广东省梅州市2020届高三上学期第一次质量检测数学(文)试题

,x{ }{x -1 < x ≤ 1}{}{}1 5．已知数列 {a } 中， a =2 ， a =1 ．若数列 ⎧⎨ 1 ⎫⎬ 为等差数列，则 a = （ ⎩a n⎭广东省梅州市 2020 届高三级第一学期第一次质检试题文科数学本试卷共 4 页，22 小题， 满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．1．已知集合 A ={x x ≥ 1} B = { x 2 - x - 2 < 0}，则 A U B =（）．A. x x ≥ 1B. x 1 ≤ x < 2C.D. x x > -12．设复数 z 满足 (3 + i)z = 3 - i ，则 | z |= （）．A. 12B. 1C. 2D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000 名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取 50 名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数0 1 2 3 4 5 6 7参加人数占调查人数的百分比8%10% 20% 26% 18% 12% 4% 2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（）．错误!未找到引用源。

A.参加活动次数是 3 场的学生约为 360 人B.参加活动次数是 2 场或 4 场的学生约为480 人C.参加活动次数不高于 2 场的学生约为 280 人D.参加活动次数不低于 4 场的学生约为 360人4．已知双曲线 C : x2 y 2 - a 2 b 2 =（a > 0,b > 0) ，直线 y = b 与 C 的两条渐近线的交点分别为 M , N ，O 为坐标原点．若 ∆OMN 为直角三角形，则 C 的离心率为（）．A. 2B. 3C. 2D. 5n 3 7 9）．2B.，且 θ ∈（0， ），则 cos(θ - ) = （ ）． 2 C. 1A. 4π - 6 3B.1 - 3 3．2B ． 2 3⎧ 1 [ ] 9．已知函数 f (x ) = ⎨ 2 ，当 x ∈ m , m + 1 时，不等式 f (2m - x ) < f (x + m )恒成 ⎪ x ⎩A. 15 4 C. 4 5 D. -456．已知 sin(θ - π6 ) = 1 π π 2 2 3A. 0B. 1D. 327．如图，线段 MN 是半径为 2 的圆 O 的一条弦，且 MN 的长为 2 . 在圆 O 内，将线段 MN 绕 N 点按逆时针方向转动，使点 M 移动到圆 O 上的新位置，继续将线段 MN 绕 M 点按逆时针方向转动，使点 N 移动到圆 O 上的新位置，依此继续转动……点 M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）3 33 3 C. π -D.2π22πuuuuruuuruuuur uuur8．在边长为 3 的等边 ∆ABC 中，点 M 满足 BM = 2MA ，则 CM ⋅ CA = （）．A ．3C ． 6D ． 152（ ） + 4, x ≤ 0，⎪- x 3 - x + 5, x > 0立，则实数 m 的取值范围是()．A.(-∞, -4) B. (-∞, -2)C. (-2,2 )D. (-∞,0 )10．设函数f (x )在 R 上可导，其导函数为 f ' (x ) ，且函数 f (x )在 x = -2 处取得极小值，则函数y = x ⋅ f ' (x ) 的图象可能是（）A ． -e 2,0 ⎤B ． ⎡0, e 2)C ． ( -e ,0 ]D ． [0, e )13．若实数 x, y 满足约束条件 ⎨ x - y ≤ 0 ，则 z = 3x - y 的最小值等于______． ⎪ x - 2 y + 2 ≥ 0 ⎪y yyyOx-2O xO x-2O x-2-2AB C Duuur uuur11．已知过抛物线 y 2 = 4 2 x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ，B ，AF = 3FB ，抛物线的准线 l 与 x轴交于点 C ， AM ⊥ l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为 ()A ．12 3B ．12C ． 8 3D ． 6 312．若关于 x 的方程 e x + ax - a = 0 没有实数根，则实数 a 的取值范围是 ()(⎦⎣二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．⎧ x + 2 y ≥ 0 ⎪⎩14．已知长方体 ABCD - A B C D 的外接球体积为 1 1 1 1 32 3π ，且 AA = BC = 2 ，则直线 A C 与平面 BB C C1 1 1 1所成的角为______．15．将函数 f (x) = a sin x + b c os x (a, b ∈ R ,a ≠ 0) 的图象向左平移 π个单位长度，得到一个偶函数图6象，则 b = ______．a16．已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn， a = 1 ，且 S = λ a - 1 （ λ 为常数）．若数列{b }满足1 n n na b = -n 2 + 9n - 20 ，且 bn nn +1< b ，则满足条件的 n 的取值集合为______．n三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分 12 分)在 ∆ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c .已知 b sin ⎛ C - π ⎫ - c sin B = 0 .⎝3 ⎭(Ⅰ)求角 C 的值；(Ⅱ)若 a = 4，c = 2 7 ，求 ∆ABC 的面积.∑ (x - x )(y - y ) ∑ (x - x ) ∑ (y- y )2， ∑ (x - x )2 = 10 ， ∑ (y - y )2 = 1.3 ， 13 ≈ 3.6056 ，∑ (x - x )(y - y ) ˆ ，a ˆ = y - bx.ˆ n18.(本小题满分 12 分)为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份 x足球特色学校 y (百个)20140.30 20150.60 20161.00 20171.40 20181.70(Ⅰ)根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r ，并说明 y 与x 的线性相关性强弱(已知： 0.75 ≤ r ≤ 1 ，则认为 y 与x 线性相关性很强； 0.3 ≤ r < 0.75 ，则认为 y 与x 线性相关性一般；r ≤ 0.25 ，则认为 y 与x 线性相关性较弱)；(Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2019 年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式： r =n ni =1ni =1i i i i2i =1n n i ii =1 i =1b= ni =1i i∑ (x - x )2ii =119.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF.(Ⅰ)求证：AB⊥CG；(Ⅱ)若∆ABC和梯形BCGF的面积都等于3，求三棱锥G-ABE的体积.20.(本小题满分12分)已知直线l:x-y+1=0与焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)相切.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.x =- t 2 xOy 中，直线l 的参数方程为 ⎪⎨ （ t 为参数，a ∈ R ）.以坐标原点为极点，21.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = x 2 - 3ax + a 2 ln x ( a ∈ R ).(Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的 x ≥ e 2( e 为自然对数的底数)， f (x ) ≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系⎧ 1⎪ ⎪ y = a + 3 t ⎪⎩ 2x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ = 4cos θ ，射线θ =交于 O , P 两点，直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点.（Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）当 AB = OP 时，求 a 的值.π (3ρ ≥ 0 )与曲线 C23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知f(x)=3x+2.(Ⅰ)求f(x)≤1的解集；(Ⅱ)若f(x2)≥a x恒成立，求实数a的最大值.1.【简解】 B = x | (x - 2 )(x +1) < 0 = {x | -1 < x < 2}，所以 A U B = {x | x > -1} ，故选 D ．3+i =(3 - i )(3 - i ) 8 -6i (3+i )(3 - i ) =10= 1 ，故选 B ． ，所以 z ⨯ 12 - 1 = ，所以 = + (9 - 7 )⨯ = ，所以 a = ，故选 C ． 7 -3 7 - 3 8 5 a a8 4 6. 【 简 解 一 】 由 sin θ -cos θ - ⎪ 得 ，， 且 θ ∈ 0, ⎪ 得， θ = ，代入 ⎪ cos θ - ⎪ = cos0 = 1 ，故选 C ．π ⎫ 1 π参考答案一、选择题1.D2.B3.D4.A5.C6.C7.B8.D9.B 10.C 11.A 12.A{}2.【简解一】因为 z = 3 - i【简解二】因为 (3+i)z = 3 - i ，所以 (3+i)z = (3+i) z = 3 - i ，所以 z = 1 ，故选 B ．3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于 4 场的学生约为：1000 （0.18 +0.12+0.04+0.02)=360 人，故选 D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为 y = ± x ，即 C 是等轴双曲线，所以 C 的离心率 e = 2 ，故选 A ．5.【简解】依题意得： a = 2, a 37= 1 ，因为数列{ 1 } 为等差数列，an1 1 - a a 1 1 1 1 5 4 所以 d = 7 3 =9 97⎛⎛ π ⎫ ⎛π ⎫ = ⎝6 ⎭ 2 ⎝ 2 ⎭ 3 ⎝3 ⎭⎛ π ⎫ ⎝3 ⎭【简解二】由 sin θ - ，且θ ∈ 0, ⎪ 得， cos θ - ⎪= ⎪ 所以 cos θ - = cos ⎢θ - ⎪ - ⎥ = cos θ - ⎪ cos + sin θ - ⎪ sin = 1 ，故选 C ． 3 ⎭6 ⎭ 6 ⎦6 ⎭66 ⎭6π ⎫ π - 【简解二】依题意得：阴影部分的面积 S = π⨯ 22 - 6 ⨯ 1 P = 4π -6 3 1 uuu r 2 uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuuur uuur CM ⋅ CA =（ CB + CA) ⋅ CA = CB ⋅ CA + CA ⋅ CA = ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ + ⨯ 3 ⨯ 3 = ，故选 D ．5 3 5 3 15C A = g =（ r ⎧ 1 ( ) ⎪ 9. 【简解】依题意得：函数 f x = ⎨ 2 在 x ∈ R 上单调递减， 因为 f 2m - x < f x + m ，所以 2m - x > x + m ，即 2x < m ，在 x ∈ m , m + 1 上恒成立，所以 x⎩⎛ ⎝π ⎫ 1 ⎛ π ⎫ ⎛ π ⎫ 3 =6 ⎭ 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 6 ⎭ 2，⎛ ⎝π ⎫ ⎡⎛ π ⎫ π ⎤ ⎛ ⎛ π ⎫ π ⎪⎣⎝ ⎝ ⎝1 7. 【简解一】依题意得：阴影部分的面积 S = 6 ⨯ [ （π⨯ 22） 6 1 3⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ ]=4π - 6 32 2P = 4π -6 3 3 3= 1 - ，故选 B ．π ⋅ 22 2π3 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ =4π - 6 3 2 23 3= 1 - ，故选 B ．π ⋅ 22 2π8.【简解一】依题意得：1 2 153 3 3 3 3 2 3 2【简解二】依题意得：以 C 为原点， CA 所在的直线为 x 轴建立平面直角直角坐标系，则Buuuur uuur （0,0），（3,0），M （ ， ），所以 CM ⋅ CA （， ） 3,0） ，故选 D ． 2 2 2 2 2【 简 解 三 】 依 题 意 得 ： 过 M 点 作 MD ⊥ AC 于 D ， 如 图 所 示 ， 则uuuur uuur uuu uuur15 ，故选 D ． CM ⋅ CA = CD ⋅ CA = (3 - 1⨯ cos60 o ) ⨯ 3 =2CMD A（ ） +4, x ≤ 0⎪- x 3 - x + 5, x > 0( ) ( ) [ ]2(m + 1) < m ，即 m < -2 ，故选 B ．10. 【简解】【解析】∵函数 f (x )在 R 上可导，其导函数 f ' (x ) ，且函数 f (x )在 x = -2 处取得极小值，∴当 x > -2 时， f ' (x ) > 0 ；当 x = -2 时， f ' (x ) = 0 ；当 x < -2 时， f ' (x ) < 0 ．| AF |= 3m ，则 | AB |= 4m ， AK = 2m ， ⇒ ∠BAA = 60︒ ⇒ CF = p =m = 2 2 移可知在 A 点处动直线在 y 轴上的截距最大．因为 A : ⎨解得 A -1, ⎪ ，所以∴当 -2 < x < 0 时， xf ' (x ) < 0 ；当 x = -2 时， xf ' (x ) = 0 ；当 x < -2 或 x > 0 时， xf ' (x ) > 0 .选：C ．11.【解答】解：解：过 B 作 BN ⊥ l 于 N ，过 B 作 BK ⊥ AM 于 K ，设 | BF |= m ，312∴ m =4 2 3． ⇒ AM = 3m = 4 2 ， MC = AF sin 60︒ = 3m ⨯ = 2 6 3 2则四边形 AMCF 的面积为 S = 1 (CF + AM )gMC = 1 (2 2 + 4 2) ⨯ 2 6 = 12 3 ，故选： A ．2 212.【解答】解：方程 e x + ax - a = 0 没有实数根，得方程 e x = -a(x - 1) 没有实数根，等价为函数 y = e x 与 y = -a(x - 1) 没有交点，当 a > 0 时，直线 y = -a(x - 1) 与 y = e x 恒有交点，不满足条件． 当 a = 0 时，直线 y = 0 与 y = e x 没有交点，满足条件．当 a < 0 时，当过 (1,0) 点的直线 y = e x 相切时，设切点为 (m , e m ) ，则 f '( x ) = e x ，则 f '(m ) = e m ， 则切线方程为 y - e m = e m (x - m ) = e m x - me m ．即 y = e m x - me m + e m ，Q 切线过 (1,0) 点，则 e m - me m + e m = 0 ，得 m = 2 ，即切线斜率为 e 2 ，要使 y = e x 与 y = -a(x - 1) 没有交点，则满足 0 < -a < e 2 ，即 -e 2 < a < 0 ，综上 e 2 < a 0 ，即实数 a 的取值范围是 (-e 2 ， 0] ，故选： A ．二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为： y = 3x - z ，则 z 的最小值即为动直线在 y 轴上的截距的最大值．通过平⎧ x + 2 y = 0 ⎛ 1 ⎫ ⎩ x - 2 y + 2 = 0 ⎝ 2 ⎭z = 3x - y 的最小值 z min = 3 ⋅ (-1)- 1 7 =- ．2 214.【简解】设长方体 ABCD - A B C D 的外接球半径为 R ，因为长方体 ABCD - A B C D 的外接球体1 1 1 11 1 1 1积为 4π R 3 = π ，所以 R = 2 ,即 A C = AA 2 + BC 2 + AB 2 = 2R = 4 ，因为 AA = BC = 2 ，所以334． 所以 f ( ) = a s in + b c os =f (0)=b ，因为 a ≠ 0 ，所以 = 3 ．2n-1= < 0 ，解得 4 < n < 7 ，又因为 n ∈ N * ，所以 n =5 或 n - c sin B = 0 ，∴ sin B sin C - 3 ⎭ ⎝ 2cos C ⎪⎪ - sin C sin B = 0 ， (2)∴ sin C + cos C = 0 ，∴ sin C + ⎪= 0 . (4)32 11 1AB = 2 2 .因为 A B ⊥ 平面 BB C C ，所以 A C 与平面 BB C C 所成的角为 ∠ACB ，1 11 111 111在 △Rt ACB 中，因为 AA = BC = 2 ，所以 B C = 2 2 = A B ，所以 ∠ACB =1 1 1 1 1 1 1 1 π15. 【简解】因为 f ( x ) = a sin x + b cos x (a, b ∈ R ,a ≠ 0) 的图象向左平移 π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数 f ( x ) = a sin x + b cos x 的对称轴为 x = π，6π π πb 3 3 3 a16. 【简解】因为 a = 1 ，且 S = λ a - 1 （ λ 为常数），所以 a = λ - 1 = 1 ，解得 λ =2 ， 1nn 1所以 S = 2a - 1 ，所以 Snnn-1= 2a -1(n ≥ 2) ，所以 a = 2a ，所以 a = 2n -1 ，n-1 n n -1 n-n 2 + 9n - 20因为 a b = -n 2 + 9n - 20 ，所以 b = ，n n n所以 b n +1 n =6 ．- b =n n 2- 11n+28 (n - 4)(n - 7)2 2n所以，当 n =5 或 n =6 时， b n +1三、解答题：17.(本小题满分 12 分) < b ，即满足条件的 n 的取值集合为 {5,6 }．n解: (Ⅰ)∵ b sin ⎛ C -⎝分1 3 ⎛ π⎫ 22⎝3 ⎭分∵ C ∈ (0，π ) ，∴ C = 2π 3. (6)分(Ⅱ)∵ c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，∴ b 2 + 4b -12 = 0 ， (8)分∵ b > 0 ，∴ b = 2 ， (10)分∴ S = ab sin C = ⨯ 2 ⨯ 4 ⨯ = 2 3 .…………………………∑ (x - x )(y - y ) ∑ (x - x ) ∑ (y2 n - y )2∑ (x - x )(y - y ) ∑ (x - x )2ˆ a ˆ = y - bx= 1 - 2016 ⨯ 0.36 = -724.76 ， ˆ ˆ =1 1 3 22 212 分18.(本小题满分 12 分)解：(Ⅰ) x = 2016，y = 1 ，…………………………2 分r =n n i =1i ii i=3.6 10 1.3 =3.63.6056> 0.75 ，……………………4 分 i =1i =1∴ y 与x 线性相关性很强.…………………………6 分(Ⅱ) b = 5i =1i i5i=(-2)⨯ (-0.7 )+ (-1)⨯ (-0.4)+ 1⨯ 0.4 + 2 ⨯ 0.7 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 0.36 ，……………………8 i =1分ˆ (9)分∴ y 关于 x 的线性回归方程是 y = 0.36x - 724.76 . (10)分当 x = 2019 时， y = 0.36x - 724.76 = 2.08 ，即 A 地区 2019 年足球特色学校有 208 个. (12)分19.(本小题满分 12 分)(Ⅰ)证明：取 BC 的中点为 D ，连结 DF .…………………………1 分由 ABC - EFG 是三棱台得，平面 ABC // 平面 EFG ，∴ BC // FG .………2 分∵ CB = 2GF ，∴ CD //GF ，……………………………………3 分 ∴四边形 CDFG 为平行四边形，∴ CG // DF . ∵ BF = CF ， D 为 BC 的中点，∴ DF ⊥ BC ，∴ CG ⊥ BC .……………………4 分∵平面 ABC ⊥ 平面 BCGF ，且交线为 BC ， CG ⊂ 平面 BCGF ， ∴ CG ⊥平面 ABC ，而 AB ⊂ 平面 ABC ，∴ CG ⊥ AB .……………………6 分(Ⅱ)∵三棱台 ABC - EFG 的底面是正三角形，且 CB = 2GF ，22⋅C G= (12)=⋅⋅S2233解：(Ⅰ)∵直线l:x-y+1=0与抛物线C相切.由⎨⎩y2=4x 消⎨2=22t2-t+1=22 t-⎪2+，………………………∴AC=2EG，∴S∆ACG =2S∆AEG，………………………………8分∴VG-ABE =VB-AEG1=VB-ACG1=VG-ABC.…………………………9分由(Ⅰ)知，CG⊥平面ABC.∵正∆ABC的面积等于3，∴BC=2，GF=1.…………………………10分∵直角梯形BCGF的面积等于3，∴(1+2)⋅C G2=3，∴CG=233，∴VG-ABE1111 =V∆ABC分20.(本小题满分12分)⎧x-y+1=0⎩y2=2px消去x得，y2-2py+2p=0，……2分从而∆=4p2-8p=0，解得p=2.………………………………4分∴抛物线C的方程为y2=4x.…………………………5分(Ⅱ)由于直线m的斜率不为0，所以可设直线m的方程为ty=x-1，A(x，y)，B(x，y).……11226分由⎧ty=x-1去x得，y2-4ty-4=0，………………………………7分∴y+y=4t，从而x+x=4t2+2，……………………………………12128分∴线段AB的中点M的坐标为(2t2+1，2t).………………………………9分设点A到直线l的距离为d，点B到直线l的距离为d，点M到直线l的距离为d，则A Bd+d=2d=2⋅2t2-2t+2A B …11分⎛1⎫3⎝2⎭4时，可使 A 、B 两点到直线 l 的距离之和最小，距离的最小值为 . ……………… 2 x - ⎪ (x - a )f ' (x ) = 2x - 3a + = = ⎝ . ………………………⑵当 a > 0 时，由 f ' (x ) > 0 解得 x ∈ ⎛ 0， ⎫⎪ U (a ，+ ∞ )，由 f ' (x ) < 0 解得 x ∈ ⎛ ，a ⎫⎪ .………………∴ f (x ) 的单调递增区间为 ⎛ 0， ⎫⎪ 和 (a ，+ ∞ ) ，单调递减区间是 ⎛ ，a ⎫⎪ .②当 a > 0 时，由(Ⅰ)知， f (x ) 在 ⎛ 0， ⎫⎪ 和 (a ，+ ∞ ) 上单调递增，在 ⎛ ，a ⎫⎪ 上单调递减.，即 a ≥ 2e 2 时， f (x ) 在 ⎡⎢e 2， ⎫⎪ 上单调递增，在 ⎡⎢ ，a ⎪⎫ 上单调递减，在 (a ，+ ∞ ) ⎣+∴当 t = 13 2 2 212 分21.(本小题满分 12 分)解：(Ⅰ) f (x ) 的定义域为( 0，+∞ ). (1)分⎛ a ⎫ a 2 2x 2 - 3ax + a 2 2 ⎭ x x x…2 分⑴当 a ≤ 0 时， f ' (x ) > 0 恒成立， f (x ) 的单调递增区间为( 0，+∞ )，无单调递减区间；…………3分a a ⎝2 ⎭ ⎝ 2⎭4分a a ⎝2 ⎭⎝ 2⎭……………………5分(Ⅱ)①当 a ≤ 0 时， f ' (x ) > 0 恒成立， f (x ) 在( 0，+∞ )上单调递增，∴ f ( x ) ≥ f (e 2 )= e 4 - 3ae 2 + 2a 2 ≥ 0恒 成 立 ， 符 合 题意.…………………………6 分a a ⎝2 ⎭ ⎝ 2⎭(ⅰ)若 0 < e 2 ≤ a a a 2 ⎣ 2 ⎭ ⎣ 2 ⎭上单调递增.∴对任意的实数 x ≥ e 2 ，f (x ) ≥ 0 恒成立，只需 f (e 2 )≥ 0 ，且 f (a ) ≥ 0 .……………………………7分而当 a ≥ 2e 2 时，f (e 2 )= 2a 2 - 3ae 2 + e 4 = (2 a - e 2 )(a - e 2 ) ≥ 0 且 f (a ) = a 2 - 3a 2 + a 2 ln a = a 2 (ln a - 2) ≥ 0 成立.∴ a ≥ 2e 2符 合 题意.………………………………8 分(ⅱ)若 a2< e 2 ≤ a 时， f (x ) 在 ⎡e 2，a ) 上单调递减，在 [a ， ∞ ) 上单调递增.∴对任意的实数 x ≥ e 2 ， f (x ) ≥ 0 恒成立，只需 f (a ) ≥ 0 即可，即 f (e 2 )= e 4 - 3ae 2 + 2a 2 = (2a - e 2 )(a - e 2 )≥ 0 ，∴ 0 < a ≤ 符合题意.……………………………+ 综上所述，实数 a 的取值范围是 -∞， ⎥ U ⎡⎣e 2，+ ∞ ) .2 π (，得 P 2, ⎪ .错误!未找到引用源。