高一数学人教版A版必修二练习4.2.2 圆与圆的位置关系 Word版含解析
【成才之路】高中数学人教A版必修2练习：4.2.2圆与圆的位置关系(含答案解析)
第四章 4.2 4.2.2一、选择题1．圆x2＋y2＝1和圆x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系是导学号92181004()A．外切B．内切C．外离D．内含[答案] A[解析]圆x2＋y2＝1的圆心C1(0,0)，半径r1＝1，圆x2＋y2－6y＋5＝0的圆心C2(0,3)，半径r2＝2，∴两圆心的距离|C1C2|＝－2＋－2＝3，∴|C1C2|＝r1＋r2＝3，故两圆外切．2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为导学号92181005()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[答案] A[解析]直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此线段AB的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y＝－(x－1)，故选D．3．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是导学号92181006()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[答案] B[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.4．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是导学号92181007()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[答案] B[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r＝导学号92181008()A．5 B．4C．3 D．2 2[答案] C[解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为导学号92181009()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[答案] D[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.二、填空题7．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________.导学号92181010[答案]外切[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x －a)2＋y 2＝1的圆心C 2(a,0)，半径r 2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2，∴d ＝r 1＋r 2.∴两圆外切．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.导学号 92181011[答案] (x －2)2＋(y －2)2＝2[解析] 已知圆的标准方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x ＋y －2＝0垂直的方程为x －y ＝0.方程x －y ＝0分别与直线x ＋y －2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.三、解答题9．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.导学号 92181012[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0， 相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0， 联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为 12＋2＋－6－2＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C(－12λ－12＋，－16λ－2＋)． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－－＋＋3·－－＋－2＝0，解得λ＝12.∴圆C的方程为x2＋y2－4x＋4y－17＝0.10．判断下列两圆的位置关系.导学号92181013(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝－2＋－2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝＋2＋＋2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝2＋12＋3－12＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交.一、选择题1．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN|的最小值为导学号 92181014( ) A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2 [答案] D[解析] ∵|CC′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C′，则|MN|的最小值为R －|CC′|－r ＝2.2．过圆x 2＋y 2＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为导学号 92181015( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0 [答案] A[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．3．已知两圆相交于两点A(1,3)，B(m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是导学号 92181016( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [答案] C[解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.4．(2016·山东文)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是导学号 92181017( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 [答案] B[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a)2＝a 2，圆心(0，a)到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN|＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题5．圆x 2＋y 2＋6x －7＝0和圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的位置关系是________.导学号 92181018[答案] 相交[解析] 圆x 2＋y 2＋6x －7＝0的圆心为O 1(－3,0)，半径r 1＝4，圆x 2＋y 2＋6y －27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝－3－2＋＋2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．6．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.导学号 92181019[答案] 1[解析] 两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y ＝1a ，圆心(0,0)到直线y ＝1a的距离d ＝|1a |，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a ＝1. 三、解答题7．已知圆A ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，若圆B 平分圆A 的周长，且圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，求满足上述条件的半径最小的圆B 的方程.导学号 92181020[解析] 解法一：考虑到圆B 的圆心在直线l 上移动，可先写出动圆B 的方程，再设法建立圆B 的半径r 的目标函数．设圆B 的半径为r.∵圆B 的圆心在直线l ：y ＝2x 上，∴圆B 的圆心可设为(t,2t)，则圆B 的方程是(x －t)2＋(y －2t)2＝r 2，即x 2＋y 2－2tx －4ty ＋5t 2－r 2＝0.①∵圆A 的方程是x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，②∴②－①，得两圆的公共弦方程为(2＋2t)x ＋(2＋4t)y －5t 2＋r 2－2＝0.③∵圆B 平分圆A 的周长，∴圆A 的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x ＝－1，y ＝－1代入方程③并整理，得r 2＝5t 2＋6t ＋6＝5(t ＋35)2＋215≥215. ∴当t ＝－35时，r min ＝215. 此时，圆B 的方程是(x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215. 解法二：也可以从图形的几何性质来考虑，用综合法来解．如图，设圆A ，圆B 的圆心分别为A ，B ，则A(－1，－1)，B 在直线l ：y ＝2x 上，连接AB ，过A 作MN ⊥AB ，且MN 交圆于M ，N 两点．∴MN 为圆A 的直径． ∵圆B 平分圆A ，∴只需圆B 经过M ，N 两点．∵圆A 的半径是2，设圆B 的半径为r ，∴r ＝|MB|＝|AB|2＋|AM|2 ＝|AB|2＋4.欲求r 的最小值，只需求|AB|的最小值．∵A 是定点，B 是l 上的动点，∴当AB ⊥l ，即MN ∥l 时，|AB|最小．于是，可求得直线AB 方程为y ＋1＝－12(x ＋1)， 即y ＝－12x －32，与直线l ：y ＝2x 联立可求得B(－35，－65)，r min ＝215. ∴圆B 的方程是(x ＋35)2＋(y ＋65)2＝215. 8．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.导学号 92181021[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N(－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n≤－2)，由于圆M 的圆心M(m ，n)，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y≤－2)．。
高一数学人教A版必修2课后训练：4.2.2圆与圆的位置关系 Word版含解析
4.2.2 圆与圆的位置关系练习1．圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝16的位置关系是( )A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( )A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．圆C 1：(x －1)2＋(y －2)2＝4与圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切4．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上，总存在不同的两点到原点的距离等于1，则实数a 的取值范围是( )A ．22⎛ ⎝⎭B ． ⎛ ⎝⎭C ． ,22⎛-- ⎝⎭∪22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －5)2＋(y －5)2＝4}，则A ∩B 等于( )A ．B ．{(0,0)}C ．{(5,5)}D ．{(0,0)，(5,5)}6．圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦所在的直线方程是______．7．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是__________．8．与直线x ＋y －2＝0和圆x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是__________．9．求和圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点(4，－1)且半径为1的圆的方程．10．一动圆与圆C 1：x 2＋y 2＋6x ＋8＝0外切，与圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，求动圆圆心的轨迹方程．参考答案1.答案：D2.答案：C3.答案：A4.答案：C5.答案：A6.答案：4x＋3y－2＝07.答案：外切8.答案：(x－2)2＋(y－2)2＝29.解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则1.①(1)1＋2＝3.②由①②，解得a＝5，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1.(2)2－1＝1.③由①③，解得a＝3，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上，可知所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.10. 解：圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，所以圆心(－3,0)，半径r1＝1；圆C2：(x－3)2＋y2＝1，所以圆心(3,0)，半径r2＝1.设动圆圆心为(x，y)，半径为r，由题意得＝r＋1r－1，＝2，化简并整理，得8x2－y2＝8(x＞0)．所以，动圆圆心的轨迹方程是8x2－y2＝8(x＞0)．。
人教A版数学必修二第四章第四课时同步练习4.2.2圆与圆的位置关系
§4.2.2圆与圆的位置关系一、填空题：1. 判断下列两个圆的位置关系：2222(1)(3)(2)1(7)(1)36x y x y -++=-+-=与位置关系是_________.2222(2)2232030x y x y x y x y +-+=+--=与3位置关系是_________.2. 若圆22x y m +=与圆2268x y x y ++-110-=相交，实数m 的取值范围是________．3．一个圆经过圆221:890C x y x +--=和圆222:8150C x y y +-+=的两个交点，且圆心在直线210x y --=上，则该圆的方程为_______________________________．4．已知一个圆经过直线240x y ++=与圆222410x y x y ++-+=的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为__________________________．二、解答题：5. 判断下列两圆的位置关系：2222(1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与222226706270x y x x y y ++-=++-=（）与6. 求过点(0,6)A 且与圆22:10100C x y x y +++=切于原点的圆的方程．7. 已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．8.求过两圆22640x y x ++-=和 226280x y y ++-=的交点，且圆心在直线40x y --=上的圆的方程．参考答案一、填空题：1. 答案：（1）内切，（2）相交．2. 答案：1121m <<．3．答案：22101412033x y x y +---=． 4．答案：221364()()555x y ++-=． 二、解答题：5. 【解】（1）根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距5.d ==因为 12d r r =+，所以两圆外切．（2）将两圆的方程化为标准方程，得2222(3)16,(3)36x y x y ++=++=． 故两圆的半径分别为1246r r ==和，两圆的圆心距d ==．因为1212||r r d r r -<<+，所以两圆相交．点评：判断两圆的位置关系，不仅仅要判断d 与12r r +的大小，有时还需要判断d 与12r r -的关系．6. 分析：如图，所求圆经过原点和(0,6)A ，且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．【解】将圆C 化为标准方程，得22(5)(5)50x y +++=，则圆心为(5,5)C --，半径为0x y -=．设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=．由题意知，(0,0),(0,6)O A 在此圆上，且圆心(,)M a b 在直线0x y -=上，则有222222(0)(0),3,(0)(6),3,0a b r a a b r b a b r ⎧-+-=⎧=⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩于是所求圆的方程是22(3)(3)18x y -+-=．点评：此题还可以通过弦的中垂线必过圆心这一性质来解题，由题意，圆心必在直线3y =上，又圆心在直线0x y -=，从而圆心坐标为(3,3)，r =，所以所求圆的方程为22(3)(3)18x y -+-=．7. 分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去2x 项、2y 项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．【解】设两圆交点为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则A B 、两点坐标满足方程组 22222610,(1)42110,(2)x y x y x y x y ⎧++-+=⎪⎨+-+-=⎪⎩，(1)(2)-得3460x y -+=． 因为，A B 、两点坐标都满足此方程，所以，3460x y -+=即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆1C 的圆心(1,3)-，半径3r =．又1C到直线的距离为95d ==．所以，245AB ===．即两圆的公共弦长为245． 点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要 注重分析．8.分析：所求圆圆心是两已知圆连心线和已知直线的交点，再利用弦心距、弦长、半径之间的关系求圆半径【解】（法一）可求得两圆连心线所在直线的方程为30x y++=．由40,30,x yx y--=⎧⎨++=⎩得圆心17(,)22-．利用弦心距、弦长、半径之间的关系可求得公共弦长d=所以，圆半径22217|()4|89()22dr⎛⎫--+⎪=+=．所以，所求圆方程为221789()()222x y-++=，即227320x y x y+-+-=（法二）设所求圆的方程为222264(628)0x y x x y yλ++-+++-=即2266428111x y x yλλλλλ++++-=+++．故此圆的圆心为33(,)11λλλ--++，它在直线40x y--=上，所以334011λλλ--+-=++，所以7λ=-．所以所求圆方程为227320x y x y+-+-=点评:“解法二”中设出的经过两已知圆交点的圆方程叫做经过两已知圆的圆系方程．。
高一数学人教A版必修2练习4.2.2 圆与圆的位置关系 Word版含解析
．圆与圆的位置关系
圆与圆位置关系的判定有两种方法．
()几何法．若两圆的半径分别为，，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：
()代数法．联立两圆的方程组成方程组，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下表所示：
两圆的位置关系有相切、相交、相离．
两圆的半径分别为，，圆心距设为.
当＞＋时，两圆外离；
当＝＋时，两圆外切；
当－＜＜＋时，两圆相交；
当＝－时，两圆内切；
当＜－时，两圆内含．
如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？
答案：联立圆的方程组，当交点个数为时，则外离或内含；
当交点个数为时，则外切或内切；当交点个数为时，则相交．
►思考应用
两圆的公切线有几条？
解析：当两圆内切时有一条公切线；当两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线、一条内公切线；当两圆相交时，有两条外公切线；当两圆相离时有四条公切线：两条外公切线、两条内公切线；当两圆内含时，没有公切线．。
人教版数学必修二4.2.2圆与圆的位置关系
课堂小结
1.本节课你收获了什么？ （1）知识方面：
判断圆与圆的位置关系的两种方法，以及这两种方法的优劣。 求圆与圆相交弦所在直线方程的方法。 求圆与圆相交弦的弦长的方法。
（2）数学思想方面：
数形结合的思想，等价转化的思想，类比思想。
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
|r1-r2|< c1c2 < |r1+r2| c1c2 = |r1-r2| c1c2 < |r1-r2|
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
例题讲解
例1.已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ： x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的 位置关系.
普通高中课程准实验教科书
数 学2 必修
A 人民教育出版社 版
4.2.2 圆与圆的位置关系
复习回顾
1. 平面中直线和圆的位置关系的判断有哪两种方法？
（1）几何法：
r o
d l
r o
dl
r
od
l
（1）直线l 和⊙O相离 d>r
（2）直线l 和⊙O相切
d=r
（3）直线l 和⊙O相交
d<r
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
例题讲解
例1.已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ： x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的 位置关系.
高一数学人教A版必修2：4-2-2 圆与圆的位置关系
圆系方程表示的是满足某些条件的圆的集合，在处理有 关问题时，利用圆系可使问题得到简化．同心圆系中半径变 化，可得圆心相同的一系列的圆；在方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2 中，a，b变化，就得到半径相等的一系列的圆；而过直线与 圆的交点的圆系方程是常用的．在过两圆交点的圆系方程x2＋ y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，λ∈ R)中，要注意参数λ的取值以及此方程不能包括第二个圆，但 可以包括第一个圆(λ＝0)．
第四章
圆的方程
第四章 圆的方程
第四章
4．2 直线、圆的位置关系
第四章 圆的方程
第四章
4．2.2 圆与圆的位置关系
第四章 圆的方程
课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第四章
4.2
4.2.2
课前自主预习
第四章
4.2
4.2.2
温故知新 1．圆与圆的位置关系
大于 (1)外离⇔圆心距______两圆半径长之和； 等于 (2)外切⇔圆心距______两圆半径长之和； 大于 (3)相交⇔圆心距_____两圆半径长之差的绝对值小于两圆
第四章
4.2
4.2.2
由①－②得x＋2y＋1＝0. ③ 由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0， ④ 方程④的判别式Δ＝02－4×1×(－1)＝4>0， 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点，即两圆是相交的位置 关系．
第四章
4.2
4.2.2
规律总结：利用几何法判断两圆的位置关系，直观，容 易理解，但不能求出交点坐标；利用代数法判断两圆的位置 关系，不能准确地判断位置关系(如Δ＝0仅能说明两圆只有一 个公共点，但确定不了是内切还是外切；Δ<0仅能说明两圆没 有公共点，但确定不了是外离还是内含，所以必须借助于图 形)．
人教版数学高一-必修二(人教A)练习 4.2.2圆与圆的位置关系
4.2.2圆与圆的位置关系一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6y＋5＝0的位置关系为()A．外切B．内切C．外离D．内含2．两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．4条B．3条C．2条D．1条3. 已知圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程为()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝04．已知圆C1：x2＋y2－m＝0，圆C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0.若圆C1与圆C2有公共点，则实数m的取值范围是()A．m<1 B．m>121C．1≤m≤121 D．1<m<1215．设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－6)2＝6B．(x±4)2＋(y－6)2＝6C．(x－4)2＋(y－6)2＝36D．(x±4)2＋(y－6)2＝367．已知集合M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，n＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是()A．[－3 2，3 2] B．[－3，3]C．(－3，3 2] D．[－3 2，3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．与圆x2＋y2＝5外切于点P(－1，2)，且半径为2 5的圆的方程为________________．9．两圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0与x2＋y2－4x＋2y＋3＝0上的点的最短距离是________．10．经过两圆x2＋y2＝9和(x＋4)2＋(y＋3)2＝8的交点的直线方程为________________．11．已知⊙O方程为x2＋y2＝4，定点A(4，0)，则过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程为________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)12．(12分)已知圆C的圆心在直线x－y－4＝0上，且圆C过圆C1：x2＋y2－4x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4y－3＝0的交点，求圆C的方程．13．(13分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切？(2)m取何值时两圆内切？(3)求当m＝45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．14．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程为________________．15．(15分)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2，1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，且|PQ|＝|PA|.(1)求实数a，b间满足的等量关系；(2)若以点P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程．4．2.2 圆与圆的位置关系1．A [解析] 因为两圆心间的距离d ＝r 1＋r 2＝3，所以圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－6y ＋5＝0的位置关系为外切．2．C [解析] 设⊙O 1为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121，O 1(3，－8)，r ＝11，⊙O 2为(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，O 2(－2，4)，R ＝8，∴|O 1O 2|＝（3＋2）2＋（－8－4）2＝13， ∴r －R <|O 1O 2|<R ＋r ， ∴两圆相交． ∴公切线有2条．3．C [解析] x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0可化为()x －22＋()y ＋32＝13，圆心为(2，－3)；x 2＋y 2－6x ＝0可化为()x －32＋y 2＝9，圆心为(3，0)．因为圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，所以AB 的垂直平分线即为过两圆圆心的直线，即为3x －y －9＝0.4．C [解析] 圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m ，则圆心C 1(0，0)，半径r 1＝m ；圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心C 2(－3，4)，半径r 2＝6.∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤（－3－0）2＋（4－0）2≤m ＋6， ∴⎩⎨⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121. 5．D [解析] 两圆圆心之间的距离d ＝10，而r 1＋r 2＝4＋r >4， ∴d <r 1＋r 2，∴两圆不可能外切或外离．6．D [解析] 根据圆的半径为6，可排除A ，B ，再通过验证知圆心是(±4，6)，半径是6的圆与圆x 2＋(y －3)2＝1内切．7．C [解析] 由M ∩N ≠∅，知直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y >0)相交，所以画图(图略)可知－3<b ≤3 2.8．(x ＋3)2＋(y －6)2＝20 [解析] 设所求圆的圆心为O 1(a ，b )，则所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝20.∵两圆外切于点P ，且两圆的半径分别为5，2 5，∴－1＝0＋a 3，2＝0＋b3，∴a ＝－3，b ＝6，∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝20.9.2 [解析] 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0可化为()x ＋12＋(y －2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为 2.x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0可化为(x －2)2＋()y ＋12＝2，圆心为(2，－1), 半径为2.所以两圆圆心距为32，所以两圆上的点的最短距离是 2.10．4x ＋3y ＋13＝0 [解析] 由两圆的方程相减，得4x ＋3y ＋13＝0，所以过两圆交点的直线方程为4x ＋3y ＋13＝0.11．(x －2)2－y 23＝1 [解析] 设动圆圆心为P (x ，y )．因为动圆过定点A ，所以|PA |即为动圆半径．当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |＝|PA |＋2.当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |＝|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|PA ||＝2，即|x 2＋y 2－（x －4）2＋y 2|＝2，化简可得(x －2)2－y 23＝1.12．解：因为圆C 过两圆的交点，所以设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0，即 (1＋λ)(x 2＋y 2)－4x －4λy －3λ－3＝0，即 x 2＋y 2－4x1＋λ－4λy 1＋λ－3＝0，所以圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ. 因为圆C 的圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0,解得λ＝－13，故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.13．解：两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1，3)，N (5，6)，半径分别为11和61－m . (1)当两圆外切时，（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋10 11.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心之间的距离5， 所以61－m －11＝5，解得m ＝25－10 11. (3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0， 圆心4x ＋3y －23＝0，则公共弦长为2 （11）2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝2 7.14．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 [解析] 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程即为x －y ＝0.∵圆C 1：(x ＋2)2＋y 2＝3，圆C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1， 圆心C 1(－2，0)，C 2(－1，－1)，∴两圆连心线所在直线的方程为y －0－1－0＝x ＋2－1＋2，即x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，得所求圆的圆心为(－1，－1)． 又圆心C 1(－2，0)到公共弦所在直线x －y ＝0的距离 d ＝|－2－0|2＝2，∴所求圆的半径r ＝（3）2－（2）2＝1，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.15．解：(1)连接OP .∵Q 为切点，∴PQ ⊥OQ ，∴|PQ |2＝|OP |2－|OQ |2. 又|PQ |＝|PA |，故|PA |2＝|PO |2－1，即(a 2＋b 2)－1＝(a －2)2＋(b －1)2.整理得2a ＋b －3＝0. (2)设圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 有公共点，且半径最小，∴|OP |＝a 2＋b 2＝a 2＋（－2a ＋3）2＝5a －652＋95，故当a ＝65时，|OP |取得最小值355.此时，b ＝－2a ＋3＝35，R 取得最小值355－1.所以当半径取最小值时，圆P 的方程为x －652＋y －352＝35 5－12.。
高一数学人教A版必修2课后导练：4.2.2圆与圆的位置关系含解析
课后导练基础达标1 两圆 x2+y 2+6x-4y+9=0 和 x2+y2-6x+12y-19=0 的地点关系是（）A. 外切B. 内切C.订交D. 外离分析：两圆方程配方得(x+3) 2+(y-2) 2=4 和（ x-3）2+(y+6) 2=64,则两圆的圆心，分别为O1（ -3，2）、 O2（ 3， -6），半径 r1=2,r 2=8,则 |O1O2|= 36 64 =10=r 1+r2,∴两圆外切 .答案： A2 两圆 x2+y 2=r2与 (x-3) 2+(y+1) 2=r2(r>0) 外切 ,则 r 的值是（）A. 10 10B.5C.5D.10 2分析：两圆的圆心距为9110 ，由 10 =2r,得r=110 .答案： D23 两圆 C1 :x2+y 2+4x-4y+7=0,C2:x2+y2-4x-10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4分析：配方得 (x+2) 2+(y-2) 2=1,(x-2) 2 +(y-5) 2=16,∴ C1(-2,2),C 2(2,5),r1=1,r2=4,则|C1C2|=5=r1 +r2，∴两圆外切，有 3 条公切线 .答案： C4 已知半径为 1 的动圆与圆 (x-5) 2+(y+7) 2=16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5) 2+(y+7) 2 =25B.(x-5) 2+(y+7) 2=17 或(x-5) 2+(y+7) 2=15C.(x-5) 2+(y+7) 2=9D.(x-5) 2+(y+7) 2 =25 或 (x-5) 2+(y+7) 2=9分析：设动圆圆心为（x,y ），半径 r1=1,已知圆的圆心为M（ 5， -7），半径为 r2=4.①若两圆相切，则( x5)2( y7)2122+(y+7)2=25.=r+r =5, 即（ x-5 ）②若两圆内切，则( x5)2( y7) 2=r2-r1=3,即（ x-5）2+(y+7) 2=9.答案： D5 两圆 x2+y 2+4x-4y=0;x2+y 2+2x-12=0 订交于 A ， B 两点，则直线AB 方程为 ________.分析：两圆方程相减得x-2y+6=0.答案： x-2y+6=06 圆 x2+y 2-2x+10y-24=0与圆 x2+y 2+2x+2y-8=0的交点坐标是 ___________.分析：两圆方程相减得x-2y+4=0, 代入 x2+y 2+2x+2y-8=0消 x 得 y2 -2y=0,∴y0, 或 y2,x 4 x0.答案：（ -4， 0）和（ 0， 2）7 不论 m 取何实数，圆x2+y2+mx+my-5-m=0恒过两定点，则这两个定点的坐标为_______.分析：圆方程可化为x2+y2 -5+m(x+y-1)=0.由x 2 y 25, 得 x 2, 或 x 1, xy 10, y1 y2.答案：（ 2， -1）和（ -1， 2）8 点 P 在圆 A ：x 2+(y+3) 2 =4 上 ,点 Q 在圆 B ： (x-6) 2+y 2=16 上，则 |PQ|的最小值为 _________.分析： A （ 0， -3）， B （ 6，0）， r a =2,r b =4,∴|AB|= 3 5 >r a +r b , ∴两圆相离，∴|PQ|最小值为 |AB|-r a -r b = 3 5 -6.答案： 3 5-6 综合运用9 圆（ x-a ） 2+(y-b) 2=b 2+1 一直均分圆（ x+1 ）2+(y+1) 2=4 的周长，则 a,b 关系是（）A.a 2-2a-2b-3=0B.a 2+2a+2b+5=0C.a 2+ab 2+2a+ab+1=0D.3a 2+ab 2+2a+2b+1=0分析： 设两圆的交点为 A 、B ，由条件知弦 AB 为圆（ x+1 ）2+(y+1) 2=4 的直径，两圆方程相减得（ 2+2a ）x+(2+2b)y-a 2-1=0 必过圆心（ -1， -1）代入得 a 2+2a+2b+5=0. 答案： B10 已知线段 AB 长为 10，动点 P 到 A 、B 距离的平方和为 122，则动点 P 的轨迹为 ________.分析： 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中垂线为 y 轴，成立平面直角坐标系，设A （ -5，0），B （ 5， 0）， P （ x,y ），则 |AP|2+|BP|2=122. 即（ x-5） 2+y 2+(x+5) 2+y 2=122. 化简得 x 2+y 2=36.答案： 以 AB 中点为圆心，以6 为半径的圆11 假如一个圆与圆 A ：x 2+y 2-2x=0 相外切，并与直线 x+3y=0 相切于点 M(3 ，-3)，求这个圆的方程 .分析： 设所求圆的圆心 B （ a,b ），半径为 r ，则 r=| a3b | (a 3) 2(b3)2 ,又知2直线 BM 与直线 x+ 3 y=0 垂直 .∴b3? (3) =-1 ，即 b= 3a 4 3 .a3 3∴r=| 4a 12 |=2|a-3|.2又 A （ 1， 0）， r a(a 1) 2b 2a=1, ∴ =r +r ，即 (a1)2 ( 3a 4 3)2 =1+2|a-3|.当 a≥3时，平方得 a=4,b=0,r=2.当 a<3 时，平方得 a=0,b= 4 3 ,r=6.故所求圆方程为x2+(y+ 4 3 )2=36或（x-4）2+y2=4.拓展研究12 有一种大型商品， A 、B 两地都有销售，且价钱同样，某地居民从两地之一购得商品后，回运的花费是：每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍，已知A、B 两地距离10 公里，顾客选 A 或 B 地购置这件商品的标准是：包含运费和价钱的总花费较低.求 A、B 两地的售货地区的分界限的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应怎样选择购货地址.分析：如图，以A、 B 所确立的直线为x 轴， A 、 B 中点 O 为坐标原点，成立直角坐标系，则 A （ -5， 0）， B（ 5， 0）.设某地 P 的坐标为（ x,y ），且 P 地居民选择 A 地购置商品廉价并设 A 地的运费为3a 元 /公里，B 地的运费为 a 元 /公里 .P 地到 A 地运费≤P地到 B 地运费，即3a ( x 5) 2y 2 a ( x 5) 2y 2∵a>0,∴ 3 ( x 5) 2y2(x 5)2y2,25）15即（ x+2+y2≤( )2.425415为半径的圆是这两地购货的分界限.∴以点 C（， 0）为圆心，44圆 C 内的居民从 A 地购货廉价 ; 圆C 外的居民从 B 地购货廉价 ;圆 C 上的居民从 A 、 B 两地购货的总花费相等，所以，可任意从 A 、 B 两地之一购货.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆与圆的位置关系
【课时目标】．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．．会利用圆与圆位置关系的判断方法进行圆与圆位置关系的判断．．能综合应用圆与圆的位置关系解决其他问题．
圆与圆位置关系的判定有两种方法：
．几何法：若两圆的半径分别为、，两圆的圆心距为，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置
关系
外离外切相交内切内含
图示
与、
的关系＝＋
－<
<
<
．代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断．一元二次方程
一、选择题
．两圆(＋)＋(－)＝和(－)＋(＋)＝的位置关系是()
．外切．内切．相交．相离
．两圆＋－＋＋＝与＋＋－－＝的公切线有()
．条．条．条．条
．圆＋－＋＝和圆＋－＝交于、两点，则的垂直平分线的方程是()
．＋＋＝．－－＝
．－－＝．－＋＝
．圆：(－)＋(＋)＝与圆：(＋)＋(－)＝外切，则的值为()
．．－
．或－．不确定
．已知半径为的动圆与圆(－)＋(＋)＝相切，则动圆圆心的轨迹方程是()
．(－)＋(＋)＝
．(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝
．(－)＋(＋)＝
．(－)＋(＋)＝或(－)＋(＋)＝
．集合＝{(，)＋≤}，＝{(，)(－)＋(－)≤，>}，且∩＝，则的取值范围是()
．(，－) ．(]
．(－] ．(]
二、填空题
．两圆＋＝和(＋)＋(－)＝相切，则实数的值为．
．两圆交于()及(，－)，两圆的圆心均在直线－＋＝上，则＋的值为．
．两圆＋－＋－＝和＋＝的公共弦长为．
三、解答题
．求过点()且与圆：＋＋＋＝切于原点的圆的方程．
．点在圆心为的方程＋＋－＋＝上，点在圆心为的方程＋＋＋＋＝上，求的最大值．。