微积分B知识点
微积分知识点简单总结
微积分知识点简单总结1. 函数的导数函数的导数描述了函数在某一点处的变化率，可以简单理解为函数的斜率。
导数的定义为函数在某一点处的极限，即$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。
导数的计算可以使用求导法则，包括常数倍法则、幂函数法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
2. 高阶导数函数的导数可以进行多次求导，得到的导数称为高阶导数。
高阶导数可以描述函数更加详细的变化情况，例如速度、加速度等概念。
3. 函数的微分微分是导数的一种形式，描述了函数在某一点附近的线性近似。
微分的定义为$dy=f'(x)dx$，可以理解为函数在某一点处的微小改变量。
微分可以用于估计函数的变化，以及在计算积分时的一些技巧和方法中。
4. 不定积分不定积分是积分的一种形式，用于求解函数的原函数。
不定积分的记号为$\intf(x)dx=F(x)+C$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，$C$为积分常数。
不定积分的计算可以使用换元法、分部积分法、有理函数的积分等一系列的积分法则。
5. 定积分定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的累积变化。
定积分的计算可以使用牛顿-莱布尼茨公式，也可以使用定积分的近似计算法，如矩形法、梯形法、辛普森法等。
6. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心定理之一，描述了导数和积分的关系。
第一部分定理称为牛顿-莱布尼茨公式，表明了函数的不定积分可以表示为函数的定积分。
第二部分定理描述了定积分的求导运算，即若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数。
7. 微分方程微分方程是微积分的一个重要应用，描述了含有未知函数及其导数的方程。
微分方程可以是常微分方程或偏微分方程，按照阶数、线性性质、系数等分类。
微分方程在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用，例如描述物体的运动、电路的动态行为、人口增长等问题。
高等数学b2大一知识点
高等数学b2大一知识点高等数学是大一学生在理工科、经济学等领域中必修的一门课程。
在高等数学B2中，学生将进一步学习微分学和积分学的更深层次的知识和应用。
本文将对高等数学B2课程中的一些重要知识点进行探讨和解释。
一、微分学微分学是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化和变化率。
在高等数学B2中，学生会深入学习函数的导数和微分的性质，以及一些常见函数的导数公式。
1. 函数的导数函数的导数在微分学中有着重要的地位。
导数定义了函数的变化率，可以表示函数在某一点处的斜率。
导数的求解方法有很多种，常见的方法包括用导数的定义计算、使用导数的性质进行运算等。
2. 常见函数的导数公式在微分学中，有很多常见函数的导数公式。
例如，对于多项式函数，其导数可以通过求取每一项的导数再求和得到。
对于指数函数和对数函数，其导数具有特定的性质和公式。
此外，三角函数和反三角函数的导数也是微分学中的重要内容。
3. 微分的应用微分的应用非常广泛，特别是在物理学和工程学中。
例如，通过对物体的位移函数进行微分，可以得到速度函数；再次对速度函数进行微分，可以得到加速度函数。
在经济学中，微分还可以用来解释供求关系、市场竞争等经济现象。
二、积分学积分学是微分学的逆向过程，研究的是函数的面积和变化量。
在高等数学B2中，学生将学习积分的定义、性质以及一些常见函数的积分法。
1. 积分的定义积分的定义是通过分割一个区间，将函数的值进行求和得到。
其中，定积分是指将函数在一个区间上的面积进行计算。
不定积分是指求取函数的原函数，即求取导数的逆过程。
2. 常见函数的积分法在积分学中，有很多常见函数的积分法。
例如，多项式函数的积分可以通过反向运用导数的公式进行计算。
三角函数和反三角函数的积分具有一些特殊的形式和性质。
此外，指数函数和对数函数的积分也有一些特定的方法。
3. 积分的应用积分的应用也非常广泛，特别是在物理学和统计学中。
例如，在物理学中，通过对速度函数进行积分，可以得到位移函数；再次对位移函数进行积分，可以得到加速度函数。
微积分B2知识点
微积分B2复习要点一 题型1.填空题( 3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。
例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。
第八章 多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D .解 要使z =有意义, 应有22440x y --?,即2214y x +?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。
解要使z =, 应有22224010x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}22(,)14D x y x y =<+?2.二元函数的极限的计算；定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。
记作 A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00 或 A y x f =→),(lim 0ρ例 求2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，1122≤+yx sin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．解 因为2223,25z zxy x y x y∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求,z zx y∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z vu y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得223sin 22cos zx y y x y∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求,.z z x y∂∂∂∂ （5）抽象函数求导例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数x z∂∂和yz ∂∂。
微积分知识点总结ppt
微积分知识点总结ppt一、基本概念1. 导数的定义：导数的定义是函数在一点的导数，是该函数在这一点的切线的斜率。
2. 导数的性质：基本公式，和，积，商法则等。
3. 函数的极值：通过导数求函数的极值点及极值。
4. 函数的单调性：通过导数研究函数的单调性。
5. 函数的凹凸性：通过导数研究函数的凹凸性。
二、微分学1. 微分的概念：微分是函数在某一点处的导函数的表现，是切线的截距。
2. 微分的计算：通过导函数求微分。
3. 微分的应用：微分在函数的近似计算，误差估计及优化问题中的应用。
三、积分学1. 不定积分：通过求导数的逆运算求不定积分。
2. 定积分：通过Riemann和定积分求解面积及曲线弧长等问题。
3. 定积分的性质：定积分的基本性质及计算公式。
4. 定积分的应用：定积分在物理，力学，生物等领域的应用。
四、微积分基本定理1. 微积分基本定理的概念：微分与积分之间的关系。
2. 牛顿—莱布尼兹公式：微积分基本定理的应用。
3. 微积分基本定理的证明：微积分基本定理的几何和代数证明。
4. 微积分基本定理的应用：微积分基本定理在实际问题中的应用。
五、一元函数微积分1. 一元函数极限：一元函数极限的概念及计算方法。
2. 一元函数连续性：一元函数连续性的概念及计算方法。
3. 一元函数导数：一元函数导数的概念及计算方法。
4. 一元函数积分：一元函数积分的概念及计算方法。
六、多元函数微积分1. 多元函数极限：多元函数极限的概念及计算方法。
2. 多元函数连续性：多元函数连续性的概念及计算方法。
3. 多元函数偏导数：多元函数偏导数的概念及计算方法。
4. 多元函数积分：多元函数积分的概念及计算方法。
七、微分方程1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义及分类。
2. 微分方程的解法：微分方程的解法及技巧。
3. 微分方程的应用：微分方程在物理，工程等领域的应用。
八、泰勒级数与麦克劳林级数1. 泰勒级数：泰勒级数的定义及计算方法。
微积分笔记整理
微积分笔记整理以下是一份微积分笔记整理的示例，涵盖了微积分的一些关键概念和公式：一、导数（Derivative）1. 定义：函数在某一点的切线斜率。
2. 公式：$(f(x+h)-f(x))\div h$（当$h$趋近于$0$时）。
3. 导数的意义：- 函数的变化率。
- 曲线的切线斜率。
- 判断函数的单调性。
二、微分（Differential）1. 定义：函数在某一点的切线增量。
2. 公式：$df=f^\prime(x)dx$。
3. 微分的意义：- 切线的近似值。
- 函数的增量。
三、积分（Integral）1. 定义：函数在某个区间上的面积。
2. 公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx$。
3. 积分的意义：- 函数的面积。
- 函数的平均值。
- 求导的逆运算。
四、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）1. 牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula）：若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
2. 不定积分（Indefinite Integral）：函数的原函数族。
3. 定积分（Definite Integral）：函数在某个区间上的确定积分值。
五、常见函数的导数和积分1. 常数函数：导数为$0$，积分为$cx$（$c$为常数）。
2. 线性函数：导数为常数，积分为$cx+d$（$c$、$d$为常数）。
3. 指数函数：导数为指数本身，积分为指数加$1$的反函数。
4. 对数函数：导数为$\frac{1}{x}$，积分为$x\ln|x|+c$。
5. 三角函数：正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数；积分根据不同的三角函数有不同的公式。
《微积分基本定理》 知识清单
《微积分基本定理》知识清单一、微积分基本定理的引入在微积分的发展历程中，微积分基本定理的出现具有里程碑式的意义。
为了更好地理解它，我们先来思考一个简单的问题。
假设我们知道一个物体的速度随时间的变化函数，那么如何求出这个物体在一段时间内移动的距离呢？或者反过来，如果我们知道物体移动的距离与时间的关系，如何求出它在某一时刻的瞬时速度呢？这就是微积分要解决的核心问题之一，而微积分基本定理为我们提供了一种强大的工具和方法。
二、微积分基本定理的内容微积分基本定理，也被称为牛顿莱布尼茨公式，它表明：如果函数＼（F(x)＼）是连续函数＼（f(x)＼）在区间＼（ a, b ＼）上的一个原函数，那么＼（＼int_{a}＾｛b}f(x)dx ＝ F(b) F(a)＼）。
简单来说，就是定积分的值等于被积函数的某个原函数在区间端点处的值的差。
这里要解释几个关键概念。
原函数，是指如果在区间＼（I\）上，＼（F'（x) ＝ f(x)＼），那么＼（F(x)＼）就称为＼（f(x)＼）在区间＼（I\）上的一个原函数。
三、微积分基本定理的证明要证明微积分基本定理，需要用到一些较为复杂的数学知识和方法。
首先，通过分割区间、近似求和、取极限等步骤，将定积分的定义与原函数的概念联系起来。
然后，利用导数和极限的性质，经过一系列严谨的推导和计算，最终得出微积分基本定理的结论。
这个证明过程虽然复杂，但它展示了数学的严密性和逻辑性。
四、微积分基本定理的应用微积分基本定理在数学和其他领域都有广泛的应用。
在数学中，它可以用于计算各种复杂的定积分，简化计算过程。
例如，计算曲线围成的面积、旋转体的体积等。
在物理学中，它可以用于求解位移、速度、加速度之间的关系，以及计算功、能量等物理量。
在工程学中，它可以用于分析电路、力学系统等。
在经济学中，它可以用于计算成本、收益等经济指标。
五、利用微积分基本定理计算定积分的步骤第一步，确定被积函数＼（f(x)＼）。
微积分BII复习知识点
微积分BII复习知识点微积分 BII 是高等数学中的重要部分，涵盖了众多关键的知识点。
为了帮助大家更好地复习，以下将对一些重要的内容进行梳理。
一、多元函数的极限与连续多元函数的极限是一个较为复杂的概念。
与一元函数不同，多元函数的极限需要考虑多个方向的趋近情况。
判断多元函数极限是否存在，需要通过不同路径的趋近来验证。
如果沿着不同路径趋近得到的极限值不同，那么该多元函数的极限就不存在。
连续的概念与一元函数类似，若多元函数在某点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。
二、偏导数偏导数是多元函数微积分中的重要概念。
对于多元函数，我们固定其他变量，只对一个变量进行求导，得到的就是偏导数。
求偏导数时，需要把其他变量看作常数。
例如，对于函数＄z ＝f(x,y)＄，关于＄x$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，计算时把＄y$ 当作常数；关于＄y$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄，计算时把＄x$ 当作常数。
偏导数的几何意义也很重要。
比如，函数＄z ＝ f(x,y)＄关于＄x$ 的偏导数在某点的值，表示函数在该点沿＄x$ 轴方向的变化率。
三、全微分全微分是描述多元函数在某点附近微小变化的一个重要工具。
若函数＄z ＝ f(x,y)＄的全增量可以表示为＄＼Delta z ＝ A\Delta x ＋ B\Delta y ＋ o(＼sqrt{（＼Delta x)＾2 ＋（＼Delta y)＾2}）＄，其中＄A$ 和＄B$ 为常数，则称函数＄z ＝ f(x,y)＄在点＄（x,y)＄可微，＄A\Delta x ＋ B\Delta y$ 称为函数的全微分，记为＄dz ＝A\Delta x ＋ B\Delta y$。
全微分的计算通常是先求出偏导数，然后将偏导数乘以相应的自变量增量即可。
四、多元复合函数求导多元复合函数的求导法则较为复杂，需要分清函数的复合关系，然后使用链式法则进行求导。
微积分知识点概要
微积分(知识点概要)微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。
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微积分B2复习要点一 题型1.填空题( 3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二 知识点第七章 向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例 求球心为点),,(0000z y x M ，半径为R 的球面方程 例 平面直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆 ，空间直角坐标系中 224x z +=的图形是 圆柱面 。
例 XOZ 面上224x z +=绕x 轴旋转一周后的旋转体方程为 。
第八章 多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1 求函数z =的定义域D .解 要使z =有意义, 应有22440x y --?,即2214y x +?.故 22(,)14y D x y x 禳镲镲=+?睚镲镲铪例2 求ln()z x y =-的定义域D .解 要使ln()z x y =-有意义, 应有0x y ->, 故 {}(,)0D x y x y =->. 例3求函数z =的定义域D 。
解要使z =, 应有22224010x y x y ìï--?ïíï+->ïî, 即 2214x y <+?, 故 {}22(,)14D x y x y =<+?2.二元函数的极限的计算；定义 如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当δρ<-+-=<20200)()(y y x x 时，ε<-A y x f ),(恒成立，则称当),(y x 趋于),(00y x 时，函数),(y x f 以A 为极限。
记作 A y x f y x y x =→),(lim),(),(00 或 A y x f =→),(lim 0ρ例 求2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),( 解 当00→→y x ,时022→+y x ，1122≤+yx sin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yx y x y x ++→sin)(lim ),(),(0= 3.多元函数偏导数计算； （1）一阶偏导数的计算； （2）全微分的计算；概念：函数(,)z f x y =的全微分为z z dz dx dy x y∂∂=+∂∂ 例 求函数2235z x y x y =-+的全微分．解 因为2223,25z zxy x y x y∂∂=-=+∂∂， 所以 22(23)(25)dz xy dx x y dy =-++．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，若(,),(,)u x y v x y ϕψ==在点(,)x y 处偏导数存在，而(,)z f u v =在对应点(,)u v 处可微，则复合函数((,),(,))z f x y x y ϕψ=在点(,)x y 处可导，且z z u z v x u x v xz z u z v y u y v y∂∂∂∂∂⎧=⋅+⋅⎪∂∂∂∂∂⎪⎨∂∂∂∂∂⎪=⋅+⋅∂∂∂∂∂⎪⎩例 已知22153,cos ,cos z u v u x y v y x =-+==，求,z zx y∂∂∂∂． 解 由链式法则有 226cos 2(sin )6cos sin 2z z u z vu y v y x x y y x x u x v x ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=-+⋅-=--∂∂∂∂∂． 用同样的方法，可得223sin 22cos zx y y x y∂=+∂ （4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)z z x y =是由方程z x y z e ++=确定的隐函数，试求,.z z x y∂∂∂∂ （5）抽象函数求导例 求复合函数(,)y z f xy x =的一阶偏导数xz∂∂和y z ∂∂。
解 令,y u xy v x ==，则(,)y z f xy x =变为(,)z f u v =，,yu xy v x==复合而成的复合函数。
2()z f u f v f f yy x u x v x u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+-∂∂∂∂∂∂∂ 1z f u f v f f x y u y v y u v x∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 练习：设(2,sin )z f x y y x =-，f 具有一阶连续偏导数，求,z zx y∂∂∂∂ 6.可微、偏导、连续的关系;7.多元函数极值的计算。
概念：设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于0P 的点(),P x y ,有00(,)(,)f x y f x y <(或00(,)(,)f x y f x y >),则称00(,)f x y 为函数(,)f x y 的一个极大值(或极小值).例；求函数22442y xy x y x z ---+=的极值。
解：解3342204220x yz x x y z y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩，得()(,)(1,1),0,0x y =±。
而22122,2,122xxxy yy z x z z y =-=-=- 对(,)(1,1)x y =±，2212210,2,12210xxxy yy z x z z y =-==-=-=， 知 (,)(1,1)x y =±为极小值点。
且极小值为-2。
第九章 二重积分1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1）()⎰⎰+Dd y x σ6，其中D 由1,2,===x x y x y 所围成（2）求⎰⎰DD xyd ,σ是由直线3+-=x y 与曲线1212-=x y 所围成 （3）计算⎰⎰=Dy x xy I d d ，其中D 由曲线2y x =及y x 562-=所围成．解 画出积分区域D积分区域D 2:y D ≤x ≤y 56-，2-≤y ≤1， 所以y y y y x xy y I y y d )56(21d d 12456122⎰⎰⎰-----==427613532121632-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-y y y ． （4）()4:2222≤++⎰⎰y x D d y x Dσ(5) 41:)(22522≤+≤+⎰⎰y x D d y x Dσ2. 交换积分次序；例 交换二重积分⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01的积分次序。
解：由二次积分的上、下限知积分D 的图形是0=y 与x y ln =在],[e 1之间的部分，则 :D x y e x ln ,≤≤≤≤01若先对y 后对x 积分，此时积分区域可表示为:D e x e y y ≤≤≤≤,10因此，我们可以交换积分次序⎰⎰x edy y x f dx ln ),(01=⎰⎰eey dx y xf dy ),(10例（1）⎰⎰-4122),(ydx y x f dyy(2) ⎰⎰x dy y x f dx 010),(+⎰⎰-xdy y x f dx 2021),(3.二重积分的性质与应用。
例 设D 由xy x y y 1,0,2==-=所围成，求平面图形D 的面积。
第十章 微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程()()x Q y x P dydx=+ (1) 称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y 及其导数dydx是一次方程)当()0≡x θ时，方程(1)为齐次的，当()Q x 不恒等于零时，方程(1)为非齐次的．()0=+y x P dydx(2) 称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦. 例 求方程()25112+++=x x y dx dy 的通解分析 (常数变易法)这是()()()251.11+=+-=x x Q x x P 的一阶非齐次线性方程．它有两种解法：常数变易法与公式法解法一 (常数变易法)先求对应齐次方程的通解．y x dx dy 12+=, dx x y dy 12+=, c x y ln 1ln 2ln ++=,()21+=x C y ,用常数变易法，把c 换成u ，即令()21+=x u y,()()1212'+++=x u x u dxdy , 代入所给非齐次方程，有()121u x '=+,()()C x dx x u ++=+=⎰23211321,于是()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=C x x y 2321321,解法二 (公式法)直接由()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎰⎢⎥⎣⎦给出，其中 ()()⎰⎰+=+-=21ln 12x dx x dx x p 2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。
二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若 22()()0d y dyP x Q x y dx dx++=中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。
解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程20r pr q ++=，并求解出特征根12,r r （2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的12,C C（4）将12,C C 代入到通解里去，得到题目要求的特解。
例题：求微分方程230y y y ''--=‘满足初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==的特解。
解： 所给微分方程的特征方程为2230r r --=其根121,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为312x xy C e C e -=+ （1）从而312'3x x y C e C e -=-+ （2） 将初始条件0|0x y ==，0'|4x y ==代入（1）、（2） 得：120C C =+，1243C C =-+ 从而121,1C C =-=所以，原微分方程的特解为3x x y e e -=-+例题：求方程2220d s dss dt dt++=满足初始条件：2..400-=='==s s t t 的特解解 对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：.0122=++r r 即0)1(2=+r2121,.1r r r r Θ-==∴为重根．t e t c c s -+=∴)(21(1)再对(1)的两边关于t 求导:t t t e t c c c e t c c e c dtds-----=-++=)()1)((212212(2)把40==s t 代入(1)的41=c 把⎪⎩⎪⎨⎧=-==4210c s t 代入(2)得，22=ct e t s -+=∴)24(为所求．例题： 求微分方程：052=+'-''y y y 通解． 解 所给方程的特征方程为：i r r r 2122042,0522,12±=-±==+-为一对共轭复根．).2sin 2cos (21x c x c e y x +=∴(这里2,1==βα) 3. 可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算 类型1：),(y x f y '='' 令 ,p y =' 则 p y '=''，于是可将其化成一阶微分方程。