【课堂新坐标】高中数学苏教版必修1练习：2.2.2 函数的奇偶性

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1．已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
【解析】 F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．
又x ∈(－a ，a )关于原点对称，
∴F (x )是偶函数．
【答案】 偶
2．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是________．(填序号)
①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝－2x
. 【解析】 对于函数y ＝|x |＋1，f (－x )＝|－x |＋1＝|x |＋1＝f (x )，所以y ＝|x |＋1是偶函数，当x >0时，y ＝x ＋1，所以在(0，＋∞)上单调递增．另外函数y ＝x 3不是偶函数，y ＝－x 2＋1
在(0，＋∞)上单调递减，y ＝－2x
不是偶函数． 【答案】 ②
3．函数f (x )在R 上为奇函数，且f (x )＝x ＋1，x >0，则当x <0时，f (x )＝________.
【解析】 当x <0，即－x >0时，f (－x )＝－x ＋1.
∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即
－f (x )＝－x ＋1，∴f (x )＝－－x －1，(x <0)．
【答案】 －－x －1
4．偶函数f (x )在区间0，＋∞)上的图象如图2-2-8，则函数f (x )的单调增区间为________．
图2-2-8
【解析】 偶函数的图象关于y 轴对称，可知函数f (x )的增区间为－1,0]和1，＋∞)．
【答案】 －1,0]，1，＋∞)
5．若函数f (x )＝x
x ＋x －a
为奇函数，则a ＝________. 【解析】 函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪
x ≠－12，且x ≠a .
又f (x )为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a ＝12
. 【答案】 12
6．给出函数f (x )＝|x 3＋1|＋|x 3－1|，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是________．(填序号)
①(a ，－f (a ))；②(a ，f (－a ))；③(－a ，－f (a ))；
④(－a ，－f (－a ))．
【解析】 ∵f (x )为偶函数，
∴f (－a )＝f (a )，
∴(a ，f (－a ))一定在y ＝f (x )的图象上．
【答案】 ②
7．已知f (x )＝x 2 017＋ax 3－b x
－8，f (－2)＝10，则f (2)＝________. 【解析】 f (－2)＝10，∴－22 017－8a ＋b 2
－8＝10， ∴－22 017－8a ＋b 2＝18，f (2)＝22 017＋8a －b 2
－8＝－18－8＝－26. 【答案】 －26
8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________. 【导学号：37590037】
【解析】 令x ＝－1，则f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，
由f (x )，g (x )的奇偶性知，f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)．
∴原式即化为f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.
【答案】 1
二、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)f (x )＝3，x ∈R ；
(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈－3,3]；
(3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|；
(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2，0，
x 2－1， x >0，x ＝0，x <0.
【解】 (1)∵f (－x )＝3＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(2)∵x ∈－3,3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )，
∴f (x )是偶函数．
(3)∵f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数．
(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，
此时－x <0，
∴f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，
∴f (－x )＝－f (x )；
当x <0时，f (x )＝x 2－1，此时－x >0，f (－x )＝1－(－x )2＝1－x 2，
∴f (－x )＝－f (x )；
当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)＝0.
综上，对任意x ∈R ，总有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为R 上的奇函数．
10．设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋
3)，求a 的取值范围．
【解】 由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，
可知f (x )在(0，＋∞)上递减．
∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋78
>0， 2a 2－2a ＋3＝2⎝⎛⎭⎫a －122＋52
>0， 且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，
∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3，
即3a －2>0，解得a >23
. 能力提升]
1．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.
【解析】 假设a ≥0，则f (a )＝a (a ＋1)＝－2，即a 2＋a ＋2＝0，方程无解，所以a ≥0不成立，因此a <0，则－a >0，所以f (－a )＝－a (－a ＋1)，由奇函数f (－a )＝－f (a )，即f (－a )＝a 2－a ＝2，解得a ＝－1或a ＝2(舍)．
【答案】 －1
2．已知函数y ＝f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是________．
【解析】 由于偶函数的图象关于y 轴对称，所以偶函数的图象与x 轴的交点也关于y 轴对称，因此四个交点中，有两个在x 轴的负半轴上，另两个在x 轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.
【答案】 0
3．定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝2，则奇函数f (x )的值域是________．
【解析】 奇函数的图象关于原点对称，所以当x <0时，f (x )＝－2，又定义域为R ，所以f (0)＝0，因此函数的值域为{－2,0,2 }．
【答案】 {－2,0,2 }
4．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0，f (x )＝－x 2＋ax .
(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的解析式；
(2)若函数f (x )为R 上的单调减函数，
①求a 的取值范围；
②若对任意实数m ，f (m －1)＋f (m 2＋t )<0恒成立，求实数t 的取值范围.
【导学号：37590038】
【解】 (1)当x <0时，－x >0，
又因为f (x )为奇函数，且a ＝－2，
所以f (x )＝－f (－x )＝x 2－2x ，
所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x <0，－x 2－2x ，x ≥0. (2)①当a ≤0时，对称轴x ＝a 2
≤0， 所以f (x )＝－x 2＋ax 在0，＋∞)上单调递减，
由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，
所以f (x )在(－∞，0)上单调递减，
又在(－∞，0)上f (x )>0，在(0，＋∞)上f (x )<0，
所以当a ≤0时，f (x )为R 上的单调减函数．
当a >0时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭
⎫a 2，＋∞上单调递减，不合题意． 所以函数f (x )为单调减函数时，a 的取值范围为a ≤0.
②因为f (m －1)＋f (m 2＋t )<0，
所以f (m －1)<－f (m 2＋t )，
又f (x )是奇函数，
所以f (m －1)<f (－t －m 2)，
又f (x )为R 上的单调减函数，
所以m －1>－t －m 2恒成立，
所以t >－m 2－m ＋1＝－⎝⎛⎭⎫m ＋122＋54恒成立，故t >54
.。