高一数学函数单调性和最值练习
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.2.己知函数，在处取最小值．（1）求的值；（2）在中，分别是的对边，已知,求角．【答案】（1）；（2）或．【解析】(1)先将函数解析式化为形如，这时要用倍角公式、降幂公式、两角和的正弦公式，得到，再利用在处取得最小值得关于的关系式，结合限制条件，解出；(2)解三角形问题，主要利用正余弦定理，本题可由，解出角，由正弦定理得，解出角或，再由三角形内角和为，解出或，本题求解角时，需注意解的个数，因为正弦函数在上有增有减．，所以有两个解．试题解析：（1）3分因为在处取得最小值，所以故，又所以 6分（2）由（1）知因为，且为的内角所以，由正弦定理得，所以或 9分当时，当时，综上，或 12分．【考点】1．倍角公式；2．两角和差公式；3．三角函数的图像与性质；4．用正余弦定理解三角形．3.定义在上的函数满足对任意的，有.则满足＜的x取值范围是( )A．（，）B．［，）C．（，）D．［，）【答案】A【解析】因为，所以函数在上单调增. 由＜得：【考点】利用函数单调性解不等式4.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.5.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界．已知函数，．（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）；（3）.【解析】(1)因为为奇函数，所以利用,求出的值；(2) 在（1）的条件下，证明的单调性，在恒成立，即,根据单调性，可以求出其最大值；(3)若函数在上是以3为上界的有界函数，则,将函数代入，反解,,利用函数的单调性求出他们的最大，和最小值，就是的范围.试题解析：解：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故． 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略． 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为． 8分（3）由题意知，在上恒成立．，．在上恒成立．10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为．所以实数的取值范围为． 14分【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数的最值.6.设是上的奇函数，且时，，对任意，不等式恒成立，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】A【解析】（排除法）当，则得，即，整理得在时恒成立,而当时取最大值0，则恒成立，排除B，C项，同理再验证时,不成立，故排除D项.【考点】函数单调性的应用．7.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.已知函数，.（1）若函数为奇函数，求实数的值；（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的所有上界构成的集合；（3）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围.【答案】（1）-1;（2）;（3）【解析】（1）因为为奇函数，所以根据奇函数的定义可得一个等式.根据等式在定义域内恒成立可求得的值，由于真数大于零，所以排除.即可得到结论.（2）由（1）得到的值表示出函数g(x),根据函数的定义域可知函数在区间上单调递增.所以上，.即.所以可得.即存在常数，都有.所以所有上界构成的集合.（3）因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以根据题意可得在上恒成立.所得的不等式，再通过分离变量求得的范围.试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以，即，即，得，而当时不合题意，故. 4分（2）由（1）得：，下面证明函数在区间上单调递增，证明略. 6分所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的值域为，所以，故函数在区间上的所有上界构成集合为. 8分（3）由题意知，在上恒成立.，.在上恒成立.10分设，，，由得,设，，,所以在上递减，在上递增， 12分在上的最大值为，在上的最小值为 .所以实数的取值范围为. 14分【考点】1.函数的奇偶性.2.新定义的函数的性质.3.函数的最值的求法.4.分离变量的思想.8.已知是定义在上的奇函数，当时，.（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求区间.【答案】（1）；（2）；（3）区间为.【解析】(1) ∵是奇函数，，∴，∴，∴；(2)只需要求出的解析式即可，利用奇函数，所以设，则，则，再与的解析式和在一起，写出分段函数；(3)本题是已知函数的值域求定义域问题，根据函数图象可得在上单调递增，分别讨论，来求解，当时，解得；当时，解得；所以区间为.试题解析：（1）∵是奇函数，∴ 3分（2）设，则，∴∵为奇函数，∴ 5分∴ 6分（3）根据函数图象可得在上单调递增 7分当时，解得 9分当时，解得 11分∴区间为. 12分【考点】本题考查函数的性质（奇函数）；函数的解析式；函数的定义域和值域.9.已知函数，对于满足的任意，下列结论：（1）；（2）（3）；（4）其中正确结论的序号是（）A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（4）D．(3)(4)【答案】C【解析】因为函数，所以函数在定义域内单调递增，对于满足，可得与同号，所以（1）不正确.所以排除A,B两选项.由可得.因为函数递增，所以（2）成立.(3)不成立，斜率不可能都大于1，函数是下凹的图像，所以（4）正确.故选C.【考点】1.函数的单调性.2.函数的斜率公式.3.凹凸函数的性质.10.函数的图象可能是【答案】B【解析】函数定义域为，且，所以函数为偶函数，图像关于轴对称。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.若正实数，满足，则（）A．有最大值4B．有最小值C．有最大值D．有最小值【答案】C【解析】由基本不等式得，得，因此.因此.【考点】基本不等式的应用.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.函数（）A．是偶函数，且在上是单调减函数B．是奇函数，且在上是单调减函数C．是偶函数，且在上是单调增函数D．是奇函数，且在上是单调增函数【解析】令，其定义域为，因为，所以函数是奇函数。
在上任取两个实数，且，则，因为，所以，所以，即，所以在上单调递增。
【考点】1函数奇偶性；2函数单调性的定义。
5.已知函数且.（1）求函数的定义域；（2）判断的奇偶性并予以证明.【答案】（1）；（2）奇函数，证明详见解析.【解析】（1）根据对数函数的真数大于0，求解不等式即可得到函数的定义域；（2）从奇偶函数的定义上进行判断、证明该函数的奇偶性，即先由（1）说明函数的定义域关于原点对称；然后求出，若，则该函数为偶函数，若，则该函数的奇函数.试题解析：（1）由题得 3分所以函数的定义域为 5分（2）函数为奇函数 6分证明：由（1）知函数的定义域关于原点对称 7分且所以函数为奇函数 10分.【考点】1.对数函数的图像与性质；2.函数的奇偶性.6.已知函数f(2x)（I）用定义证明函数在上为减函数。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.函数的递增区间是___________________ .【答案】[1,+∞)【解析】试题分析:,由一元二次函数的单调性可知，开口向上，递增区间在对称轴右侧，递增区间为[1,+∞).【考点】一元二次函数的单调性.2.设是奇函数，且在内是减函数，又，则的解集是【答案】【解析】∵是奇函数，且在内是减函数，∴在内是减函数，∵＝＝，∴＝，则当或时，，当或时，，则不等式等价为①或②．由①得，解得；由②得，解得，所以的解集为或或．【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3．抽象函数；4．函数图象的应用．3.已知函数，若对于任意，当时，总有，则区间有可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数有意义，则解得，又因为二次函数在单调递减，在单调递增，若对于任意，当时，总有，则，在上单调递增.而单调递增，故复合函数在单调递增，故选B.【考点】本题考查复合函数的单调性.4.函数在上是增函数，则实数的范围是（）A．≥B．≥C．≤D．≤【答案】B【解析】二次函数的图象抛物线开口向下,对称轴为 ,所以函数在上单调递增；要使函数在上是增函数，必须有，解得 .故选B【考点】1、函数的单调性的概念；2、二次函数的图象和性质5.在区间上不是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由初等函数的图像可知C的图像在上是单调递减函数.【考点】本题考查初等函数，通过初等函数的图像判断其单调性.6.（本小题满分12分）已知幂函数的图象经过点．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在区间上是减函数.【解析】（Ⅰ）属待定系数法求函数解析式，即设出函数方程，代入点计算待定系数（Ⅱ）利用单调性的定义证明单调性，三步：取数并规定大小，作差比较两函数大小，判断点调性试题解析：（Ⅰ）是幂函数，设（是常数）由题，所以所以，即（Ⅱ）在区间上是减函数.证明如下：设，且，则，即在区间上是减函数.【考点】函数解析式的求法，单调性的定义7.已知函数满足当时，总有．若则实数的取值范围是．【答案】或【解析】当时，总有，所以在上单调递增，因为所以为偶函数，所以在上单调递减，因为所以，即，整理的，解得或【考点】（1）函数单调性的概念以及利用单调性比较大小（2）函数奇偶性（3）绝对值不等式和一元二次不等式的解法8.下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】对于A，函数，在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是，不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为，是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.【考点】函数的单调性；函数的奇偶性9.若非零函数对任意实数均有，且当时（1）求证：；（2）求证：为R上的减函数；（3）当时，对恒有，求实数的取值范围.【答案】（1）证法一：即又当时，则故对于恒有证法二：为非零函数（2）证明：令且有，又即故又故为R上的减函数（3）实数的取值范围为【解析】（1）由题意可取代入等式，得出关于的方程，因为为非零函数，故，再令代入等式，可证，从而证明当时，有；（2）着眼于减函数的定义，利用条件当时，有，根据等式，令，，可得，从而可证该函数为减函数.（3）根据，由条件可求得，将替换不等式中的，再根据函数的单调性可得，结合的范围，从而得解.试题解析：（1）证法一：即又当时，则故对于恒有 4分证法二：为非零函数（2）令且有，又即故又故为R上的减函数 8分（3）故， 10分则原不等式可变形为依题意有对恒成立或或故实数的取值范围为 14分【考点】1.函数的概念；2.函数的单调性；3.二次函数.10.下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据初等函数的图象，可得函数在区间上的单调性，从而可得结论．选项A中在上是减函数选项B中在上是增函数选项C中在上是减函数选项D中在上是增函数故选C考点:函数单调性的概念11.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.12.已知函数（1）若，判断函数在上的单调性并用定义证明；（2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）函数在上是增函数.（2）【解析】（1）由分离常数法判断函数的单调性，由定义法来证明在上的单调性注意通分后分解因式，判定各因式的符号.（2）设由增函数知，然后分解因式判定含有因式的符号试题解析：（1）当时，， 1分设，则3分∵∴，∴>0， 5分即，∴函数在上是增函数. 6分（2）设，由在上是增函数，有即成立， 8分∵，∴，必须 11分所以，实数的取值范围是 12分【考点】函数单调性的性质证明过程及其应用．13.定义在上的函数满足：①对任意都有：；②当时，，回答下列问题．（1）证明：函数在上的图像关于原点对称；（2）判断函数在上的单调性，并说明理由．（3）证明：，.【解析】（1）利用条件①，令得出，令，得出，因此是上的奇函数，其图像关于原点对称；（2）利用单调性定义进行判断，结合第（1）小题的结论进行化简和①②两个条件对结果的符号进行判断；（3）结合条件①把左边式子的第项化为，由此左边可以化为，再利用第（2）小题的结论得出，原不等式得证.试题解析：（1）令，令，则.所以，在上是奇函数． 4分（2）设，则， 6分而，， 7分即当时，．∴在上单调递减． 8分（3），，.. 13分【考点】函数的奇偶性、单调性，转化与化归思想.14.在，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（）A．个B．个C．个D．个【答案】C【解析】根据题意，由于指数函数和对数函数底数大于1，因此是递增函数，而抛物线在给定区间是递增的，那么结合函数凹函数的特点可知，使恒成立的函数为两个函数，故选C.【考点】函数的单调性点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．15.已知函数，（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）略；（2）。
湘教版高中数学必修第一册-3.2.1函数的单调性与最值-专项训练【含解析】
湘教版高中数学必修第一册-3.2.1函数的单调性与最值-专项训练（原卷版）A组夯基精练一、单项选择题1．函数g(x)＝x|x－1|＋1的单调递减区间为()A∞，12B．12，1C．[1，＋∞)D∞，12∪[1，＋∞)2．若函数f(x)＝2x2＋31＋x2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C．3D．43．已知函数f(x)＝30＋ax2＋a在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(0，3)B．(－∞，－2)∪(0，3]C．(－∞，－2)∪(0，10)D．(－∞，－2)∪(0，10]4．已知函数f(x)＋1，x＜0，x2，x≥0，则不等式f(2a2－1)＞f(3a＋4)的解集为()A．(－∞，－1)BC．(－∞，－1)D1二、多项选择题5．已知函数f(x)＝x－ax(a≠0)，下列说法正确的是() A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．当a＞0时，f(x)的值域为R6．已知函数f(x)，x≤a，2＋2x＋1，x＞a，则下列结论正确的是()A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数三、填空题7．若函数f(x)＝2x＋mx＋1在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝____．8．已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为____．9．已知f(x)a－1)x＋2a，x＜1，x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＜0恒成立，那么实数a的取值范围是__．四、解答题10．已知函数f(x)＝2x－1x＋1.(1)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并证明你的判断；(2)若x∈[1，m]，f(x)的最大值与最小值的差为12，求m的值．11．已知函数f(x)＝xx2＋1.(1)根据定义证明函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减；所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，故函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．(2)若不等式f(x)＜b对一切实数x都成立，求b的取值范围．B组滚动小练12．若函数y＝f(2x)的定义域是[0，1012]，则函数g(x)＝f(x＋1)x－1的定义域是()A．[－1，2023]B．[－1，1)∪(1，2023]C．[0，2024]D．[－1，1)∪(1，2024]13．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或都为正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝8}中的元素个数是()A．10B．9C．8D．714．已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，记函数f(x)＝ax2＋(a－b)x －c.(1)求证：方程f(x)＝0必有两个不相同的根；(2)若方程f(x)＝0的两个根分别为x1，x2，求|x2－x1|的取值范围．湘教版高中数学必修第一册-3.2.1函数的单调性与最值-专项训练（解析版）A 组夯基精练一、单项选择题1．函数g (x )＝x |x －1|＋1的单调递减区间为(B )A ∞，12B ．12，1C ．[1，＋∞)D ∞，12∪[1，＋∞)【解析】g (x )＝x |x －1|＋12－x ＋1，x ≥1，x 2＋x ＋1，x ＜1，画出函数图象如图所示，根据图象知函数g (x )的单调递减区间为12，1.2．若函数f (x )＝2x 2＋31＋x 2，则f (x )的最大值为(C )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】f (x )＝2x 2＋31＋x 2＝2＋1x 2＋1，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0＜1x 2＋1≤1，所以f (x )∈(2，3]，故f (x )的最大值为3.3．已知函数f (x )＝30＋ax2＋a在区间[－10，－3]上单调递增，则实数a 的取值范围是(B)A ．(－∞，－2)∪(0，3)B ．(－∞，－2)∪(0，3]C ．(－∞，－2)∪(0，10)D ．(－∞，－2)∪(0，10]【解析】因为函数f (x )＝30＋ax2＋a在[－10，－3]上单调递增，所以a (2＋a )＞0，且30＋ax ≥0在[－10，－3]上恒成立，(2＋a )＞0，－10a ≥0，－3a ≥0，解得a ＜－2或0＜a ≤3.4．已知函数f (x )＋1，x ＜0，x 2，x ≥0，则不等式f (2a 2－1)＞f (3a ＋4)的解集为(D )A ．(－∞，－1)BC ．(－∞，－1)D 1【解析】函数f (x )＋1，x ＜0，x 2，x ≥0中，y＋1在(－∞，0)上单调递减，y ＝2－x 2在[0，＋∞)＋1＝2－02，则函数f (x )＝＋1，x ＜0，x 2，x ≥0在定义域R 上单调递减．因为f (2a 2－1)＞f (3a ＋4)，所以2a 2－1＜3a ＋4，解得－1＜a ＜52，即不等式f (2a 2－1)＞f (3a ＋4)1二、多项选择题5．已知函数f (x )＝x －ax (a ≠0)，下列说法正确的是(BCD )A ．当a ＞0时，f (x )在定义域上单调递增B ．当a ＝－4时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)C ．当a ＝－4时，f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．当a ＞0时，f (x )的值域为R【解析】当a ＞0时，f (x )＝x －ax ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x →＋∞时，f (x )→＋∞，当x →0时，f (x )→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确；当a＝－4时，f(x)＝x＋4x为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确；当x＞0时，x＋4x≥2x·4x＝4(当且仅当x＝2时取等号)，当x＜0时，x＋4x＝－(－x)－4(当且仅当x＝－2时取等号)，故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)，故C正确．6．已知函数f(x)，x≤a，2＋2x＋1，x＞a，则下列结论正确的是(ABD) A．当a＝0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，1)B．不论a为何值，函数f(x)既没有最小值，也没有最大值C．不论a为何值，函数f(x)的图象与x轴都有交点D．存在实数a，使得函数f(x)为R上的减函数【解析】对于A，当a＝0时，函数f(x)，x≤0，2＋2x＋1，x＞0，当x≤0时，f(x)为减函数，当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1的单调递增区间为(0，1)，故A正确；对于B，当x≤a时，f(x)为减函数，所以不论a为何值，当x趋近于负无穷时，f(x)趋近于正无穷，即f(x)没有最大值，当x＞a时，f(x)＝－x2＋2x＋1的图象是开口向下的抛物线的一部分，所以不论a为何值，当x趋近于正无穷时，f(x)趋近于负无穷，即f(x)没有最小值，故B正确；对于C，当x≤a时，函数f(x)的图象与x轴没有交点，当x＞a时，由－x2＋2x＋1＝0得x ＝1＋2或x＝1－2，所以当a≥1＋2时，函数f(x)＝－x2＋2x＋1(x＞1＋2)的图象与x轴没有交点，故C错误；对于D，当a≥1＋2时，函数f(x)在(－∞，a]上为减函数，函数f(x)＝－x2＋2x＋1在(a，＋∞)＞0，－a2＋2a＋1＝－(a－1)2＋2≤0＞－a2＋2a＋1，所以此时函数f(x)为R上的减函数，故D正确．三、填空题7．若函数f(x)＝2x＋mx＋1在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝__3__．【解析】因为函数f(x)＝2x＋mx＋1＝2＋m－2x＋1，由复合函数的单调性知，当m＞2时，f(x)＝2x＋mx＋1在[0，1]上单调递减，最大值为f(0)＝m＝3；当m＜2时，f(x)＝2x＋mx＋1在[0，1]上单调递增，最大值为f(1)＝2＋m2＝3，即m＝4，与m＜2矛盾，舍去．故实数m＝3.8．已知函数f(x)＝x－8，g(x)＝3x－x2，x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则函数m(x)的最大值为__－4__．【解析】在同一平面直角坐标系中作出两函数图象如图所示．由图可得，函数f(x)＝x－8与g(x)＝3x－x2的交点为(4，－4)，(－2，－10)，所以m(x)＝min{f(x)，g(x)}x－x2，x∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)，－8，x∈(－2，4)，故m(x)max＝m(4)＝－4.9．已知f(x)a－1)x＋2a，x＜1，x，x≥1满足对任意x1≠x2，都有f(x1)－f(x2)x1－x2＜0恒成立，那么实数a的取值范围是．【解析】由函数单调性定义可得函数f(x)在R上单调递减，则根据分段函数a－1＜0，＜a＜1，a－1＋2a≥a，解得13a＜12四、解答题10．已知函数f(x)＝2x－1x＋1.(1)判断f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并证明你的判断；【解答】f (x )在[0，＋∞)上单调递增．证明如下：设0≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).因为0≤x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，故f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在[0，＋∞)上单调递增．(2)若x ∈[1，m ]，f (x )的最大值与最小值的差为12，求m 的值．【解答】由(1)可知f (x )在[1，m ]上为增函数，故f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (m )＝2m －1m ＋1，所以2m －1m ＋1－12＝12，故m ＝2，此时m ＞1，符合题意．11．已知函数f (x )＝xx 2＋1.(1)根据定义证明函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减；【解答】任取x 1＞x 2＞1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1).因为x 1＞x 2＞1，所以(x 21＋1)(x 22＋1)＞0，x 1x 2－1＞0，x 2－x 1＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减．(2)若不等式f (x )＜b 对一切实数x 都成立，求b 的取值范围．【解答】因为函数f (x )＝xx 2＋1的定义域为R ，所以f (－x )＝－x x 2＋1＝－f (x )，故f (x )为奇函数．由(1)知函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，任取0≤x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1).因为0≤x 1＜x 2＜1，所以(x 21＋1)(x 22＋1)＞0，x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，故函数f (x )在[0，1)上单调递增，所以f (x )max ＝f (1)＝12.又f (0)＝0，且x ＝0是方程f (x )＝0唯一的根，所以当x ∈[0，＋∞)时，f (x )∈0，12，又f (x )为奇函数，所以f (x )∈－12，12.不等式f (x )＜b 对一切实数x 都成立，则b ＞f (x )max＝12，即b B 组滚动小练12．若函数y ＝f (2x )的定义域是[0，1012]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是(B)A ．[－1，2023]B ．[－1，1)∪(1，2023]C ．[0，2024]D ．[－1，1)∪(1，2024]【解析】函数y ＝f (2x )的定义域是[0，1012]，即x ∈[0，1012]，则2x ∈[0，2024]，所以函数y ＝f (x )的定义域是[0，2024]，从而函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域≤x ＋1≤2024，－1≠0，解得－1≤x ≤2023且x ≠1，故g (x )的定义域是[－1，1)∪(1，2023].13．对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或都为正奇数时，m ※n ＝m ＋n ；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n ＝mn ，则在此定义下，集合M ＝{(a ，b )|a ※b ＝8}中的元素个数是(B)A ．10B ．9C ．8D ．7【解析】由定义知，当a ，b 都为正偶数或都为正奇数时，a ※b ＝a ＋b ＝8，故(a ，b )是(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)；当a ，b 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，a ※b ＝ab ＝8，故(a ，b )是(1，8)，(8，1)，故共有9个元素．14．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c .(1)求证：方程f (x )＝0必有两个不相同的根；【解答】由题意知ca ＝1·t ＞0，所以ac ＞0.对于方程f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c ＝0，因为Δ＝(a －b )2＋4ac ＞0恒成立，所以方程f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c ＝0必有两个不相同的根.(2)若方程f(x)＝0的两个根分别为x1，x2，求|x2－x1|的取值范围．【解答】因为ax2＋bx＋c＞0的解集为(1，t)，所以1和t为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，且a＜0，t＞10，b＋c＝0，t，＜0，＝－a－c，＝at，所以|x2－x1|2＝(x2＋x1)2－4x2x1＋4ca＝＋4ca ＝＋8·ca＋4.又ca＝t(t＞1)，则|x2－x1|2＝t2＋8t＋4＝(t＋4)2－12.因为t＞1，所以(t＋4)2－12＞13，所以|x2－x1|∈(13，＋∞。
高一数学函数的单调性与最值试题
高一数学函数的单调性与最值试题1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。
【考点】奇函数与增（减）函数的定义。
2.设函数是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式的的取值范围是．【答案】.【解析】∵是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，∴在上单调递减，故不等式等价于或，∴的取值范围是.【考点】1.偶函数的性质；2.对数的性质.3.已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当时，f(x)＝x＋sinx，则( )A．f(1)<f(2)<f(3)B．f(2)<f(3)<f(1)C．f(3)<f(2)<f(1)D．f(3)<f(1)<f(2)【答案】D【解析】由已知得函数关于对称，当时，是单调递增函数，当时函数是单调递减函数，比较1,2,3距离对称轴的远近得出,故选D.【考点】1.函数的对称性；2.函数的单调性.4.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A．；B．C．；D．【答案】D【解析】由题意知当时,函数,当时,函数,所以不等式的解为.故正确答案为D.【考点】1.函数的单调性、奇偶性;2.不等式的解5.对于定义在上的函数，有如下四个命题：①若，则函数是奇函数；②若则函数不是偶函数；③若则函数是上的增函数；④若则函数不是上的减函数．其中正确的命题有______________.（写出你认为正确的所有命题的序号）.【答案】②④【解析】①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误②若则函数不是偶函数；正确③例如，，但函数在R上不是增函数；故③错误④若，则函数不是R上的减函数，正确所以填②④【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．6.设函数。
（Ⅰ）若且对任意实数均有成立,求的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下,当时,是单调函数,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）或【解析】（Ⅰ）根据得出a，b关系，再在定义域上恒成立，可得a，b的值，从而得出表达式.（Ⅱ）由（Ⅰ）可推出表达式，又为单调函数，利用二次函数性质求得实数的取值范围.试题解析：（Ⅰ）恒成立，知从而 .（6分）（Ⅱ）由（1）可知，由于是单调函数，知 .（12分）【考点】二次函数求解析式，单调区间求参量.7.若函数，在上单调递减，则a的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数，在上单调递减，令，则在区间上是单调递减函数，且恒成立，所以，解得.【考点】函数的单调性8.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，那么当时，的递减区间是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则由已知得的定义域为，且为奇函数，当时，，所以当时，有，此时其单调递减区间为，而对于函数来说，其单调递减区间为.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的单调性；3.函数图像的平移.9.设，则的大小关系是 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】因指数相同，可由幂函数在上为增函数知；因底数相同，可由指数函数在上为减函数知，再由不等式的传递性知故选A.【考点】初等函数单调性及应用，不等式基本性质.10.若函数在上是减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】因为函数开口向上，对称轴为，且函数在为减函数，所以，解得．故答案为．【考点】二次函数的单调性11.若那么下列各式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】；结合函数的单调性可知，结合的单调性可知成立【考点】比较大小点评：题目中比较大小借助于函数单调性将要比较的函数值关系转化为自变量关系12.已知函数在区间内恒有，则函数的单调递减区间是 .【答案】【解析】根据题意，由于函数在区间内恒有，即可知,因此可知外层的对数函数得到递增，那么内层是二次函数，定义域为,因此可知内层的减区间即为所求，开口向上，对称轴x=1，可知就是减区间，故答案为【考点】对数函数单调性点评：解决的关键是对于对数函数的值域的理解和运用，以及复合函数单调性的判定，属于基础题。
【高一】高一数学上册函数的单调性测试题(含答案)
【高一】高一数学上册函数的单调性测试题(含答案)来函数的单调性检验姓名：得分：一、（每题5分，共5分）×12=60分）题号123456789101112答复1.在区间上为增函数的是:（）a、 b。
C D2.已知函数，则与的大小关系是:（）a、 >B.=C.<D.不确定3.下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数,是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:（）a、一,b、二,c、三,d、 04．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）a、（3,8）b.（-7，-2）c.（-2,3）d.（0,5）5．函数f(x)=在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）a、（0，）b.（，＋∞)c、（-2，＋∞)d、（－∞，－1)∪(1，＋∞)6．已知定义域为r的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）a、 f（－1）＜f（9）＜f（13）b.f（13）＜f（9）＜f（－1）c．f(9)＜f(－1)＜f(13)d．f(13)＜f(－1)＜f(9)7.如果已知该函数是区间上的减法函数，则实数的取值范围为（）a．a≤3b．a≥－3c．a≤5d．a≥38.假设f（x）是区间（-上的增函数∞, + ∞), a、B∈ R和a+B≤ 0，以下不等式中正确的一个是（）a．f(a)＋f(b)≤－f(a)＋f(b)］b．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)c、 f（a）＋f（b）≥－f（a）＋f（b）]d.f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）9．定义在r上的函数y=f(x)在(－∞，2)上是增函数，且y=f(x＋2)图象的对称轴是x=0，则（）a、 f（－1）＜f（3）b.f（0）＞f（3）c.f（－1）=f（－3）d.f（2）＜f（3）10.已知函数在上是单调函数,则的取值范围是（）a、不列颠哥伦比亚省。
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函数的单调性习题 一、选择题 1， 下列命题:(1)若
是增函数,则1()
f x 是减函数;(2)若
是减函数,则是减函数;(3)若
是增函数, 是减函数,
有意义,则
为减函数,其中正确的个数有: （ ）
A.1
B.2
C.3
D.0
2，函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）
A ．(3，8)
B ．(－7，－2)
C ．(－2，3)
D ．(0，5)
3，函数f (x )=2
1
++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围（ ）
A ．(0，21
) B ．( 2
1，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
4．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是 ( )
A ．(3,8)
B ．(－7，－2)
C ．(－2，－3)
D ．(0, 5)
5．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都
有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 6．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3
7．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正
确的是 （ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )
8．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0对任
意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是 ( ) A ．f (－5)>f (3) B ．f (－5)<f (3) C ．f (－3)>f (－5) D ．f (－3)<f (－5)
9．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，
则 （ ）
A ．f (－1)＜f (3)
B ．f (0)＞f (3)
C ．f (－1)=f (－3)
D ．f (2)＜f (3)
10. 已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则a 的取值范（ ） A.),3[]3,(+∞--∞ B.]3,3[- C. ),3()3,(+∞--∞ D. )3,3(-
11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
＋4x ，x ≥0，
4x －x 2
，x ＜0.
若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 12．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，当x >2时，f (x )单调递增，如果x 1＋x 2<4，且(x 1－2)(x 2－2)<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负 二、填空题。
13. 设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+成立,则函数值)5(),2(),1(),1(f f f f -中,最小的一个不可能是_________ 14. 函数)(x f 是R 上的单调函数且对任意实数有
1)()()(-+=+b f a f b a f .,5)4(=f 则不等式3)23(2<--m m f 的解集为__________
15．给出下列命题
①y ＝1
x 在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y ＝－1
x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数． 其中错误命题的个数有________．
16．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．
若函数h (x )＝2x －k x ＋k
3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________． 17．已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，对于满足0<x 1<x 2<1的任意x 1、x 2，给出下列结论：
①f (x 2)－f (x 1)>x 2－x 1；②x 2f (x 1)>x 1f (x 2)； ③f (x 1)＋f (x 2)2<f ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 22. 其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)
18．已知函数f (x )＝3－ax
a －1
(a ≠1)．
(1)若a >0，则f (x )的定义域是________；
(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．
三、简答题
19，.证明函数x
x y 1
+
=在（1，+∞）上为减函数．
20.定义在（－1，1）上的函数()f x 是减函数，且满足：(1)()f a f a -<，求实数a 的取值范围。
21.根据函数单调性的定义．．．．．．，判断1
)(2+=x ax
x f )0(≠a 在),1[+∞上的单调性并给出证明．．．．．。