微积分2重要知识点归纳

2007-2008学年度第二学期微积分（Ⅱ）期中试题一姓名： 班级： 学号： 一、填空题（每小题2分，共20分） 1、1)2ln(22222-++---=y x y x x Z 的定义域为 2、=-+⎰-dx x x x )1sin 1124（3、=-⎰→62)cos 1(limxdtt x x）0,0(),(,2233≠+-y x yx y x 4、=),(y x f 设 则由定义可求得=)0,0('y f0 （x,y ）=(0,0) 5、=∂∂+∂∂=yz y x z xf x y f Z 可微，则），其中设( 6、α当 时，广义积分⎰+∞-1211收敛dx xα7、⎰=1)2('dx x f8、=+=dz y x z xy则设,9、=∂∂∂+=)1,1(22,yx zdy y x dx xy dz 则设10、=∂∂∂=xy zv u f xy x f z 2),(),,(则有连续的二阶偏导数，其中设二、单选题（每小题2分，共10分）1、在该点处可微的充分条件是函数在点二元函数),(),(00y x y x f （ ） (A)有极限 （B ）连续 (C)有连续偏导数 (D)偏导数存在2、下列广义积分中，（ ）是收敛的⎰ex x dxA 1ln )( dx x xB e ⎰+∞ln )( ⎰ex x dx C 12)(ln )( ⎰+∞e dx x x D ln 1)(3、⎰⎰=-+=22cos )sin (,)(πxdx x f c x dx x f 则设（ ）1)(A 1)(-B 4)(2πC 4)(2π-D4、),,(0),,(y x f z z y x F ==确定了隐函数设由=∂∂-=∂∂=∂∂-=∂∂)1,1()1,1()1,1,1()1,1,1(z 121xyz yF xF 则、、且21)(-A 21)(B 2)(-C 2)(D 5211212121,,P P Q P P Q Q +-=满足与它们的价格设两种商品的需求量,的边际需求对则21212,311P Q P P Q -+=（ ）1)(-A 2)(B 1)(C 3)(-D三、计算题（每小题7分，共49分）1、⎰242sin ππdx xx求2、⎰+6413xx dx 求3、dx ex x x--⎰-)(11求4、yz x z y x z y z z x ∂∂∂∂=,,ln 的函数，求是确定了设方程5、yx zu f e f z xy∂∂∂=2)(),(有二阶导数，求且设6、df u g xy xg y x y x f 可微，求全微分其中，设函数)(),(ln ),(22++= 7、yz x z v u g v u f x y y x xg xy x f z ∂∂∂∂++=,),(),,(),,(),(2均可微，求且设 四、应用题（每小题8分，共16分）1、所围成，求：与由设平面区域342-==x y x y D （1）D 的面积（2）D 绕x 轴旋转所得的旋转体体积。

2、求：的函数是需求某产品的边际收益Q Q R Q R 2.110)(''-= （1）总收益R(Q) （2）平均收益)(Q R（3）需求Q=Q(P) (P 为价格)。

五、证明题（共5分）)(')(10,)(2)1()1,0()(210=+∈=⎰x f f dx x xf f x f ξξξ），使得，（试证明存在上可微，且在设2007-2008学年度第二学期微积分（Ⅱ）期中试题一参考答案一、填空题0122≥-+y x1、{}21),(22<+<y x y x 解 0222>--y x ⇒ {}21),(22<+<y x y x 1222≠--y x 2、2π解 )()(),()(,1)(,sin )(24x g x g x f x f x x g x x x f =--=--==由于令所以f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，所以原式tdt dx t x dx cos ,sin ,x 1212==-=⎰则令2)2sin 21()12(cos cos cost 2,2 =t 时，1=x 0,=t 时，0=x 20220πππππ=+=+=⋅=⎰⎰t t dt t tdt 原式3、61 解 =-=-=-=→→→⎰4205206003c o s 1lim 6cos 1(2lim )()cos 1(lim 2xx x x x x dxd dt t dx dx x x x ）原式 616cos lim 122cos lim 6sin lim 122sin lim 2020220320==⋅==⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x4、1- 定义法 解 1yy y l i m y f (0,0)-y)0,0(lim )0,0('230y 0y -=∆∆∆-=∆∆+=→∆→∆f f y5、 0 解,1)('),()('2x x y f yz x y x y f x z ⋅=∂∂-⋅=∂∂ 01)(')()('x 2=⋅⋅+-⋅⋅=xx y f y x y x y f 所以原式6、<0 解法一：αααα210,2112-<=+∞时，原式收敛于当原式x解法二：由P 级数得到0,121<>-αα得7、)0(21)2(21f f - 解 ===⎰110)2()2(2121x f d x f 原式)0(21)2(21f f -8、dy x x xy dx y y yxy x x y )ln ()ln (11+++-- 解y y yx xzx y ln 1+=∂∂-， =∂∂yzx x xy y x ln 1+- 所以=dz dy x x xy dx y y yx y x x y )ln ()ln (11+++-- 9、2 解 22)(y)(y ,,2)1,1(22==∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∴=∂∂=∂∂xy xy x z yx z y x y z xy x z 10、22212'''''xyf xf f ++解=∂∂+=∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∴=∂∂+=∂∂x '')'()(x ,',''2222221f x f xf x y z x y z xf y z yf f x z 2221222212''''''''''xyf xf f yf f x f ++=++）（二、选择题1、C 解 在该点处可微的充分条件是函数在点二元函数),(),(00y x y x f 有连续偏导数2、A 解2ln 22.11ln ===⎰eexx dA 原式+∞===+∞+∞⎰eexx xd B 2ln )(ln 21ln 2.原式+∞=-==⎰eex x d x C 11ln 2ln 1)(ln 1.原式 +∞===∞++∞⎰e ex x n l d x D ln ln 1.ln 原式3、B解 []1)s i n()s i n (222s i n -=---=--=⎰-ππc x d x f x 原式4、A 解 221z ,21-=⇒-=⇒-=∂∂=∂∂=-=∂∂=z zz y y x F F F F y y F F x F F 由、2121-=---=-=∂∂∴z x F F x z 5、B 解 2)21('21122=+-=p p d dQ p P三、计算题1、 解 +-=+-=-==⎰⎰⎰⎰24242424cot 242242cot cos cot csc sin ππππππππππππx x xdx x x xd xdx x dx x x x 2ln 2ln 422ln 0)4(0sin ln 24+-=-+--=ππππx2、dt t dx t x t x t x x t x x dx xx dx 5661641613164136264,11,,,)1(=======+=+⎰⎰，时时则令⎰⎰⎰⎰+-+-=+-+++-+=+=+=2122122132125)111(611)1()1()1(616)1(6dtt t t dt t t t t t t t dt t t t dt t 原式2ln 3ln 611)2ln 121313ln 2238(6)1ln(2131(62123+-=+-+--+-⨯=+-+-=t t t t3、解xxxxxex x g xex f dx ex dx ex dx e x x --------==-=-⎰⎰⎰)(,)(,()(111111令24)(222)(,)(111-=+==-=∴⎰⎰----ee xe xd dx xe x g xf x x e xx 原式为偶函数，为奇函数4y y z yz y F F z x F F z y x F y z z x z y x F y x 1(1,10),,(,ln ),,(2=-⋅-=∂∂==∂∂==-=），则令2211z zx y yz z x z F F z +-=⋅--=∂∂=yz xy z z z x yF F y z z x z zz x z F F x z z y z x +=+--=-=∂∂+=+--=-=∂∂∴2221,15、 解+=⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂⋅=∂∂=xy xy xy xye uf ye u f yx z y y x z ye u f x z e u )('))('()(,)(',2则令 )('')(')(')(')('2u f xye u f xye u f e yu f ye x ye u f xy xy xy xyxy ++=∂∂+⋅ 6、 解)('21)('2),()(')(221222x y g y x x y xg y y f x y u xg x y g x x x x f +=⋅+=∂∂-⋅++⋅=∂∂ dy x y g y dx x y g x y x y g x d f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∴)('2)(')(17、 解)'1'('),''(),(''221222121g x g x xf y z g xy g x x y y x g yf xf x z ++=∂∂-++++=∂∂四、应用题1、 解 342+==x y x y ⇒ 3121==x x面积⎰=--=--=313132234)3132()34x x x dx x x S （体积[]⎰=+--=--=31315232228)95112316()()34πππx x x x dx x x V x （2、 解c Q Q dQ Q dQ Q R Q R +-=-==⎰⎰26.010)2.110()(')()1(∴==,0,0)0(c R 得由26.010)(Q Q Q R -=（2）Q QQ Q Q Q R Q R 6.0106.010)()(2-=-==(3)由R(Q)=PQ,得P P Q PQ Q Q 35350)(6.0102-=⇒=-五、证明题上存在，由积分中值定理，在则证明：令⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==210),(')()('),()(x xf x f x F x xf x F []上满足在区间故，使一点1,)(),1()1()()021()(2)(2210c x F F f c F c F dx x F c ===-⋅⋅=⎰[][]0)(')(,0)(',1,01,=+=∈∈ξξξξf f x F c 即使存在一点罗尔定理，因此，至少2007-2008学年度第二学期微积分（Ⅱ）期中试题二一、填空题1、[]⎰=badx x f dx b a x f )(d,)(上连续，则在设2、⎰+∞-=04dx e x x 3、1)2ln(12222-++--=y x y x z 函数的定义域为 )0,0()y ,(,2233≠+-x yx y x 4、=),(y x f 设 则由定义可求得=)0,0('y f 0 ，)0,0(),(=y x 5、=∂∂+∂∂=yz y x z x f x y f z 可微，则其中设),( 二、选择题1、下列积分值最大的是（ ）⎰e xdx A 1ln . ⎰e dx x B 12)(ln . ⎰e dx x C 1ln . ⎰edx x D 11ln .2、=-⎰-1121dx x （ ）π.A 2.πB 3.πC 4.πD3、均连续围成，其中由设平面区域)(),(,,),(),(x g x f b a b x a x x g y x f y D <==== 轴旋转体的体积为绕求且x D x g x f 0)()(≤≤（ ） []⎰-badx x g x f A )()(.22π []⎰-badx x f x g B )()(.22π[]⎰-b adx x g x f C )()(.π []⎰-badx x f x g D )()(..π4、，则具有连续的二阶偏导数其中设ϕαϕα,),()(y x y x z -++=（ ）0''''.=+yy xx z z A 0''''.=-yy xx z z B 0''.=yy z C 0''''.=+xx xy z z D5、=∂∂+=⎰⎰DxFD d y x f x y x F 上连续，则在其中设f ),(2),(σ（ ）2.A ),(2.y x f B + ),('2.y x f C x + ⎰⎰∂∂+Ddxdy xy x f D ),(2. 三、计算题1、⎰---4426dx x x2、⎰-+ππnxdx x x cos )(23、dxdz x v x u F x v u F z 求可微，且其中设ln ,,cos ),(=== 4、⎰+∞-0cos sin tdt t e at5、yx z x z y z z x ∂∂∂∂∂=2,,ln 求设6、xzF z y x z y x F y x f z ∂∂=++++=可微，求其中确定（由设,0),),(222四、应用题1、围成，求：与由设平面区域x y x y D =-=2（1）D 的面积（2）D 绕x 轴旋转所得的旋转体体积。