知△ ABC以AB为直径的OO 分别交AC, BC于点D, E,连接ED若ED= EC.⑴求证：AB= AC;(2)若AB= 4, BC= 2 3，求CD的长.解：(1)证明：T ED= EC,•••/ EDC=Z C.•••/ EDCF/ ADE= 180°,/ ADEF Z B= 180°,•••/ EDC=/ B.• / B=/ C. • AB= AC.⑵连接AE,v AB为直径,• AE1 BC.由(1) 知, AB= AC,• BE= CE= 1B C=3.在厶ABC与厶EDC中,•••/ C=Z C,Z CD吕/ B, •••△ ABSA EDC.,CE_CD•• CA T CB• CE- CB= CD- CA. •/ AC T AB= 4,•• X2 3 = 4CD.3• CD= q.7. 如图，在△ ABC中，AB= BC= 2,以AB为直径的OO 分别交BC, AC于点D, E,且点占八、、♦⑴求证：△ ABC为等边三角形；⑵求DE的长；(3) 在线段AB的延长线上是否存在一点卩，使厶PBD^A AED若存在，请求出PB的长; 请说明理由.解：⑴证明：连接AD.•/AB是OO的直径，•••/ ADB= 90°.•••点D是BC的中点，• AD是线段BC的垂直平分线.• AB= AC.•/ AB= BC, • AB= BC= AC.•△ ABC为等边三角形.⑵连接BE.•/ AB是直径，•/ AEB= 90°.D为BC的中若不存在,• BE! AC.•••△ ABC是等边三角形，••• AE= EC,即E为AC的中点.•••D是BC的中点，故DEABC的中位线,1 1• DE^ -AB^-X 2= 1.2 2⑶存在点P使厶PBD^A AED由⑴(2)知，BD= ED,•••/ BAC= 60°, DE// AB AED= 120°.•••/ ABC= 60°,「./ PBD= 120°.•••/ PBD=Z AED.要使△ PBD^A AED 只需PB= AE= 1.。
湘教版九年级数学下册2.3 垂径定理教案与反思
*2.3 垂径定理落红不是无情物，化作春泥更护花。
出自龚自珍的《己亥杂诗·其五》李坑学校李忠华1．进一步认识圆是轴对称图形；2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题；(重点) 3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题．(难点)一、情境导入你知道赵州桥吗？它又名“安济桥”，位于河北省赵县，是我国现存的著名的古代石拱桥，距今已有1400多年了，是隋代大业年间(公元605～618年)由著名将师李春建造的，是我国古代人民勤劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，全长50.82米，桥宽约10米，跨度37.4米，拱高7.2米，是当今世界上跨径最大、建造最早的单孔敞肩石拱桥．你知道主桥拱的圆弧所在圆的半径是多少吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】利用垂径定理求边如图，点A、B是⊙O上两点，AB＝10cm，点P是⊙O上的动点(与A、B 不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，求EF的长．解析：运用垂径定理先证出EF是△ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题．解：在⊙O中，∵OE⊥AP，OF⊥PB，∴AE＝PE，BF＝PF，∴EF是△ABP的中位线，∴EF＝12AB＝12×10＝5(cm)．方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．【类型二】动点问题如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OP⊥AB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长．解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点，由垂径定理，得AD＝DB＝12AB＝4cm.又∵⊙O的直径为10cm，连接OA，∴OA＝5cm.在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD ＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．探究点二：垂径定理的实际应用如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(中的AB ︵)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R m ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.方法结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．三、板书设计教学过程中，强调垂径定理的得出跟圆的轴对称密切相关．在圆中求有关线段长时，可考虑垂径定理的应用．【素材积累】1、只要心中有希望存摘，旧有幸福存摘。
湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理
湘教版数学九年级下册教学设计：2.3 垂径定理一. 教材分析湘教版数学九年级下册第 2.3节“垂径定理”是圆的相关性质和定理的重要内容。
本节内容主要介绍垂径定理及其应用，通过探究圆中垂直于弦的直径的性质，引导学生发现圆的基本定理，为后续学习圆的其它性质和定理打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积计算等知识，具备了一定的观察、分析和推理能力。
但对于证明垂径定理，学生可能存在一定的困难，因此，在教学过程中，教师应注重引导学生探究，突破难点。
三. 教学目标1.理解垂径定理的内容及证明过程。
2.学会运用垂径定理解决相关问题。
3.培养学生的观察、分析和推理能力。
4.激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。
四. 教学重难点1.重点：垂径定理的理解和运用。
2.难点：证明垂径定理的过程。
五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、分析、推理，发现垂径定理。
2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会运用垂径定理解决问题。
3.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作包含动画、图片、例题的教学课件。
2.学习资料：收集与垂径定理相关的学习资料，供学生课后拓展学习。
3.教学道具：准备一些圆形的教具，如圆规、圆盘等，以便于直观展示。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的圆形物体，如圆桌、圆规等，引导学生回顾圆的基本概念和性质。
然后提出问题：“你们认为圆有什么特殊的性质呢？”让学生思考，为引入垂径定理做铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过课件展示垂径定理的定义和证明过程。
首先，展示一个圆和一条垂直于弦的直径，让学生观察并描述其性质。
接着，引导学生推理，证明垂径定理。
在这个过程中，教师要注意引导学生掌握证明的关键步骤。
3. 操练（10分钟）教师提出一些与垂径定理相关的问题，让学生独立解决。
如：“在一个圆中，如果一条弦的长度是10cm，那么它所对的圆周角是多少度？”在学生解答过程中，教师要及时给予指导和鼓励。
湘教版数学九年级下册导学案：2.3垂径定理(无答案)
湘教版九年级下册数学导学案2.3垂径定理【学习目标】1、探索并证明垂径定理。
2、运用垂径定理解决一些有关证明，计算问题。
【预习导学】1、把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次后，发现了什么？由此你得到什么结论？【探究展示】探究1：1.在图（1）的ΘＯ中，A、B是任一条弦，CD是ΘＯ的直径且CD⊥AB，垂足为E。
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）将ΘＯ沿CD所在直线对折，你能发现图中有哪些等量关系？（3）你能证明你的结论吗？（图1）小结：垂直于弦的直径，_________弦，并________弦所对的________。
定理的题设是什么？结论是什么？探究2：如图（2），弦AB=8cm，CD是ΘＯ的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求ΘＯ的直径CD的长。
（图2）探究3：证明：圆的两条平行方法所夹的弧相等。
已知：如图（3）在ΘＯ中，弦AB与弦CD平行，求证：AC=BD（图3）【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳。
）【当堂检测】1、如图（4）,AB是ΘＯ的直径，C是ΘＯ上一点，AC=8cm，AB=10cm,OD⊥BC于点D,求BD 的长。
（图4）2、如图（5），在ΘＯ中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E。
求证：四边形ADOE是正方形。
【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
初中数学湘教版九年级下册《2.3垂径定理》教案
湘教版数学九年级2.3垂径定理教学设计知识回顾：1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2、同学们知道赵州桥吗？1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形高)为7.2 m，求桥拱的半径(精确到0.1 m)．你能解决这个关于赵州桥的问题吗？一、垂径定理的猜想与证明1、请同学们剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E，再将纸片沿着直径CD对折，请同学们比较AE与EB，AC与BC，AD与BD你能发现了什么结论？折，如图，可以发现AE与BE重合，AC，AD分别与BC，BD重合．即AE=BE，AC= BC，AD=BD．你能用所学过的知识证明你的结论吗？2、探究垂径定理的证明．请同学们先画出图形，再根据图形写出已知、求证．小组讨论定理的证明过程．已知：直径CD，弦AB，且CD⊥AB，垂足为点E．求证：AE=BE，AC= BC，AD=BD．猜想是否正确，还有待于证明．请同学生们从以下两方面寻找证明思路．①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质证明．②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的对称性证明．根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．请同学们用所学的知识判断下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？垂径定理的几个基本图形：二、垂径定理的逆定理的探究在下列五个条件中：①CD是直径；②CD⊥AB；③AM=BM；④=；⑤AD BDAC BC=．只要具备其中两个条件，就可推出其余三个结论．请试着写出这样的命题．你可以写出相应的命题吗？请小组讨论写出你的条件和结论，并写出用语言叙述的命题．3、例1 如图，弦AB=8 cm，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2 cm，求⊙O的直径CD的长．例2 证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等．小组合作讨论：弦和圆心的位置关系有几种情况？根据讨论画出图形并证明结论．已知：如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行．．求证：AC BD请根据例2的证明归纳出结论．垂径定理的推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．三、应用垂径定理解决实际问题如何解决“赵州桥”的问题：如图，OA=OC=R，OD=OC-CD=R-7.2，AB=18.7．即：18.72+(R -7.2)2=R 2． R ≈27.9(m)．答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m ．归纳：应用垂径定理时辅助线的添加方法 在圆中有关弦长a ，半径r ， 弦心距d （圆心到弦的距离），弓形高h 的计算题，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解．弓形中重要数量关系弦a ，弦心距d ，弓形高h ，半径r 之间有以下关系：d+h=r ，222()2a r d =+．1、半径为4 cm 的⊙O 中，弦AB =4 cm ， 那么圆心O 到弦AB 的距离是________cm ．2、⊙O 的直径为10 cm ，圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长是________cm ．3、半径为2 cm 的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是________cm ．4、如图，已知AB 为⊙O 的直径，点D 是弦AC 的中点，BC =8 cm ，求OD 的长．5、如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于M ，且M 是半径OB 的中点，CD =8 cm ，求直径AB 的长．6、如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？。
湘教版数学九年级下册《2.3 垂径定理》教学设计
湘教版数学九年级下册《2.3 垂径定理》教学设计一. 教材分析《2.3 垂径定理》是湘教版数学九年级下册的一部分，主要讲述了垂径定理的内容及其应用。
本节课的内容是在学生已经掌握了直线、圆的基本性质和勾股定理的基础上进行的，是进一步培养学生解决实际问题的能力的关键。
教材通过丰富的实例和图示，引导学生探索、发现并证明垂径定理，进而运用该定理解决一些相关问题。
二. 学情分析学生在进入九年级下册之前，已经学习了直线、圆的基本性质和勾股定理等知识，具备了一定的几何基础。
但是，对于证明和解决复杂几何问题的能力还有一定的欠缺。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，引导他们通过观察、操作、思考、讨论等方法，逐步理解和掌握垂径定理，提高他们解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握垂径定理，能够运用垂径定理解决一些相关问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等方法，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：理解和掌握垂径定理。
2.难点：如何引导学生发现并证明垂径定理。
五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察、思考，发现垂径定理。
2.小组合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养团队协作能力。
3.实践操作法：学生通过实际操作，加深对垂径定理的理解。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备等。
2.学具：直尺、圆规、剪刀、彩笔等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾直线、圆的基本性质和勾股定理，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示实例和图示，引导学生观察、思考，发现垂径定理。
同时，教师在黑板上进行示范性讲解，阐述垂径定理的证明过程。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决一些与垂径定理相关的实际问题。
教师巡回指导，帮助学生克服困难，提高解决问题的能力。
湘教版九年级下册数学第二章 2.3 垂径定理 教案
*2.3 垂径定理教学目标：【知识与技能】1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证．2.理解垂径定理，灵活运用定理进行证明及计算．【过程与方法】在探索圆的对称性以及直径垂直于弦的性质的过程中，培养我们观察，比较，归纳，概括的能力．【情感态度】通过对圆的进一步认识，加深我们对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．【教学重点】垂径定理及运用．【教学难点】用垂径定理解决实际问题．教学过程：一、情境导入，初步认识教师出示一张图形纸片，同学们猜想一下：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？（2）如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径CD ⊥AB 于点M ，能发现图中有哪些等量关系？（在纸片上对折操作）学生回答或展示：【教学说明】（1）是轴对称图形，对称轴是直线CD ．（2）AM=BM ，AC BC AD BD ==，． 二、思考探究，获取新知探究1 垂径定理及其推论的证明．1.由上面学生折纸操作的结论，教师再引导学生用逻辑思维证明这些结论，学生们说出已知、求证，再由小组讨论推理过程．已知：直径CD ，弦AB ，且CD ⊥AB ，垂足为点M ．求证：AM=BM ， AC BC AD BD ==，【教学说明】连接OA=OB ，又CD ⊥AB 于点M ，由等腰三角形三线合一可知AM=BM ，再由⊙O 关于直线CD 对称，可得AC BC AD BD ==，．学生尝试用语言叙述这个命题． 2.得出垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．还可以得出结论(垂径定理推论)：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．3.学生讨论写出已知、求证，并说明．学生回答：【教学说明】已知：AB 为⊙O 的弦(AB 不过圆心O)，CD 为⊙O 的直径，AB 交CD 于点M ，MA=MB ．求证：CD ⊥AB ， AC BC AD BD ==，． 证明：在△OAB 中，∵OA=OB ，MA=MB ，∴CD ⊥AB ．又CD 为⊙O 的直径，∴AC BC AD BD ==，． 4.同学讨论回答，如果条件中，AB 为任意一条弦，上面的结论还成立吗?学生回答：【教学说明】当AB 为⊙O 的直径时，直径CD 与直径AB 一定互相平分，位置关系是相交，不一定垂直．探究2 垂径定理在计算方面的应用．例1讲教材例1例2已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB ∥CD ，AB=10cm ，CD=24cm ，求AB 与CD 间的距离．解：(1)当AB 、CD 在O 点同侧时，如图①所示，过O 作OM ⊥AB 于M ，交CD 于N ，连OA 、OC ．∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD 于N ．在Rt △AOM 中，AM=5cm ，22OA AM -=12cm ．在Rt △OCN 中，CN=12cm ，22OC CN - =5cm ．∵MN=OM-ON ，∴MN=7cm ．(2)当AB 、CD 在O 点异侧时，如图②所示，由（1）可知OM= 12cm ，ON=5cm ，MN=OM+ON ，∴MN=17cm ．∴AB 与CD 间的距离是7cm 或17cm ．【教学说明】1.求直径往往只要能求出半径，即把它放在由半径所构成的直角三角形中去．2.AB 、CD 与点O 的位置关系没有说明，应分两种情况：AB 、CD 在O 点的同侧和AB 、CD 在O 点的两侧．探究3与垂径定理有关的证明．例3讲教材例2【教学说明】1.作直径EF ⊥AB ，∴AE BE =．又AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴EF ⊥CD ．∴CE DE =．∴AE CE BE DE -=-，即AC BD =．2.说明直接用垂径定理即可．三、运用新知，深化理解1.如右图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，已知CD=12，BE=2，则⊙O 的直径为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．202.如图，半径为5的⊙P 与y 轴交于点M （0，-4)，N(0，-10)， 函数k y x= (x ＜0)的图象过点P ，则k=______．3.如图，在⊙O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB于D ，OE ⊥AC 于E ，求证：四边形ADOE 为正方形．【教学说明】1.在解决与弦的有关问题时，常过圆心作弦的垂线（弦心距），然后构造以半径、弦心距、弦的一半为边的直角三角形，利用直角三角形的性质求解．2.求k值关键是求出P点坐标．3.利用垂径定理，由AB=AC→AE=AD，再由已知条件→三个直角→正方形．【答案】1．D 2．283．解：由OE⊥CA，OD⊥AB，AC⊥AB，∴四边形ADOE为矩形．再由垂径定理;AE=1 2AC，AD=12AB，且AB=AC，∴AE=AD，∴矩形EADO为正方形．四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答基础上．3.教师强调：①圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的任一条直线；②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理的计算及证明，常作弦心距为辅助线，用勾股定理列方程；④注意计算中的两种情况．课堂作业：教材习题2.3第1、2题．教学反思：本节课由折叠圆形入手，让学生猜想垂径定理并进一步推导论证，在整个过程中着重学习动手动脑和推理的能力，加深了对圆的完美性的体会，陶冶美育情操，激发学习热情．。
教育最新K12九年级数学下册 2.3 垂径定理推论学案(无答案)(新版)湘教版
垂径定理推论学习目标:（1）掌握垂径定理的几个推论．（2）学会运用垂径定理的推论解决相关的证明和计算问题．知识归纳：垂径定理的推论：其中，**************************************************************************学习过程：【自主学习】（课前）知识准备：回顾垂径定理知识探究下列五条中，垂径定理的条件是，结论是 .①过圆心②垂直弦③平分弦④平分弦对劣弧⑤平分弦对优弧上面五条中，以任两个做条件、其它三个做结论来编写命题，这样的命题有：命题1：命题2：命题3：命题4：命题5：命题6：命题7：命题8：命题9：以上的九个命题中，假命题有：真命题有：上面的假命题，请补充条件，将其改写为真命题以上的九个命题中，任选一个给出证明知识归纳（完成《知识归纳》）【合作探究】（课间）1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．证明：AC=BD．【自主检测】（课后）1、储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．2、如图，已知在⊙O中，点C、D在弦AB上，且AC=BD，请你仔细观察图形后回答：图中至少有几个等腰三角形？试把它们分别写出来，并说明你的理由。
3、城市规划建设中，某超市需要拆迁．爆破时，导火索的燃烧速度与每秒0．9厘米，点导火索的人需要跑到离爆破点120米以外的安全区域，这个导火索的长度为18厘米，那么点导火索的人每秒跑6．5米是否安全？【学后札记】（课后）。
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初级中学
九年级
数学
科导学案
课题：垂径定理班级：课型：新授设计者
【学习目标】
1、通过观察实验证明，理解掌握垂径定理。
2、会用垂径定理解决有关证明与计算问题。
3、掌握圆中常见辅助线的作法。
【学习过程】
预习案
一、预习内容：
自学教材P58-P59
二、预习检测：
1.垂径定理：垂直于弦的直径这条弦，并且弦所对的两条弧
2.在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
助学案
一、合作探究
1、观察和猜想
①AB、CD是⊙O的两条直径，图1中有哪些相等的线段和相等的弧?
②当AB向下平移，如图2变成非直径的弦时，上面的结论还成立吗?
③当AB⊥CD时，如图3你认为有相等的线段和相等的弧吗？说说你的猜想。
2、操作验证
你能借助桌上的圆形纸片进行适当的操作来验证一下这个猜想是否合理吗？动手试一试。
3、证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC。
图2 图3
图1
4
、归纳定理：
垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且弦对的两条弧。
几何语言：∵，，
∴，，。
5、理解定理
①.在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
6、应用定理
①、在⊙O中，弦AB垂直于0C，垂足为E，AE=3，则AB= 。
②、在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为M，AB=12，半径OB=10，则OM= ，
CM= 。
③、在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，垂足为M，CD=20，CM=2，则弦AB=
第①题图第②题图第③题图
方法总结：垂径定理常和结合使用，半径、半弦、弦心距三个量中任知两个量，可求第三个量。
二、巩固提升
例1.如图，弦AB=8cm，CD是直径，CD⊥AB，垂足为E，DE=2cm，求⊙O的直径CD的长。
方法归纳：
E
A B
C
D
D
同步练习：
赵州桥主桥拱的跨度(弦AB 的长)为40m ，拱高
(弧的中点到弦的距离CD 的长)为8m ，你会求出赵州桥
主桥拱的半径吗？ （只列关键算式，不求解）
例2 ：已知：如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证:AC=BD.
图1 图2 图3 图4
变式1：在图1中再添一个同心圆，如图2，则 AM BN 。
变式2：隐去图1中的大圆，得图3， 连接OA ，OB ，设OA=OB ， 求证：AC ＝BD 。
变式3：隐去图1中的小圆，得图4，连接OC ，OD ，设OC=OD ，求证：AC ＝BD 。
例3已知：⊙O 中弦AB ∥CD ，求证：弧AC ＝弧BD 。
三、课堂小结
1、从知识上学习了什么？
２、从方法上学习了什么？
四、当堂检测
1.如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论错误
的是（ ）。
A. CE=DE
B.弧BC=弧BD
C.∠1=∠2
D.AC>AD
D C O A B N M D C O
A B D C O A B
D C O A B
A B O A O
图7y
x ( 6, 0 )P
2.半径为2cm 的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的
弦长是 。
3、AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，
求BD 的长。
4、拓展提升题（选做）
五、课后作业：
1、如图1，OE ⊥AB 于E ，若弦AB=16cm ， OE=6cm ， 则⊙O 的半径是 cm 。
2、如图2，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，P Θ与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为（6，0），P Θ的半径为13，则点P 的坐标为 ____________.
3、一横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米．
（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；
（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．。