江西省宜市高安市四校(二中、中学、丰城中学、樟树中学)高考数学一模试卷 文(含解析)

2015年江西省宜春市高安市四校（二中、中学、丰城中学、樟树中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．集合M={1，2}，N={3，4，5}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 62．已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A． B． C． 2 D．3．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A和C的距离都小于1的概率为（） A． B． C． D．5．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A． k＜6？ B． k＜7？ C． k＜8？ D． k＜9？6．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．7．直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A． B． C． D．8．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（0，1） C． [1，+∞） D．（1，+∞）9．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）A． 6π B． C． 3π D．10．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A． B． 4 C． D． 911．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．（﹣3，﹣1）12．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x ≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A． 1 B． C． e D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，若（a2+c2﹣b2）•tanB=•ac，则角B= ．14．已知是单位向量，．若向量满足|的取值范围是．15．数列{a n}中相邻两项a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，已知a10=﹣13，则b21等于．16．已知函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f （cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题：本大题共六个大题，满分60分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知某学校高一、高二、高三年级分别有16、12、8个班．现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查，（1）求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数；（2）若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查，求抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率（3）已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中，现再从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查，求高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率．18．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列{b n}前n项的和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求点B1到平面A1BD的距离．20．已知方向向量为=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．21．已知函数f（x）=+tx﹣1．（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe x﹣1（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求t的取值范围．选做题（在22、23、24三题中任选一题作答）【选修4-1：几何证明选讲】22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣1，其中a＞1．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤1的解集为，求a的值．2015年江西省宜春市高安市四校（二中、中学、丰城中学、樟树中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．集合M={1，2}，N={3，4，5}，P={x|x=a+b，a∈M，b∈N}，则集合P的元素个数为（） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据集合元素之间的关系，分别讨论a，b的取值即可得到结论．解答：解：∵M={1，2}，N={3，4，5}，a∈M，b∈N∴a=1或2，b=3或4或5，当a=1时，x=a+b=4或5或6，当a=2时，x=a+b=5或6或7，即P={4，5，6，7}，故选：B．点评：本题主要考查集合元素个数的判断，比较基础．2．已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A． B． C． 2 D．考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式得答案．解答：解：∵z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，∴，由为纯虚数，则，解得a=1，则z1=2+i，∴|z1|=．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．3．“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线垂直的条件以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：若直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直，则3m+m（2m﹣1）=0，即2m（m+1）=0，解得m=0或m=﹣1，则“m=﹣1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0，和直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的条件求出m是解决本题的关键．4．在边长为1的正方形ABCD内任取一点P，则P到点A和C的距离都小于1的概率为（） A． B． C． D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据已知条件，求出满足条件的正方形ABCD的面积，及动点P到定点A的距离|PA|＜1对应平面区域的面积，代入几何概型计算公式，即可求出答案．解答：解：满足条件的正方形ABCD，其中满足动点P到点A和C的距离都小于1的平面区域如图中阴影所示：则正方形的面积S正方形=1阴影部分的面积S阴影=2（）故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==；故选D．点评：本题考查的知识点是几何概型，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式解答．5．若执行如图所示的程序框图，输出S的值为3，则判断框中应填入的条件是（）A． k＜6？ B． k＜7？ C． k＜8？ D． k＜9？考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．解答：解：根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k＜8．故选：C．点评：本题考查程序框图，尤其考查循环结构，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．6．把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A． B． C． D．考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程．故选A．点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．7．直线x+y+=0截圆x2+y2=4所得劣弧所对圆心角为（）A． B． C． D．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：先解劣弧所对圆心角的一半，就是利用弦心距和半径之比求之．解答：解：设劣弧所对圆心角的一半为α，则因为圆到直线的距离为：=1，半径是2，所以cosα=0.5，∴α=60°，劣弧所对圆心角为120°．故选C．点评：直线与圆的关系中，弦心距、半径、弦长的关系，是高考考点，本题是基础题．8．已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=y﹣ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1） B．（0，1） C． [1，+∞） D．（1，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用目标函数z=y﹣ax 取得最小值时的唯一最优解是（1，3），得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=ax+z，要使目标函数z=y﹣ax取得最小值时的唯一最优解是（1，3），即直线y=ax+z经过点A（1，3）时，截距最小，由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右上方，此时只要满足直线y=ax+z的斜率a小直线AB的斜率即可，直线AB方程为x+y﹣4=0，即y=﹣x+4，直线的斜率为﹣1，∴a＜﹣1．故a的取值范围是（﹣∞，﹣1）故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．根据目标函数在A（1，3）取得最小值，得到直线斜率的关系是解决本题的关键．9．已知如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为（）A． 6π B． C． 3π D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图判断出几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，求出对应的高和底面的边长，根据它的外接球是对应直三棱锥的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径，代入体积公式进行求解．解答：解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，如图所示直三棱锥的高是，底面的直角边长为，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，∴R2=1+=，故外接球的体积是πR3=π，故选B．点评：本题考查球的体积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力．10．已知椭圆C1：+=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：﹣=1（a2＞0，b2＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，a1，a2又分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF2，则4e12+e22的最小值为（）A． B． 4 C． D． 9考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推志出，由此能求出4e12+e22的最小值．解答：解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴=4c2，③①2+②2，得=，④将④代入③，得，∴4e12+==+=≥=．故选：C．点评：本题考查4e12+e22的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．11．已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．（﹣3，﹣1）考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：作出f（x）在y轴右边的图象，从而由题意可得x2+ax+b=0的两根分别为x1=，1＜x2＜或0＜x1≤1，1＜x2＜，再由两根之和，结合不等式的性质，从而求解．解答：解：作出的图象如右，又∵函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，∴x2+ax+b=0的两根分别为x1=，1＜x2＜或0＜x1≤1，1＜x2＜；由韦达定理可得，x1+x2=﹣a；若x1=，1＜x2＜，则＜﹣a＜3，即﹣3＜a＜﹣；若0＜x1≤1，1＜x2＜；则1＜﹣a＜，即﹣＜a＜﹣1；综上可得，﹣3＜a＜﹣或﹣＜a＜﹣1．故选C．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的联系，属于中档题．12．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x ≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A． 1 B． C． e D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．解答：解：函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，m（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．点评：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，若（a2+c2﹣b2）•tanB=•ac，则角B= 60°或120°．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式变形后，利用余弦定理化简，再利用同角三角函数间基本关系求出sinB 的值，即可确定出B度数．解答：解：由余弦定理得：cosB=，即a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2accosB•tanB=•ac，即sinB=，∵B为三角形内角，∴B=60°或120°，故答案为：60°或120°点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．已知是单位向量，．若向量满足|的取值范围是[2﹣，2+] ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由是单位向量，．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足||=2可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出．解答：解：由是单位向量，．设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．因为向量满足||=2可得（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．其圆心C（1，1），半径r=2．因为|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r∴|OC|=．∴2﹣≤||=≤2+．∴||的取值范围是[2﹣，2+]．故答案为：[2﹣，2+]点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．15．数列{a n}中相邻两项a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，已知a10=﹣13，则b21等于992 ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由于a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，可得a n+a n+1=﹣3n，a n•a n+1=b n．由a n+a n+1=﹣3n，a n+1+a n+2=﹣3（n+1），可得a n+2﹣a n=﹣3，可得n为奇数、偶数时分别成等差数列，由a10=﹣13，可得a22，进而得到a21．解答：解：∵a n与a n+1是方程x2+3nx+b n=0的两根，∴a n+a n+1=﹣3n，a n•a n+1=b n．由a n+a n+1=﹣3n，a n+1+a n+2=﹣3（n+1），∴a n+2﹣a n=﹣3，可得n为奇数、偶数时分别成等差数列，由a10=﹣13，∴a22=﹣13+6×（﹣3）=﹣31，∴a21=﹣3×21﹣（﹣31）=﹣32，∴b21=a21•a22=﹣31×（﹣32）=992．故答案为：992．点评：本题考查了等差数列的通项公式、一元二次方程的根与系数的关系、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f （cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，则实数b的取值范围是．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，可得cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4，即cosx﹣sin2x ≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1，从而可求实数b的取值范围．解答：解：∵函数f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的单调增函数，且对于一切实数x，不等式f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，∴cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4，∴cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3且sin2x≥b﹣1，∵cosx﹣sin2x=（cosx+）2﹣∈[﹣，1]，sin2x∈[0，1]，∴b2﹣b﹣3≤﹣且b﹣1≤0，∴实数b的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查函数单调性的性质，考查解不等式，转化为cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4是关键．三、解答题：本大题共六个大题，满分60分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知某学校高一、高二、高三年级分别有16、12、8个班．现采用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级中抽取9个班进行调查，（1）求从高一、高二、高三年级分别抽取的班级个数；（2）若从抽取的高二、高三年级各个班中再随机抽取2个进行调查，求抽取的2个班中至少有1个来自高三年级的概率（3）已知高二年级的A班和高三年级的B班在所抽取的9个班中，现再从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查，求高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）由题意知总体个数是16+12+8，要抽取的个数是9，做出每个个体被抽到的概率，分别用三个年级的数目乘以概率，得到每一个年级要抽取的班数．（2）从高二年级的3个班，高三年级的2个班，不妨分别记为 1，2，3，4，5，5个班中随机抽取2个班的基本事件为10个，找到满足条件的基本事件有7个，根据概率公式计算即可（3）从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有4×3×2=24种，其中高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的有4×1×1=4种，根据概率公式计算即可解答：解：（1）由题意知总体个数是16+12+8，要抽取的个数是9，×9=4，×9=3，×9=2，故应从高一年级抽取4个班；高二年级抽取3个班，高三年级抽取2个班（2）由（1）知，从高二年级的3个班，高三年级的2个班，不妨分别记为 1，2，3，4，5 5个班中随机抽取2个班的基本事件为，（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个，设“抽取的2个班中至少有1个来自高三年级”为事件A，则事件A包括（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7个，故P（A）=（3）从这9个班中按高一、高二、高三每年级各抽取一个班进行调查共有4×3×2=24种，其中高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的有4×1×1=4种，故高二年级的A班和高三年级的B班都被抽取的概率为点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，以及古典概率的问题，属于基础题．18．已知单调递增的等比数列{a n}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{a n}前n项的和为S n，若数列{b n}满足b n=a n log2（S n+2），试求数列{b n}前n项的和T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；（2）由，利用等比数列的前n项和公式可得S n=2n+1﹣2，可得b n=a n log2（S n+2）=（n+1）•2n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n选和公式即可得出．解答：解：（I）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4，代入a2+a3+a4=28，得a3=8，∴，解之得a1=2，q=2或，又{an}单调递增，∴a1=2，q=2，∴（2）由，∴，∴，∴．∴，，∴=2+（21+22+…+2n）﹣（n+1）•2n+1=∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“错位相减法”、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；（2）求点B1到平面A1BD的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；（2）=（0，2，0），平面A1BD的法向量取=（2，1，0），利用距离公式可求点B1到平面A1BD的距离．解答：（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），E（﹣1，﹣1，0），A1（1，﹣2，0），C1（﹣1，﹣2，0），B（0，0，），∴=（﹣2，﹣1，0），=（﹣1，2，0），=（0，0，﹣），∴•=0，•=0，∴⊥，⊥，又A1D与BD相交，∴AE⊥面A1BD．（2）=（0，2，0），设面DA1B的法向量为=（x1，y1，z1），则，不妨取=（2，1，0），则B1到平面A1BD的距离为d=||=．点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知方向向量为=（1，）的直线l过点（0，﹣2）和椭圆C：+=1（a＞b ＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（﹣8，0）的直线与椭圆相交于不同两点A、B，F为椭圆C的左焦点，求三角形ABF面积的最大值．考点：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由直线的方向向量可得斜率为，求得直线l的方程，椭圆的焦点为直线l 与x轴的交点，求得右焦点，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）设AB方程为x=my﹣8，代入椭圆方程，消去x，运用判别式大于0和韦达定理，由S△ABF=S△PBF﹣S△APF=|PF|•|y2﹣y1|，化简整理，结合基本不等式，即可得到最大值．解答：解：（1）∵直线l的方向向量为=（1，），∴直线l的斜率为k=，又∵直线l过点（0，﹣2），∴直线l的方程为y=x﹣2，∵a＞b，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，∴椭圆的右焦点为（2，0），∴c=2，又∵，∴a=4，∴b2=12∴椭圆方程为；（2）设AB方程为x=my﹣8，代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2﹣48my+144=0，△=（48m）2﹣4×144（3m2+4）＞0，y1+y2=，y1y2=，则S△ABF=S△PBF﹣S△APF=|PF|•|y2﹣y1|=×6===≤=3，当且仅当3=即m2=（此时适合△＞0的条件）取得等号．则三角形ABF面积的最大值是3．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用，同时考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，以及三角形面积的求法，由基本不等式求得最大值是解题的关键．21．已知函数f（x）=+tx﹣1．（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe x﹣1（e为自然对数的底数）对任意x∈[0，+∞）恒成立，求t的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求导f′（x）=x2﹣（t+1）x+t=（x﹣t）（x﹣1），从而由f（x）在（0，2）上无极值可得t=1；（Ⅱ）由f′（x）=（x﹣t）（x﹣1）知，分t≤0，0＜t＜1，t=1，1＜t＜2与t≥2五种情况讨论函数的单调性，从而确定函数的最大值点，从而求t．（Ⅲ）当t＞0时，f（x）≤xe x﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立可化为对任意x∈[0，+∞）恒成立，令，从而由导数确定函数的单调性，从而转化为最值问题．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=+tx﹣1，∴f′（x）=x2﹣（t+1）x+t=（x﹣t）（x﹣1），又∵f（x）在（0，2）无极值，∴t=1；（Ⅱ）（1）当t≤0时，f（x）在（0，1）单调递减，在（1，2）单调递增，不合题意；（2）当0＜t＜1时，f（x）在（0，t）单调递增，在（t，1）单调递减，在（1，2）单调递增，∴f（t）≥f（2），由f（t）≥f（2）得，﹣t3+3t2≥4在0＜t＜1时无解；（3）当t=1时，不合题意；（4）当1＜t＜2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，t）单调递减，在（t，2）单调递增，∴即；∴≤t＜2；（5）当t≥2时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，2）单调递减，满足条件；综上所述：时，存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在[0，2]上的最大值．（Ⅲ）当t＞0时，若f（x）≤xe x﹣1对任意x∈[0，+∞）恒成立，即对任意x∈[0，+∞）恒成立，令，，，g′（x）在x∈[0，+∞）上是递增函数，，g（x）在x∈[0，+∞）上递增，g（x）≥g（0）=1﹣t≥0，即t≤1；故t的取值范围为0＜t≤1．点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想应用，应用到了二阶求导，同时考查了恒成立问题，属于难题．选做题（在22、23、24三题中任选一题作答）【选修4-1：几何证明选讲】22．选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（1）求证：CE•EB=EF•EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA•ED=EF•EP．利用相交弦定理可得EA•ED=CE•EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB•PC，即可得出PA．解答：（I）证明：∵DE2=EF•EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA•ED=EF•EP．又∵EA•ED=CE•EB，∴CE•EB=EF•EP；（II）∵DE2=EF•EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE•EB=EF•EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB•PC，∴，解得．点评：熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若，直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C 于A、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）先得出圆的直角坐标方程，再利用化为极坐标方程．（Ⅱ）将，代入C的直角坐标方程可得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣6=0，则△＞0，设A，B对应参数分别为t1，t2，利用根与系数的关系可得，即可得出．解答：解：（Ⅰ）由得，C直角坐标（2，2），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，由得，圆C的直角坐标方程为ρ=4cosθ+4sinθ．（Ⅱ）将，代入C的直角坐标方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=8，得t2+2（cosα﹣sinα）t﹣6=0，则△＞0，设A，B对应参数分别为t1，t2，则t1+t2=﹣2（cosα﹣sinα），t1t2=﹣6，∴，∵，∴sin2α∈[0，1]∴|AB|的取值范围为．点评：本题考查了圆的直角坐标方程化为极坐标方程、直线的参数方程的应用、弦长公式，考查了计算能力，属于基础题．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣1，其中a＞1．（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（Ⅱ）已知关于x的不等式|f（2x+a）﹣2f（x）|≤1的解集为，求a的值．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=2时，f（x）≥4﹣|x﹣4|可化为|x﹣2|+|x﹣4|≥5，运用零点分区间，求出不等式|x﹣2|+|x﹣4|≥5的解集即可；。