(建议下载)新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议

新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。

这些内容都是高中数学中的传统内容。

其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。

在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容，一直被保留下来。

在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》（以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》（以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。

本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议，供大家参考。

一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1．课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。

而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中，独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。

2．教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题。

（2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力。

（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。

《标准》对“解三角形”的教学要求是：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、课程关注点的变化原《大纲》中，解斜三角形内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。

而《标准》则关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

侧重点放在学生探究和推理能力的培养上。

4、内容处理上的变化原《大纲》中，解斜三角形作为平面向量知识的应用，突出其工具性和应用性。

而《标准》将解三角形作为几何度量问题来处理，突出几何的作用，为学生理解数学中的量化思想、进一步学习数学奠定基础。

解三角形处理的是三角形中长度、角度、面积的度量问题，长度、面积是理解积分的基础，角度是刻画方向的，长度、方向是向量的特征，有了长度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教学中应注意的几个问题及教学建议原《大纲》中解斜三角形的内容，比较关注三角形边角关系的恒等变换，往往把侧重点放在运算上。

而《标准》将解三角形作为几何度量问题来展开，强调学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，解决简单的三角形度量问题。

这就要求在教学过程中，突出几何的作用和数学量化思想，发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的探究过程、再创造过程。

因此在教学中应注意以下几个问题。

1．要重视探究和推理《标准》要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

因此建议在教学中，既要重视从特殊到一般的探索学习过程的教学，又要重视数学的理性思维的培养。

教学中不要直接给出定理进行证明，可通过学生对三角形边与角的正弦的测量与计算，研究边与其对角的正弦之间的比，揭示它们在数量上的规律，发现正弦定理的结论，然后再从理论上进行论证，从而掌握正弦定理。

从中体会发现和探索数学知识的思想方法。

参考案例：正弦定理的探索、发现与证明教学建议：建议按如下步骤设计教学过程：(1)从特殊三角形入手进行发现让学生观察并测量一个三角板的边长。

提出问题：你能发现三边长与其对角的正弦值之比之间的关系吗？例如，量得三角板三内角30，60，90所对的三边长分别约为5cm ，8.6cm ，10cm ，000则有： ，，1030sin 50=1060sin 6.80≈1090sin 100=对于特殊三角形，我们发现规律：。

Cc B b A a sin sin sin ==提出问题：上述规律，对任意三角形成立吗？(2)实验，探索规律二人合作，先在纸上做一任意锐角（锐角或钝角）三角形，测量三边长及其三个对角，然后用计算器计算每一边与其对角正弦值的比，填入下面表中，验证前面得出的结论是否正确。

（其中，角精确到分，边长精确到0.1cm, 结果保留3位有效数字）a b c A B C sinA sinB sinC a ：sinA b ：sinB c ：sinC (3) 得出试验结论忽略测量误差，通过实验， 对任意三角形，有结论：，即在一个三角形中，Cc B b A a sin sin sin ==各边和它所对的角的正弦的比相等。

提出问题：上述的探索过程所得出的结论，只是我们通过实验(近似结果)发现的一个结果，如果我们能在理论上证明它是正确的，则把它叫做正弦定理。

那么怎样证明呢？(4)研究定理证明的方法 方法一：（向量法）①若△ABC 为直角三角形，由锐角三角函数的定义知，定理显然成立。

②若△ABC 为锐角三角形，过点A 做单位向量j 垂直于，则向量j 与向量的夹角为900-A ， AC AB 向量j 与向量的夹角为900-C ，（如图1） ，且有：，CB AB CB AC =+所以 j ·(+) = j · 即 j ·+ j · = j ·AC CB AB AC CB AB 展开 |j |||cos90+ | j |||cos(900-C) =| j |||cos(900-A)AC 0CB AB 则得 a sinC = c sinA ， 即 。

C c A a sin sin =同理，过点C 做单位向量j 垂直于,可得：，故有 。

CB B b C c sin sin =Cc B b A a sin sin sin ==③若△ABC 为钝角三角形，不妨设角A>900（如图2），过点A 做单位向量j 垂直于，则向量j 与AC 向量的夹角为A -900，向量j 与向量的夹角为900-C ，且有：，同样可证得：AB CB AB CB AC =+。

Cc B b A a sin sin sin ==方法二：请同学们课后自己利用平面几何中圆内接三角形（锐角，钝角和直角）及同弧所对的圆周角相等等知识，将△ABC 中的边角关系转化为以直径为斜边的直角三角形中去探讨证明方法。

2．要重视综合应用《标准》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

建议在正弦定理、余弦定理的教学中，设计一些关于正弦定理、余弦定理的综合性问题，提高学生综合应用知识解决问题的能力。

如可设计下面的问题进行教学：参考案例：正弦定理、余弦定理的综合应用如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD =10，AB =14，∠BDA =60︒，∠BCD =135︒ .求BC 的长.教学建议：引导学生进行分析，欲求BC ，需在△BCD 中求解，∵∠BCD =135︒，∠BDC =30︒，∴需要求BD ，而BD 需在△ABD 中求解.再引导学生将四边形问题转化为三角形问题，选择余弦定理求BD，再由正弦定理求BC 。

3．要重视实际应用《标准》要求运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

因此建议在教学中，设计一些实际应用问题，为学生体验数学在解决问题中的作用，感受数学与日常生活及与其他学科的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生解决实际问题的能力。

在题目的设计中要注意对恒等变形降低要求，避免技巧性强的变形和繁琐的运算。

参考案例：解三角形在实际中的应用参考案例1．航海中甲船在A 处发现乙船在北偏东，与A 的距45离为10海里的C 处正以的速度向南偏东的方向航行，h /02海里 75已知甲船速度是，问甲船沿什么方向，用多少时间才能h /320海里与乙船相遇？教学建议：引导学生依据题意画出示意图，将实际问题转化为解三角形问题。

若设甲船与乙船经过小时在B 处相遇， 构建，t ACB ∆容易计算出，根据余弦定理建立关于海里海里20,320==BC AB 的方程，求出，问题就解决了。

t t 答: 甲船沿北偏东的方向，经过0.5小时与乙船相遇.75参考案例2．为了测量某城市电视塔的高度，在一条直道上选择了A ，B ，C 三点，使，在A ，B ，C 三点m BC AB 60==观察塔的最高点，测得仰角分别为，若测量602.5445，，者的身高为1.5，试求电视塔的高度(结果保留1位小数).m 教学建议：引导学生依据题意画出示意图如图，将实际问题转化为解三角形问题。

要求电视塔的高度。

只要求出DE 的长。

将问题中的已知量、未知量集中到有关三角形中，构造出解三角形的数学模型。

在中和中应用余弦定理，使问题获得解决.ACE ∆BCE ∆答: 电视塔的高度约为158.3.m 例1图A B C D 例2图E C D A B F 例2图4．要重视研究性学习解三角形的内容有较强的应用性和研究性，可为学生提供丰富的研究性素材。

建议在教学内容的设计上探索开放，在教学形式上灵活多样。

可设计一些研究性、开放性的问题，让学生自行探索解决。

参考案例：研究性学习课外研究题：将一块圆心角为，半径为20厘米的扇形铁片裁成一块矩形，请你设计裁法， 120使裁得矩形的面积最大?并说明理由．教学建议：这是一个研究性学习内容，可让学生在课外两人一组合作完成，写成研究报告，在习题课上让学生交流研究结果，老师可适当进行点评。

参考答案：这是一个如何下料的问题，一般有如图（1）、图（2）的两种裁法：即让矩形一边在扇形的一条半径上，或让矩形一边与弦平行。

从图形的特点来看，涉及到线段的长度和角度，将OA AB 这些量放置在三角形中，通过解三角形求出矩形的边长，再计算出两种方案所得矩形的最大面积，加以比较，就可以得出问题的结论．按图（1）的裁法:矩形的一边OP 在OA 上，顶点M 在圆弧上，设，则：θ=∠MOA ，从而．即当时，．θθcos 20,sin 20==OP MP θθθ2sin 200cos sin 400==S 4πθ=200max =S 按图（2）的裁法: 矩形一边与弦平行，设，在中，PQ AB α=∠MOQ MOQ ∆，由正弦定理，得：1203090=+=∠OQM ．ααsin 3340120sin sin 20==MQ 又，)60sin(40)60sin(2αα-=-= OM MN ∴．)60sin(sin 331600αα-=⋅= MN MQ S []60cos )602cos(33800--=α∴当时，． 30=α33400=max S 由于，所以用第二中裁法可裁得面积最大的矩形，最大面积为平方厘米．20033400>33400也可以建议学生在课外自行寻找研究性、应用性的题目去做，写出研究或实验报告，在学校开设的研究性学习课上进行交流，评价。