高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.1 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
2020版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明7.2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件
A.1 B.2 C.3 D.4
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由已知条件可以得到可行域,要使目标函数的最小值为2,则需要满足直线
过x+2y=1与x+y=a的交点,易知该交点为(2a-1,1-a),将其代入目标函数
z=2x+6y中,可求得a=1.
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A
解析
答-案20-
考点一
考点二
考点三
������ + ������ ≥ 1, 关闭
7.2 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题
-2-
年份 2018
2017 2016
2015
2014
简单的
3,5 分(理) 14,4 分(理) 13,4 分(理)
线性规 12,4 分 划
4,4 分 4,5 分(文) 14,4 分(文) 12,4 分(文)
考查要 求
1.了解二元一次不等式的几何意义. 2.掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系,并会 求解简单的二元线性规划问题.
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知识梳理 双击自测
1.不等式x-2y+6<0表示的区域在直线x-2y+6=0的 ( ) A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
画出图形(图略),可知该区域在直线x-2y+6=0的左上方. C
关闭 关闭
解析 答案
-7-
知识梳理 双击自测
2.不等式组 ������������--3���������+��� +26≥<00,表示的平面区域是(
线性规划问 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值 或
题
最小值 问题
-5-
知识梳理 双击自测
3.应用 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域. (2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形. (3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从 而确定最优解. (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 72 一元二次不等式及其解法课件 文
第
七
不等式 推理与证明
章
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第一页，共四十七页。
第二节
一元二次不等式及其解法
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高考概览 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2.通过函数图 象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系； 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解 的程序框图.
[思路引导] fx的值域为[0，＋∞ → fxmin＝0 → 得出a、b的关系 → 写出fx<c的解集 → 消去m求出c
利用“三个二次”之间的关系，将不等式、函数、方程之间 相互转化.
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[解析] 由题意知 f(x)＝x2＋ax＋b ＝x＋a22＋b－a42. ∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a42＝0，即 b＝a42， ∴f(x)＝x＋a22. 又∵f(x)<c，∴x＋a22<c，
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(2)解分式不等式时注意准确转化，如：不等式xx－ ＋21≤0 的解 集是 {x|－1<x≤2} ．
提示：由xx－ ＋21≤0，得(x＋1)(x－2)≤0 且 x≠－1，解得－1<x≤2. 故填{x|－1<x≤2}．
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高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.2 一元二次不等式及其解法教学案 理 新人教A版-
§7.2一元二次不等式及其解法最新考纲考情考向分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想、分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2} 错误!{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值X围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (3)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × ) (4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2或x >3} D ．{x |x ≤－2或x ≥3} 答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b 3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值X 围是________．答案 (－2,2]解析 当a －2≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，得－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.即实数a 的取值X 围是(－2,2].一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (2019·某某模拟)已知集合A ＝{x |x 2－4x <5}，则下列选项中正确的是( ) A ．－1.2∈A B ．30.9∉AC ．log 230∈AD ．A ∩N ＝{1,2,3,4} 答案 C解析 因为A ＝{x |－1<x <5}，－1.2∉A ，所以选项A 错误；1<30.9<3,30.9∈A ，所以选项B 错误；0<log 230<log 232＝5，log 230∈A ，所以选项C 正确；A ∩N ＝{0,1,2,3,4}，所以选项D 错误．故选C.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.所以当a >1时，解得1a<x <1； 当a ＝1时，解集为∅； 当0<a <1时，解得1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)(2019·市海淀区期末)不等式x 2＋2x －3<0的解集为( ) A ．{x |x <－3或x >1}B ．{x |x <－1或x >3} C ．{x |－1<x <3}D ．{x |－3<x <1} 答案 D解析 由x 2＋2x －3<0得(x ＋3)(x －1)<0，解得－3<x <1.故选D. (2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是________．答案 {x |x ≥3或x ≤2}解析 由题意，知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝ba ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.故不等式x 2－bx －a ≥0为x 2－5x ＋6≥0， 解得x ≥3或x ≤2.(3)解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞. 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，某某数m 的取值X 围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.综上，－4<m ≤0，故m 的取值X 围是(－4,0]． 命题点2 在给定区间上的恒成立问题例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，某某数m 的取值X 围．解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值X 围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67. 若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值X 围？解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，又x ∈[1,3]时，⎝⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max＝6，得m ≥6，即m 的取值X 围为[6，＋∞)．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m的取值X 围？解 由题意知f (x )<5－m 有解， 即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1max，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值X 围为(－∞，6)． 命题点3 给定参数X 围的恒成立问题例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，某某数x 的取值X 围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1<0，g 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32.思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的X 围，谁就是主元，求谁的X 围，谁就是参数． 跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)若当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (2)若当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(3)若当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)由题意可转化为x 2＋ax ＋3－a ≥0在x ∈[－2,2]上恒成立， 则(x 2＋ax ＋3－a )min ≥0(x ∈[－2,2])． 令g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，x ∈[－2,2]， 函数图象的对称轴方程为x ＝－a2.当－a 2<－2，即a >4时，g (x )min ＝g (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，舍去；当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3≥0，解得－6≤a ≤2，∴－4≤a ≤2；当－a2>2，即a <－4时，g (x )min ＝g (2)＝7＋a ≥0， 解得a ≥－7，∴－7≤a <－4.综上可得，满足条件的实数a 的取值X 围是[－7,2]． (3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．设方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，Δ>0)有不相等的两根为x 1，x 2，且x 1<x 2，相应的二次函数为f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，方程的根即为二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)． 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x 1<0，x 2<0)两个正根即两根都大于0(x 1>0，x 2>0) 一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x 1<0<x 2)大致图象(a >0)得出的结论错误!错误! f (0)<0大致图象(a<0)得出的结论错误!错误! f (0)>0 综合结论(不讨论a)错误!错误!a·f (0)<0 表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论错误!错误! f (k)<0大致图象(a<0)得出的结论错误!错误! f (k)>0 综合结论(不讨论a)错误!错误!a·f (k)<0 表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q大致图象(a>0)得出的结论错误! f (m)·f (n)<0 错误!或错误!大致图象(a <0)得出的结论 错误! f (m )·f (n )<0 错误!或错误!综合结论(不讨论a ) 错误!f (m )·f (n )<0错误!根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m ，n )外，即在区间两侧x 1<m ，x 2>n ，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧fm <0，f n <0；(2)a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧fm >0，f n >0.对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m ，n )内有以下特殊情况：(ⅰ)若f (m )＝0或f (n )＝0，则此时f (m )·f (n )<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m ，n )内，从而可以求出参数的值．如方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f (1)＝0，所以mx 2－(m ＋2)x ＋2＝(x －1)(mx －2)，另一根为2m ，由1<2m <3得23<m <2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m ，n )内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m 的取值X 围．分析：①由f (－3)·f (0)<0即(14m ＋15)(m ＋3)<0得出－3<m <－1514；②由Δ＝0即16m 2－4(2m ＋6)＝0得出m ＝－1或m ＝32，当m ＝－1时，根x ＝－2∈(－3,0)，即m＝－1满足题意；当m ＝32时，根x ＝3∉(－3,0)，故m ＝32不满足题意．综上分析，得出－3<m <－1514或m ＝－1. 例1 已知二次方程(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)＝0有一正根和一负根，某某数m 的取值X 围． 解 设f (x )＝(2m ＋1)x 2－2mx ＋(m －1)，由(2m ＋1)·f (0)<0，即(2m ＋1)(m －1)<0， 解得－12<m <1，即m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. 例2 已知方程2x 2－(m ＋1)x ＋m ＝0有两个不等正实根，某某数m 的取值X 围． 解 设f (x )＝2x 2－(m ＋1)x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－－m ＋12×2>0，f 0>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＋12－8m >0，m >－1，m >0⇒⎩⎨⎧m <3－22或m >3＋22，m >0⇒0<m <3－22或m >3＋22，即m 的取值X 围为(0,3－22)∪(3＋22，＋∞)．例3 已知二次函数f (x )＝(m ＋2)x 2－(2m ＋4)x ＋3m ＋3与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，某某数m 的取值X 围． 解 由(m ＋2)·f (1)<0，即(m ＋2)·(2m ＋1)<0⇒－2<m <－12，即m 的取值X 围为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.1．(2019·某某调研)已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x 2＋3x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,2) B ．(－1,0) C ．(－3,2) D ．(－1,3) 答案 B解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－3<x <0}，∴A ∩B ＝(－1,0)．故选B.2．(2019·某某调研)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，那么不等式f (－2x )<0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32答案 A解析 由f (x )＝(ax －1)(x ＋b )>0的解集是(－1,3)，则a <0，故1a＝－1，－b ＝3，即a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，解得x >12或x <－32，故不等式f (－2x )<0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选A.3．(2020·永州模拟)“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件是( ) A ．m >14B ．m <14C ．m <1D ．m >1 答案 A解析 ∵不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立， ∴Δ＝(－1)2－4m <0，解得m >14，又∵m >14，∴Δ＝1－4m <0，∴“m >14”是“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的充要条件．故选A.4．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值X 围是( ) A ．[－4,1]B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3. 5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 答案 A解析 由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x 1x 2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故选A.6．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值X 围是( ) A ．(－3,5) B ．(－2,4) C ．[－1,3]D ．[－2,4] 答案 C解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0， 当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }， 当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}， 当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1， 所以实数a 的取值X 围是a ∈[－1,3]，故选C.7．(2020·市石景山区模拟)已知集合A ＝{－5，－1,2,4,5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是______________． 答案 (x ＋4)(x －6)>0(答案不唯一)解析 因为不等式(x ＋4)(x －6)>0解集为{x |x >6或x <－4}，解集中只有－5在集合A 中．8．(2019·市顺义区模拟)满足关于x 的不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是________． 答案 (－2，－1)(答案不唯一)解析 不等式(ax －b )(x －2)>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x <2， ∴方程(ax －b )(x －2)＝0的实数根为12和2，且⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b a ＝12，即a ＝2b <0，则满足条件的一组有序实数对(a ，b )的值可以是(－2，－1)．9．(2019·某某省宜丰中学月考)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值X 围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 由题意，可知不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立， 又由(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， 即x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意实数x 都成立， 所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0，即4a 2－4a －3<0， 解得－12<a <32.10.(2019·市丰台区模拟)已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝－(x －1)2＋1.①当x ∈[－1,0]时，f (x )的取值X 围是________；②当函数f (x )的图象在直线y ＝x 的下方时，x 的取值X 围是________． 答案 [－1,0] (－1,0)∪(1，＋∞)解析 因为f (x )为奇函数，故可以求函数在[0,1]上的值域，当x >0时，f (x )＝－(x －1)2＋1在[0,1]上的值域为[0,1]，故在x ∈[－1,0]上的值域为x ∈[－1,0]；如图所示，当函数f (x )的图象在直线y ＝x 的下方时，得x 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)．11．(2019·某某第十三中学质检)已知关于x 的不等式－x 2＋ax ＋b >0. (1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a ，b 的值； (2)若b ＝a ＋1，求此不等式的解集．解 (1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－4＝a ，2×－4＝－b ，解得a ＝－2，b ＝8.(2)当b ＝a ＋1时，－x 2＋ax ＋b >0⇔x 2－ax －(a ＋1)<0， 即[x －(a ＋1)](x ＋1)<0.当a ＋1＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为∅； 当a ＋1<－1，即a <－2时，原不等式的解集为(a ＋1，－1)； 当a ＋1>－1，即a >－2时，原不等式的解集为(－1，a ＋1)．综上，当a <－2时，不等式的解集为(a ＋1，－1)；当a ＝－2时，不等式的解集为∅；当a >－2时，不等式的解集为(－1，a ＋1)．12．甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值X 围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．解 (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x 的取值X 围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112，故当x ＝6时，y max ＝457500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．13．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( ) A.12B.13C.14D.22 答案 C解析 由题意知a <0，a <b ，则 ①当b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2， 所以a ≤－4a 2，所以－14≤a <0，所以0<b －a <14；②当b >0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意； ③当b ＝0时，由题意知x ∈(a ,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立， 所以4x 2＋a ≤0，所以－14≤a <0，所以0<b －a ≤14.综上所述，b －a 的最大值为14.14．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (1,5]解析 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ， 当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4时，f (x )>0对x ∈R 恒成立，符合题意； 当a ＝1时，f (－1)＝0，不符合题意； 当a ＝4时，f (2)＝0符合题意；当Δ>0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，1<a －2<5，f 1≥0，f 5≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧a <1或a >4，3<a <7，a ≤5，a ≤5，即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值X 围是(1,5]．15．(2020·某某市金山区模拟)若集合A ＝{x ∈Z |x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0}中有且只有一个元素，则正实数a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23解析 f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a <0， 即x 2－2x ＋1<a (x ＋1)－1， 分别令y 1＝x 2－2x ＋1，y 2＝a (x ＋1)－1，易知y 2过定点(－1，－1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合A ＝{x ∈Z |f (x )<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤1，2a －1>0，3a －1≤1，解得12<a ≤23.16．(2019·某某六校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1.若对任意的a ∈(0,3)，存在x 0∈[0,4]，使得t ≤|f (x 0)|成立，某某数t 的取值X 围．解 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1的对称轴为x ＝a ，且a ∈(0,3)， ∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0，a ]上是减函数， 在[a ,4]上是增函数；∴函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1在[0,4]上的最小值为f (a )＝－(a －1)2∈(－4,0]，|f (a )|＝(a －1)2，①当2≤a <3时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝0时取得最大值，且最大值为2a －1，由于此时2≤a <3，则3≤2a －1<5， 易知当2≤a <3时，(a －1)2<2a －1，所以|f (x )|max ＝max{|f (a )|，|f (0)|}＝|f (0)|＝2a －1∈[3,5)． ∴t ≤3.②当0<a <2时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋2a －1(x ∈[0,4])在x ＝4时取得最大值，且最大值为42－8a ＋2a －1＝15－6a ，由于此时0<a <2，所以3<15－6a <15，且15－6a >(a －1)2，|f (x )|max ＝max{|f (a )|，|f (4)|}＝|f (4)|＝15－6a ∈(3,15)， ∴t ≤3.综上，t 的取值X 围是(－∞，3]．。
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 73 二元
七
不等式 推理与证明
章
第三节
二元一次不等式(组)与简单的线性规划
高考概览 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次 不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解 决.
吃透教材 夯双基
填一填 记一记 厚积薄发
[答案] D
x－1≥0，
5．(2015·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－y≤0，
则
x＋y－4≤0，
yx的最大值为________．
[解析] 由约束条件可画出可行域，利用yx的几何意义求解． 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的 直线的斜率， ∴点(x，y)在点 A 处时xy最大．
x＋y－1≤0 B.x－2y＋2≤0
x－y＋1≥0 C.x＋2y＋2≥0
x＋y－1>0 D.x－2y＋2>0
x－y≥0， (2)(2018·河北衡水中学五调)若不等式组2y≥x＋0y，≤2，
x＋y≤a
表示
的平面区域的形状是三角形，则 a 的取值范围是( )
A．a≥43
B．0<a≤1
C．1≤a≤43
[跟踪演练]
x≤0， 已知由不等式组yy≥－0kx，≤2，
y－x－4≤0
确定的平面区域 Ω 的面积为
7，则 k 的值为( ) A．－3 B．－1 C．3 D．1
[解析]
x≤0， 作出不等式组y≥0，
y－x－4≤0
所表示的平面区域，如
图阴影部分所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为 8.由于
直线 y＝kx＋2 恒过点 B(0,2)，且原点的坐标恒满足ห้องสมุดไป่ตู้y－kx≤2，当
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划课件 文
x－1≥0，
5．(2015·全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－y≤0，
则
x＋y－4≤0，
yx的最大值为________．
[解析] 由约束条件可画出可行域，利用yx的几何意义求解． 画出可行域如图阴影所示，∵yx表示过点(x，y)与原点(0,0)的 直线的斜率， ∴点(x，y)在点 A 处时xy最大．
[跟踪演练]
x≤0， 已知由不等式组yy≥－0kx，≤2，
y－x－4≤0
确定的平面区域 Ω 的面积为
7，则 k 的值为( ) A．－3 B．－1 C．3 D．1
[解析]
x≤0， 作出不等式组y≥0，
y－x－4≤0
所表示的平面区域，如
图阴影部分所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为 8.由于
[答案] －23，23
3 ． (2018·山 东 聊 城 期 末 ) 如 果 点 P(x ， y) 在 平 面 区 域
2x－y＋2≥0， x－2y＋1≤0， x＋y－2≤0
上，则 x2＋(y＋1)2 的最大值和最小值分别是
()
A．3，
3 5
B．9，95
C．9,2
∴zmax＝2×6－(－3)＝15.
[答案] 15
[ 拓 展 探 究 2] ________．
本
例
条
件
不
变
，
求
y＋6 x－2
的
取
值
范
围
是
[解析] 如图，yx＋ －62的几何意义为可行域内的点 M(x，y)与点 P(2，－6)连线的斜率，由本例知 B(6，－3)，A(－6，－3)，∴kPB ＝－63－＋26＝34，kPA＝－ －36＋ －62＝－38.
(福建专用)2019高考数学一轮复习-第七章 不等式、推理与证明 7.2 基本不等式及其应用课件 理
考点1
考点2
考点3
(2)∵a+b=1,
1
1
1
∴ + + =2
1
+
1
.
∵a+b=1,a>0,b>0,
1
1
+
1
1
∴ + =
1
+
+
1
=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
1
∴ + + ≥8,当且仅当 a=b=2时,等号成立.
考点1
意等号能否取到.
考点1
考点2
考点3
对点训练 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +
1
1+
=2+ .
+
证明: (方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1+ =1+
1
1
1
≥9.
同理,1+ =2+ .
1
1
∴ 1+
1+ = 2+
当且仅当 = ,
1
即 a=b=2时,等号成立.
2 = 22 ,
1
4 = ,
即
2 =
2 =
2
2
2
,
时取等号.
4
(2)因为 x>2,所以 x-2>0.
1
1
1
高考数学一轮复习 第七章 不等式 推理与证明 7-2 一元二次不等式及其解法课件 文
3>0}，则 A∩B＝( )
A.－3，－32 C.1，32
B.－3，32 D.32，3
[解析] 由 x2－4x＋3<0，得(x－1)(x－3)<0，所以 1<x<3；由
2x－3>0，得 x>32.所以
A＝{x|1<x<3}，B＝xx>32
[跟踪演练] 1．不等式(x2＋x＋1)(－3x2－2x＋8)≥0 的解集是________． [解析] 因为 x2＋x＋1 中 Δ＝1－4<0， ∴x2＋x＋1>0 恒成立， ∴－3x2－2x＋8≥0，即 3x2＋2x－8≤0，解得－2≤x≤43，所 以原不等式的解集是－2，43. [答案] －2，43
(2) 正负去分母 → 再求并集 对二次项系 分别得出
(3) 分解因式 → 数分类讨论 → 不等式解集
[解析] (1)集合 A＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x>3 或 x<－1}，∁UA ＝ {x| － 1≤x≤3} ， ∴ ( ∁ UA)∩B ＝ {x| － 1≤x≤3}∩{x|2<x<4} ＝ {x|2<x≤3}，故选 C.
2．(2017·河北八所重点中学一模)不等式 2x2－x－3>0 的解集 >0
即为(x＋1)·(2x－3)>0，解得
3 x>2
或 x<－1.所以不等式 2x2－x－3>0 的解集为{xx>32或x<－1.故选
B.
[答案] B
3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合 A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－
(2)(2018·安徽桐城中学月考)不等式x－4 2≤x－2 的解集是