高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教版选修2
【复习必备】2018高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析(1)学案 苏教版选修1-2
2.1.3 推理案例赏析[学习目标] 1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．[知识链接]1．归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答 归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向． 2．类比推理的结论是否一定正确？答 从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有待于进一步论证． 3．合情推理与演绎推理有何异同之处？答 合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程． [预习导引] 1．数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程． 2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据．要点一 运用归纳推理探求结论例1 已知数列的前4项为32，1，710，917，试写出这个数列的一个通项公式．解 把已知4项改写为32，55，710，917，记此数列的第n 项为a n ，则有a 1＝2×1＋112＋1，a 2＝2×2＋122＋1，a 3＝2×3＋132＋1，a 4＝2×4＋142＋1，…. 据此猜测a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪演练1 下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n 个图形中小等边三角形的个数为________．答案 n 2解析 前4个图中小等边三角形的个数分别为1,4,9,16. 猜测：第n 个图形中小等边三角形的个数为n 2. 要点二 运用类比推理探求结论例2 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，则BC 2＝BD ·BA (如图甲)．类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P －ABC (如图乙)中，可得到什么结论？解 如图，在三棱锥P －ABC 中，作PO ⊥平面ABC ，连结OB ，OC ，猜想下列结论：S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .证明：连结AO ，并延长交BC 于D ，连结PD .PA ⊥PB ，PA ⊥PC ⇒PA ⊥平面PBC .∵PD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴PA ⊥PD ，PA ⊥BC .∵PO ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PO ⊥AD ，PO ⊥BC .∴BC ⊥平面PAD . ∴BC ⊥AD ，BC ⊥PD .S 2△PBC ＝(12BC ·PD )2＝14BC 2·PD 2，S △OBC ·S △ABC ＝12BC ·OD ·12BC ·AD＝14BC 2·OD ·AD . ∵PD 2＝OD ·AD ， ∴S 2△PBC ＝S △OBC ·S △ABC .规律方法 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪演练2 如图，设△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，BC 边上的高AD ＝h .扇形A 1B 1C 1中，＝l ，半径为R ，△ABC 的面积可通过下列公式计算：(1)S ＝12ah ；(2)S ＝12bc sin ∠BAC .运用类比的方法，猜想扇形A 1B 1C 1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________； (2)________________________________________________________________________． 答案 (1)S ＝12lR 真命题(2)S ＝12R 2sin A 1 假命题要点三 运用演绎推理证明结论的正确性例3 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)求证数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)求证不等式S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．11B C(1)证明 由a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *. ∴a n ＋1－(n ＋1)a n －n＝4 (n ∈N *)．∴数列{a n －n }是以a 1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，∴a n ＝n ＋4n －1.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n ＋4n －1) ＝(1＋2＋…＋n )＋(1＋4＋…＋4n －1)＝n (n ＋1)2＋13·4n－13. (3)证明 由(2)知，S n ＋1－4S n ＝(n ＋1)(n ＋2)2＋13·4n ＋1－13－4[n (n ＋1)2＋13·4n －13]＝(n ＋1)(n ＋2)2－2n (n ＋1)＋1＝－(n －1)(3n ＋4)2≤0，∴S n ＋1≤4S n 恒成立(n ∈N *)．规律方法 演绎推理的一般形式是三段论，证题时要明确三段论的大前提、小前提和结论，写步骤时常省略大前提或小前提．跟踪演练3 已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调增函数． 证明 设x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)， ∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0， [f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，f (x 2)>f (x 1)． ∴y ＝f (x )为R 上的单调增函数.1．一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________． 答案3解析 ∵a 2＝9＝6×2－3，a 3＝15＝6×3－3， a 4＝21＝6×4－3，∴猜想a 1＝6×1－3＝ 3.2．在平面中，圆内接平行四边形一定是矩形．运用类比，可猜想在空间有如下命题：________________________________________________________________________. 答案 球内接平行六面体一定是长方体3．设x i >0 (i ∈N *)，有下列不等式成立，x 1＋x 2≥2x 1x 2；x 1＋x 2＋x 3≥33x 1x 2x 3，…类比上述结论，对于n 个正数x 1，x 2，…，x n ，猜想有下述结论________________________________． 答案 x 1＋x 2＋…＋x n ≥n nx 1x 2…x n4．已知a ，b ∈N *，f (a ＋b )＝f (a )f (b )，f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝________. 答案 4028解析 令b ＝1，则f (a ＋1)＝f (a )f (1)， ∴f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2. ∴f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋…＋f (2015)f (2014)＝2＋2＋…＋2＝2×2014＝4028.1.数学活动中，合情推理和演绎推理相辅相成，共同推动发现活动的进程．2．合情推理中要对已有事实进行分析，作出猜想，猜想的结论为演绎推理提供了目标和方向．一、基础达标1．有两种花色的正六边形地板砖，按下面的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有底纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有底纹的正六边形的个数组成等差数列a 1＝6，d ＝5，∴a 6＝6＋(6－1)×5＝31.2．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，… 由此猜测第n 个等式为________________________________________________________________________(n ∈N *)． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n23．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋1.则此数列的前4项分别为a 1＝________，a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________.据此猜测，数列{a n }的通项公式为a n ＝______________________.答案 2 3 5 7 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥24．正方形ABCD 中，对角线AC ⊥BD .运用类比的方法，猜想正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，相关结论：______________________. 答案 对角面AA 1C 1C ⊥面BB 1D 1D5．如果函数f (x )是奇函数，那么f (0)＝0.因为函数f (x )＝1x是奇函数，所以f (0)＝0.这段演绎推理错误的原因是__________________． 答案 大前提错误6．已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，三边是a ，b ，c ，则有a ＝c cos B ＋b cos C ；类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P －ABC 中，△ABC ，△PAB ，△PBC ，△PCA 的面积分别是S ，S 1，S 2，S 3，二面角P －AB －C ，P －BC －A ，P －AC －B 的度数分别是α，β，γ，则S ＝__________________________. 答案 S 1cos α＋S 2cos β＋S 3cos γ7．已知等式：3tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝3， 3tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝3， 3tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝ 3. 据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想． 解 猜想：3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝3， 其中α＋β＝60°.证明：∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β，即3＝tan α＋tan β1－tan α·tan β.整理，得3tan α·tan β＋tan α＋tan β＝ 3. 二、能力提升8．已知等式：(tan5°＋1)(tan40°＋1)＝2；(tan15°＋1)·(tan30°＋1)＝2；(tan25°＋1)(tan20°＋1)＝2.据此可猜想出一个一般性命题：________________________________________________________________________. 答案 (tan α＋1)[tan(45°－α)＋1]＝29．设M 是具有以下性质的函数f (x )的全体：对于任意s >0，t >0，都有f (s )＋f (t )<f (s ＋t )．给出函数f 1(x )＝log 2x ，f 2(x )＝2x－1.下列判断正确的是________． ①f 1(x )∈M ；②f 1(x )∉M ；③f 2(x )∈M ；④f 2(x )∉M . 答案 ②③解析 对于f 1(x )＝log 2x ；log 22＋log 24>log 2(2＋4)，所以f 1(x )∉M .对于f 2(x )＝2x－1：2s－1＋2t－1－(2s ＋t－1)＝－(2s －1)(2t－1)<0，f 2(x )∈M .10．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e .将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.答案 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m ，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率为e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e11．已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律． 解 (1)∵a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n (n －1)2×2＝n (n ＋4)．(2)∵T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]＝4n 2＋n . ∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当2≤n ≤5，n ∈N 时，S n <T n .归纳猜想：当n ＝1时，S n ＝T n ；当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .12．在平面中有命题：等腰三角形底边上任一点到两腰距离之和等于一腰上的高．把此结论类比到空间的正三棱锥，猜想并证明相关结论．解 猜想结论：正三棱锥底面上任一点到三个侧面的距离之和等于以侧面为底时三棱锥的高．证明如下：设P 为正三棱锥A －BCD 底面上任一点，点P 到平面ABC ，ACD ，ABD 的距离分别为h 1，h 2，h 3，以侧面ABC 为底时对应的高为h ，则： V P －ABC ＋V P －ACD ＋V P －ABD ＝V D －ABC .即：13S △ABC ·h 1＋13S △ACD ·h 2＋13S △ABD ·h 3＝13S △ABC ·h . ∵S △ABC ＝S △ACD ＝S △ABD ，∴h 1＋h 2＋h 3＝h ，此即要证的结论． 三、探究与创新13．记S n 为数列{a n }的前n 项和，给出两个数列： (Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，… (Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…(1)对于数列(Ⅰ)，计算S 1，S 2，S 4，S 5；对于数列(Ⅱ)，计算S 1，S 3，S 5，S 7；(2)根据上述结果，对于存在正整数k ，满足a k ＋a k ＋1＝0的这一类等差数列{a n }的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．解 (1)对于数列(Ⅰ)，S 1＝S 5＝5，S 2＝S 4＝8；对于数列(Ⅱ)，S 1＝S 7＝－14，S 3＝S 5＝－30. (2)对于等差数列{a n }，当a k ＋a k ＋1＝0时，猜想S n ＝S 2k －n (n ≤2k ，n ，k ∈N *)． 下面给出证明：设等差数列{a n }的前项为a 1，公差为d . ∵a k ＋a k ＋1＝0，∴a 1＋(k －1)d ＋a 1＋kd ＝0， ∴2a 1＝(1－2k )d .又S 2k －n －S n ＝(2k －n )a 1＋(2k －n )(2k －n －1)2d －na 1－n (n －1)2d＝[(k －n )(1－2k )＋(2k －n )(2k －n －1)2－n (n －1)2]d ＝0.∴S 2k －n ＝S n ，猜想正确．。
【2020】最新高中数学第2章推理与证明2-1-3推理案例赏析(1)学案苏教版选修1-2
11．已知等差数列{an}的公差d＝2，首项a1＝5.
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)设Tn＝n(2an－5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并归纳出Sn与Tn的大小规律．
将该命题类比到双曲线中，给出一个命题：________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
(2)解 由(1)可知an－n＝4n－1，∴an＝n＋4n－1.
∴Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)
＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)
＝ ＋ ·4n－ .
(3)证明 由(2)知，Sn＋1－4Sn＝ ＋ ·4n＋1－ －4[ ＋ ·4n－ ]
＝ －2n(n＋1)＋1＝－ ≤0，∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)．
答案S1cosα＋S2cosβ＋S3cosγ
7．已知等式： tan30°·tan30°＋tan30°＋tan30°＝ ，
tan20°·tan40°＋tan20°＋tan40°＝ ，
tan15°·tan45°＋tan15°＋tan45°＝ .
据此猜想出一个一般性命题，并证明你的猜想．
解 猜想： tanα·tanβ＋tanα＋tanβ＝ ，
∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案苏教版选修22word格式
合情推理学习目标要点难点1．联合已学过的数学实例和生活中的要点：理解概括推理和类比推理的含实例，能解析合情推理的含义，能利义，并能利用概括推理和类比推理进用概括推理和类比等方法进行简单的行简单的推理．推理．难点： 1．能运用合情推理进行简单推2．会解析概括推理与类比推理的联系理．与差别，意会并认识合情推理在数学2．认识合情推理在数学发现中的作发现中的作用.用.1．推理从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思想过程称为________．任何推理都包括________和 ________两个部分， ________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么； ________是依据 ________推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．2．概括推理(1) 从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理平时称为________．其思想过程大体为 ________→ ________→ ____________.(2)概括推理的特色①概括推理的前提是几个已知的特别现象，概括所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所________．②由概括推理获得的结论拥有猜想的性质，结论能否真实，还需要经过逻辑证明和实践检验．所以，它不可以作为 ________的工具．③概括推理是一种拥有创办性的推理．经过概括法获得的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们 ________．预习交流1做一做：由三角形的内角和是 180°，凸四边形的内角和是 360°＝ 2×180°，凸五边形的内角和是 540°＝3×180°，概括出结论：__________________________________________.3．类比推理依据两个 ( 或两类 ) 对象之间在某些方面的相似或同样，推演出它们在其余方面也相似或同样，像这样的推理平时称为________，简称________．其思想过程大体为________→ ________→ __________.预习交流2做一做：对于平面几何中的命题：夹在两平行线之间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可得命题为 ________________ ．4．合情推理合情推理是依据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程． ________和________都是数学活动中常用的合情推理．预习交流3合情推理拥有哪些特色？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在以下表格中做个 忘吧！我的学困点我的学疑点答案： 引1．推理前提前提前提2． (1) 推理 、 察 概括、推行 猜 一般性 (2) ①包括的范②数学 明 ③ 和提出交流1：提示：凸 n 形的内角和是 ( n －2) ×180° 3． 比推理 比法 察、比 想、 推 猜 新的交流 2：提示： 在两平行平面之 的平行 段相等 4． 推理 比推理交流 3：提示：合情推理有以下特色：(1) 在数学研究中， 获得一个新 以前， 合情推理常常能帮助我 猜 和 ； (2) 明一个数学 以前，合情推理常常能 我 供给 明的思路和方向；(3) 一般来 ，合情推理所 得的 ， 是一种猜想，未必靠谱．一、 推理依据以下条件写出数列的前 4 ，并 猜想它 的通 公式：(1) a 1＝ 0，a n ＋ 1＝ a n ＋ (2 n － 1)( n ∈ N * ) ；1*(2) a 1＝ 1，a n ＋ 1＝ a n ( n ∈ N ) ．思路解析： 本 可利用 推理求出数列的通 公式． 推理拥有由特别到一般，由详尽到抽象的 功能，在得出前几 果后，要注意 一形式，以便 找 律，此后 猜想出 ．1． 察以下各式： 72＝ 49,7 3＝ 343,7 4 ＝2 041，⋯， 72 011 的末两位数字 __________ ．2． (2012 西高考 ) 察以下不等式1 3 1＋ 22＜ 2， 1＋1＋1 ＜5，22 32 31 1 1 71＋ 22 ＋ 32＋42＜ 4，⋯⋯ 照此 律，第五个 不等式 ____________________ ．．．． 14) 若 f ( n )n 2＋ 1 的各位数字之和，如 142＋ 13． (2012 山 省 中学 断，文 ＝ 197,1 ＋ 9＋ 7＝ 17， f (14) ＝ 17， f 1( n ) ＝f ( n ) ，f 2( n ) ＝f ( f 1( n )) ，f 3( n ) ＝ f ( f 2( n )) ，⋯，f k ＋ 1( ) ＝ ( k ( )) ， ∈N *，f 2 012(8) ＝ __________.n f f nk推理的一般步 是：(1) 通 察个 状况， 某些同样性 ；(2) 从已知的同样性 中推出一个明确表达的一般性的命 (猜想 )．二、 比推理在平面上，若两个正三角形的 比 1∶ 2， 它 的面 比 1∶4， 似地，在空 中，若两个正四周体的棱 比 1∶ 2， 它 的体 比 __________．思路解析： 两个正三角形是相似的三角形， ∴它 的面 之比是相似比的平方． 同理，两个正四周体是两个相似几何体，体 之比 相似比的立方，∴它 的体 比 1∶ 8.已知△ABC 的 分a ，b ，c ，内切 半径r ，用S △ABC 表示△ ABC 的面 ，S △ ABC1＝ 2r ( a ＋ b ＋ c ) ． 比 一 有：若三棱A － BCD 的内切球半径R ， 三棱 体V A－ BCD＝________.(1) 比定 ：本 型 解决的关 在于弄清两个看法的相似性和相异性．(2) 比性 ( 定理 ) ：本 型 解决的关 是要理解已知性 ( 定理 ) 的内涵及 用 境、使用方法，通研究已知性 ( 定理 ) ，刻画新性 ( 定理 ) 的“面貌”．(3) 比方法 ( 公式 ) ：本 型 解决的关 在于从解 方法 ( 或公式 ) 中， 得使用方法 ( 或公式 ) 的启示或推 方法 ( 或公式 ) 的手段，从而指 解决新 ．(4) 比模范： 有些供给模范的推理 ，解答 可依据所 的信息与所求 的相似性，运用 比的方法模拟模范，使 获得解决．1．在△ ABC 中， D BC 的中点， 1＝ 2( ＋) ，将命 比到四周体中去 获得一个 比命 ： _______________________________________________________________________________________________________________________________.2．若数列 { a n }( n ∈N *) 是等差数列， 数列 b n ＝a1＋a2＋a3＋⋯＋an( n ∈ N * ) 也是等差n数列．比上述性 ，相 地：**若数列 { c n }( n ∈ N ) 是等比数列，且 c n ＞ 0， 数列 d n ＝______( n ∈ N ) 也是等比数列．3． 平面内有n 条直 ( n ≥ 3) ，此中有且 有两条直 相互平行，任意三条直 不 同一点．若 f ( n ) 表示 n 条直 交点的个数， f (4) ＝ __________ ，当 n ＞ 4 ， f ( n ) ＝ __________( 用 n 表示 ) ．4． (2012 山 宁 城二中月考，文13) 出以下命 ：命 1：点 (1,1)是直 y ＝ x1与双曲 y ＝ 的一个交点；x8命 2：点 (2,4) 是直 y ＝ 2x 与双曲 y ＝ x 的一个交点；命 3：点 (3,9)是直 y ＝ 327 的一个交点；x 与双曲 y ＝x⋯⋯察上边命 ，猜想出命n ( n 正整数 ) ______________________________ ．5． 于大于 1 的自然数 m 的 n 次 可用奇数 行如 表示的“分裂” ． 53 的“分裂”中的最小数 ，而 52的“分裂”中最大数， a ＋ ＝__________.ab b6 ． (2012 湖北高考 ) 回文数是指从左到右 与从右到左 都一 的正整数．如22,121,3 443,94 249 等． 然 2 位回文数有 9 个： 11,22,33 ，⋯， 99；3 位回文数有 90个： 101,111,121 ，⋯， 191,202 ，⋯， 999. (1)4 位回文数有 ________个；(2)2 n ＋ 1( n ∈ N * ) 位回文数有 ________个．提示：用最精 的 言把你当堂掌握的中心知 的精 部分和基本技术的要 部分写下来并 行 .知 精 技术要答案： 活 与研究1：解： (1) 当 n ＝ 1 ， a 1＝ 0. 由 a n ＋ 1＝ a n ＋(2 n － 1)( n ∈ N*) ，得 a 2＝ a 1＋ 1＝1，a 3＝ a 2＋ 3＝ 4，a 4＝ a 3＋ 5＝ 9.由 a 1＝ 02， a 2＝ 12， a 3＝ 22， a 4＝32，n2可 出 a ＝ ( n － 1) .(2) 当n ＝1 ， a 1＝1，由a n ＋ 1＝ 1 ∈N*) 得 2＝11 11，11 n ( 1＝，3＝2＝4＝3＝.2a n a 2a2 a2a4 a2a81由 a 1 ＝ 20， a 2＝ ， a 3＝ ， a 4＝ ，可 猜想 ( n ∈ N*) ．迁徙与 用：1． 43 解析： 因 71 ＝7,7 2＝ 49,7 3＝ 343,7 4＝ 2 401， 75＝ 16 807， 76＝ 117 649，⋯，所以 些数的末两位数字呈周期性出 ，且周期T ＝4. 又 2 011 ＝4×50 2＋ 3，所以 72 011 的末两位数字与73 的末两位数字同样， 43.1 1 1 1 1 111112．1＋ 22＋32＋ 42＋ 52＋ 62＜6解析： 由前几个不等式可知1＋ 22＋ 32＋ 42＋⋯＋12n － 1＜.n2n1111111所以第五个不等式1＋ 22＋ 32＋ 42＋ 52＋62＜ 6.3． 5 解析： ∵ 82＋ 1＝ 65,6 ＋ 5＝ 11，∴ f (8) ＝ 11， f 1(8) ＝ f (8) ＝ 11. 又∵ 112＋ 1＝122,1 ＋ 2＋ 2＝ 5，∴ f 2(8) ＝ f ( f 1(8)) ＝ f (11) ＝ 5. 又 52＋ 1＝ 26， 2＋ 6＝8，∴ f 3(8) ＝f ( f 2(8)) ＝f (5) ＝8 ，⋯，同理有 f 4(8) ＝ 11，f 5(8) ＝ 5， f 6(8) ＝8，⋯，∴ f k (8) 的 呈周期性出 ，周期3. ∴ f 2 012 (8) ＝ f 2 (8) ＝ 5.活与研究2：1∶ 8迁徙与用：1△ ABC＋△ ACD＋△ BCD＋△ABD)解析：内切半径r 比，(――→ 内切球半径3RS SSS R比三角形的周：a＋ b＋ c――→三棱各面的面和：S△ABC＋ S△ACD＋ S△BCD＋ S△ABD，1 比1三角形面公式系数2――→三棱体公式系数3.∴ 比得三棱体1V A－BCD＝3R( S△ABC＋ S△ACD＋ S△BCD＋ S△ABD)．( 明，三角形的可用等面法，三棱的可用等体法)当堂1．在四周体A－BCD中，G是△BCD的重心，1＝3(＋＋) 解析：平面中段的中点比到空四周体中面的重心，点与中点的比点和重心的．nc1c2c3⋯cn解析：等差数列中，由 a1＋ a n＝ a2＋ a n－1＝⋯，得 b n＝2 ．a1＋ a2＋ a3＋⋯＋ an(a1 ＋ an)n a1＋ an a1＋ a1＋(n － 1)d dn＝2n＝2＝2＝ a1＋2( n－1)，仍等差数列．而等比数列中，由c1c n＝ c2c n－1＝⋯，得d n＝nc1c2c3⋯cn＝n⋯ (c1qn － 1) ＝，仍等比数列．c1(c1q)(c1q2)3． 51(n ＋1)(－ 2) 解析：如可得f(4) ＝ 5.2n∵f (3)＝2， f (4)＝5＝ f (3)＋3， f (5)＝9＝ f (4)＋4， f (6)＝14＝ f (5)＋5，⋯∴每增添一条直，交点增添的个数等于本来直的条数．累加，得∴ f ( n)＝f ( n－1)＋ n－1，f ( n)＝f (3)＋3＋4＋5＋⋯＋( n－1)＝ 2＋3＋ 4＋⋯＋ ( n－ 1)1＝ ( n＋ 1)(2n－2)．4．点 ( n，n2) 是直y＝ nx 与双曲y＝n3x的一个交点解析：由已知交点挨次写(1,1 2) ，(2,2 2) ，(3,3 n 中直的系数2)，∴命n 中交点n.双曲中系数挨次( n，n2) ．直中系数挨次1,2,3 ，⋯，∴命3, 3331 2 ，3 ，⋯，∴命n 中双曲系数n ，∴命题n 为：点 ( n ， n 2 ) 是直线y ＝ nx 与双曲线n3y ＝ x 的一个交点．5．303 个从解析： ∵ 22 的“分裂”中有连续 2 个从 1 开始的奇数， 32 的“分裂”中有连续2 21 开始的奇数， 4 的“分裂”中有连续 4 个从 1 开始的奇数， ∴ 5 的“分裂”中有连续 5 个从 1 开始的奇数，即，∴ ＝9.3, 3,33b的“分裂”挨次是从 3 开始的连续奇数， ∴ 521，又∵2 34 的“分裂”的第一个数为即 a ＝21.∴ ＋ ＝ 30.n2 位回文数均是不为 0a b6．(1)90解析： (1) 的自然数， 故有 9 个；而对于 (2)9 ×10 3 位回文数，首、末均同样且不为 0，故有 9 种，而对于中间一数可含有 0，故有 10 种，所以 3 位回文数有 90 种；对于 4 位回文数， 首、末均同样且不为 0，故有 9 种，对于中间两数则可含有 0，故有 10 种，所以也有 90 种；(2) 经概括可得 2n ＋ 1 位回文数有 9×10n 个．。
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析自我小测 苏教版选修2-2(2021年整理)
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修2-21．下面几种推理过程是演绎推理的是__________．(填序号)①两条直线平行，同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某校高三共有10个班，一班有51人,二班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列｛a n ｝中，a 1＝1，11112n n n a a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（n ≥2)，由此归纳出{a n ｝的通项公式 2．“平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆(大前提），平面内动点M 到两定点F 1（－2,0)，F 2(2，0）的距离之和为4（小前提)，则M 点的轨迹是椭圆(结论）．”此推理中错误的是____________．3．类比梯形的面积公式：S ＝12×(上底＋下底)×高，可推知上底半径为r 1，下底半径为r 2，母线长为l 的圆台侧面展开图中扇环的面积公式S 扇环＝__________。
4．因为直线a ，b 为异面直线，所以直线a ，b 没有交点，这里运用的推理规则是________．5．定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它后面一项的和都为同一常数，那么这个数列叫等和数列．下列数列不是等和数列的为__________（填正确结论的序号)．①a n ＝10 ②2,3,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数③2,3,n n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 ④22sin ,cos ,n n a n αα⎧=⎨⎩为奇数为偶数6．在三段论“∵a ＝（1,0),b ＝（0，－1）,∴a·b ＝(1,0）·（0，－1）＝1×0＋0×（－1)＝0,∴a⊥b ”中，大前提：___________________________________________________________________， 小前提：___________________________________________________________________, 结论：_____________________________________________________________________。
高中数学第二章推理与证明2.1.3推理案例赏析课件苏教版选修22
如图2-1-17所示，三棱锥A-BCD的三条侧棱AB，AC，AD两两互相垂 直，O为点A在底面BCD上的射影．
图2-1-17 (1)求证：O为△BCD的垂心； (2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给 出证明．
第二十页，共37页。
【精彩点拨】 (1)利用线面垂直与线线垂直的转化证明O为△BCD的重心． (2)先利用类比推理猜想出一个结论，再用演绎推理给出证明．
第二十七页，共37页。
第二十八页，共37页。
1．设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k＋1)＝f(k)＋ ________.
【导学号：01580040】 【解析】 k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可 构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面． 所以f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1. 【答案】 k－1
即n＋n＋nn2－3＝n2＋2 n.f(4)＝4×2＋4×2 1×2＝12，
f(n)＝n(n－2)＋nn2－3×(n－2)＝nn－12n－2.
【答案】
n2＋n 2
12
nn－1n－2 2
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3．下面几种推理是合情推理的是________．(填序号) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三 角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此 得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
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【解析】 因为半径为R的球的体积V(R)＝43πR3， 表面积S(R)＝4πR2， 类比(πr2)′＝2πr，得43πR3′＝4πR2. 因此②式应为：43πR3′＝4πR2. 且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数． 【答案】 43πR3′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
苏教版高二数学选修2-2 2.1.3 推理案例赏析 课件(29张)
第2章 推理与证明
(3)___演__绎__推__理____是形式化程度较高的必然推理，在数学发 现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情 推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明， 从而为调控探索活动提供依据．
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第2章 推理与证明
(4)合情推理与演绎推理的区别与联系(如下表)：
第2章 推理与证明
[解] (1)证明：①12x2＋12y2－12x＋12y2
＝12x2＋12y2－14x2－12xy－14y2 ＝14x2－12xy＋14y2＝14(x－y)2≥0，
∴12x2＋12y2≥12x＋12y2. ②13x2＋23y2－13x＋23y2
＝29x2＋29y2－49xy＝29(x－y)2≥0，
第2章 推理与证明
2．1.3 推理案例赏析
第2章 推理与证明
学习导航 1.理解认识合情推理和演绎推理的作用、特点 以及两者之间的联系．(重点)
学习 2．掌握并能够利用合情推理和演绎推理研究某
目标 些数学问题，提高分析问题、探究问题的能 力．(难点) 在实际的数学活动中，通过观察、思考、联想，
学法 可以猜测新的结论，新的结论的正确性可以利
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第2章 推理与证明
S2△PBC＝12BC·PD2＝14BC2·PD2，
S△OBC·S△ABC＝12BC·OD·12BC·AD. ＝14BC2·OD·AD ∵PD2＝OD·AD，∴S2△PBC＝S△OBC·S△ABC.
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第2章 推理与证明
方法归纳 在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般栏目 导引
第2章 推理与证明
1.平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公 共点，它们将平面分成f(n)块区域，有f(1)＝2，f(2)＝4，f(3) ＝8，f(4)＝14，则猜想f(n)的表达式为____n_2_－__n_＋__2____． 解析：由f(2)－f(1)＝2，f(3)－f(2)＝4，f(4)－f(3)＝6，…，猜 测f(n＋1)－f(n)＝2n，利用累加法，得f(n)＝n2－n＋2
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析自主练习 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-
高中数学 第2章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析自主练习 苏教版选修2-2我夯基 我达标1.已知一个命题P(k)，这里k=2n(n∈N *)，当n=1，2，…，999时，P(k)成立，并且当n=999+1时它也成立.则下列命题中正确的是( )A.P(k)对于k=2 002成立B.P(k)对于每一个自然数k 成立C.P(k)对于每一个偶数k 成立D.P(k)对于某个偶数可能不成立思路解析：由已知k=2,4,6,…,2 000时命题成立，其他数成立不成立不确定.答案:D2.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n (na+b)+c 对一切n∈N *都成立.则a=__________，b=__________,c=__________.思路解析：法一：错位相减法，求左边的和.设S n =1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1，3S n =1×3+2×32+3×33+…+(n-1)·3n-1+n·3n ，∴-2S n =1+3+32+33+…+3n-1-n·3n =3131--n -n·3n =(21-n)·213-n . ∴S n =(4121-n )·413+n =3n (na+b)+c. ∴a=21,b=41-,c=41. 法二：令n=1,2,3,解方程组.答案:414121-3.等式：12+22+32+…+n 2=24752+-n n ，则( ) A.n 为任何自然数时都成立 B.仅当n=1,2,3时成立C.n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立思路解析：先将n=1、2、3、4、5分别代入验证.答案:B4.观察：(a-b)(a+b)=a 2-b 2；(a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3-b 3；(a-b)(a 3+a 2b+ab 2+b 3)=a 4-b 4；……猜出___________=a n -b n .思路解析：观察式子，找规律.答案:(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b 2+…+a 2b n-3+ab n-2+b n-1)5.1=1;1-4=-(1+2);1-4+9=1+2+3;1-4+9-16=-(1+2+3+4);……则第n 个式子为_____________.思路解析：观察左、右两边的数及其变化答案:1-4+9-16+…+(-1)n-1·n 2=(-1)n-1(1+2+…+n)我综合 我发展6.正三角形内的任意一点到三边的距离之和是一个定值.(1)用面积方法证明这个命题；(2)将这个命题类比到空间中去，并用体积法证明.思路分析：将三角形分割为三个三角形，并类比到空间，正三角形对应正四面体 解：(1)设点O 是正△ABC 内任意一点，它到三边距离分别为h 1、h 2、h 3,正△ABC 的高为h ，则S △OAB +S △OBC +S △OCA =S △ABC . ∴21212121321=•+•+•h CA h BC h AB AB·h. ∴h 1+h 2+h 3=h.(2)正四面体中任意一点到各面的距离之和是一定值.设O 为正四面体A —BCD 内任意一点，到各面的距离分别为h 1、h 2、h 3、h 4,正四面体的高为h.则V O —ABC +V O —ABD +V O —ACD +V O —BCD =V A —BCD ,即ABC BCD ACD ABD ABC hS h h h S h S ∆∆∆∆∆=•+•+•+•31313131314321. ∴h 1+h 2+h 3+h 4=h.7.(2004上海春季高考,20)如图2-1-17所示，点P 为斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM⊥BB 1交AA 1于点M ，PN⊥BB 1交CC 1于点N.图2-1-17(1)求证：CC 1⊥MN；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2=DF 2+EF 2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并加以证明.思路分析：本题通过类比将平面内余弦定理扩展到空间.证明：(1)∵CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥PM，CC 1⊥PN.∴CC 1⊥平面PMN.∴CC 1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，有αcos 21111211211211B B CC B B AA B B CC B B AA C C AA S S S S S •-+=,其中α为侧面AA 1B 1B 与侧面CC 1B 1B成的二面角.在△PMN 中，MN 2=PM 2+PN 2-2PM·PNcosα,两边同乘以侧棱长BB 12即可得到结论.8.(经典回放)若M 、N 是椭圆C ：2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在时，记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN 之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明.思路分析：利用类比得相同的结论，用圆锥曲线的知识给出证明.解：若M 、N 是双曲线12222=-by a x 上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM ·k PN 是与点P 位置无关的定值.设点M(m,n),则点N(-m,-n)，其中12222=-bn a m .又设P(x,y)，从而 k PM =m x n y --,k PN =mx n y ++, 从而k PM ·k PN =2222m x n y m x n y m x n y --=++•--. 注意到2222222222,b m a b n b x a b y -=-=代入上式有 k PM ·k PN =22ab .。
2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析学业分层测评 苏教版选修2-2
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.3推理案例赏析学业分层测评 苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如图2119所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.【导学号：01580042】图2119【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.【答案】 62．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23＝⎩⎪⎨⎪⎧3，5， 33＝⎩⎪⎨⎪⎧7，9，11，43＝⎩⎪⎨⎪⎧13，15，17，19，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋m m －2×2＝m 3，∴a 1＝m 2－m ＋1.∵a 1为奇数，又452＝2 025， ∴猜想m ＝45. 验证453＝91 125＝＋2.【答案】 453．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等4．观察下面不等式：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，猜想第n 个不等式为________．【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1n 2，而右端的分母正好是n ，分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n.故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)．【答案】 1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋，有以下不等式成立：a 1＋a 22≥a 1a 2，a 1＋a 2＋a 33≥3a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式是_______________________________________________．(要注明成立的条件) 【答案】a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋)6．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…则52 015的末四位数字为________．【解析】 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125， 58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125， 510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴52 015＝54×503＋3末四位数字为8 125.【答案】 8 1257．(2016·湖北调研)如图2120①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则图2120(1)f (5)＝________；(2)f (2 015)的个位数字为________．【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个位数字是1.【答案】 (1)21 (2)18．(2016·江西稳派调研)将2n按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015排在数表的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.【解析】 由于2 015行第4列，所以n ＝504，m ＝4.所以S n ＝22[1－4504]1－24＝22 018－415. 【答案】22 018－415二、解答题9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2nS n (n ∈N *)，证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .【导学号：01580043】【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2nS n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1， ∴对任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值32a .类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明．【解】 类比所得的真命题是：棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值63a . 证明：设M 是正四面体P ABC 内任意一点，M 到面ABC ，面PAB ，面PAC ，面PBC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，d 4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P ABC ＝V M ABC ＋V M PAB ＋V M PAC ＋V M PBC ＝13·S △ABC ·(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)， 而S △ABC ＝34a 2，V P ABC ＝212a 3， 故d 1＋d 2＋d 3＋d 4＝63a (定值)． 能力提升]1．(2016·盐城高二期终)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…类比这些等式，若6＋a b ＝6ab(a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝______. 【解析】 类比已知的3个等式，知a ＝6，b ＝62－1＝35.所以a ＋b ＝41. 【答案】 412．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于________．【解析】 如图，设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等体积法有4×13×34r ＝13×34×63⇒r ＝612，故AO＝AM －MO ＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 【答案】 33．(2016·湖北宜昌高三模拟)观察下列等式： ①sin 2θ＝cos θ·2sin θ；②sin 4θ＝cos θ(4sin θ－8sin 3θ)；③sin 6θ＝cos θ(6sin θ－32sin 3θ＋32sin 5θ)；④sin 8θ＝cos θ(8sin θ－80sin 3θ＋192sin 5θ－128sin 7θ)；⑤sin 10θ＝cos θ(10sin θ－160sin 3θ＋m sin 5θ－1 024sin 7θ＋n sin 9θ)． 则可以推测(1)n ＝________，(2)m ＝________.【解析】 由给定等式的规律可知奇数式的最后一项系数为正数．数值为2n，n 的值与sin θ的次数相同，所以式子⑤中n ＝29＝512.另一特征为括号中所有系数的和奇数式与θ的系数相等，偶数式与θ的系数相反，所以⑤式中10－160＋m －1 024＋512＝10，∴m ＝672.【答案】 512 672【答案】 14 5．设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，a ≠1)．(1)请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示． (2)如果(1)中获得一个结论，请你推测能否推广并加以证明． 【解】 (1)由题意可得f (2)＝a 2＋a －22，f (3)＝a 3＋a －32，g (2)＝a 2－a －22，g (3)＝a 3－a －32.则f (3)·g (2)＋g (3)·f (2) ＝a 5－a ＋a －1－a －5＋a 5＋a －a －1－a －54＝a 5－a －52.又g (5)＝a 5－a －52，因此，g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)． (2)g (5)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)， 即g (3＋2)＝f (3)·g (2)＋g (3)·f (2)．于是猜测g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y )． 证明：∵f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2，∴g (x ＋y )＝ax ＋y －a －x ＋y2，g (y )＝a y －a －y2，f (y )＝a y ＋a －y2，所以f (x )·g (y )＋g (x )·f (y ) ＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y2＝ax ＋y－a －x ＋y2＝g (x ＋y )．故g (x ＋y )＝f (x )·g (y )＋g (x )·f (y ).。
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2.1.3 推理案例赏析1．推理案例的启示(1)数学发现活动是一个探索创造的过程．这是一个不断地________________的过程．合情推理和演绎推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．(2)________是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定了目标和方向，具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用．(3)________是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据．2．数学命题推理数学命题推理有合情推理和演绎推理，__________和________是常用的合情推理．从推理形式上看，________是由部分到整体、个别到一般的推理，________是由特殊到特殊的推理，而演绎推理是由一般到特殊的推理；从推理所得的结论来看，________的结论不一定正确，有待于进一步证明，________在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．预习交流1做一做：在数列{a n}中，a1＝1，S n，S n＋1,2S1成等差数列(不必证明)(S n表示{a n}的前n 项和)，则S2，S3，S4分别为________，由此猜想S n＝________.预习交流2做一做：从大、小正方形的数量关系上，观察下图，归纳得出的结论是__________．预习交流3做一做：已知a＞0且a≠1，P＝log a(a3＋1)，Q＝log a(a2＋1)．求证：P＞Q.预习导引1．(1)提出猜想、验证猜想 (2)合情推理 (3)演绎推理2．归纳推理 类比推理 归纳推理 类比推理 合情推理 演绎推理预习交流1：提示：∵S n ，S n ＋1，2S 1成等差数列，∴2S n ＋1＝S n ＋2S 1.∵S 1＝a 1＝1，∴2S n ＋1＝S n ＋2.∴当n ＝1,2,3时，依次得S 2＝32，S 3＝74，S 4＝158.猜想S n ＝2n －12n －1. 预习交流2：提示：从大、小正方形的数量关系上，容易发现1＝12，1＋3＝2×2＝22，1＋3＋5＝3×3＝32，1＋3＋5＋7＝4×4＝42，1＋3＋5＋7＋9＝5×5＝52，1＋3＋5＋7＋9＋11＝6×6＝62.观察上述算式的结构特征，我们可以猜想：1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.预习交流3：证明：当a ＞1时，a 3＋1＞a 2＋1，∴log a (a 3＋1)＞log a (a 2＋1)．当0＜a ＜1时，a 3＋1＜a 2＋1，∴log a (a 3＋1)＞log a (a 2＋1)．综上，P ＞Q .一、利用合情推理提出猜想设k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱对角面的个数为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 思路分析：注意几何图形参数在由k 变到k ＋1时，发生了哪些变化，增加了多少．1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为__________．2．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________________________________________________________________________________________.合情推理和演绎推理的关系是：(1)联系：两个推理是相辅相成的，演绎推理是证明数学结论，建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路的发现，主要靠合情推理．(2)区别：合情推理的前提为真时，结论不一定为真，而演绎推理的前提为真时，结论必定为真．二、利用演绎推理证明已知{a n }为等差数列，首项a 1＞1，公差d ＞0，n ＞1且n ∈N *.求证：lg a n ＋1lg a n －1＜(lga n )2.思路分析：对数之积不能直接运算，必须由均值不等式转化为对数之和进行运算．如图所示，在梯形ABCD中AB=DC=DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD，DB平分∠CBA.三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错．再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除，此推理错误的原因是小前提错．为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式．1．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_________条．这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)=_________，f(n)=_________.(答案用数字或含n的解析式表示)2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n·3n－1＝3n(na＋b)＋c对一切n∈N*都成立，则a＝________，b＝________，c＝________.3．根据下列给出的数塔猜测123 456×9＋7＝________.1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 1114．__________，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除．请将此三段论补充完整．5．已知a，b，m均为正实数，且b＜a，用三段论证明ba＜b＋ma＋m.答案：活动与探究1：k－1 解析：k棱柱增加一条侧棱时，则这条侧棱和与之不相邻的k－2条侧棱可构成k－2个对角面，而增加一条侧棱时也使一个侧面变成了对角面．∴f(k＋1)＝f(k)＋k－2＋1＝f(k)＋k－1.迁移与应用：1．n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 解析：观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4.2．表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．活动与探究2：证明：∵{a n }为等差数列，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .∵d ＞0，∴a n －1·a n ＋1＝(a n －d )(a n ＋d )＝a n 2－d 2＜a n 2.∵a 1＞1，d ＞0，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＞1.∴lg a n ＞0.∴lg a n ＋1lg a n －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a n ＋1＋lg a n －122 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12lg(a n －1a n ＋1)2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg a n 22＝(lg a n )2， 即lg an ＋1lg an －1＜(lg an )2.迁移与应用：证明：①等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC 是等腰三角形，DA ，DC 是两腰，(小前提)∠1＝∠2.(结论)②两条平行线被第三条直线所截，截得的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截得的内错角，(小前提)∠1＝∠3.(结论)③等于同一个量的两个量相等，(大前提)∠2和∠3都等于∠1，(小前提)所以∠2＝∠3，(结论)即AC 平分∠BCD .④同理DB 平分∠CBA .当堂检测1．n 2＋n 2 12 n (n －1)(n －2)2解析：所有顶点确定的直线共有：棱数＋底边数＋对角线数，即n ＋n ＋n (n －3)2＝n 2＋n 2. f (4)＝4×2＋4×12×2＝12， f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2×(n －2)＝n (n －1)(n －2)2. 2．12 －14 14解析：错位相减法，求左边的和． 设S n ＝1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1，①则3S n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，②①－②得－2S n ＝1＋3＋32＋33＋…＋3n －1－n ×3n＝1－3n 1－3－n ×3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－n ×3n －12. ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －14×3n ＋14＝3n (na ＋b )＋c .∴a ＝12，b ＝－14，c ＝14. 3．1 111 1114．奇数不能被2整除5．证明：因为不等式两边同乘以一个正数，不等号方向不变，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提)所以m b ＜m a .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号方向不变，(大前提)m b ＜m a ，(小前提)所以m b ＋ab ＜m a ＋ab ，即b (a ＋m)＜a (b ＋m)．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变，(大前提) b (a ＋m)＜a (b ＋m)，a (a ＋m)＞0，(小前提)所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )， 即b a ＜b ＋m a ＋m.(结论) 欢迎您的下载，资料仅供参考！。