机器人避障问题——国家一等奖论文 推荐
机器人避障问题研究
一、问题的提出在一个310×310的平面场景内，在原点O（0，0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
在平面场景中有3个形状分别为正方形、长方形、三角形的不同区域，是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，这些障碍物的顶点坐标分别为：正方形E（80，60）、F （80，210）、G（230，210）、H（230，60），长方形B （60，300）、I（60，310）、J（235，310）、C（235，300），三角形K （280，100）、M（310，100）、N（310，200）。
障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。
机器人的行走路径满足如下假设：（1）行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
（2）机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。
（3）为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
请建立机器人从区域中一点绕过一个障碍物顶点到达另一点的避障最短路径的数学模型。
对于平面场景图中2个点，具体计算机器人从O（0，0）出发，到达A （300，300）的最短路径。
注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标以及机器人行走的总距离。
数据结果精确到小数点后两位。
二、模型分析根据假设3，机器人的行走路径在必须在以各障碍物周围10个单位以外区域内进行，要使行走路径最短，若不绕过避障点（障碍物的顶点），则以直线路径行走，若要绕过避障点，则行走的直线必须与以避障点为圆心的圆相切，再在以避障点为圆心的圆上行走一段圆弧，最后再以切线方向走向另一段直线或圆弧，且转弯时的圆弧半径要最小，即转弯圆弧半径为10个单位。
根据机器人行走的路径情况，我们建立如下模型。
三、模型建立1.根据以上分析，机器人的行走路径为从一个点出发直线到达以避障点为圆心的圆的圆周上的某一点，或从以避障点为圆心的圆的圆周上一点出发直线达到另一点，简化为从一点出发向一个以避障点为圆心的圆做切线。
机器人避障问题研究报告
D題：机器人避障问題本文就机器人避强冋題，建立了相应的优化模里。
模1-：关干Hl器人从区域中一点到达另一贞的遐障最短路径的问题。
首先，题恿，师出HI器人行走的可行区域与危险区域；其次，在证明了具有園形限定区域的最皱路径间题为根据的前提下，可以得岀最短路径一定是由直线和闊弘组成，并依此建立了线岡结沟，将路径则分为若干个逆种线圆结构来求辭最短路径通用模型；最后，根弼最姬路径通用模型，采用穷举法把可能路径的最短路径列举出来，通il比较最终得出各种最短路径的坐标及总路程8UT：(1 ) 0-A的最矯路程为：471.04个单位(2) O T B的最短路程为:853.71个单位(3 ) 0->C的最短路程1088.20个单位(4 ) O T A—B T C T O的最短路径为：2730.01个单E模塑二：关于机器人UEM中一点到这另一点的避障最類时间路径的间题。
首先，根锯題意,找出公共切点，得出转弯时最大圆和最小圆的圆心坐标,确定冏心的变化X 围；其次，依擴圆心的变ItX围，得出转弯半径的变化X围；然后，利用MATLAB^件编程来求解最姬时间路径通用模型；最后，根据最短时间路径通用模里，得出所有结果，通过比较最终得岀机最后,我『1对模型进行了改进、检验、评价与推广。
关键词：优化模型最短路程线圆结构最短时间穷举法1问題重述1.1背景资料图1是一个800x800的平面场景图,在原点0(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景X围内活动。
图中有12f不同形状的区域是机器人不能与之发生磁撞的障碍物，障1.2 息(1)在图1的平面场景中，障碍物外荷定一点为机器人要到这的目标点。
现定机器人的行走路径由直筑段和冏弧组成，其中冏弧是机器人转弯路径。
(2)机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弘组成，也可以由两个或多个相切的凰聲路径组成，但毎个圆聲的半径最小为10个单也。
(3)HI器人直线行走的最大速度为v0 = 5个单位/秒。
基于切线网络模型的机器人避障问题
转弯路径是与直线相切的一圆形曲线段，也可以是两个或多个相切的圆弧曲线段组成，
但每个圆形路线的半径都必须大于某个最小转弯半径，假设为 1 个单位。另外，为了
不与障碍物发生碰撞，要求机器人行走线路与障碍物间的最短距离为 1 个单位，越远
一、 问题重述
在一个 100×80 的平面场景图中，在 R（0，0）点处有一个机器人，机器人只能
在该 100×80 的范围内活动，在图中有四个矩形区域是机器人不能与之发生碰撞的障
碍物，障碍物的数学描述分别为 B1（20，40；5，10）、B2（30，30；10，15）、B3（70，
50；15，5）
，
举例说明，如图所示：
P1 为 O1 上的切点， P2 、 P3 为 O2 上的切点。 P1 、 P2 在同一条切线上， P3 为 O2 与其他
圆的公切线的切点。则
lP1P2 P1 P2
=
lP1P3
=
同一弧上切点的距离
对于在同一弧上的切点，取切点与切点间的劣弧弧长作为该两切点间的距离。
举例说明，如图所示：
x
0j
j 1
1
有且仅有一条线路是到达终点的，所以
n
x
i 0
i ( n 1)
1
于是，得到最短路径优化模型
n 1
min L lij xij
i 0
x x 0或2， k 0或n 1
kj
ik
n 1
x0 j 1
j 1
n
xi ( n 1) 1
P1 、 P2 、 P3 为同一弧上的三点，则
超声波测距在机器人避障中的应用毕业论文
超声波测距在机器人避障中的应用毕业论文目录绪论 (1)1课题设计目的及意义 (1)1.1设计的目的 (1)1.2设计的意义 (1)2超声波测距仪的设计思路 (1)2.1超声波测距原理 (1)3课题设计的任务和要求 (2)第一章超声波测距系统硬件设计 (2)1 系统设计 (2)2 51系列单片机的功能特点 (3)3系统硬件结构的设计 (3)3.1 单片机显示电路原理 (4)3.2 超声波发射电路 (4)3.3 超声波检测接收电路 (4)3.4超声波测距系统的总电路 (5)第二章超声波测距系统的软件设计 (5)1 超声波测距仪的算法设计 (5)2主程序流程图 (6)3超声波发生子程序和超声波接收中断程序 (7)4 系统的软硬件的调试 (7)第三章超声波测距系统在智能机器人中的应用 (7)1 避障系统设计思想 (8)2 硬件设计 (8)3 软件设计 (9)总结 (12)致谢 (13)参考文献 (14)附录 (15)绪论1课题设计目的及意义1.1设计的目的随着科学技术的快速发展，超声波将在测距仪中的应用越来越广。
但就目前技术水平来说，人们可以具体利用的测距技术还十分有限，因此，这是一个正在蓬勃发展而又有无限前景的技术及产业领域。
展望未来，超声波测距仪作为一种新型的非常重要有用的工具在各方面都将有很大的发展空间，它将朝着更加高定位高精度的方向发展，以满足日益发展的社会需求，如声纳的发展趋势基本为：研制具有更高定位精度的被动测距声纳，以满足水中武器实施全隐蔽攻击的需要；继续发展采用低频线谱检测的潜艇拖曳线列阵声纳，实现超远程的被动探测和识别；研制更适合于浅海工作的潜艇声纳，特别是解决浅海水中目标识别问题；大力降低潜艇自噪声，改善潜艇声纳的工作环境。
无庸置疑，未来的超声波测距仪将与自动化智能化接轨，与其他的测距仪集成和融合，形成多测距仪。
随着测距仪的技术进步，测距仪将从具有单纯判断功能发展到具有学习功能，最终发展到具有创造力。
“机器人避障问题”论文
机器人避障问题摘要移动机器人是一种能够在工作环境中自由移动并完成预定任务的智能系统，移动机器人的避障问题则是移动机器人控制领域的研究热点。
本文针对移动机器人的避障问题，建立了最短路径及最短时间路径的数学模型。
并应用于解决本题给定的路径规划问题，获得了满足问题需求的全部最优路径。
对于最短路径问题，本文分析了障碍物对移动机器人运行的影响，给出了最优移动规则；建立了简化的路径网格模型，将其抽象为由节点及边构成的两维图，并确定了其各项参数，再使用经典的Dijkstra算法获得可行的最短路径。
由于计算机行走过程与障碍物之间还需满足一定的间隔约束，故上述结果可能并非最优，故我们实际还需对次优的几条参考路径（也可通过以上Dijkstra算法获取）进行精算，经准确计算获得各段路径的具体位置后，确定实际的最短路径。
为方便计算，文中推导了自指定点向指定圆作切线，两个相离圆的内、外切线方程的解析表达式，给出了闭式结果，作为MATLAB编程的依据，从而大大提高了运算处理的速度及精度。
考虑到移动机器人需完成由O→A→B→C→O的多点移动，且中间不能折线运行，即机器人在通过上述点时一般必须以圆弧通过，且其上下游多数也是圆弧路径，其通过点并不固定。
为此，理论推导了该未知圆弧的约束公式，以各圆心之间距离最小作为优化条件，建立数学模型，再使用MATLAB中的fmincon有约束优化工具箱获得了理想的结果。
对于最短时间路径问题，本文分析了移动机器人弯道运行的速度曲线，特别是对O→A两点间的避障问题进行了详细的理论分析与推导，通过几何关系得出了转弯半径与总的移动距离、移动时间的严格数学关系，此后借助MATLAB优化函数fminsearch获得最佳的转弯半径。
经分析计算，得到下述结果：结论1：机器人完成O→A，O→B，O→C及O→A→B→C→O的最短路径总距离分别是：471.04、853.70、1050.50、2712.68单位长度；总时间分别是96.02、179.07、235.19及570.36秒。
机器人避障问题
ａ ＝ 、 厂 ６ ＝ 、 厂
， ，
Ｅ
ｃ ＝ 、 ／ ｒ
如图 ５ ． １ ， 设Ａ 。 ， Ｙ 。 ） 为起点， Ｂ 。 ， ｙ ２ ） 为 目标
点， 延长直线 Ｏ到． Ｃ Ｄ中点交圆弧 Ｃ Ｄ于 日 ， 过 圆心 作Ｏ Ｈ 的垂线分别 交 Ａ Ｃ 、 Ｃ Ｄ于 Ｆ 、 ，圆心 ０ 舢 ｃ ， ， 和Ｄ ， 为机器人经过拐点分别于 脱离危 险线 拐角 小 圆弧 的切 点 ，圆的半径 为 ｒ ，
其 中Ｐ是转弯 半径． 若超过该速度 ， 则机器人无法 完成行走 ： （ ３ ） 机器人变速和转身瞬间完成． ３模型假设 （ １ ） 机器人能够抽象成点来处理： ｃ ２ ） 机器人的性能足够好， 能准确地沿圆弧转弯； （ ３ ） 机器人行走过程 中不会意外停止； （ ４ ） 机器人行走不小于最小转弯半径和最小安 全距 离 ； （ ５ ） 机器人不会进 入 两个相接触的障碍物的死角． ４ 定义 与符 号说 明 ｒ ， Ｐ ： 转弯半径 ． ， 啦 ： 直线倾角或夹角． ｔ ： 时间． Ｌ ： 最 短路 径 总长 ． ５模 型 的建 立 查 阅相 关文 献 知 ，具有 圆形 限定 区域 的最短 路 径是由两部分组成的， 一部分是平面上的 自 然最短 路径 （ ａ Ｐ 直线段） ，另一部分是限定区域的部分边 界， 这两部分是相切 的， 这两条直线段是 由圆弧连 接的． 对于 问题 １ ， 我们经过深入分析知， 起 点到 目标 点无论中间障碍物有 多少 ， 最短路径都应该是若干 个线 圆结构所组成．在本题 中存在障碍物的状况 ， 且障碍物在拐点处 的危 险区域 是一个半径为 ｒ的 圆弧， 而求两点之间的最短路径 中的转弯半径我们 应该按照最小的转弯半径来算才能达到最优． ５ ． １基本线 圆结构的数学模型
机器人碰撞检测与避障算法的研究与优化
机器人碰撞检测与避障算法的研究与优化摘要：机器人碰撞检测与避障算法在自动驾驶、工业生产、家庭服务等领域具有广泛应用价值。
本文通过综述相关研究文献，对机器人碰撞检测与避障算法的研究进行梳理和总结。
在此基础上，对现有算法存在的问题进行分析，并提出一种优化的算法。
实验结果表明，该算法在碰撞检测和避障能力上有明显改进。
1. 引言机器人在现代社会中扮演着越来越重要的角色，其在自动驾驶、工业生产、家庭服务等领域应用广泛。
然而，机器人行动过程中的碰撞风险成为一个重要的问题。
因此，机器人碰撞检测与避障算法的研究与优化对于提高机器人的安全性和工作效率具有重要意义。
2. 机器人碰撞检测算法的研究机器人碰撞检测算法是指通过感知机器人周围环境，并根据感知结果判断机器人是否会与其他物体碰撞的算法。
常用的机器人碰撞检测算法包括基于传感器数据的检测算法、基于图像的检测算法和基于激光雷达的检测算法。
2.1 基于传感器数据的检测算法基于传感器数据的检测算法利用机器人上安装的各种传感器，如红外传感器、超声波传感器等，来感知机器人周围的环境。
这类算法通过采集传感器数据，并结合预设的碰撞阈值进行碰撞判断。
然而，基于传感器数据的检测算法往往受到传感器精度和环境条件的限制，存在误判和漏判的问题。
2.2 基于图像的检测算法基于图像的检测算法借助计算机视觉技术，通过分析机器人所捕捉到的图像信息来进行碰撞检测。
这类算法通过图像分析和图像识别技术，提取关键特征信息，并结合机器学习的方法来判断机器人是否会与其他物体碰撞。
虽然基于图像的检测算法可以克服传感器精度和环境条件的限制，但算法复杂度较高，处理速度较慢。
2.3 基于激光雷达的检测算法基于激光雷达的检测算法则通过利用激光雷达对机器人周围环境进行扫描，获取物体的三维点云数据，并通过算法进行数据处理和分析，进而判断机器人与其他物体的距离和位置信息。
该算法具有较高的精度和速度，并能够克服传感器数据和图像处理的限制，因此在机器人碰撞检测中得到广泛应用。
智能避障机器人设计与研究(硬件)毕业设计论文
This paper presents an economical and practical design of intelligentobstacle avoidancerobotsystem,usingthe car chassis as the carrier,theDCmotor as the actuator,infrared sensors as detection devices,STC89C52microcontroller as the main chip, L298N asthe driver chipand regulated power supply chipto complete thedetection circuitdesign,master controlcircuit design,motordrivercircuit design,voltage regulator circuit design ofhardware designandproduction.Alot ofsimulation andintegrated debugginghave been done to thesystemanda series of problemshave been solved. Finally, theautomatic obstacle avoidance function isaccomplishedsuccessfully.
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D题机器人避障问题摘要本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。
针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。
针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。
圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。
关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型一.问题的重述图是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。
图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。
规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。
机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。
为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。
机器人转弯时，最大转弯速度为20100.1()1ev v v ρρ-==+，其中ρ是转弯半径。
如果超过该速度，机器人将发生 侧翻，无法完成行走。
请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。
对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。
(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。
注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
图 800×800平面场景图二.问题的分析本问题的难点在于机器人要到达指定的目标点需要满足以下两个约束条件：1. 机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，且每个圆弧的半径最小为10个单位；2. 要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位。
因此，我们在建立模型求解机器人到达目标点的最短路径时需优先考虑这两个约束条件。
首先我们可以根据约束条件将机器人行走的危险区域进行扩张，即所有的障碍物都向外扩张了10个单位。
机器人所走的路径都是直线与圆弧的构成，故存在线和弧、弧与弧之间的切线，可以考虑在所有代表出发点与其它圆弧之间切线的顶点与源点连成一条边，权值均为0，同理在所有代表目标点到其它圆弧切线的顶点与终点连成一条边，权值均为0，这样题目就转化成了求源点到达终点之间的最短路径问题了。
对于问题二，要求最短时间路径，则要考虑的是要以最大速度行走。
直线行走时就是最大速度，但在转弯圆弧处因为转弯半径越小，行走的速度就越慢，则需在第一问的前提下增大圆弧的半径，则圆弧的转弯半径和圆心都不确定，通过建立模型确定O-A之间的转弯时圆弧的半径和圆心。
三、模型的基本假设根据对该问题的分析，本文对所建立的模型提出以下基本假设：1.机器人的性能足够好，能准确地沿圆弧转弯2.机器人行走过程中不会意外停止3.图中所给数据障碍物都是真实的4.机器人能够抽象成点来处理四、符号说明:l指每段路径的长度iv：机器人直线行走时的最大速度v：机器人的最大转弯速度t：每段路径所用的时间i五、模型的建立与求解5.1模型的准备模型的准备一首先给出以下三个前提及其证明：1.靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短如图1所示：图1设A 为起点，B 为终点，矩形的阴影部分是障碍区，C 为障碍物的顶点，D 为障碍物外任意一点，连接AD ，BD ，AC ，BC 延长交AD 于E 点，因为在三角形中两边之和大于第三边，所以有：BD+DE>BE ；BE=BC+CE ；AE+CE>AC ；AD=AE+DE ；两个不等式相加，得：AE+DE+AE+CE>BE+AC ；即：BD+AD>AC+BC.于是，得证由A 到B 在顶点C 处转弯时为最短路径。
2.转弯时圆弧的半径最小时路径最短和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短要证明机器人转弯时圆弧的半径最小时路径最短，则可以把P 到A 的路径比拟成一条弹性绳，由于路径要绕过障碍物，故要拉长弹性绳以绕过障碍物，由于机器人转弯时只能是走圆弧路径且有圆弧半径约束，即可以在障碍物的顶点处加入圆环，将其圆心固定在顶点处，由于弹性绳的弹性势能p E 和伸长量x 存在如下能量关系：212p E k x =∆，故弹性绳弹性势能最小时伸长量最小，此时正是路径最短的情况：如图2所示：图2根据最小势能原理可知，当弹性体平衡时，系统势能最小。
即弹性体在自由条件下，有由高势能向低势能转化的趋势。
现在将圆环看成也有弹性，在如图所示的条件下为初始状态。
圆环受力为F ，此时圆环有缩小的趋势，随着圆环的缩小系统趋于平衡，弹性绳有最小势能。
由能量守恒也可以说明，弹性绳的弹性势能转化为弹性圆环的弹性势能，于是弹性绳的弹性势能减小。
因此，随着圆环的半径的减小，弹性绳的势能减小，即最短路径变短。
所以转弯时圆弧的半径最小时路径最短。
转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短。
3.转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径当机器人从O 点出发不能直接到达另一目标点，而需经过中间目标点A 时，则必须在A 点转弯处形成一个圆弧，中间目标点位于弧段中点时且半径最小时有最短路径，下面给予证明：由上述2的证明可仍然采用此证法，设从两转向处引出一根弹性绳，要使其经过A 点，如图所示，在其自然伸长的前提下，必定会在A 点出弯折。
由于机器人有转弯时圆弧的半径最小时路径最短，从两转向处引出一根弹性绳，要使其经过A 点，如图所示，在其自然伸长的前提下，必定会在A 点出弯折。
由于机器人有最小转弯半径约束，故在A 处加一最小转弯半经的圆，即r=10个单位，使其受力平衡时，即为路径的最优解。
根据以上证明作出如下图形(图3)：图3作法：过A点分别作圆上M,N的切线，作MAN的角平分线，在l上距离A 点10个单位处选取一点O，以O为圆心，10个单位为半径，作圆O，再过M,N 分别作圆O的切线，即为路径。
模型准备二：切线的剔除：基于上述准备一的三个前提条件和题中给出的两约束条件即（1）机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，且每个圆弧的半径最小为10个单位（2）要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位。
故存在一些不符合要求的切线，要将这些切线剔除，可做示意图如下：图4如图所示，阴影部分为障碍物，用圆来代表弧，AC、BC、AD、BD、EH、FG 分别如图示的切线，由于AD、BC、BD、FG、EH经过障碍物，所以要剔除，AC为符合要求切线。
(图中应该剔除的切线用虚线表示)。
模型准备三由上准备一和准备三可知，对于机器人转弯的路径按照一个圆弧、两个圆弧、三个圆弧等多个圆弧枚举出转弯的情况：转过了一个圆弧,如图5:图5如图，设B (11,x y )，O(22,x y )，A (33,x y )，E 、F 的坐标分别为()44,x y 和()55,x y ，BO a =，BA b =，OA c =, 则: cos r BOF ar a ∠=,222cos 2a c b BOA ar ac+-∠=，cos r AOE ar c∠=， 又2EOF BOF BOA AOE π∠=-∠-∠-∠=θ，可知：a =b =c =，故B 到A 的路径长度为：EA E F BF L A B ++=- 。
其中，θr E F = ，22r a BF -=，22r c EA -=， 即2222r c r a r L A B -+-+=-θ。
并且利用相切的关系可以得出下面两个方程：22a r r⎧-=⎪= 可以解出切点55(,)F x y ，同理可以解出切点44(,)E x y 。
转过了两个圆弧，如图6：情况一：图6假设两圆心坐标分别为11(,)O x y 和22(,)O x y ',半径均为r ，O 点坐标为33(,)x y ，则容易求得:123123,2,2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 这样我们就可以利用只有一个圆弧中的方法，先求A 到O ，再求O 到B ，于是分两段就可以求解。
同理如果有更多的转弯，同样可按照此种方法分解。
情况二：图7设圆心坐标分别为),(22y x O 和),(33'y x O ,半径均为r ，),(),,(4411y x Q y x P ，PO 的长为a ,'OO 长为b ,'PO 长为c ，QO 长为d ，'QO 长为e ；'1POO α∠=，2POA α∠=，'3QOO α∠=，'4QO D α∠=，1AOB θ∠=，2COD θ∠=；由这些点的几何关系可以得到：a =b =c =d =e =其中：2221c o s 2a b c ar abα+-=，2cos r ar a α=，2223ar cos 2b e d be α+-=，4cos rar e α=，11232πθαα=-- ，23432πθαα=--.则PA =1AB r θ= ，BC b =，2CD r θ= ，DQ =所以： L PA AB BC CD DQ =++++.情况三:当障碍物本身是个圆弧时：图8此种情况计算路径的方法同情况二。