矩形草坪上的无缝喷灌系统的设计

矩形草坪上的无缝喷灌系统的设计
摘要: 无缝灌溉问题的实质就是用一系列（相同半径或不同半径）的圆形来覆盖一个平 面区域， 同时也可以理解为用一个固定形状的矩形去截相同半径或者不同半径的圆铺成 的平面。 我们把题目抽象化， 矩形草坪就相当于 50 28 的矩形， 浇灌半径为 1 米、 2 米、 5 米的喷头实际上可以等效为半径为 1、2、5 的正圆。 第一问是要求我们只使用半径为 1 米的圆来覆盖这个矩形区域,求最少需要多少个 圆。即要使圆的利用率尽可能大。可以发现圆与圆之间要通过相交实现无缝拼接，即每 个圆对矩形的实际贡献为一内接多边形。通过分析，我们引入三条引理：圆的正内接多 边形面积最大；对同一个圆，内接正多边形的边数越多，面积越大；为实现正多边形的 完美拼接（既无缝隙，也无重叠） ，须保证正多边形的内角能整除 360 度。我们发现只 有圆贡献的内接多边形为正六边形时，同时满足以上三条引理。假设平面上按照这样的 方式铺满了正圆，我们考虑矩形如何放置能使得完全覆盖之余需要的正圆数目最少。经 过研究，我们得出的结论是至少需要 560 个喷头才可以覆盖整个矩形区域。 第二问要求 n 个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积，求出 f(n) 的值。我们先从简单的情况开始考虑。当行数固定为 2 时，n 个圆分别排布在两行。可 以发现，当两行的圆的个数差超过一个时，将出现至少一个圆不起任何作用的情况，无 法实现最优分布。因此，存在两行个数相同和两行个数之差为一两种最优分布方式。当 y 不断增加，可以将这两种分布方式进行推广，再通过 C++编程求出不同 n 的情况下所 使用的排布方式即相应的 f（n）的值。 第三问给出了两个约束条件,按照我们对题目要求的理解, 应优先满足使用喷头数 目最少这个条件, 然后在这个基础之上再来调整使得浪费最少。 应尽量使用浇灌半径大 的喷头,所以先用半径 5 米的圆形进行讨论, 空缺的地方再用其他两种来补全。最终我 们发现找到得方案是使用浇灌半径为 5 的喷头 26 个, 共使用喷头 26 个。
关键词:无缝喷灌 圆
一、 问题重述
有一块长宽分别为 50 米以及 28 米的矩形草坪区域, 要在其内部设立若干个喷头 用来自动浇灌这块草坪.现有浇灌半径分别为 1 米,2 米和 5 米三种规格的喷头可供使 用。要求草坪中的任一点都能被浇灌到。 (1)若所有的喷头都使用浇灌半径为 1 米的喷头, 至少需要在草坪上设多少个这种规格 的喷头。 (2)设 f(n)表示 n 个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积(n=1,2,3,„), 试确定 f(n)的值。 (3)若三种规格的喷头都允许使用, 试设计一种你认为合理的浇灌方案, 使得: (i)喷头个数尽可能少； (ii)尽可能合理利用水资源,即要求溢出草坪部分的浇灌面积尽可能少。
除 360 度。 结合题目来看，为了使圆的利用率最大，由引理 1，可以首先确定应保证圆对矩形 实际贡献的面积为正多边形。 由引理 3，正多边形实现完美拼接的情况共有以下三种：
正三角形
正方形
正六边形
即每个圆贡献的正多边形为正三角形，正方形，正六边形。由引理 2 我们可以得出 按正六边形进行排列的结论。 当按正六边形进行排列时，其所覆盖的最大矩形的边界如下图所示：
for(y=2;y<=n/2;y++) for(x=2;x<=(n-y/2)/y;x++) if(max<sqrt(3)*x*(3*y-1)/2){ max=sqrt(3)*x*(3*y-1)/2; max_x=x; max_y=y; mod=2; } return max; } int main() { float d; int min_num,max_num; cout<<"请输入 n 的下限、上限\n"; cin>>min_num>>max_num; cout<<"n 面积 x y 分布方法\n"; for(n=min_num;n<=max_num;n++){ d=g(n); cout<<n<<" "<<d<<" "; cout<<max_x<<" "<<max_y<<" "<<mod<<endl; } return 0; }
在这种情况下圆覆盖的矩形面积为：S = 2.5r × 2.5r = 6.25r 2 此时，每个圆都得到了充分的利用，圆的利用率最大，因此可知，当圆的个数为偶 数时，只有两行的圆的个数相同，圆所覆盖的矩形区域才能保证最大。
同理可得当圆的个数为奇数时，两行之间圆的个数差为 1 时，圆所覆盖的矩形区域 才能保证最大。 已知当行数为 2 时， 有两行个数相同和两行个数之差为一两种分布方式。 由此可知， 当行数增加，共存在两种最优分布方式：
经过观察，我们发现 26 个半径为 5 的圆通过平移可以实现完全覆盖。因此一共需 要 26 个 5 米半径的喷头。
五、 模型评价
第一问逻辑比较严密，通过三个引理得出了使用正六边形进行拼接的结论，并且找 出具体的方案实现题目的目标。在解答中严格的证明了 560 这种方案就是最少的。 第二问问能最有效利用圆的安置方式， 我们通过类似于数学归纳法的方式得出了两 种最优方案。对于每行之间个数差不能超过 1 的论证较为严密，但并未给出从行数为 2 推广到行数为任意值的证明过程，这里存在进一步严密论证的空间。 第三问我们通过枚举的方式，逐一论证了 24,25,26 个半径为 5 的喷头是否可行，
存在下边界处的六个小缝隙和右边界处的两个大缝隙未被覆盖。 据观察发现右侧的 缝隙的长度大于 20，因此使用一个半径为 5 的圆无法覆盖。 当使用 2 个半径为 5 的圆来覆盖缝隙，即共使用 26 个圆按照最优化分布方式个小缝隙未被覆盖，我们可以通过增加小规格 喷头或平移现有喷头的方式进行覆盖。为了满足题设条件：喷头个数尽可能少，溢出草 坪部分的浇灌面积尽可能少，因此选择后一种方式。图示如下：
化简得 f(n)=
3 1 ( x ) (3 y 1)r 2 2 2
对于第二种分布方式来说， 可内接的矩形长为 3 xr ，宽为 yr (y 1) 最大矩形面积为：f(n)= 化简得 f(n)=
1 1 r (3y 1)r ， 2 2

1 3r x [ y ( y 1)] 2
经过观察我们可以发现，左边界依次从上到下穿过两个正圆相交的部分和一个正圆 的圆心，上边界连续穿过两个正圆的上交点。 下面通过计算确定下边界的位置。由上图知，每一行的有效宽度分别为 1（由一个 圆心角为 60 度的弦构成）和 2（由圆的一个直径构成） ，且交替出现。现在已知矩形的 宽为 28 米， ，即有效宽度为 1 的行有 10 个，有效宽度为 2 的行有 9 个，且最后一行的有效宽度为 1。 再考虑左右两个边界，由上图知，每个圆提供的有效长度为√3（由一个圆心角为 120 度的弦构成） 。现在已知矩形的长为 50 米：
第一种最优分布方式表示，每行有 x 个圆，共有 y 行；第二种最优分布方式表示每 行个数按 x-1,x 交错排列，共有 y 行。 对于第一种分布方式来说，
1 1 1 r， 可内接的矩形长为 3r ( x ) ，宽为 yr (y 1) r (3y 1) 2 2 2
1 1 最大矩形面积为：f(n)= [ 3r ( x )] [ yr ( y 1) r ] 2 2
当 n=2m+1（m=1,2,3„）时，第一行为 m 个，第二行为 m+1 个：
证明：给定偶数个正圆，如假设 n=4,当两行之间圆的个数差超过 1 时，圆的排列如下：
在这种情况下圆覆盖的矩形面积为： S = r × 3√3r = 3√3r 2 横向 或者S = √3r × 2.5r = 2.5√3r 2 (纵向) 我们可以发现，无论是按横向计算还是按纵向计算，总有一个圆起不到任何作用， 将其去掉并不会影响矩形面积。而按照每行 2 个圆的排列方式：
最终得出 26 个的结论。但是，我们没有具体的求出每个圆的圆心所在的位置，只做了 定性分析，存在一定进步的空间。
参考文献
[1] 姜启源 谢金星 数学建模案例选集 高等教育出版社， 北京，2006 [2] 运筹学教材编写组编 运筹学 清华大学出版社, 199811 [3] 潘承洞, 潘承彪 解析数论基础 科学出版社, 199915
由上图，有效宽度为 2 的行比有效宽度为 1 的行所需要的圆的个数多 1 ，
50 ÷ √3 ≈ 28.8 ，可知有效宽度为 1 的行需要圆 29 个，有效宽度为 2 的行需要圆 30 个。 所以，综上所述，一共需要圆：29 × 10 + 30 × 9 = 560（个） (二) 第二问分析及求解： 第二问里，设 f(n)表示 n 个相同规格的喷头所能浇灌的最大矩形草坪区域的面积 (n=1,2,3,„),试确定 f(n)的值。 首先固定行数，现假设行数为 2，n 个完全相同的圆分别排布在两行。为使覆盖的 矩形面积最大，须保证两行之间圆的个数差不得超过一个。 当 n=2m(m=1,2,3,„)时，每行的圆的个数分别为 m：
附录一
#include <iostream> #include <math.h> using namespace std; float max_x,max_y; int n; int mod; float g(int n) { float max=0; float x,y; for(y=2;y<=n/2;y++) for(x=2;x<=n/y;x++) if(max<(sqrt(3)*(x-0.5)*(3*y-1)/2)){ max=(sqrt(3)*(x-0.5)*(3*y-1)/2); max_x=x; max_y=y; mod=1; } if(max<2*n) { max=2*n; max_x=n; max_y=1; mod=1;}