山东省青岛市黄岛区2020届高三上学期期末学业水平检测数学试题(PDF版)
山东省青岛市2020高三上学期期末考试
山东省青岛市2020高三上学期期末考试在2020年，山东省青岛市高中生迎来了学业上的一个重要节点——高三上学期期末考试。
这次考试对于每一位学生来说都至关重要，因为它不仅代表着他们在这个学期所学的知识水平，更是他们向未来发展迈出的一步。
考试临近时，学生们忙碌地复习着各科目的知识，每一个知识点都值得他们去深入理解和掌握。
政治科目是本次考试的重点之一，学生们需要牢记政治理论知识，了解国家政策与法规。
历史科目同样是考试的难点，需要学生们熟记古代历史事件，理解历史背景和发展脉络。
语文科目考查学生的文字表达能力，需要他们能够准确理解作文题目，用优美的文字表达自己的观点和情感。
数学科目则考验学生的逻辑思维与数学运算能力，需要他们掌握各种解题方法，熟练运用数学知识。
英语科目则需要学生们具备英语听说读写的综合能力，能够顺利阅读英文文献，听懂英语广播。
为了备战这场激烈的考试，学校和老师们积极组织了各类复习辅导班和模拟考试，帮助学生更好地理解和掌握知识。
学生们也自觉地利用课余时间进行复习，积极解答老师布置的作业和练习题。
他们相互之间还互相交流复习心得，共同进步。
终于，期末考试的那一天到来了。
当考卷分发到每一位学生手中时，紧张的气氛弥漫在整个考场。
学生们拿起笔，开始认真解答试题。
时间一分一秒地流逝，他们努力地完成每一道题目，希望能够取得一个满意的成绩。
考试结束后，学生们迫不及待地盼望着成绩的公布。
每个人都希望自己能够取得优异的成绩，为自己的努力和付出交上一份满意的答卷。
无论结果如何，学生们都将以积极的态度迎接未来的挑战，不断进步，追求更好的自己。
2020年山东省青岛市高三上学期期末考试，是一场重要的学业检阅，也是一个学生成长的历练之旅。
希望每一位学生都能从这次考试中汲取到经验和教训，不断提高自己的学习能力，迎接未来更多的挑战和机遇。
愿每一个学生都能勇往直前，书写自己美好的未来！。
【精品解析】山东省青岛市2020届高三数学上学期期末检测 文(教师版)
【精品解析】山东省青岛市2020届高三数学上学期期末检测试卷总体说明：本套试题紧靠高考出题模式，立足教材，紧扣考试大纲，很好地体现新课标对高中教学与学生能力的要求.知识点涉及多，题目跨度大，能很好的训练学生思维，反映学生的实际水平.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.参考公式：锥体的体积公式V =13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
柱体体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
台体体积公式1()3V S S S S h ''=++，S '、S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高.球的表面积公式24S r π=，体积公式343V r π=，r 是球的半径。
圆锥的侧面积为rl π，r 为圆锥底面半径，l 为母线.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“∈∃x R,0123=+-x x ”的否定是 A ．∈∃x R,0123≠+-x x B ．不存在∈x R, 0123≠+-x x C ．∈∀x R,0123=+-x x D ．∈∀x R, 0123≠+-x x答案：D解析：根据含有量词的命题的否定规律知D 正确.2.关于命题p ：A φφ=I ，命题q ：A A φ=U ，则下列说法正确的是 A ．()p q ⌝∨为假 B ．()()p q ⌝∧⌝为真 C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真答案：C解析：由题意得命题p ，q 均是真命题，又复合命题的真假判断可知C 项正确.3.已知tan()34πα+=，则αtan 的值为A ．21B ．21- C ．41D ．41-答案：A解析：tan()tan2144tan tan[()]44421tan()tan 44ππαππααππα+-=+-===++g . 4.已知cos (0)()(1)1(0)xx f x f x x π⎧=⎨-+>⎩≤，则44()()33f f +-的值为A ．21B ．21-C ．1-D ．1答案：D解析：3202022020220()()()|()|2323x x f x dx f x dx f x dx x --=+=++=-⎰⎰⎰.5.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是解析：由三视图可知，该集合体为底面是边长为20的正方形、高为20的四棱锥，1800020202033V =⨯⨯⨯=./()1cos ,(0,)f x x x π=-∈，易知/()0f x ≥在(0,)x π∈恒成立，所以min ()(0)0,(0,)f x f x π>=∈，∴1sin xy x=>，故选答案C.7.变量x ，y 满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，目标函数y x z +=2，则有A ．z z ,3min =无最大值B ．,12max =z z 无最小值C ．3,12min max ==z zD ．z 既无最大值，也无最小值答案：C解析：做出线性约束条件43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域，平移直线Y=-2x+z,当直线过点A 时，z 最大为12,过点B 时z 最小值为3.8.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ； ②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为 A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个答案：B解析：①b ，c 可能异面；②b ，c 可能异面，也可能平行.9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为 A ．32-B ．62-C 3D ．3-答案：D解析：由函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，可知2πϕ=，24πω=，∴2πω=，3A =()32f x x π=-，(1)3f =.10.点()2,1P -为圆()22125x y -+=内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为 A ．10x y +-= B. 230x y +-= C. 30x y --= D. 250x y --=答案：C解析：圆心坐标为（1,0）， 直线AB 的斜率为1,又过点()2,1P -， ∴直线AB 的方程为30x y --=.11.以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 A ．相交 B ．相离C ．相切D ．不确定答案：C解析：左焦点F 为(-c,0),渐近线方程为by x a=即0bx ay -=,∴圆心到直线的距离为22b a b=+，所以相切.12.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ= 其中是一阶整点函数的是 A ．①②③④ B ．①③④ C ．④ D ．①④答案：D解析：3()g x x =通过点（1,1），（2,8）等，故不是一阶整点函数；1()()3xh x =通过点（-1,3），（-2,9）等，故不是一阶整点函数.所以选D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 . 答案：14π15.已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm 42+的最小值为 . 答案： 4解析：点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则220m n +-=，即22m n +=，224224224m n m n m n ++≥⋅==.16.对于正项数列{}n a ，定义nn na a a a nH +⋯+++=32132为{}n a 的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为22+=n H n ，则数列{}n a 的通项公式为 . 答案：212n n a n+= 解析：1232232n n a a a na n =+++⋯++，∴ 21231232n a a a na n n +++⋯+=+，∴ 221121(1)(1)222n n na n n n n +=+----=，∴ 212n n a n+=.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知关于x 的一元二次函数.14)(2+-=bx ax x f（Ⅰ）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；（Ⅱ）设点(,)a b 是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，记{()A y f x ==有两个零点,其中一个大于1，另一个小于1},求事件A 发生的概率.则事件B 包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴()51153P B ==……6分 （Ⅱ）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)|00a b a b a b ⎧+-≤⎫⎧⎪⎪⎪Ω=>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，其面积188322SΩ=⨯⨯=……………………………………8分事件A构成的区域：()()()808000,,0010410a b a ba aA a b a bb bf a b⎧⎫+-≤⎧+-≤⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪>>⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬>>⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪<-+<⎩⎩⎩⎭⎩⎭由80410a ba b+-=⎧⎨-+=⎩,得交点坐标为319(,),55………………………………10分1131961(8)24540AS∴=⨯-⨯=，∴事件A发生的概率为961()1280ASP ASΩ==……12分解题说明：（1）利用古典概型求解即可.（2）根据几何概型求解即可.18．（本小题满分12分）已知函数2231()sin2(cos sin)122f x x x x=---，Rx∈,将函数()f x向左平移6π个单位后得函数()g x，设三角形ABC∆三个角A、B、C的对边分别为a、b、c.（Ⅰ）若7c=，()0f C=，sin3sinB A=，求a、b的值；（Ⅱ）若0)(=Bg且(cos,cos)m A B=u r，(1,sin cos tan)n A A B=-r，求m n⋅u r r的取值范围. 答案：（Ⅱ）由条件知()sin(2)16g x xπ=+-所以()sin(2)106g B Bπ=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π= 3(cos ,)2m A =u r ，3(1,sin cos )3n A A =-r 于是3313cos (sin cos )cos sin sin()23226m n A A A A A A π⋅=+-=+=+u r r …… 8分 5(0,)66B A ππ=∴∈Q ,得 ),6(6πππ∈+A ……………………………………………10分 ∴ ]1,0()6sin(∈+πA ，即](0,1m n ⋅∈u r r …………………………………………………12分解题说明：2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =---化为()sin(2)16f x x π=--，将C 带入，可求得C 的值,再利用余弦定理、正弦定理与已知条件得到关于a ，b 的方程组，求解即得a ，b 的值.根据0)(=B g 求出B 的值后，将m n ⋅u r r表示为A 的函数关系，根据A 的范围求解.19．（本小题满分12分） 设同时满足条件：①122++≥+n n n b b b ；②n b M ≤(N n +∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21nn nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列.∴1n nn a a a a -=⋅=； ……………………………………………4分（或做差更简单：因为0323135121121212>=-=-++++++n n n n n n b b b ，所以211112n n n b b b +++≥也成立) ②11133n n b =≤，故存在13M ≥； 所以符合①②,故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“嘉文”数列…………………12分解析说明：利用11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a 与1n a -之间的关系，利用等比数列的定义证明.根据所给定义证明即可. 解题说明：20. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，DA ⊥平面ABE ,2AE EB BC ===，BF ⊥平面ACE 于点F ，且点F 在CE 上.（Ⅰ）求证：DE BE ⊥；（Ⅱ）求四棱锥E ABCD -的体积；（Ⅲ）设点M 在线段AB 上，且AM MB =， 试在线段CE 上确定一点N ，使得//MN 平面DAE . 答案：解析：（Ⅰ）因为DA ⊥平面ABE ，BC ∥DA 所以AE BC ⊥，DA BE ⊥ 因为BF ⊥平面ACE 于点F ，AE BF ⊥………………………………………2分因为BC BF B =I ，所以AE ⊥面BEC ， 则AE BE ⊥因为AE AD A =I ，所以BE ⊥面DAE ，则DE BE ⊥…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）作EH AB ⊥，因为面ABCD ⊥平面ABE ，所以EH ⊥面AC 因为AE BE ⊥，2AE EB BC ===，所以2EH =…………………………6分1182222333E ABCD ABCD V EH S -=⋅=⨯⨯⨯=…………………………………8分（Ⅲ）因为BE BC =，BF ⊥平面ACE 于点F ，所以F 是EC 的中点设P 是BE 的中点，连接,MP FP …………………………………………………10分 所以MP ∥AE ,FP ∥DA因为AE I DA A =，所以MF ∥面DAE ，则点N 就是点F …………………12分 解题说明：（1）通过证BE ⊥面DAE ，从而得到DE BE ⊥.（2）利用体积公式求解. 21．（本小题满分12分） 已知函数21()22f x ax x =+， ()g x lnx =. （Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围； （Ⅱ）是否存在正实数a ，使得函数()()()(21)g x x f x a x 'Γ=-++在区间1(,)e e内有两个不同的零点？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．答案：解析：（Ⅰ）当0a =时，()2f x x =在[1,)+∞上是单调增函数，符合题意． ……………………………………………………………………………1分当0a ≠时，()y f x =的对称轴方程为2x a =-， 由于()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，所以21a -≤，解得2a ≤-或0a >， 综上，a 的取值范围是0a ≥，或2a ≤-． …………………………4分（Ⅱ）()(2)(21)lnx x ax a xΓ=-+++， 因()x Γ在区间(1,e e)内有两个不同的零点,所以()0x Γ=， 即方程2(12)0ax a x lnx +--=在区间(1,e e )内有两个不同的实根. …………5分 设2()(12)H x ax a x lnx =+-- (0)x >， 1()2(12)H x ax a x'=+--22(12)1(21)(1)ax a x ax x x x +--+-== ………7分 令()0H x '=，因为a 为正数，解得1x =或12x a=-（舍） 当1(,1)x e ∈时, ()0H x '<, ()H x 是减函数；当(1,)x e ∈时, ()0H x '>，()H x 是增函数. …………………………8分 为满足题意，只需()H x 在(1,e e)内有两个不相等的零点, 故 ()min 1()0,()10,()0,H e H x H H e ⎧>⎪⎪=<⎨⎪>⎪⎩解得1212-+<<e e e a …………12分 解题说明：根据函数的单调性与函数的导数之间的关系求解.构造函数2()(12)H x ax a x lnx =+--，利用导数求解.22. （本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>6椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值； ②已知点7(,0)3M -，求证：MA MB ⋅u u u r u u u r 为定值. 答案：2122631k x x k +=-+……………………………………………………………………7分 因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+，解得3k =±…………9分 （2）由（1）知2122631k x x k +=-+，21223531k x x k -=+ 所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++u u u r u u u r ……………11分 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++ 2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++。
数学(山东专用)-2020届高三上学期期末教学质量检测卷01(全解全析)
0
，∴ g(
f
( x))
e f (x)
m
，
∴ f (x) ln m ，作出函数 f (x) ， y ln m 的图象如下，
结合图象可知，存在实数 t
ln m(0
t
1)
，使得 x2
e2 x1
t
，故
x2
x1
t
1 ln t 2
，
令 h(t) t 1 ln t ，则 h(t) 1 1 ，故 h(t) 在 (0, 1 ]上单调递减，在 ( 1 ,1] 上单调递增，
所以函数 f (x) 的值域关于原点对称，对于 A，函数 y = x2 的值域为[0, ) ，不关于原点对称，不符
合题意；对于
B，函数
y
1 的值域为 (, 0) (0, ) ，关于原点对称，符合题意；对于 x 1
C，函数
y ln(2x 3) 的值域为 R ，关于原点对称，符合题意；对于 D，函数 y 2x 3 的值域为 R ，关于原
点对称，符合题意.故选 BCD．
12．ABD 【解析】选项 A，连接 BD，显然 O 为 BD 的中点，又 N 为 PB 的中点，所以 PD∥ON ，由线面 平行的判定定理可得 PD∥平面 OMN ；选项 B，由 M ，N 分别为侧棱 PA ，PB 的中点，得 MN∥AB ，
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3x b 的最短距离为
3，
31
所以 d r
2 3 ，即
3b 1
3 ，解得 b 2 或 b 4 3 2 .故选 D．
31
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山东省青岛市2020届高三上学期期末考试数学试题及答案
A．4
B．3
C．2
D．1
6．在 ABC 中， AB + AC = 2AD, AE + 2DE = 0，若EB = xAB + y AC ，则
A． y = 2x
B． y = −2x
C． x = 2 y
D． x = −2 y
7．已知双曲线
C
:
x2 a2
−
y2 b2
= 1,(a
0, b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2，O 为坐标原点，P
A．将
y
=
sin
2x
+
3
的图象
C2沿x
轴方向向左平移
12
个单位
B．
y
=
sin
2x
+
3
的图象
C2沿x
轴方向向右平移
11 12
个单位
C．先作 C2关于x
轴对称图象 C3 ，再将图象 C3沿x
轴方向向右平移 5 12
个单位
D．先作
C2
关于
x
轴对称图象
C3
，再将图象
是双曲线在第一象限上的点， PF1 =2 PF2 =2m,(m 0), PF1 PF2 = m2 ，则双曲线 C 的渐
1
近线方程为
A． y = 1 x B． y = 2 x
2
2
C． y = x
8．已知奇函数 f ( x) 是 R 上增函数， g ( x) = xf ( x) 则
D． y = 2x
A.
g
log3
1 4
2020年3月山东省青岛市西海岸新区(黄岛区)2020届高三毕业班模拟考试数学试题
值为__________．
15．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，满足 f 1 x f 1 x ，若 f 1 3 ，则
f 1 f 2 f 3 f 2021
.
16.已知三棱台 ABC A1B1C1 的上下底面均为正三角形，其中 AB 4 ， A1B1 2 ，
AA1 BB1 CC1 2 ，该三棱台外接球的表面积为
2 ，1 B. e2 e
2 ，1 C. e2 e
1 ，2 D. e2 e
6.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”
“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数 为（ ）
A. 216
1
，集合
B
x
|
log
x 1
2 ，，
2
则 (ðU A) B =( )
A． 0,1 3, 4 B． ,1 3, 4 C． 0,13, 4 D． ,1 3, 4
3.设
a
(
1 2
)
3
4，b
(
3 4
)
1 2
,
c
log
3
,则Biblioteka a,b,c
的大小关系为（
A． a b c
B． c a b
C． b c a
B. 480
C. 504
D. 624
7．设 F1 和 F2 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的两个焦点，若点 P 0, 2b ， F1, F2 是等
腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（ ）
2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准
理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示 数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二 填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=， 则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的 五位数，其中奇数有 个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这 个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数． （1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合； （2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图 主视图 俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分． （2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分 答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分 随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个 人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分 评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分． （2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）． 依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分 当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ． 又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱 锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角． 在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示． 当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ， 故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分 （2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分 又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。
2020-2021学年山东省青岛市高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若全集U=R，集合A={x∈R|x2+x−6≥0}，集合B={x∈R|lg(x−1)<0}，则(∁R A)∩B=()A. (−1,2)B. (1,2)C. (−3,2)D. (−3,1)2.1+sin70°2−2sin210∘=()A. 2B. −1C. 1D. 123.“∀x>0，a≤x+4x+2”的充要条件是()A. a>2B. a≥2C. a<2D. a≤24.《莱茵德纸草书》(Rℎind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为()A. 3B. 4C. 8D. 95.已知双曲线Γ：x2cos2θ−y2sin2θ=1(0<θ<π2)的焦点到渐近线的距离等于12，则θ=()A. π3B. π4C. π6D. π126.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)可能为()A. f(x)=cosx+12x+2−x B. f(x)=xcosx+sinx2x+2−xC. f(x)=cosx+xsinx2x−2−x D. f(x)=cosx+xsinx2x+2−x7.设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是()A. 若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB. 若l//α，α//β，则l⊂βC. 若l//α，α⊥β，则l⊥βD. 若l⊥α，α//β，则l⊥β8.某种芯片的良品率X服从正态分布N(0.95,0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元.则每张芯片获得奖励的数学期望为()元附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．A. 52.28B. 65.87C. 50.13D. 131.74二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知向量a ⃗ ⋅b ⃗ =1,|a ⃗ |=1,|a ⃗ −b ⃗ |=√3，设a ⃗ ,b ⃗ 所成的角为θ，则( )A. |b ⃗ |=2B. a ⃗ ⊥(b ⃗ −a ⃗ )C. a ⃗ //b ⃗D. θ=60°10. 定义在R 上的函数f(x)满足：x 为整数时，f(x)=2021；x 不为整数时，f(x)=0，则( )A. f(x)是奇函数B. f(x)是偶函数C. ∀x ∈R ，f(f(x))=2021D. f(x)的最小正周期为111. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(其中ω>0，0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴之间的距离π2,f(π6)=1，下列结论正确的是( )A. f(x)=sin(2x +π6)B. 将函数y =f(x)的图象向右平移π6个单位后得到函数y =sin2x 的图象 C. 当x ∈(0,π2)时，f(x)有且只有一个零点 D. f(x)在[0,π6]上单调递增12. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2√3的等边三角形，侧棱长为4√3，则( )A. 直线A 1C 与直线BB 1之间距离的最大值为3B. 若A 1在底面ABC 上的投影恰为△ABC 的中心，则直线A 1A 与底面所成角为60°C. 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与A 1C 所成的角为30°D. 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知i 是虚数单位，复数z =1i−1+i ，则|z|= ______ ．14. 若二项式(1+2x)n (n ∈N ∗)的展开式中所有项的系数和为243，则该二项式展开式中含有x 3的系数为______ ．15. 设函数f(x)=e x (x +1)的图象在点(0,1)处的切线为y =ax +b ，若方程|a x −b|=m 有两个不等实根，则实数m 的取值范围是______ ．16. 如图所示，在平面直角坐标系中，Q(0,−2√55),L(−3,0)，圆Q 过坐标原点O ，圆L 与圆Q 外切.则：(1)圆L 的半径等于______ ；(2)已知过点L 和抛物线x 2=2py(p >0)焦点的直线与抛物线交于A ，B ，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，则p = ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在①4S n=a n2+2a n，②a1=2，na n+1=2S n这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，____．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足log13b n=12a n−1，且cn=a n b n，求数列{c n}的前n项和M n．18.在如图所示的平面图形中，AB=2，BC=√3,∠ABC=∠AEC=π6，AE与BC交于点F，若∠CAE=θ，θ∈(0,π3)．(1)用θ表示AE，AF；(2)求AEAF取最大值时θ的值．19.如图，在直角梯形ABED中，BE//AD，DE⊥AD，BC⊥AD，AB=4，BE=2√3.矩形BEDC沿BC翻折，使得平面ABC⊥平面BCDE．(1)若BC=BE，证明：平面ABD⊥平面ACE；(2)当三棱锥A−BCE的体积最大时，求平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．20.魔方(Rubik′s Cube)，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺⋅鲁比克(Rubik Ernő)教授于1974年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为3×3×3的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒．(1)某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：x(天)1234567y(秒)99994532302421现用y =a +bx 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y 约为多少秒(精确到1)？ 参考数据(其中z i =1x i)：参考公式：对于一组数据(u 1,v 1)，(u 2,v 2)，…，(u n ,v n )，其回归直线v ̂=a ̂+β̂u 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β̂=∑u i n i=1v i −muv−∑u i 2n i=1−mu−2，α̂=v −−β̂u −．(2)现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动90°，记顶面白色色块的个数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)．21. 已知函数f(x)=bx 22−ax(lnx −1)−e 22的图象在x =1处的切线斜率等于1.其中e =2.718…为自然对数的底数，a ，b ∈R ．(1)若a =0，当x >e 时，证明：f(x)<e x −e 22；(2)若a >e ，证明：f(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，在(x 1,x 2)上恰有一个零点x 0，且x 1x 2>x 02．22.已知O为坐标原点，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=√22，点P在椭圆C上，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，PF1的中点为Q，△OF1Q周长等于√3+√62．(1)求椭圆C的标准方程；(2)W为双曲线D：y2−x24=1上的一个点，由W向抛物线E：x2=4y做切线l1，l2，切点分别为A，B．(ⅰ)证明：直线AB与图x2+y2=1相切；(ⅰ)若直线AB与椭圆C相交于M，N两点，求△OMN外接圆面积的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】 【分析】求出集合A ，集合B ，进而求出∁U A ，由此能求出(∁R A)∩B ．本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【解答】解：∵全集U =R ，集合A ={x ∈R|x 2+x −6≥0}={x|x ≤−3或x ≥2}， 集合B ={x ∈R|lg(x −1)<0}={x|1<x <2}， ∴∁U A ={x|−3<x <2}，∴(∁R A)∩B ={x|1<x <2}=(1,2)． 故选：B ．2.【答案】C【解析】解：1+sin70°2−2sin 210∘=1+cos20°2−2sin 210∘=1+(1−2sin 210°)2−2sin 210∘=1．故选：C ．利用诱导公式，二倍角公式化简即可求值得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：x >0，x +4x+2=x +2+4x+2−2>2√(x +2)4x+2−2=2， 当且仅当x =0时才取到2，∴“∀x >0，a ≤x +4x+2”的充要条件是a ≤2． 故选：D ．要使“∀x >0，a ≤x +4x+2”成立，只需求出x +4x+2的最小值即可，结合充要条件的定义即可求出所求． 本题主要考查了基本不等式，以及充分条件、必要条件的应用，同时考查了学生逻辑推理的能力和运算求解的能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：设该等比数列为{a n}，其公比为q，由题意知，S5=a1(1−q5)1−q =93，a1+a2=34a3．所以a1+a1q=34a1q2．因为a1≠0，所以1+q=34q2．解得q=2或q=−23(舍去)．当q=2时，a1(1−25)1−2=93，解得a1=3．故选：A．由题意知，S5=a1(1−q5)1−q =93，a1+a2=34a3.据此列出关于公比q的方程，通过解方程求得q的值，继而求得a1的值即可．本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．5.【答案】C【解析】解：由题意知，双曲线的焦点坐标为(±1,0)，渐近线方程为y=±sinθcosθx=±x⋅tanθ，∵双曲线的焦点到渐近线的距离为12，∴√tan2θ+1=12，解得tanθ=±√33，∵0<θ<π2，∴tanθ=√33，即θ=π6．故选：C．由双曲线的方程可得其焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式列得关于θ的方程，解之即可．本题考查双曲线的几何性质，主要包含焦点、渐近线等，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数的定义域为R，函数关于y轴对称，则函数为偶函数，则C不成立，C函数的定义域为{x|x≠0}，排除C；对于B，函数f(−x)=− xcosx−sinx2−x+2x=−f(x)，则B函数为奇函数，不满足条件，排除B；对于A，函数中，f(x)≥0恒成立，不存在负值，排除A．故选：D．结合图象特点，分别进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，分别利用函数定义域，对称性以及取值范围是否满足是解决本题的关键，是基础题．7.【答案】D【解析】解：若l⊥α，α⊥β，则l⊂β或l//β，故A错误；若l//α，α//β，则l⊂β或l//β，故B错误；若l//α，α⊥β，则l⊥β或l//β，故C错误；若l⊥α，α//β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故D正确；故选：D本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，C中由条件均可能得到l//β，即A，B，C三个答案均错误，只有D满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理(a⊂α,b⊄α,a//b⇒a//α)；③利用面面平行的性质定理(α//β,a⊂α⇒a//β)；④利用面面平行的性质(α//β,a⊄α,a⊄,a//α⇒a//β).线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．8.【答案】B【解析】解：因为X～N(0.95,0.012)，所以μ=0.95，μ+σ=0.96，所以P(X≤0.95)=P(X≤μ)=0.5，P(0.95<X≤0.96)=P(μ<X≤μ+σ)=12P(μ−σ<X≤μ+σ)=12×0.6826=0.3413；P(X>0.96)=12[1−P(μ−σ<X≤μ+σ)]=12×(1−0.6826)=0.1587；所以每张芯片获得奖励的数学期望为E(Y)=0+100×0.3413+200×0.1587=65.87(元)．故选：B．根据X～N(0.95,0.012)得出μ=0.95，μ+σ=0.96，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望．本题考查了正态分布列的定义与应用问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：根据题意，设|b⃗ |=t，对于A，若a⃗⋅b⃗ =1,|a⃗|=1,|a⃗−b⃗ |=√3，则|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =3，即3=1+t2−2，解可得t=2，即|b⃗ |=2，A正确，对于B，a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=a⃗⋅b⃗ −a⃗2=1−1=0，则a⃗⊥(b⃗ −a⃗ )，B正确，对于C、D，又由|a⃗|=1，|b⃗ |=2，a⃗⋅b⃗ =1，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=12，又由0°≤θ≤180°，则θ=60°，则C错误，D正确．故选：ABD．根据题意，设|b⃗ |=t，由向量数量积的计算性质可得|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =3，求出t的值，计算a⃗⋅(b⃗ −a⃗ )=0，可得a⃗⊥(b⃗ −a⃗ )，由向量数量积公式计算θ的值，可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算以及向量垂直的判断，属于基础题．10.【答案】BCD【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对于f(x)，有f(1)=2021，f(−1)=2021，f(−x)=−f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误，对于B，对于f(x)，若x为整数，则−x也是整数，则有f(x)=f(−x)=2021，若x不为整数，则−x也不为整数，则有f(x)=f(−x)=0，综合可得f(x)=f(−x)，f(x)是偶函数，B正确，对于C，若x为整数，f(x)=2021，x不为整数时，f(x)=0，总之f(x)是整数，则f(f(x))=2021，C正确，对于D，若x为整数，则x+1也是整数，若x不为整数，则x+1也不为整数，总之有f(x+1)=f(x)，f(x)的周期为1，若t(0<t<1)也是f(x)的周期，而x和x+nt可能一个为整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x+nt)，故f(x)的最小正周期为1，D正确，故选：BCD．根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性的分析，涉及分段函数的性质以及应用，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=sin(ωx+φ)(其中ω>0，0<φ<π)图象的两条相邻的对称轴之间的距离π2,f(π6)=1，所以T=π，对于A：根据周期公式，解得ω=2．故sin(2×π6+φ)=1，解得φ=π6．故函数的关系式为f(x)=sin(2x+π6)，故A正确；对于B：函数的图象向右平移π6个单位得到g(x)=sin(2x−π3+π6)=sin(2x−π6)的图象，故B错误；对于C：由于x∈(0,π2)，所以2x+π6∈(π6,7π6)，当x=5π12时，函数f(5π12)=0，故C正确；对于D：当x∈[0,π6]时，2x+π6∈[π6,π2]，故函数在该区间上单调递增，故D正确；故选：ACD．首先利用函数的性质求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用确定结果．本题考查的知识要点：三角函数的求法，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．12.【答案】AD【解析】解：取AC的中点M，A1C的中点M1，则MM1//AA1//BB1，在正△ABC中，BM=2√3⋅sin60°=2√3×√32=3，直线A1C与直线BB1的距离≤点M1与直线BB1的距离≤点M到直线BB1的距离≤BM=3，故直线A1C与直线BB1之间距离的最大值为3，故选项A正确；设A1在底面ABC上的投影为点O，则O为△ABC的中心，且A1O⊥平面ABC，故∠A1AO为直线A1A与底面ABC所成角，在正△ABC中，AO=23×√32×2√3=2，所以sin∠A1AO=A1OA1A =√A1A2−AO2A1A=√48−44√3=√336≠√32，所以直线A1A与底面所成角不是60°，故选项B错误；在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB//A1B1，所以∠B1A1C为异面直线A1B1与A1C所成的角，连结B1C，因为三棱柱的侧棱垂直于底面，所以在Rt△A1AC中，A1C=√AA12+AC2=√48+12=2√15，在Rt△B1BC中，B1C=√BB12+BC=√48+12=2√15，在△A1B1C中，cos∠B1A1C=A1B12+A1C2−B1C22A1B1⋅A1C =2×2√3×4√3=14≠√32，所以异面直线AB与A1C所成的角不可能为为30°，故选项C错误；由选项B中的分析可知，△ABC的中心为O，向上作垂线，则垂线垂直平面ABC，过平面ACC1A1的中心作垂线，则垂线垂直平面ACC1A1，设两条垂线的交点为O′，则O′为外接球的球心，故外接球的半径为R=√O′O2+OC2=√(12AA1)2+(AO)2=4，所以外接球的表面积S=4πR2=64π，故选项D正确．故选：AD．利用直线A1C与直线BB1的距离≤点M1与直线BB1的距离≤点M到直线BB1的距离≤BM，即可判断选项A；设A1在底面ABC上的投影为点O，得到∠A1AO为直线A1A与底面ABC所成角，在△A1AO中利用边角关系求解，即可判断选项B；利用已知条件确定∠B1A1C为异面直线A1B1与A1C所成的角，在△A1B1C中求解即可判断选项C；先确定外接球的球心O′，然后求出外接球的半径，再利用外接球的表面积公式，求解即可判断选项D．本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面角的求解、异面直线所成角的求解、外接球的表面积的求解，综合性强，对学生掌握知识的广度和深度都有很高的要求，属于中档题．13.【答案】√22【解析】解：因为z =1i−1+i =i+1(i−1)(i+1)+i =i+1−2+i =−12+12i ，所以|z|=√(12)2+(12)2=√22．故答案为：√22．根据复数的运算法则化简复数z ，然后根据复数模的公式进行求解即可．本题主要考查了复数的运算法则，以及复数模的公式，同时考查了学生的运算求解的能力，属于基础题．14.【答案】80【解析】解：令x =1，可得(1+2)n =243，解得n =5，则二项式(1+2x)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (2x)r =2r C 5r x r， 所以二项式(1+2x)5的展开式中含有x 3的系数为23C 53=80．故答案为：80．令x =1，可求得n =5，由二项展开式的通项公式即可求得x 3的系数． 本题主要考查二项式定理的性质及其应用，考查了计算能力，属于基础题．15.【答案】(0,1)【解析】解：由f(x)=e x (x +1)，得f′(x)=e x (x +2)， 得a =f′(0)=2，且b =1． 作出函数y =|2x −1|的图象如图，由图可知，要使方程|a x −b|=m 有两个不等实根， 则实数m 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．由题意可得a 与b 的值，画出函数y =|2x −1|的图象，数形结合得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．16.【答案】√5 2【解析】解：(1)由已知可得圆Q 的半径为r =2√55， 设圆L 的半径为R ，因为圆Q 与圆L 外切，则|LQ|=R +r ，即√(−3−0)2+(0+2√55)2=R +2√55，解得R =√5；(2)由抛物线方程可得焦点F 的坐标为(0,p2)， 则过点L(−3,0)和F 的直线的斜率k =p 2−00−(−3)=p6， 则直线的方程为：y =p2(x +3)，代入抛物线方程可得： x 2−p 2x −3p 2=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=p 2，x 1x 2=−3p 2，所以y 1y 2=x 12x 224p 2=9p 24，又OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x 1x 2+y 1y 2=−3p 2+9p 24=−3，解得p =2， 故答案为：√5；2．(1)利用圆与圆外切的性质即可求解；(2)求出抛物线的焦点坐标，由此求出直线的斜率，即可求出直线方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及向量的坐标运算即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到圆与圆外切的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)选①时，当n =1时，4 a 1=a 12+2a 1，因为a 1>0，所以a 1=2， 由4S n =a n 2+2a n ，① 可得4S n+1=a n+12+2a n+1，②②−①得4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ， 整理可得(a n+1+a n )⋅(a n+1−a n −2)=0， ∵a n >0，∴a n+1−a n =2，所以数列{a n }是以2为首项，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ． 选②时，因为na n+1=2S n ，①所以当n≥2时，(n−1)a n=2s n−1，②①−②得：na n+1=(n+1)a n，即 a n+1a n =n+1n，①中令n=1，可得a2=2a1满足 a n+1a n =n+1n，当n≥2时，a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅a n−2a n−3…a3a2⋅a2a1⋅a1=nn−1⋅n−1n−2⋅n−2n−3…32⋅21×1=2n，又a1=2满足a n=2n，综上，a n=2n．(2)因为满足log13b n=12a n−1，∴bn=(13)n−1，于是c n=a n b n=2n×(13)n−1，M n=2×1+4×13+6×(13)2+⋯+2n×(13)n−1…③1 3M n=2×13+4×(13)2+6×(13)3+⋯+2n×(13)n…④③−④得23M n=2+2(13+132+133+⋯+13n−1)−2n×13n=2×1−1 3n1−13−2n×13n．∴M n=92−(32+n)×(13)n−1．【解析】(1)选①时，由4S n=a n2+2a n，可得4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减整理可得a n+1−a n=2，即可求解；所以数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，选②时，由na n+1=2S n，可得n−1)a n=2s n−1，两式相减可得 a n+1a n =n+1n，利用累乘法即可求解；(2)c n=a n b n=2n×(13)n−1，利用错位相减法即可求解．本题考查了数列递推式，错位相减求和，考查了计算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由题意可知在△ABC中，由余弦定理可知AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB，可得AC=1，且∠ACB=π2，在△ACE中，因为E=π6，∠CAE=θ，所以∠ACE=5π6−θ，由正弦定理可得：AEsin∠ACE =ACsinE，所以AE=2sin(5π6−θ)，在Rt△ACF中，AF=ACcosθ=1cosθ．(2)由(1)可知，AEAF =2cosθ⋅sin(5π6−θ)，θ∈(0,π3)，所以AEAF =2cosθ⋅sin(5π6−θ)=cos2θ+√3sinθcosθ=1+cos2θ+√3sin2θ2=12+sin(2θ+π6)，因为θ∈(0,π3)，所以2θ+π6∈(π6,5π6)，当2θ+π6=π2时，即θ=π6时，sin(2θ+π6)取得最大值1，所以AEAF 取最大值时，θ=π6．【解析】(1)由题意利用余弦定理可求AC的值，∠ACB=π2，可求∠ACE=5π6−θ，由正弦定理可得AE=2sin(5π6−θ)，在Rt△ACF中，可求AF=ACcosθ=1cosθ．(2)由(1)利用三角函数恒等变换的应用可求AEAF =12+sin(2θ+π6)，可求范围2θ+π6∈(π6,5π6)，利用正弦函数的性质可求AEAF取最大值时θ的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了计算能力和函数思想，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵BC=BE，∴矩形BCDE为正方形，∴BD⊥CE，∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，AC⊥BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，又CE∩AC=C，CE、AC⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，∵BD⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACE．(2)在△ABC中，设AC=x，则BC=√16−x2(0<x<4)，∴S△ABC=12AC⋅BC=12x⋅√16−x2=12√x2(16−x2)≤12×x2+16−x22=4，当且仅当x=√16−x2，即x=2√2时，等号成立，此时△ABC的面积有最大值4．∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，BE⊥BC，BE⊂平面BCDE，∴BE ⊥平面ABC ，∴V A−BCE =V E−ABC =13S △ABC ⋅BE ≤13×4×2√3=8√33， 故当三棱锥A −BCE 的体积最大时，AC =2√2． ∵BE//CD ，∴CD ⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0，0)，A(2√2,0，0)，D(0,0，2√3)，E(0,2√2,2√3)， ∴AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2√2,0，2√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√2,0)， 设平面ADE 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−2√2x +2√3z =02√2y =0，令x =√3，则y =0，z =√2，∴m ⃗⃗⃗ =(√3,0，√2)， ∵CD ⊥平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，2√3)，∴cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√3×√22√3×√5=√105， 故平面ADE 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为√105．【解析】(1)易知BD ⊥CE ，由平面ABC ⊥平面BCDE ，推出AC ⊥平面BCDE ，可知AC ⊥BD ，再结合线面和面面垂直的判定定理，得证；(2)先由面面垂直的性质定理证明BE ⊥平面ABC ，再结合基本不等式和等体积法求三棱锥A −BCE 的体积最大时，AC 的长，然后以C 为原点建立空间直角坐标系，求得平面ADE 的法向量m⃗⃗⃗ ，而平面ABC 的一个法向量为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，最后由cos <CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >=CD ⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意可知：y −=99+99+45+32+30+24+217=50，b ̂=∑z i 7i=1y i −7z −y−∑z i 27i=1−7z−=184.5−7×0.37×500.55=550.55=100，所以a =y −−bz −=50−100×0.37=13， 因此y 关于x 的回归方程为：y =13+100x，所以最终每天魔方还原的平均速度y 约为13秒； (2)由题意可知：X 的可能取值为3，4，6，9，P(X=3)=A416×6=19，P(X=4)=2A416×6=29，P(X=6)=A41(1+A21)+A21A416×6=59，P(X=9)=A21A216×6=19，所以X的分布列为：数学期望为E(X)=3×19+4×29+6×59+9×19=509．【解析】(1)利用题中的数据清除y的平均值，进而可以求出b的值和a的值，即可求解；(2)写出X的可能取值，求出对应的概率，进而可以求解．本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了线性回归方程的应用，属于中档题．21.【答案】证明：(1)由题意得：f′(x)=bx−alnx，故f′(1)=b=1，解得：b=1，若a=0，则f(x)=x2−e22，由f(x)<e x−e22，得：e x>x2，即证e x−x2>0，设g(x)=e x−x2，∵g′(x)=e x−2x(x>e)，设m(x)=g′(x)=e x−2x，则m′(x)=e x−2>0，故m(x)在(e,+∞)递增，故m(x)>m(e)>0，故g(x)在(e,+∞)递增，故g(x)>g(e)>0，故e x>x2，即f(x)<x2−e22；(2)令n(x)=f′(x)=x−alnx，则n′(x)=1−ax =x−ax(x>0)，当x∈(0,a)时，n′(x)<0，当x∈(a,+∞)时，n′(x)>0，故f′(x)在(0,a)递减，在(a,+∞)递增，故f′(x)≥f′(a)=a−alna，由于a>e，故a−alna=a(1−lna)<0，又f′(1)=1>0，f′(e)=e−a<0，f′(e a)=e a−a2>0，故f′(x)有且只有2个零点，设为x1，x2(x1<e<a<x2)，当x∈(0,x1)时，f′(x)>0，f(x)在(0,x1)递增，当x ∈(x 1,x 2)时，f′(x)<0，f(x)在(x 1,x 2)递减， 当x ∈(x 2,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(x 2,+∞)递增， 又∵f(e)=0，故f(x)有且只有2个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)且在(x 1,x 2)上恰有1个零点x 0=e ， ∵x 1=alnx 1，x 2=alnx 2，∴x 1−x 2=a(lnx 1−lnx 2)，x 1+x 2=a(lnx 1+lnx 2)， 故lnx 1+lnx 2lnx1−lnx 2=x 1+x 2x 1−x 2，故lnx 1+lnx 2=(x 1+x2x 1−x 2)(lnx 1−lnx 2)，令t =x1x 2∈(0,1)，则ℎ(t)=lnt −2(t−1t+1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，故ℎ(t)在(0,1)递增，故ℎ(t)<ℎ(1)<0，故lnx 1+lnx 2=(t+1t−1)lnt >2，即lnx 1x 2>2，故x 1x 2>e 2=x 02．【解析】(1)求出函数的导数，计算f′(1)，得到关于b 的方程，求出b 的值，求出f(x)的解析式，证明结论成立即可；(2)令n(x)=f′(x)=x −alnx ，根据函数的单调性得到f′(x)有且只有2个零点，设为x 1，x 2(x 1<e <a <x 2)，求出x 0=e ，得到lnx 1+lnx 2>2，从而证明结论成立．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，换元思想，是难题．22.【答案】解：(1)设|F 1F 2|=2c ，因为Q 为PF 1的中点，所以△OF 1Q 的周长为|F 1Q|+|OQ|+|QF 1|=c +|F 2P|+|F 1P|2=a +c ，所以{a +c =√3+√62c a =√22，解得a =√3，b =c =√62，所以椭圆C 的方程为x 23+2y 23=1．(2)(ⅰ)证明：由x 2=4y 得y =x 24，求导得y′=x2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则直线l 1：y −y 1=x 12(x −x 1)，即y =x 12x −x 124，同理：l 2=x 22x −x 224，设W(x 0,y 0)，因为W 为l 1，l 2的交点， 所以x 0=x 1+x 22，y 0=x 1x 24，由题知直线AB 的斜率存在，设它的方程为y =kx +m ， 将y =kx +m 代入x 2=4y 得：x 2−4kx −4m =0， 所以x 0=2k ，y 0=−m ，因为y 02−x 024=1，所以m 2=1+k 2，所以圆心O 到直线AB 的距离d =√1+k 2=1=r ， 所以直线AB 与圆O ：x 2+y 2=1相切． (ⅰ)将y =kx +m 与x 23+2y 23=1联立得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−3=0，由韦达定理可得x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−31+2k 2，因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+mk(x 1+x 2)+m 2， =3m 2−3k 2−31+2k 2=0，所以OM ⊥ON ， 又因为|MN|=2√(1+k2)(6k 2−2m 2+3)1+2k 2=2|m|√4m 2+32m 2+1，方法一：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，所以|MN|=√2⋅√2m 2(4m 2−3)2m 2−1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，所以0<t <2或0<t <√5−2， |MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)=√2⋅√−(t −12)2+94，当t =12时，即m =√62时，|MN|有最大值，且最大值3√22，所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22，所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．方法二：由(ⅰ)知：方程x 2−4kx −4m =0的△=16(k 2+m)=16(m 2+m −1)>0且4m 2−3>0， 解得√32<m 或m <−√5+12，|MN|=√2⋅√(1+t)(2−t)≤√2⋅(2m 2+4m 2−3)2×(2m 2−1)=3√22， 当且仅当2m 2=4m 2−3，即m =√62(m =−√62舍)，第21页，共21页 所以Rt △OMN 外接圆直径MN 的长度最大值为3√22， 所以△OMN 外接圆面积的最大值等于9π8．【解析】(1)根据题意可得{a +c =√3+√62c a =√22，解得a ，c ，再由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程．(2)(ⅰ)根据题意可得y =x 24，求导得y′=x 2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线l 1，l 2的方程，联立求出l 1与l 2交点W(x 0,y 0)的坐标，有点W 在双曲线上，推出m 2=1+k 2，进而有点到直线的距离公式可得圆心O 到直线AB 的距离d =2=1=r ，即可得出答案．(ⅰ)联立直线ABy =kx +m 与x 23椭圆的方程得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，计算得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，推出OM ⊥ON ，写出弦长|MN|=2|m|√4m 2+32m 2+1=√2√(1+12m 2−1)(2−12m 2−1)，令t =12m 2−1，0<t <2或0<t <√5−2，再由配方法可得|MN|的最大值．方法二：同方法一解得m 的取值范围，再由基本不等式可得|MN|的最大值，进而求出△OMN 外接圆面积的最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
数学(山东专用)- 2020届高三上学期期末教学质量检测卷02(考试版)【测试范围：高中全部内容】
数学试题 第 1页（共 4页）
3
A．
2
B． 5 1 2
C．2
D． 3 1 2
8．已如三棱锥 D−ABC 的四个顶点在球 O 的球面上，若 AB AC BC DB DC 1，当三棱锥 D−ABC
的体积取到最大值时，球 O 的表面积为
5
A．
3
B．2π
C．5π
20
D．
3
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．命题：“
x0
R
，使得
x02
x0
1 4
0
”的否定是_________.
14．为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园．针对公园中的体育设施
需求，某社区采用分层抽样的方法对于 21 岁至 65 岁的居民进行了调查．已知该社区 21 岁至 35 岁的居
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
C．1
D． i
3．已知 cos2 sin ，则 cos 2
A． 5 1 2
B． 5 1 2
1
C．
2
D． 5 2
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c f (2020) ，则（ ）
A． a b c
B． a c b
C． c b a
D． b c a
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9．已知点 F (1,0) 为曲线 C 的焦点，则曲线 C 的方程可能为（ ）
点，则 AB (AC AE) （ ）
A． 20
B．16
C．12
D． 8
6．已知函数
f
(x)
x 1 | x
|
，则不等式
f
(x
3)
f
(2x)
0
的解集为（
）
A． (, 3)
B． (,1)
C． (3, )
D． (1, )
7．三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是边长为 3 的等边三角形，该三棱锥的所有顶点均在
这100 名学生的测试成绩的统计结果按如下方式分
成八组：第一组[60, 70) ，第二组[70,80) ，第三组
[80, 90) ，……．如图是按上述分组方法得到的频率
分布直方图的一部分．则第七组的频数为（ ）
A． 8
B．10
C．12
D．16
高三数学第 1 页 共 6 页
4．设函数
f
(x)
的定义域为 R
半径为 2 的球上，则三棱锥 P ABC 的体积最大值为（ ）
A． 2 3 3 4
B． 3 3 4
C． 3 2 3 4
D． 9 6 3 4
8 ． 已 知 定 义 在 R 上 函 数 f (x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 ， 满 足 f (1 x) f (1 x) ，
f (x) f (x) ，且 f (x) 在 [0,1] 上单调递增，若 a f (log2 3) ， b f ( 10) ，
是以 BC 为直径的圆上一段圆弧， BA 是以 OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构
成曲线W ．则下述正确的是（ ）
A．曲线W 与 x 轴围成的面积等于 2 ；
y
B．曲线W 上有 5 个整点（横纵坐标均为整数的点）；
C
B
C． CB 所在圆的方程为： x 2 ( y 1)2 1 ；
D． CB 与 BA 的公切线方程为： x y 2 1 ．
B．平面 BMD1 截正方体所得的截面为三角形
C．异面直线 AD1 与 A1C1 所成的角为 3
D．| MB | | MD1 | 的最小值为 5
11．对于函数 f (x) 3 sin(x ) 1 （其中 0 ），下列结论正确的是（ ） 3
A．若 2 ， x [0, ] ，则 y f (x) 的最小值为 1 ；
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．集合 A {x R | x2 x 2 0} ，集合 B {x R | e x e} ，则 A B （ ）
A． (1,2)
B． (1, 2]
C．[1, 2]
D．[1, 2)
A． y2 4x
B． x2 4y
C．
x2 cos2
y2 sin2
1(0
)
2
D．
x2 cos2
y2 sin2
1(0
)
2
高三数学第 2 页 共 6 页
10．在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 M 在棱 CC1 上，则下列结论正确的是
（）
A．直线 BM 与平面 ADD1A1 平行
2．已知
i
是虚数单位，复数
ai 1 i
(a
R
)
为纯虚数的充要条件是（
A． a 2
B． a 1
C． a 1
） D． a 2
Hale Waihona Puke 3．某校高三年级的学生参加了一次数学测试，学生的成绩全部介于 60 分到140 分之间（满
分150 分），为统计学生的这次考试情况，从中随机
抽取100 名学生的考试成绩作为样本进行统计．将
D
O
A
x
三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若命题“ x0 R ，x02 2x0 a 0 ”为假命题，则实数 a 的取值范围是
．
14．已知等比数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 3S2
2S1
0 ，则 a2 a1
．
15 ． 若 二 项 式 (1 3x)n (n N*) 的 展 开 式 中 所 有 项 的 系 数 和 为 32 ， 则
，满足
f
(x
2)
2
f
(x) ，且
f
(x)
2x1, x
ln( x
(0,1)
2), x 1,
2
．
则 f (e) （ ）
A． 2e1
B． 2e
C． 2e1
D． ln(e 2)
5．在直角梯形 ABCD 中， AB 4 ， CD 2 ， AB // CD ， AB AD ， E 为 BC 的中
2019-2020 学年度第一学期期末学业水平检测
高三数学试题
本试卷 6 页，22 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．
注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡
上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置； 2．作答选择题时：选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信
n
；该二项式展开式中含有 x3 项的系数为
．
高三数学第 3 页 共 6 页
16．黄金分割比
5 1 0.618 被誉为“人间最巧的比例”．离心率 e
5 1
的椭
2
2
圆被称为“优美椭圆”，“优美椭圆” C :
2
2
B．若 2 ，则函数 y
3 sin 2 x 1的图象向右平移 个单位可以得到函数y f (x) 的图象；
3
C．若
2 ，则函数
y
f
(x) 在 (0,
)
上单调递增；
2
D．若函数
y
f
(x) 的一个对称中心到与它最近一条对称轴的距离为
，则
2．
4
12．如图 A(2, 0), B(1,1), C(1,1), D(2, 0) ， CD 是以 OD 为直径的圆上一段圆弧， CB
息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选 择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以 上要求作答无效；
3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．