2018届高三数学第28练函数y=Asinωx+φ的图象与性质练习
2018届高三数学理一轮复习课后作业第3章 第4节 y=Asin
课时作业 A 组 基础对点练1．(2016·高考四川卷)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向左平行移动π6个单位长度 D ．向右平行移动π6个单位长度 解析：∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴将函数y ＝sin 2x 的图象向右平行移动π6个单位长度，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．答案：D2．(2017·长沙模拟)将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A ．f (x )＝－2sin x B ．f (x )＝2sin xC ．f (x )＝22sin 2xD ．f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x )解析：由题意得，将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y ＝cos 2(x ＋π4)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ＝－2sin x ·cos x ，故f (x )的表达式可以是f (x )＝－2sin x ，故选A. 答案：A3．(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由题图可知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max ＝3＋5＝8.答案：C4．(2017·辽宁五校联考)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中|φ|＜π2，ω＞0)的图象如图所示，为了得到y ＝sin ωx 的图象，只需把y ＝f (x )的图象上所有点( )A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度解析：由题中图象知T 4＝7π12－π3，∴T ＝π.又π＝2πω，∴ω＝2.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝0得2×π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－2π3(k ∈Z )．∵|φ|＜π2，∴φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin[2(x＋π6)]，故选A. 答案：A5．(2017·贵阳监测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12 B ．32 C.22D ．1解析：由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12， ∴f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.答案：B6．(2017·邢台摸底)先把函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，函数g (x )的值域为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32D ．[－1,0)解析：依题意得g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －π3)－π6＝sin(2x －5π6)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4时，2x －5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，此时g (x )的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，1，选A. 答案：A7．(2017·湖南调研)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ＜0)的最小正周期是π，若将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0，1)，则函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)( ) A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递减D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递增解析：依题意得ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)，平移后得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋2π3的图象，且过点P (0,1)，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋2π3＝1，因为－π＜φ＜0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，易知函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上单调递增，故选B. 答案：B8．(2017·邯郸模拟)下列函数同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π6对称；(3)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上是减函数”的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12B ．y ＝sin(2x －π3) C ．y ＝cos(2x ＋2π3) D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6解析：易知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋5π12的最小正周期为4π，故排除A ；当x ＝π6时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝0，故排除B ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时，2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，4π3，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3单调递增，故排除C ；对于函数y ＝sin(2x ＋π6)，可知其最小正周期T ＝2π2＝π，将x ＝π6代入得，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝1，是最大值，可知该函数的图象关于直线x＝π6对称，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，化简整理可得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )，可知函数y ＝sin(2x ＋π6)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上是减函数，故选D.答案：D9．(2017·江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，则f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，∴12×π3＋φ＝π2＋2m π(m ∈Z )，即φ＝π3＋2m π(m ∈Z )．由|φ|＜π2，得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0，故选A.答案：A10．(2017·河南六市联考)将奇函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2的图象向左平移π6个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为( ) A ．6 B ．3 C ．4D ．2解析：由函数为奇函数得φ＝k π(k ∈Z )，又－π2＜φ＜π2，∴φ＝0，y ＝A sin ωx .由函数图象向左平移π6个单位得到函数y ＝A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6ω，其图象关于原点对称，∴有π6ω＝k π(k ∈Z )，即ω＝6k (k ∈Z )，故选A. 答案：A11．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2π3，易知ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－32≤f (x )≤3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，312．(2017·郑州质量预测)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2)的图象与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1，0)，∠PQR ＝π4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为________．解析：依题意得，点Q 的横坐标是4，R 的纵坐标是－4，T ＝2πω＝2|PQ |＝6，ω＝π3，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋42＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×52＋φ＝A ＞0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，又|φ|≤π2，π3≤5π6＋φ≤4π3，因此5π6＋φ＝π2，φ＝－π3，又点R (0，－4)在f (x )的图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－4，A ＝833. 答案：83313．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12，A ＞0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：由题意得⎩⎨⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，∴⎩⎨⎧a ＝23，A ＝5， ∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝20.5.答案：20.514．(2017·武汉模拟)把函数y ＝sin 2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y ＝f (x )的图象，对于函数y ＝f (x )有以下四个判断：①该函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；②该函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数； ④函数y ＝f (x )＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为3，则a ＝2 3.其中，正确判断的序号是________．解析：将函数向左平移π6得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，然后纵坐标伸长到原来的2倍得到 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即y ＝f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以①不正确；y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝2sin π＝0，所以函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称，所以②正确；由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，即函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，所以③不正确；y ＝f (x )＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋a ，当0≤x ≤π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3，所以当2x ＋π3＝4π3时，函数值最小为y ＝2sin 4π3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．所以正确的命题为②④. 答案：②④B 组 能力提速练1．(2017·南昌调研)要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( ) A ．向左平移π2个单位长度 B ．向右平移π2个单位长度 C ．向左平移π4个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 解析：因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3， 所以要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度，故选C. 答案：C2．(2017·武汉武昌区调研)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)－1(ω＞0)的图象向右平移2π3个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A ．3 B ．32 C.43D ．23解析：将f (x )的图象向右平移2π3个单位长度后得到图象的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＋π6－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －2ωπ3＋π6－1，所以2ωπ3＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ，k ∈Z ，因为ω＞0，k ∈Z ，所以ω的最小值为3，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|≤π2)的部分图象如图所示，A 、B 两点之间的距离为10，且f (2)＝0，若将函数f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度后所得函数图象关于y 轴对称，则t 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题图知可设A (x 1,3)，B (x 2，－3)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋62＝10，解得|x 1－x 2|＝8，所以T ＝2|x 1－x 2|＝16，故2πω＝16，解得ω＝π8.所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ，由f (2)＝0得3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又－π2≤φ≤π2，所以φ＝－π4.故f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －π4，将f (x )的图象向右平移t (t ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝f (x －t )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8(x －t )－π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8x －⎝⎛⎭⎪⎫π8t ＋π4.由题意得，函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以π8t ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，解得t ＝8k ＋2(k ∈Z )，故正数t 的最小值为2，选B. 答案：B4．(2017·成都七中调研)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x －12.(1)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3上的最大值和最小值及相应的自变量x 的值；(2)在直角坐标系中作出函数f (x )在区间[0，π]上的图象．解析：(1)f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，2x－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，7π6.故当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3上取得最大值0，当2x －π6＝－π3，即x ＝－π12时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3上取得最小值－32－1. (2)当x ∈[0，π]时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6.列表：5．(2016·高考山东卷)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．解析：(1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图象， 再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。
高考数学(理)一轮规范练【21】函数y=Asin(ωx φ)的图象与性质(含答案)
课时规范练21 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质课时规范练第37页一、选择题1.若把函数f(x)=sinωx的图象向左平移个单位,恰好与函数y=cosωx的图象重合,则ω的值可能是( )A. B. C. D.答案:D解析:将函数y=sinωx的图象向左平移个单位长度,则得到函数y=sinω=sin的图象,因为y=cosωx=cos(-ωx)=sin,所以+2kπ,ω=+6k,k∈Z,所以当k=0时,ω=,选D.2.(2018四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A.2,-B.2,-C.4,-D.4,答案:A解析:由图象可得,∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得sin=1,[:令+φ=2kπ+,k∈Z,解得,φ=2kπ-,k∈Z,又∵φ∈,则取k=0,[:∴φ=-.故选A.3.已知函数y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y=2的某两个交点的横坐标为x1,x2,若|x2-x1|的最小值为π,则( )A.ω=2,θ=B.ω=,θ=C.ω=,θ=D.ω=2,θ=答案:A解析:∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,0<θ<π,∴θ=.∵图象与直线y=2的两个交点的横坐标为x1,x2,|x2-x1|min=π,∴=π,ω=2.故选A.4.若把函数y=cos x-sin x+1的图象向右平移m(m>0)个单位长度,使点为其对称中心,则m的最小值是( )A.πB.C.D.答案:D解析:y=cos x-sin x+1=2cos+1,把该函数图象向右平移m(m>0)个单位后所得函数的解析式为y=2cos+1,由平移后为其对称中心得1=2cos+1,∴cos=0,∴-m=kπ+(k∈Z),解得m=-kπ+(k∈Z),故m的最小值是.5.函数f(x)=sin,给出下列三个其中正确的是( )A.①③B.①②C.②③D.①②③答案:B[:数理化]解析:∵≤x≤,∴≤2x+,∴f(x)在上是减函数,故①正确.fsin,故②正确.y=sin2x向左平移个单位得y=sincos2x≠f(x),故③不正确.故选B.6.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M>0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,∠C=90°,则f的值为( )A.-B.C.-D.答案:A解析:依题意,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边A B上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M==2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+,其中k∈Z.由0<φ<π得φ=,故f(x)=-sinπx,f=-sin=-,选A.二、填空题7.将函数y=sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是.答案:y=sin解析:函数y=sin x的图象上的点向右平移个单位长度可得函数y=sin的图象;再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)可得函数y=sin的图象,所以所求函数的解析式是y=sin.8.已知f(x)=sin(ω>0),f=f且f(x)在区间内有最小值,无最大值,则ω= .答案:解析:∵f=f且f(x)在区间上有最小值,无最大值,∴f(x)在x=处取得最小值.∴ω+=2kπ-(k∈Z).∴ω=8k-(k∈Z).∵ω>0,∴当k=1时,ω=8-;当k=2时,ω=16-,此时函数在区间内已存在最大值.故ω=.9.已知函数y=sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,要得到函数y=sin的图象,则需将函数y=sinωx的图象向平移个单位长度.答案:左[:解析:由图象知函数y=sinωx的周期为T=3π-(-π)=4π,[:∴ω=,故y=sinx.又y=sin=sin,∴将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,即可得到函数y=sin的图象.三、解答题10.函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π,且函数图象关于点对称,求函数的解析式.解:由题意知最小正周期T=π=,故ω=2.又∵2×+φ=kπ(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z).又∵0<φ<π,∴φ=,∴y=sin.11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示:(1)求ω,φ的值;(2)设g(x)=f(x)f,求函数g(x)的单调递增区间.解:(1)由图可知T=4=π,ω==2,又由f=1,得sin(π+φ)=1,sinφ=-1.∵|φ|<π,∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=sin=-cos2x.∵g(x)=-cos2x=cos2xsin2x=sin4x,∴2kπ-≤4x≤2kπ+(k∈Z),即≤x≤(k∈Z).故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z).12.如图,某小区准备在一直角围墙ABC内的空地上植造一块“绿地△ABD”,其中AB长为定值a,BD长可根据需要进行调节(BC足够长).现规划在△ABD的内接正方形BEFG内种花,其余地方种草,且把种草的面积S1与种花的面积S2的比值称为“草花比y”.(1)设∠DAB=θ,将y表示成θ的函数关系式.(2)当BE为多长时,y有最小值?最小值是多少?解:(1)因为BD=atanθ,所以△ABD的面积为a2tanθ.设正方形BEFG的边长为t,则由,得,解得t=,则S2=,所以S1=a2tanθ-S2=a2tanθ-,则y=-1.(2)因为tanθ∈(0,+∞),所以y=-1=≥1,当且仅当tanθ=1时取等号,此时BE=t=.所以当BE长为时,y有最小值1.。
【高考复习】2018年高考数学 必修4 三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象性质 复习题(含答案)
2018年高考数学 必修4 三角函数y=Asin(ωx ＋φ)的图象性质复习题1.求函数sin()y A x ωϕ=+的值域，最值，周期，单调区间，对称轴、对称中心等 ，会用五点法作sin()y A x ωϕ=+简图：五点分别为：、 、 、 、 。
2.图象的基本变换：相位变换：sin sin()y x y x ϕ=⇒=+ 周期变换：sin()sin()y x y x ϕωϕ=+⇒=+ 振幅变换：sin()sin()y x y A x ωϕωϕ=+⇒=+ 3.函数sin()y A x ωϕ=+的解析式：即求A 由最值确定，ω有周期确定，φ有特殊点确定。
4.函数sin y x =象到函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象变换.5.三角函数最值类型：(1)y =a sin x +b cos x 型函数最值的求法：常转化为：y =x +ϕ)(2)y =a sin 2x +b sin x +c 型：常通过换元法(令sinx=t ，[]1,1t ∈-)转化为y =at 2+bt +c 型： (3)同一问题中出现sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x +-∙，求它们的范围时，一般是令sin cos x x t +=或21sin cos sin cos 2t x x t x x --=⇒∙=或21sin cos 2t x x -∙=-，转化为关于t 的二次函数来解决例1.基础练习： 1、函数2sin(3)7y x π=+的振幅是 ，相位是 ，初相是 ，周期是 ．2、为了得到函数R x x y ∈+=),3cos(的图象，只需把余弦曲线上所有的点向 (左或右)平行移动 个单位长度.3、要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要sin 2y x =的图象向 (左或右)平行移动 个单位长度.4、把函数sin(2)6y x π=+的图象向右平移3π个单位后，所得图象对应函数解析式为 .5、要得到函数sin()26x y π=-+的图象，可由sin()2xy =-的图象向 (左或右)平行移动 个单位长度.6、把函数sin y x =的图象上所有的点的纵坐标变为原来的13倍(横坐标不变)所得图象的解析式为 .7、将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标变为原来的5倍，则最后所得图象的解析式为 .例2.已知函数f(x)=sin(3π-2x) (x ∈R ).(1)求f(x)的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f(x)的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可).例3.如图为函数y 1=Asin(ωx ＋φ) (|φ|<2π)的一个周期内的图象.(1)写出y 1的解析式；(2)若y 2与y 1的图象关于直线x=2对称，写出y 2的解析式； (3)指出y 2的周期、频率、振幅、初相.例4.已知函数)32sin(21)(π-+=x x f ，x ∈[2,4ππ，].(1)求f(x)的最大值和最小值；(2)若不等式f(x)－m<2在x ∈[2,4ππ，]上恒成立，求实数m 的取值范围.例5.已知函数f(x)=Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期的图象如图所示. (1)求f(x)的解析式；(2)若函数g(x)与f(x)的图象关于直线x=2对称，求g(x)的解析式； (3)求函数g(x)的单调区间.三角函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象性质 测试题一、选择题：1.函数y=2sin(421π-x )的振幅、周期和初相分别是( )A.2，π41，－4πB.2，π41，4π C.2，4π，－4π D.±2，4π，－4π2.函数y=sin(2x-3π)在区间[-2π,π]的简图是( )3.函数y=2sin(2x+3π)图象的一条对称轴方程为( ) A.x=－6π B.x=－125ππ C.x=2π D.x=6π4.将函数y=sin x 的图象上所有的点向右平移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A.y=sin(2x-10π)B.y=sin(2x-20π)C.y=sin(1021π-x )D.y=sin(2021π-x )5.将函数y=sin4x 的图像向左平移12π个单位，得到函数y=sin(4x+ϕ)的图像，则ϕ的值为( ) A.12π- B.3π- C.3π D.12π6.将函数y=sin x 的图象向左平移2π个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A.y=f(x)是奇函数B.y=f(x)的周期为πC.y=f(x)的图象关于直线x=2π对称D.y=f(x)的图象关于点(-2π,0)对称7.函数y=2sin(1x 23π+)在一个周期内的三个零点可能是( ) A.511,,333πππ- B.2410,,333πππ- C.1123,,666πππ- D.25,,333πππ- 二、填空题： 8.函数 y=51sin(3x-3π) 的定义域是_________，值域是________，周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________.9.要得到y=sin2x-cos2x 的图象，只需将函数y=sin2x+cos2x 的图象沿x 轴向____移___________个单位.10.设函数y=1-3sin(2x+3π)(其中2π-≤x ≤0)，当x=_______时，函数的最大值为4．11.把函数y=sin(3x+6π)的图像向左平移3π个单位，再将图像上各点的横坐标缩短为原来的12，那么所得的图像的函数表达式为_______.12.已知函数f(x)=Atan(ωx+ ϕ)(ω＞0, ||2πϕ＜),y=f(x)的部分图像如下图，则f(24π)=_____.13.已知ω>0,0<φ<π，直线x=4π和x=45π是函数f(x)=sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ=________.三、解答题：14.已知函数f(x)=Asin(ωx+ ϕ)(A>0,ω>0,| ϕ |<π,x ∈R)的部分图像如图所示． (1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y=f(-x)的单调区间及在x ∈［-2,2］上的最值，并求出相应的x 的值．15.已知曲线y=Asin(ωx ＋φ) (A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(2,8，π)，此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(83π,0)，若φ∈(-2π,2π).(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象.16.已知函数f(x)=sin(ωx ＋φ) (ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M(43π,0)对称，且在区间[0,2π]上是单调函数，求φ和ω的值.17.已知函数f(x)=-2asin(2x+6π)+2a+b,x ∈［3,44ππ］，是否存在常数a,b ∈Z ，使得f(x)的值域为［］.若存在，求出a,b 的值；若不存在，请说明理由.参考答案例2.解：例3.解:例4.解：例5.测试题参考答案1.答案为：C2.答案为：A3.答案为：B4.答案为：C5.选C.【解析】将函数y=sin4x 的图像向左平移12π个单位，得到函数y=sin ［4(x+12π)］=sin(4x+3π)的图像，所以ϕ的值为3π. 6.答案为：D 7.选B.【解析】23π-是y=2sin(1x 23π+)的一个零点，y=2sin(1x 23π+)周期T=4π，T2=2π, 所以410,33ππ也是零点. 8.答案为：（－∞,+ ∞）,（-15 ,15 ）, 2π3 ,15 ,15 ,32π ,-π3 ;9.答案为：右，π2；10.答案：512π-;【解析】由2π-≤x ≤0知22x 333πππ-≤+≤, 当2x 32ππ+=-, 即5x 12π=-时，y=sin(2x+3π)取最小值-1，故y=1-3sin(2x+3π)取最大值4.11.答案:y=-sin(6x+6π);【解析】把函数y=sin(3x+6π)的图像向左平移3π个单位长度，得到函数y sin 3(x )sin(3x )366πππ=++=-+［］的图像，再将图像上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y=-sin(6x+6π)的图像.12.答案【解析】如图可知T 3288ππ=-,即24ππ=ω,所以ω=2, 再结合图像可得2k 82ππ⨯+ϕ=π+,k ∈Z ，即|k |42ππϕ=π+＜,所以31k 44-＜＜,只有k=0,所以4πϕ=,又图像过点(0,1)，代入得Atan 4π=1,所以A=1,函数的解析式为f(x)=tan(2x+ 4π),则f ()tan 243ππ==13.答案为：4π;14.解：(1)由图像知A=2.T=8,∵2T 8π==ω,∴4πω=,又图像经过点(1，2)， ∴2sin(4π+ϕ)=2，2k 42ππ+ϕ=π+,(k ∈Z)，即2k 4πϕ=π+,(k ∈Z).∵|ϕ|<π,∴4πϕ=,∴f(x)=2sin(x 44ππ+).(2)y=f(-x)=2sin(x 44ππ-+)=-2sin(x 44ππ-)由2k x 2k 2442πππππ-≤-≤π+，得8k-1≤x ≤8k+3,k ∈Z ，故y=f(-x)在［8k-1,8k+3］,k ∈Z 上是减少的；同理,函数在［8k+3,8k+7］,k ∈Z 上是增加的．∵x ∈［-2,2］，由上可知当x=-1时，y=f(-x)取最大值2；当x=2时，y=f(-x)取最小值15.解:16.解:17.解：∵3x 44ππ≤≤∴3252x 2x 22363πππππ≤≤≤+≤，∴1sin(2x )62π-≤+≤ (1)当a>0时-2a<0由题意得2a 2a b 12a 2a b 32⎧++=⎪⎨-++=-⎪⎩ ,解得a 1b 5=⎧⎪⎨=⎪⎩.∵a,b ∈Z 舍去. (2)当a<0时-2a>0由题意得2a 2a b 32a 2a b 1++=-⎧⎪⎨-++=⎪⎩解得a 1b 1=-⎧⎨=⎩符合题意.。
2018高考一轮数学浙江专版练习第3章 第4节 函数y=Asin
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin (ωx ＋φ)的有关概念表所示先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )(2)将y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( )(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度 B ．向右平行移动π3个单位长度 C ．向上平行移动π3个单位长度 D ．向下平行移动π3个单位长度A [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．]3．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象3-4-1如图，则ω＝( )图3-4-1A ．5B ．4C ．3D ．2B [由图象可知，T 2＝x 0＋π4－x 0＝π4，所以T ＝π2＝2πω，所以ω＝4.]4．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4 B.π4 C ．0D ．－π4B [把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.] 5．(教材改编)电流I (单位：A)随时间t (单位：s)变化的函数关系式是I ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的初相、周期分别是________.【导学号：51062109】π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I 变化的初相是π3，周期T ＝2π100π＝150.]已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R .(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ [解] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.15分[规律方法] 1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位．2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．[变式训练1] (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到. 【导学号：51062110】(1)D (2)π3 [(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．]图3-4-2A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2(1)A (2)D [(1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.][规律方法] 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.[变式训练2] (2017·浙江名校(镇海中学)交流卷一)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图3-4-3所示，则A ＝________，ω＝________，φ＝________.图3-4-31 3 π4 [显然A ＝1；周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，则ω＝2πT ＝3； 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1和|φ|<π2，得φ＝π4.]已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪π2－x ·cos ⎝ ⎭⎪⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．[解](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z.2分f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.7分(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π， 得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .12分设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4. 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.15分[规律方法] 讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．[变式训练3] 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．[解] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.4分 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.7分(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.9分 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.13分 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.15分数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，2分又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1.4分 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.7分 (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.12分又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温.15分[规律方法] 1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．[变式训练4] 如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )图3-4-4A ．5B ．6C ．8D ．10C[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.][思想与方法]1．由图象确定函数解析式由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图象的最值点代入；若选零点代入，应根据图象升降确定“五点法”作图中的第几个零点．2．对称问题函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．[易错与防范]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．课时分层训练(十八) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象( )A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象．] 2．(2017·浙江测试卷)为得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象，只需将函数y ＝2cos2x 的图象( ) 【导学号：51062111】A ．向左平移π4个单位 B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π8个单位 D ．向右平移π8个单位D [将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π8个单位，可得函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．]3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图3-4-5所示，则ω，φ的值分别是( )图3-4-5A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6 D ．4，π3A [∵T 2＝1112π－512π，∴T ＝π.由T ＝2πω＝π，得ω＝2.∵5π12×2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝－π3＋2k π.又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3.]4．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z C [由题设知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，f (x )的周期为T ＝π，所以ω＝2，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .]5．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z )D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z )B [将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得到函数y ＝2sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象．由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，即平移后图象的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．]二、填空题6．若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________.0 [由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3(ω＞0)的最小正周期为π2，得ω＝4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4×π3－π3＝0.] 7．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ＜π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．π6 [由题意cos π3＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，2π3＋φ＝k π＋(－1)k ·π6(k ∈Z )．因为0≤φ＜π，所以φ＝π6.] 8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.【导学号：51062112】20．5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)，当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.]三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.6分 (2)图象如图所示．15分10．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5.(1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的递增区间. 【导学号：51062113】 [解] (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，2分∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，4分∴5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝0，由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.7分 (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，10分故函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ).15分 B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图象上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6 B ．t ＝32，s 的最小值为π6 C ．t ＝12，s 的最小值为π3 D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sin π6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图象上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]2．若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为________．(－2，－1] [由题意可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ，该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的交点．结合函数的图象可知1≤－a ＜2，所以－2＜a ≤－1.]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图3-4-6所示．图3-4-6(1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．[解] (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，2分 ∴ω＝32.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π4＝0.4分∵0＜φ＜π2， ∴－π4＜φ－π4＜π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π4.7分(2)由(1)可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋π8，10分∴g (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π122＝4×1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π42＝2－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.12分∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.15分。
2018高考数学考点突破三角函数与解三角形：函数y=Asin
函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用【考点梳理】1．y ＝A sin (ωx ＋φ)的有关概念所示先平移后伸缩 先伸缩后平移⇓ ⇓【考点突破】考点一、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】 已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？ 解析] (1)列表取值：(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x )的图象.【类题通法】1.变换法作图象的关键是看x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx ＋φ＝ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω确定平移单位． 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．【对点训练】1. (1)将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3(2)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．答案] (1)D (2)π3解析] (1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故选D.(2)∵y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，∴函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到．考点二、求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例2】 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( ) A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2答案] (1)A (2)D解析] (1)由图象知T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，故φ＝2k π－π6(k ∈Z)，结合选项可知y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.故选A.(2)由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的最大值为4，最小值为0，可知b ＝2，A ＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2.【类题通法】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ； (3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.【对点训练】2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62B ．－32C ．－22 D ．－1答案] D解析] 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，解得φ＝－5π3＋2k π(k ∈Z)，即k ＝1，φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，故选D. 考点三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用【例3】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．解析](1)f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z. f (x )＝4tan x cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z.设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，B ＝x ⎪⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，易知A ∩B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减.【类题通法】讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．【对点训练】3．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析] (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω＞0，所以2π2ω＝4×π4，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，则－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.考点四、三角函数模型的简单应用【例4】 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解析] (1)因为f (t )＝10－2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos π12t ＋12sin π12t＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，当f (t )＞11时实验室需要降温． 由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3，故有10－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＞11，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12t ＋π3＜－12.又0≤t ＜24，因此7π6＜π12t ＋π3＜11π6，即10＜t ＜18. 故在10时至18时实验室需要降温. 【类题通法】1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．【对点训练】4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案] C解析] 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.。
高三数学 函数y=Asinωx+φ的图象与性质期末复习测试卷 文
函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(40分钟)一、选择题1.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=-D.x=-2.(2013·浙江高考)函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是( )A.π,1B.π,2C.2π,1D.2π,23.函数y=2cos2-1是( )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数4.(2013·兰州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ),其图象相邻的两条对称轴方程为x=0与x=,则( )A.f(x)的最小正周期为2π,且在 (0,π)上为单调递增函数B.f(x)的最小正周期为2π,且在(0,π)上为单调递减函数C.f(x)的最小正周期为π,且在上为单调递增函数D.f(x)的最小正周期为π,且在上为单调递减函数5.设函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0),条件p:“f(0)=0”;条件q:“f(x)为奇函数”,则p是q的( )A.充分不必要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分必要条件6.(2013·山东高考)将函数y=sin(2x +φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )A. B. C.0 D.-二、填空题7.(2013·江西高考)设f(x)=sin3x+cos3x,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是.8.将函数y=f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的4倍,横坐标变为原来的2倍,然后把所得图象上的所有点沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的曲线和函数y=2sinx的图象相同,则函数y=f(x)的解析式为.9.(2013·重庆高考)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos 2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为.三、解答题10.已知f(x)=sin+sin+2cos2x-1,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.11.已知函数f(x)=2acos2x+bsinxcosx-,且f(0)=,f=.(1)求f(x)的单调递减区间.(2)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称?12.(2013·宿州模拟)已知函数f(x)=2sinx-2cosx.(1)若x∈[0,π],求f(x)的最大值和最小值.(2)若f(x)=0,求.答案解析1.【解析】选C.函数f(x)=sin的图象的对称轴是x-=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z.当k=-1时,x=-π+=-.2.【解析】选A.f(x)=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin ,所以A=1,T=π.3.【解析】选A.y=2cos 2-1=cos=sin2x 为奇函数,T==π.4.【解析】选C.f(x)=2sin,由题意知函数f(x)的周期为T=π,则ω==2,由x=0为f(x)的对称轴,f(0)=2sin ()3πϕ-且|φ|<知φ=-,因此,f(x)=2sin =-2cos2x,故选C.5.【解析】选A.f(0)=0,则tan φ=0,所φ=k π(k ∈Z),所以f(x)=tan(ωx+k π)=tan ωx(k ∈Z),故f(x)为奇函数;而φ=时f(x)为奇函数,但是f(0)≠0, 故p 是q 的充分不必要条件.6.【解析】选 B.将函数y=sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移个单位,得到函数y=sin =sin,因为此时函数为偶函数,所以+φ=+k π,k ∈Z,即φ=+k π,k ∈Z.【变式备选】为了使变换后的函数的图象关于点成中心对称,只需将原函数y=sin 2x+的图象( ) A.向左平移个单位长度B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度D.向右平移个单位长度 【解析】选C.函数y=sin 的图象的对称中心为(k ∈Z),其中离点最近的对称中心为,故只需将原函数的图象向右平移个单位长度即可.7.【解析】由于f(x)=sin3x+cos3x=2sin,则|f(x)|=2≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,则a ≥2. 答案:[2,+∞)8.【解析】本题只需将函数y=2sinx逆过来思考即可,即先将函数y=2sinx图象上的所有点向右平移个单位长度,再将纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的即可.答案:y=sin9.【解析】因为不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,所以Δ=64sin2α-32cos2α≤0,即64sin2α-32+64sin2α≤0,解得0≤sinα≤(0≤α≤π).因为0≤α≤π,所以α∈∪.答案:∪10.【解析】(1)f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+ sin2x·cos- cos2x·sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin,所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间上是增函数,在区间上是减函数,又f=-1,f=,f=1,故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-1.11.【解析】(1)由f(0)=,得2a-=,故a=.由f=,得+-=,所以b=1.可得f(x)=cos2x+sinxcosx-=cos2x+sin2x=sin.由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)因为f(x)=sin2,所以由奇函数y=sin2x的图象向左平移个单位即得到y=f(x)的图象,故函数f(x)的图象向右平移+π(k∈Z)个单位或向左平移+π(k∈Z)个单位后,对应的函数即成为奇函数,图象关于原点对称.【方法总结】三角函数的性质问题的解题策略(1)三角函数的性质问题,往往都要先化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解.(2)要正确理解三角函数的性质,关键是记住三角函数的图象,根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期.12.【解析】(1)f(x)=2sinx-2cosx=4=4sin,又因为x∈[0,π],所以,-≤x-≤,所以,-2≤4sin≤4,所以f(x)max=4,f(x)min=-2.(2)由f(x)=0,所以2sinx=2cosx,得tanx=,=====2-.。
2018届高考数学复习-三角函数：(四)函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及应用(试题版)-4
题型1：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及变换 【典型例题】[例1]已知函数y ＝2sin(2x ＋π3).(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin(2x ＋π3)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到.[例2]►(1)要得到函数y ＝3sin(x ＋π4)的图象,只需将函数y ＝3sin 2x 的图象向________平移________个单位.►(2)把函数y ＝sin(5x －π2)的图象向右平移π4个单位,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原来的12,所得的函数解析式为( )A.y ＝sin(10x －3π4)B.y ＝sin(10x －7π2)C.y ＝sin(10x －3π2)D.y ＝sin(10x －7π4)►(3)[2014·浙江]为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像,可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A.向右平移π12个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π12个单位 D.向左平移π4个单位►(4)(2016全国III 理)函数y ＝sin x －3cos x 的图像可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图像至少向右平移________个单位长度得到.[例3]►(1)为了得到函数y=sin(2x －π6)的图象,可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π3个单位长度►(2)要得到函数y ＝2cos x 的图象,只需将函数y ＝2sin(2x ＋π4)的图象上所有的点的( )A.横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移π4个单位长度 B.横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移π8个单位长度 C.横坐标缩短到原来的12倍,再向右平移π4个单位长度 D.横坐标缩短到原来的12倍, 再向左平移π8个单位长度►(3)[2013课标Ⅱ]函数y =cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后与函数y =sin(2x ＋π3)的图像重合,则φ=___.[例4]►(1)[2014·安徽]若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π4►(2)(2013·山东改编)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ). A.3π4 B.π4 C.3π8 D.－π4►(3)(2013·合肥质检)将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0,ω>0)的图象向左平移π2个单位,所得函数的图象与函数y ＝f (x )的图象关于x 轴对称,则ω的值不可能是( ). A.2 B.4 C.6 D.10►(4)(2016全国II 理)若将函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A.x ＝k π2－π6(k ∈Z) B.x ＝k π2＋π6(k ∈Z)C.x ＝k π2－π12(k ∈Z)D.x ＝k π2＋π12(k ∈Z)[例5]►(1)[2014重庆]将函数f (x )=sin(ωx ＋φ)(ω>0),(－π2≤φ＜π2)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像,则f (π6)＝____.►(2)将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ (0≤φ<2π)个单位后,得到函数y ＝sin(x －π6)的图象,则φ等于( ) A .π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6►(3)设函数f (x )=cos ωx (ω>0),将f (x )的图象向右平移π3个单位长度后所得的图象与原图象重合,则ω的最小值=( ) A.13 B.3 C.6 D.9►(4)[2014·辽宁]将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A.在[π12，7π12]上单调递减B.在[π12，7π12]上单调递增 C.在[－π6，π3]上单调递减 D.在[－π6，π3]上单调递增►(5)[2017全国III 理]设函数f (x )＝cos(x ＋π3),则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.f (x )的图像关于直线x =8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在(π2，π)单调递减【变式训练】 1.(2016四川文)为了得到函数y=sin(x ＋π3)的图象,只需把函数y=sin x 的图象上所有的点( )A.向左平移π3个单位长度B.向右平移π3个单位长度C.向上平移π3个单位长度D.向下平移π3个单位长度2.(2012·浙江)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( )3.(2016全国III 文)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移_____个单位长度得到.4.(2014·湖州二模)将函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向左平移π4个单位长度,所得图象对应的函数解析式可以是( ). A.y ＝cos 2x ＋sin 2x B.y ＝cos 2x －sin 2x C.y ＝sin 2x －cos 2x D.y ＝sin x cos x 5.(2015·烟台市检测)将函数y ＝f (x )图象向上平移一个单位长度,再向左平移π4个单位长度,则所得图象对应的函数y ＝2cos 2x ,则f (x )＝________.6.(2013湖北文)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R)的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,所得到的图象关于y 轴对称,则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π67.[2014·福建]将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位,得到函数y ＝f (x )的图像,则下列说法正确的是( ) A.f (x )是奇函数 B.f (x )的图像关于直线x ＝π2对称 C.f (x )的周期为π D.f (x )的图像关于点(－π2，0)对称8.[2017全国I 理]已知曲线C 1：y =cos x , C 2：y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( )A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2. B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2. C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2.D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2. 题型2：求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式【典型例题】[例1]►(1)(2013四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(－π2<φ<π2)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ) A.2,－π3 B.2,－π6 C.4,－π6 D.4,π3►(2)(2011·江苏)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)的部分图象如图所示,则f (0)的值是______.►(3)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h (ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,则f (x )＝( )A.4sin(x 2＋π4)＋2 B.－4sin(x2－π4)＋2 C.2sin(x2＋π4)＋4 D.－2sin(x2＋π4)＋4[例2]►(1)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0,|φ|<π2,ω>0)的部分图象如图所示,则该函数的解析式为 .►(2)(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0,|φ|<π2),y ＝f (x )的部分图象如图所示,则f (π24)等于 ( ) A.2＋ 3 B. 3 C.33 D.2－ 3►(3)(2013大纲文)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω＝( )A.5B.4C.3D.2[例3]►(1)(2015·陕西文理)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知,这段时间水深(单位：m )的最大值为( )A.5B.6C.8D.10►(2)如图所示,某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ,φ∈(0,π).①求这一天的最大用电量及最小用电量； ②写出这段曲线的函数解析式.[例4]►(1)已知f (x )＝sin(ωx ＋π3) (ω>0),f (π6)＝f (π3),且f (x )在区间(π6，π3)上有最小值,无最大值,则ω＝________.►(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0,－π2≤φ≤π2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22,且过点(2,－12),则函数解析式f (x )＝_______________. ►(3)[2017天津理]设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f(5π8)＝2,f(11π8)＝0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=－11π12C.ω=13,φ=－11π24D.ω=13,φ=7π24►(4)函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0,ω>0)的图象过点P(π12，0),图象上与点P最近的一个最高点是Q(π3，5).①求函数的解析式；②求函数f(x)的递增区间.【变式训练】1.函数f(x)＝A sin(2x＋φ)(A>0,φ∈R)的部分图象如图所示,那么f(0)＝()A.－12B.－32C.－1D.－ 32.函数y＝A sin(ωx＋φ) (A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[－π,0]上的图象如图所示,则ω＝________.3.(2016全国Ⅱ文)函数y＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示,则()A.y＝2sin(2x－π6) B.y＝2sin(2x－π3)C.y＝2sin(x＋π6) D.y＝2sin(x＋π3)4.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b(A>0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x＝π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式为()A.y＝4sin(4x＋π6)B.y＝2sin(2x＋π3)＋2C.y＝2sin(4x＋π3)＋2 D.y＝2sin(4x＋π6)＋25.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝A sin(ωt＋φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示,则当t＝1100秒时,电流强度是()A.－5安B.5安C.53安D.10安6.[2014·湖北]某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t,t∈[0,24).(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差.7.(2015湖南理)将函数f(x)＝sin 2x的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图像,若对满足|f(x1)-g(x2)|＝2的x1,x2,有|x1-x2|min=π3,则φ＝()A.5π12B.π3C.π4D.π68.[2017全国I文]函数y＝sin 2x1－cos x的部分图像大致为( )。
高考数学专题复习 专题4 三角函数、解三角形 第27练
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题4 三角函数、解三角形第27练 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图像与性质练习 文训练目标 (1)三角函数图象的简图；(2)三角函数图象的变换．训练题型(1)“五点法”作简图；(2)已知函数图象求解析式；(3)三角函数图象变换；(4)三角函数图象的应用．解题策略 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的基本画法“五点法”作图；(2)求函数解析式时φ可采用“代点法”；(3)三角函数图象每一次变换只针对“x ”而言；(4)利用图象可解决方程解的个数、不等式问题等.1．(2016·徐州模拟)函数y ＝2sin(2x ＋6)在x ∈(0，2)上的值域为________．2．(2016·南通二模)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋π3)(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点间的距离为2，则实数ω的值为________．3．(2016·苏锡常一模)将函数y ＝3sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数图象关于原点中心对称，则φ＝________.4．(2016·长春三调)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．5．(2016·安庆第二次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则f (x )的递增区间为______________________．6．(2016·扬州期中)将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，然后把所得图象上的所有点沿x 轴向右平移π3个单位，得到函数y ＝2sin x 的图象，则f (φ)＝________.7．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →＝0，则A ·ω＝________.8.(2016·昆明测试)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ＞0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝________.9．(2016·开封第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，则p 、q 、r 的大小关系是______________．10．(2016·宿迁、徐州三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝1与函数y ＝3sinπ2x (0≤x ≤10)的图象所有交点的横坐标之和为________．11．(2016·辽源联考)若0≤x ≤π，则函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 的单调递增区间为__________．12．(2015·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．13．关于x 的方程3sin 2x ＋cos 2x ＝k ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两相异实根，则k 的取值范围是__________．14．(2016·皖北协作区联考)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，则下列命题正确的是__________．(写出所有正确命题的序号)①f (x )的最大值为2；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增；④若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝7π3；⑤f (x )的图象与g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2π3的图象关于x 轴对称.答案精的1．(－1,2] 2.π2 3.3π8 4.－325．[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )6．0解析 由题设可得f (x )＝2sin(2x ＋π3)，所以φ＝π3，从而f (π3)＝2sin π＝0.7.76π 解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，∴T ＝π，∴ω＝2.∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，A ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－A ， 由OM →·ON →＝0，得7π2122＝A 2，∴A ＝712π，∴A ·ω＝76π. 8．8解析 函数y ＝sin(πx ＋φ)的周期T ＝2ππ＝2，最大值为1，过点P 作PD ⊥x 轴于D ，则AD 是四分之一个周期，即AD ＝12，DB ＝32，DP ＝1，在Rt△APD 中，tan ∠APD ＝12；在Rt△BPD中，tan ∠BPD ＝32，所以tan ∠APB ＝tan(∠APD ＋∠BPD )＝12＋321－12×32＝8.9．p ＜q ＜r解析 ∵f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ＝sin(2x ＋φ)， ∴f (x )的最小正周期T ＝π.∵f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9是最大值．∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π18， ∴p ＝sin 25π18，q ＝sin 31π18，r ＝sin 7π18，∴p ＜q ＜r . 10．30解析 y ＝3sin π2x 的周期为4，如图，作出函数在区间[0,10]上的图象，与直线y ＝1共有六个交点，根据图象关于直线x ＝5对称可知，x 1＋x 6＝x 2＋x 5＝x 3＋x 4＝10，所以六个交点的横坐标之和为30.11.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x＝⎝⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ·(－sin x )＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－14，令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6(k ∈Z )，又0≤x ≤π，则函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.12．8解析 由图象知y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8. 13．[0,1) 解析3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令t ＝2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，作出函数y ＝2sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6和y ＝k ＋1的大致图象如图所示，由图象易知当1≤k ＋1＜2，即0≤k ＜1时，方程有两相异实根． 14．①③④⑤解析 f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以①正确； 因为将x ＝－π6代入f (x )，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin(－π6＋π3)＝1≠0，所以②不正确； 由2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6，π6上单调递增，所以③正确；若实数m 使得方程f (x )＝m 在[0,2π]上恰好有三个实数解，结合函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3及y ＝m 的图象可知，必有x ＝0，x ＝2π，此时f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝3，另一解为x ＝π3，即x 1，x 2，x 3满足x 1＋x 2＋x 3＝7π3，所以④正确；因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π－2π3 ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －2π3＝－g (x )，所以⑤正确．。
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第28练 函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与性质
一、选择题
1．已知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ，在直角坐标系下利用“五点法”作f (x )在区间
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是()
A ．0，π2，π，3π
2，2π
B ．－π3，0，π2，2π
3，π
C ．－π3，－π6，π
12，π3，7π12，2π3
D ．－π3，0，π2，π，3π2，5π3
2．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π
2)的部分图象如图所示，则函数f (x )
的解析式为()
A ．f (x )＝2sin(2x ＋π
3)
B ．f (x )＝2sin(2x ＋π
6)
C ．f (x )＝2sin(2x ＋π
3
)
D ．f (x )＝2sin(2x ＋π
6
)
3．已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象与y ＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝sin ωx 的图象() A ．向左平移5
12π个单位
B ．向右平移5
12π个单位
C ．向左平移11
12
π个单位
D ．向右平移11
12
π个单位
4．(2016·长春三调)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后关于原
点对称，则函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为()
A ．－32
B ．－12
C.1
2
D.32
5.(2016·南阳期中)如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，当△MPN 的面积最大时PM →·PN →
＝0，则ω等于()
A.π4
B.π3
C.π2
D ．8
6.(2017·郑州质检)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π
2)与坐标
轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (1,0)，∠PQR ＝π
4，M (2，－2)为线段QR 的中点，则A 的值为
()
A ．2 3 B.73
3
C.833
D ．4 3
7．(2016·开封第一次摸底)已知函数f (x )＝sin 2x cos φ＋cos 2x sin φ(x ∈R )，其中φ为实数，且f (x )≤f ⎝
⎛⎭⎪⎫2π9对任意实数R 恒成立，记p ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，r ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π6，则
p 、q 、r 的大小关系是()
A ．r <p <q
B ．q <r <p
C ．p <q <r
D ．q <p <r
二、填空题。