广东省2020广州普通高中毕业班综合测试(一)理科数学

一、选择題：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目 要求的.
1.设集合 M ={x|0<x<1,x∈ R},N={x||x|<2,x∈R},则（）
A.M ∩ N=M
B.M ∩ N=N
C.M ∪ N=M
D.M ∪ N=R
2.若复数 z满足z2+2=0,则z3=
第一象限上的点，过点F2作∠F1PF2角平分线的垂线，垂足为 A,若 b=|F1F2|-2|OA|,则双曲线的离心率为
{ A.54
B.34
C.35¬
D.2
12.已知函数 f(x)= -xx2-2-xx++11,x,x≥<00,若 F(x)=f(x)-sin(2020πx)-1在区间[-1,1]上有 m 个零点x1,x2,x3,⋯,xm,
2020广州普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学
本试卷共 6页，23题，满分 150分，考试时间 120分钟 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上， 用 2B铅笔在答题卡的相应位置涂上考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置， 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相 应位置；如需改动，先划掉原来答案，然后再写新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
锥 B-APQC的体积是
A.61V
B.92V
C.31V
D.97V
7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回
收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。某班按此四类由 10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐
厨垃圾宣传小组各有 2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3位同学。现从这 10位同学中选派 5
在(0,+∞)上恒成立，求实数 a的取值范围；
(3)证明：n1+n+11+n+12+⋯ +3n1-1+31n>ln3(n∈N*).
{ 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1的参数方程为 yx==13++2tt,(t为参
{ ( ) 数)，曲线C2的参数方程为 x=co3sθ,(θ为参数，且θ∈ y= 3tanθ
π2,32π ).
(1)求C1与C2的普通方程，
(2)若 A,B分别为C1与C2上的动点，求|AB|的最小值。
23.[选修 4-5：不等式选讲]（10分）已知函数 f(x)=|3x-6|+|x+a|,
(1)当 a=1时，解不等式 f(x)<3;
[ ] (2)若不等式 f(x)<11-4x对任意 x∈ -4,-32成立，求实数 a的取值范围。
从抽取的 12个人中随机抽取 3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20天”的人数,Y的
可能取值为 0，1，2，3，且 Y～H(3,3,12)
P(Y=0)=CC31392 =28240 P(Y=1)=CC29C31213 =210280 P(Y=2)=CC19C31223 =22270 P(Y=3)=CC31332 =2210
=-33
n1 n2
由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角 B-AE-D的余弦值为-33。
20.解：(1)由题意⊙ M 过点 A(3,0),且与⊙ N:(x+ ) 32+y2=16内切，设两圆切点为 D
所以|MD|+|MN|=|ND|=4，在⊙ M 中，|MD|=|MA|
{ 所以|MA|+|MN|=4，所以
所以 Y的分布列为：
Y
0
1
2
P
84
108
27
220
220
220
Y的分布列及数学期望 E(Y)=0×28240+1×210280+2×22270+3×2210=34
19.（1）证明：由题意，AD=CD=1，BD=CE= 3
又因为 AB ⊥ AD,所以 AB= BD2-AD2 = 3-1= 2=AC
所以 AC2=AD2+CD2,即 AD ⊥ CD 又因为 CD ⊥ BD,且 BD ∩ AD=D,所以 CD ⊥ 平面 ABD （2）解：
14.5
15.-10
16.16
三、解答题：共 70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第 17～21题为必考题，每个试题
考生都必须作答，第 22～23题为选考题，考生根据要求作答。
17.解：(1)由题意及正弦定理可得：
abc a2+b2-c2
=
3
由余弦定理得：a2 +b2-c2 =2ab∙cosC
练的天数位于该区间的概率.从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取 4个人,求恰好有 2个人是“平均每
月进行训练的天数不少于 20天”的概率；
(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这 100个人中抽取 12个，再从抽取的 12个人中随机抽取 3个，Y
表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20天”的人数，求 Y的分布列及数学期望 E(Y)
则 f(x1)+f(x2)+f(x3)+⋯ +f(xm)=
A.4042
B.4041
C.4040
D.4039
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
13.如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1的圆及其圆
心，则这个几何体的体积为，表面积为。
（ ） 14.在 ax+x1 (x2-1)5的展开式中，x3的系数为 15，则实数 a=
20.已知⊙ M 过点 A(3,0),且与⊙ N:(x+ ) 32+y2=16内切，设⊙ M 的圆心 M 的估轨迹为 C，
（1）求轨迹 C的方程；
（2）设直线 l不经过点 B(2,0)且与曲线 C交于点 P，Q两点，若直线 PB与直线 QB的斜率之积为-21,判断
直线 l是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由。
D.既不充分也不必要条件
( ) ( ) ( ) 5.设函数 f(x)=2cos 21x-π3,若对于任意的 x∈ R都有 fx1 ≤ f(x)≤ fx2 成立，则|x1-x2|的最小值为
A.π2
B.π
C.2π
D.4π
6.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的体积为 V，若 P,Q分别在 AA1，CC1上，且 AP=31AA1,CQ=31CC1,则四棱
人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1人的概率为
A.154
B.194
C.37
D.47
8.已知直线 l:y=x-2与 x轴的交点为抛物线 C:y2=2px的焦点，直线 l与抛物线 C交于 A,B两点，则 AB
中点到抛物线准线的距离为
A.8
B.6
C.5
D.4
9.等差数列{an}的前 n项和为Sn，已知a1=31,a2+a5=4,若Sn ≥ 4an+8(n∈N*),则 n的最小值为
2020广州普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学(参考答案)
一、选择題：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目 要求的.
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
答案 A
D
D
B
C
B
C
A
C
B
C
B
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分
13.33π;3π
( ) 21.已知函数 f(x)=(x-4)ex-3+x2-6x,g(x)= a-31x-1-lnx.
(1)求函数 f(x)在(0,+∞)上的单调区间；
(2)用 max{m,n}表示 m,n中的最大值，f’(x)为 f(x)的导函数，设函数 h(x)=max{f’(x),g(x)},若 h(x)≥ 0
所以 sin(A+φ)max=1,所以 b+2a≤ 2 7
18.解：记“平均每月进行训练的天数不少于 20天”为事件 A。
由表可知 P(x≥20)=12050，
()( ) 所以
P(A)=C24
12 4
1-412
=12278
(2)由题意得：
x<20的人：12×34=9;x≥ 20的人有 12×41=3
所以 cosC=a2+2ba2b-c2 =21,及 C=π3 (2)由正弦定理可得： sianA =sibnB =sincC =2
所以 a=2sinA,b=2sinB
( ) 又因为 A+B+C=π，所以 b=2sinB=2sinA+π3 （ ） 所以 b+2a=2sin A+π3 +4sinA=sinA+ 3cosA+4sinA=5sinA+ 3cosA=2 7sin(A+φ), ( ) 且 tanφ= 53,又因为 A ∈ 0,23π
参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取 100人，
对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；
平均每月进行训练的天数 x x≤ 5
5<x<20