2020-2021学年海南省文昌中学高二上期末文科数学试卷

【最新】海南省文昌中学高二上期末文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4， 则公差d 等于（ ）A ．－2B ．－53C ．2D ．3 2．原命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题．．．．是（ ） A ．若3x <-，则0x ≤ B ．若3x >-，则0x ≥C ．若0x <，则3x ≤-D ．若0x ≥，则3x >-3．抛物线24y x =-的焦点坐标是（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（161-，0） D ．（0，161-） 4．在△ABC 中，“030=∠A ”是“21sin =A ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．“ab<0”是“方程ax 2＋by 2＝1表示双曲线”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．曲线y =x x−2在点(1,−1)处的切线方程为( )A ．y =−2x +3B ．y =−2x −3C ．y =−2x +1D ．y =2x +1 7．已知p ：2＋3＝5，q ：5＜4，则下列判断错误的是( )A ．“p 或q”为真，“非p”为假B ．“p 且q”为假，“非q”为真C ．“p 且q”为假，“非p”为假D ．“p 且q”为真，“p 或q”为真8．设函数f(x)＝ax 3＋3x ，其图象在点(1，f(1))处的切线l 与直线x －6y －7＝0垂直，则直线l 与坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．1B ．3C ．9D ．129．设函数f(x)＝xe x ，则( )A ．x ＝1为f(x)的极大值点B ．x ＝1为f(x)的极小值点C ．x ＝－1为f(x)的极大值点D ．x ＝－1为f(x)的极小值点10．已知抛物线x 2＝2py(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ）A ．y ＝－1B ．y ＝1C ．y ＝－2D ．y ＝211． 函数32343x y x x =+--在区间[]0,2上的最小值是（ ） A ．173- B ．103-C ．4-D ．643- 12．已知抛物线y 2=2px （p>0）上一点M(1,m)(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 13．221169x y -=，则此双曲线的离心率为__________． 14．已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = .15．已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x=43-处取得极值,则a 的值为 . 16．抛物线的顶点为原点，焦点在x 轴上．直线20x y -=与抛物线交于A 、B 两点，P （1，2）为线段AB 的中点，则抛物线的方程为三、解答题17．（1）焦点在y 轴上的椭圆的一个顶点为A （2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.（2）已知双曲线的一条渐近线方程是20x y +=，并经过点()2,2，求此双曲线的标准方程.18．等比数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列.（1）求{n a }的公比q ；（2）求1a －3a ＝3,求n S .19．在△ABC 中，已知030,1,3===B b c .（1）求角C 和A ；（2）求△ABC 的面积S.20．已知函数()()21ln 2x f x x -=-. （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）证明：当1x >时,()1f x x <-.21．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A 为抛物线y 2=8x 的焦点,离心率为√32（1）求椭圆C 的方程;（2）过点(0,√2)且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于P , Q 两点,若线段PQ 的中点横坐标是−4√25,求直线l 的方程. 22．已知函数3211()32m f x x x +=-,1()3g x mx =-,m 是实数. （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值,求m 的值; （Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数,求m 的取值范围;（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下,函数()()()h x f x g x =-有三个零点,求m 的取值范围.参考答案1．A【解析】试题分析：由题意31333436S a d d =+=⨯+=，2d =-．故选A ．考点：等差数列前n 项和．2．D【解析】试题分析：命题的逆否命题是把原命题的条件和结论都加以否定并交换位置所得，因此命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题 “若0x ≥，则3x >-”．故选D ．考点：四种命题．3．D【解析】 试题分析：抛物线的标准方程是214x y =-，即112,48p p ==，故焦点为1(0,)16-，故选D ．考点：抛物线的性质．4．A【解析】试题分析：若30A =︒，则1sin 2A =，故是充分和，但当1sin 2A =时，180(1)30,k A k k Z =⋅︒+-⋅︒∈，故不是必要的，因此“030=∠A ”是“21sin =A ”的充分不必要条件，故选A ．考点：充分必要条件5．C【详解】0,0a b ><时，221ax by +=表示焦点在x 轴上的双曲线，0,0a b 时，221ax by +=表示焦点在y 轴上的双曲线，即0ab <时，221ax by +=表示双曲线，故0ab <是方程221ax by +=表示双曲线的充分条件；若0ab =时方程221ax by +=不可能表示双曲线，0ab >时，若0,0a b >>，方程221ax by +=表示圆或椭圆，若0,0a b <<，方程221ax by +=不能表示任何曲线，故0ab <也是方程221ax by +=表示双曲线的必要条件．即0ab <也是方程221ax by +=表示双曲线的充要条件．选C ．考点：充分必要条件6．C【解析】试题分析：由题意y′=(x−2)−x(x−2)2=−2(x−2)2，所以x =1时，k =y′=−2，切线方程为y +1=−2(x −1)，即y =−2x +1．故选C ．考点：利用导数求切线方程．7．D【解析】试题分析：命题p:2+3=5是真命题，命题q:5<4是假命题，因此命题p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假，非q 为真，故选D ．考点：复合命题的真假判断．8．B【解析】试题分析：2'()33f x ax =+，由题意'(1)336f a =+=-，3a =-，即3()33f x x x =-+，(1)330f =-+=，直线l 方程为6(1)y x =--，即66y x =-+，它与两坐标轴的交点为(1,0),(0,6)A B ，所求面积为11632S =⨯⨯=．故选B ． 考点：导数的几何意义．9．D【解析】试题分析：由题意'()(1)x x xf x e xe x e =+=+，令'()0f x =，则1x =-，且当1x <-时，'()0f x <，()f x 递减，当1x >-时，'()0f x >，()f x 递增，因此(1)f -是函数的极小值．故选D ．考点：函数的极值．10．A【解析】试题分析：抛物线22x py =的焦点为(0,)2p ，直线AB 方程为2p y x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22()2p x p x =+，即2220x px p --=，所以122x x p +=，由题意12222x x p +==⨯，2p =，所以抛物线的准线方程为12p y =-=-．故选A ． 考点：抛物线的几何性质．11．A【解析】试题分析：由已知2'()23f x x x =+-，令2'()230f x x x =+-=得1x =（3x =-舍去），当12x <<时，'()0f x >，当01x <<时，'()0f x <，因此在[0,2]上函数()f x 只有一个极小值点，也是最小值点，所以17()(1)3f x f ==-最小．故选A ． 考点：导数与函数的最值．【名师点睛】(1)函数的最大值与最小值:在闭区间[a,b]上连续的函数f(x),在[a,b]上 必 有最大值与最小值;但在开区间(a,b)内连续的函数f(x) 不一定 有最大值与最小值.(2)求最大值与最小值的步骤:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求f(x)在(a,b)内的 极 值;②将f(x)的各 极 值与 f(a),f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 12．A【解析】由已知得1+=5,∴p=8.∴y 2=16x,又M(1,m)在y 2=16x 上,∴m 2=16(m>0),∴m=4,∴M(1,4).又双曲线-y 2=1的左顶点A(-,0),一条渐近线为y=x=x.又k AM =,∴=,解得a=.13．54【解析】由双曲线的方程221169x y -=，则4,3a b ==，所以5c =， 所以双曲线的离心率为54c e a ==． 14．1【解析】试题分析：2'()31f x ax =+，'(1)31f a =+，又(1)2f a =+，所以函数图象过点(1,(1))f 的切线方程为(2)(31)(1)y a a x -+=+-，又切线过点(2,7)，则7(2)(31)(21)a a -+=+-，解得1a =．考点：导数与函数图象切线．15．12【解析】试题分析：由已知2'()32f x ax x =+，又2444'()3()2()0333f a -=⨯-+⨯-=，则12a =． 考点：导数与极值．【名师点睛】如果函数()f x 在(,)a b 上都有导数，则()f x 在(,)a b 存在极值的条件是存在0(,)x a b ∈且0'()0f x =，如果在0x x =附近左侧有'()0f x >，在0x x =附近右侧有'()0f x <，则0()f x 是极大值，如果在0x x =附近左侧有'()0f x <，在0x x =附近右侧有'()0f x >，则0()f x 是极小值．16．y 2＝8x【解析】试题分析：因为直线20x y -=过原点，因此,A B 中有一点为原点，不妨设(0,0)A ，又(1,2)P 是AB 的中点，则(2,4)B ，设抛物线方程为2y mx =，则242m =⨯，8m =，即抛物线方程为28y x =．考点：抛物线的标准方程．【名师点睛】抛物线的标准方程根据焦点所在位置有四种形式： 22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-，其中0p >，如果只知焦点在x 轴上，其标准方程也可设为2y ax =，同样焦点在y 轴上，则方程可设为2x by =．17．（1）221164y x +=；（2）221312y x -=． 【解析】试题分析：（1）由于焦点在y 轴上，因此可设椭圆标准方程为22221y x a b+=(0)a b >>，由题意有2b =，又24a b ==，方程即得；（2）已知双曲线的一条渐近线方程是20x y +=，另一条渐近线一定为20x y -=，双曲线的方程可设为224x y m -=，再把点(2,2)坐标代入求得m ,即可． 试题解析：（1）由题可知b=2,a=4，椭圆的标准方程为：221164y x （2）设双曲线方程为：224λx y ， ∵双曲线经过点（2，2），∴22λ24212=-⨯=-故双曲线方程为：221312yx .考点：椭圆的标准方程，双曲线的标准方程．18．（1）12q =-；（2）81(1)32n n S =-． 【解析】试题分析：（1）由已知有1232S S S +=，直接利用2112112111,,S a S a a q S a a q a q ==+=++代入可得关于q 的方程，可求得q ；（2）133a a -=及（1）中的q 可求得1a ，再由等比数列的前n 和公式可得结论．试题解析：(1) 依题意有)(2)(2111111q a q a a q a a a ++=++由于 01≠a ,故022=+q q又0≠q ,从而21－=q(2) 由已知可得321211=--）（a a 故41=a 从而））（（）（））（（n n n 211382112114--=----=S））（（）（））（（n n n 211382112114--=----=S考点：等比数列的前n 项和．19．（1）060=C ，090=A 或0120=C ，030=A ；（2）S =或S = 【解析】试题分析：（1）题中条件是已知两边及一边的对角，可用正弦定理，又由于c b >，因此有C B >，因此此题有两解；（2）利用公式1sin 2S bc A =可求得面积． 试题解析：（1）∵bc B C =sin sin ,23sin =C , ∵b c >,∴C>B,∴060=C ,090=A 或0120=C ,030=A（2）当090=A 时,23sin 21==A bc S ; 当030=A 时,43sin 21==A bc S ,所以S=23或43考点：正弦定理，三角形的面积．【名师点睛】运用正弦定理可解决两类问题：①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角.运用余弦定理可解决两类问题：①已知三边,求各角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.当然在解三角形时要灵活运用这两个公式，特别是已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两个角时，由正弦定理求出一边对角的正弦后，这个角可能有两解．这是容易出错的地方．20．（1）10,2⎛ ⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由函数得，令，解得函数的单调递增区间；（2）()1f x x <-等价于，令()()()()1,1,g x f x x x =--∈+∞，利用单调性使得即可. 试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞,()211'1,x x f x x x x-++=-+=令()'0f x >,得20{10x x x >-++>,解得0x <<,所以函数()f x 的单调递增区间是10,2⎛+ ⎝⎭. （2）令()()()()1,1,g x f x x x =--∈+∞,则()21'0x g x x-=<在()1,+∞上恒成立, 所以()g x 在()1,+∞上单调递减,所以当1x >时,()()10g x g <=, 即当1x >时,()1f x x <-. 考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）不等式的证明.【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明，注重对基础知识的考查，也是在高考中常见的考查形式，难度适中；利用导数求函数()f x 的单调性的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③求不等式和的解集，得单调区间；常见的证明不等式中，，令，使得恒成立即可，转化为即可，利用单调性得. 21．（1）x 24+y 2=1；（2）y =x +√2．【解析】试题分析：（Ⅰ）要求椭圆的标准方程，要找到关于a,b,c 的两个条件，题中离心率e =c a =√32是一个，还有一个是抛物线的焦点为(2,0)，它为椭圆的右顶点，则有a =2，由此可得椭圆标准方程；（Ⅱ）本小题涉及直线与椭圆相交弦中点问题，处理方法是设交点为P(x1,y1) , Q(x2,y2),PQ中点为M(x0,y0)，设直线方程为y=kx+√2，代入椭圆方程整理后可得x1+x2,x1x2，由x0=−4√25，即x1+x2=2x0=−8√25可求得k，注意直线与椭圆相交，因此有Δ>0，从而可得直线方程．试题解析：（Ⅰ）抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2因为离心率e=ca =√32,所以c=√3故b2=a2−c2=1所以椭圆C的方程为:x 24+y2=1（Ⅱ）设直线l:y=kx+√2由{y=kx+√2x2+4y2=4, 消去y可得(4k2+1)x2+8√2kx+4=0因为直线l与椭圆C相交于P,Q两点,所以Δ=128k2−16(4k2+1)>0解得|k|>12又x1+x2=−8√2k4k2+1,x1x2=44k2+1设P(x1,y1) , Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0)因为线段PQ的中点横坐标是−4√25所以x0=x1+x22=−4√2k4k2+1=−4√25，解得k=1或k=14因为|k|>12,所以k=1因此所求直线l:y=x+√2考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆相交弦中点问题．【名师点睛】遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆=1中,以P(x 0,y 0)为中点的弦所在直线的斜率k=-;在双曲线=1中,以P(x 0,y 0)为中点的弦所在直线的斜率k=;在抛物线y 2=2px(p>0)中,以P(x 0,y 0)为中点的弦所在直线的斜率k=.22．（Ⅰ）0m =；（Ⅱ）1m ≤；（Ⅲ）1m <【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，由()10f '=，即可求出m 的值；（2）由()2(1)f x x m x =-+'，得()0f x '≥在区间(2,)+∞恒成立，即1m x ≤-恒成立，由2x >，即可得到1m ≤；（3）求出()(1)()0h x x x m =-'-=，分别得1m =时，1m <时的情况，进而求出m 的取值范围．试题解析：（1）f′（x ）=x 2﹣（m+1）x ，由f （x ）在x=1处取到极大值，得f′（1）=1﹣（m+1）=0，∴m=0，（符合题意）；（2）f′（x ）=x 2﹣（m+1）x ，∵f （x ）在区间（2，+∞）为增函数，∴f′x ）=x （x ﹣m ﹣1）≥0在区间（2，+∞）恒成立，∴x ﹣m ﹣1≥0恒成立，即m≤x ﹣1恒成立，由x ＞2，得m≤1，∴m 的范围是（﹣∞，1]．（3）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=13x 3﹣12+m x 2+mx ﹣13， ∴h′（x ）=（x ﹣1）（x ﹣m ）=0，解得：x=m ，x=1，m=1时，h′（x ）=（x ﹣1）2≥0，h （x ）在R 上是增函数，不合题意，m ＜1时，令h′（x ）＞0，解得：x ＜m ，x ＞1，令h′（x ）＜0，解得：m ＜x ＜1，∴h （x ）在（﹣∞，m ），（1，+∞）递增，在（m ，1）递减，∴h （x ）极大值=h （m ）=﹣16m 3+12m 2﹣13，h （x ）极小值=h （1）=12m -， 要使f （x ）﹣g （x ）有3个零点，需321110623{102m m m -+->-<，解得：m ＜1∴m 的范围是（﹣∞，1）．考点：利用导数求解闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【方法点晴】本题主要考查了利用导数求解闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性，着重考查了函数导数的应用、转化与化归和分类讨论的思想方法，属于一道综合性试题，本题的解答中若()f x 在区间2+∞（，）为增函数，转化为()0f x '≥在区间(2,)+∞恒成立和函数()h x 有三个零点转化为函数的单调性与极值的应用是解答的关键．。