山东省德州市第五中学2015-2016学年度上学期九年级一元二次方程教实际问题新2【数学】
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳
九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳实际问题与一元二次方程题型归纳总结一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，可归纳为七个步骤：“审、找、设、列、解、验、答”。
1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；2）找：找出等量关系；3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；4）列：列出一元二次方程；5）解：求出所列方程的解；6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7）答：作答。
二、典型题型1.数字问题例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调换位置后得到的两位数。
练：1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。
2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）A。
25.B。
36.C。
25或36.D。
-25或-362.传播问题公式：(a+x)n=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。
例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？例4：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A。
8.B。
9.C。
10.D。
11练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题1.循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)和双循环问题n(n-1)。
例5：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？例6：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？例7：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？例8：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）A。
【学海风暴】2015-2016学年九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程课件 (新版)新人教版
新课讲解
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额 较大的药品,它的成本下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本 下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
新课讲解
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边 衬的宽度?（结果保留小数点后一位） 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm. 依题意得 3
解：设平均每月降价的百分数为 x ，又设两个月前的价格为 a 元，则现在的价格为 a(1 36%) 元， 根据题意，得 a(1 x)2 a(1 36%)，
2 ∴ (1 x ) 1 36% ∵a 0 ∴1 x 0.8 ∴ x1 0.2 x2 1.8 x2 1.8不合题意舍去．
27
9x 7x
3 3 x1 2
4
27 21
解得
3 3 x2 (不合题意, 舍去) 2
新课讲解
3 3 27 9 故上下边衬的宽度为: 27 9 x 2 54 27 3 1.8 2 2 4 3 3 21 7 21 7 x 42 21 3 2 左右边衬的宽度为: 1.4 2 2 4
∴ x 0.2 20% 答：平均每月降价 20％ ．
课堂练习
4.学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的 长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花 圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使 它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平 方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况 下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能， 请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程的应用教案青岛版
一元二次方程的应用教学目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养用数学的意识．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积及销售方面的应用题．教学难点：找等量关系．教学过程：一、复习引入：（1）列方程解应用题的步骤有哪些？（2）如何求长方形的周长、面积？二、探究新知：例1 将一根长为64cm的铁丝剪成两段，再将每段分别围成正方形（图4-2），如果两个正方形的面积的和等于160cm2，求两个正方形的边长。
解：设其中一个正方形的边长为xcm，那么该正方形的周长为4xcm，另一个正方形的边长为(16-x)cm.根据题意得X2+(16-x)2=160整理，得X2-16x+48=0解这个方程，得X1=12，x2=4当x=12时，16-x=4;当x=4时，16-x=12.经检验，当两个正方形的边长分别是12cm和4cm时，两个正方形的周长之和为64cm，面积之和为160cm2，即 x=12cm或x=4cm均符合题意。
所以，两个正方形的边长分别为4cm和12cm。
本题教师启发、引导、学生回答，注意以下几个问题．（1）因为两个正方形的面积的和等于160cm2如果两个正方形的面积分别能用含未知数的代数式表示，便可以找准等量关系，列出方程，这是解决本题的关键．（2）求出的两个根一定要进行实际题意的检验，。
（3）本题是一道典型的实际生活的问题，在学习本章之前，这个问题无法解决，但学了一元二次方程的知识之后，这个问题便可以解决．使学生深刻体会数学知识应用的价值，由此提高学生学习数学的兴趣和用数学的意识．练习1．教材P.152中1．学生笔答、板书、评价．例2 某花圃用花盆培育某种花卉，经市场调查发现，出售一盆花的盈利与该盆中花的棵树有关。
当每盆栽种3棵时，平均每棵盈利3元。
以同样的栽培条件，每盆增加1棵，平均每棵盈利将减少0.5元。
德州市九年级备考复习《一元二次方程》课件
一元二次方程是初中数学的重要内容，在 中考中占有重要地位,在中考试卷中所占比例 约为8%，分值为9分左右。
它的工具作用在解决几何图形问题、实际 应用问题、二次函数问题时经常用到，其中， 一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系 的综合运用是近年来中考的技巧点，复习时要 注意做到知识的融会贯通，灵活应用。
一元二次方程根与系数的关系 运用
填空题 填空题
列一元二次方程解决实际问题 掌握 解答题
知识结构
概念
ax2+bx+c=0(a≠0)
1．直接开平方法；2．因式分解法；
一
解法
元 二
3．公式法；4．配方法
次
方
程
1．根的个数与判别式的关系
探索
2．根与系数的关系
应用
1．明确数量关系和等量关系 2．列一元二次方程解应用题
课时安排: 两个课时
课时目标：学会解决与一元二次方程有
关的问题。
课标分解:
一元二次方程概念、四种解法、根 的判别式应用、根与系数的关系。
一元二次方程与二次函数、一元一 次方程的关系 。
一元二次方程的应用。
考试能力要求：
考试内容
一元二次方程的解法
要求 题型 掌握 解答题
用一元二次方程根的判别式判 掌握 别根的情况
备考策略
一要加强一元二次方程的四种解法、 列一元二次方程的方法等基本技能的 训练；
二要增强检验的意识 1.检验二次项系数是否不等于零 2.检验是否符合根的判别式 3.检验方程的解是否符合实际意义
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月1日星期二2022/3/12022/3/12022/3/1 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/12022/3/1March 1, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/1
2015-2016学年湘教版九年级数学上册教案2.5《一元二次方程的应用》(1)
2.5 一元二次方程的应用第1课时一元二次方程的应用（1）教学目标【知识与技能】使学生会用列一元二次方程的方法解应用题.【过程与方法】让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值.【情感态度】在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力.【教学重点】建立一元二次方程模型解决一些代数问题.【教学难点】把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题.教学过程一、情景导入，初步认知列方程解应用问题的步骤是什么？①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答【教学说明】初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题，一元二次方程的应用.二、思考探究，获取新知1.某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理使用率，若今年的使用率为40％，计划后年的使用率达到90％，求这两年秸秆使用率的年平均增长率（假设该省每年产生的秸秆总量不变）分析：由于今年到后年间隔两年，所以问题中涉及的等量关系是：今年的使用率×（1+年平均增长率）2=后年的使用率解：设这两年秸秆使用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程：40％（1+x）2=90％解得：x1=50％,x2=-2.5根据题意可知：x=50％答：这两年秸秆使用率的年增长率为50％.2.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.求平均每次降价的百分率.分析：问题中涉及的等量关系是：原价×（1-平均每次降价的百分率）2=现在的售价解：设平均每次降价的百分率x，则根据等量关系，可列出方程：100（1-x)2=81解得：x1=10％,x2=1.9根据题意可知：x=10％答：平均每次降价的百分率为10％.3.“议一议”运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？【归纳结论】运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤：分析实际问题→建立一元二次方程模型→解一元二次方程→一元二次方程的根的检验→实际问题的解.【教学说明】使学生感受、明白利用一元二次方程解决实际问题的过程与方法.三、运用新知，深化理解1.见教材P50例2.2.一件商品的原价是121元，经过两次降价后的价格为100元．如果每次降价的百分率都是x，根据题意列方程得.【答案】121（1-x）2=1003.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？分析：本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．解：设这个增长率是x，根据题意得：2000×（1+x）2=2880解得：x1=20%，x2=-220%（舍去）故答案为：20%．4.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？解：设每年经营总收入的年增长率为a.列方程，600÷40%×(1+a)2=2160解方程，a1=0.2a2=-2.2，(不符合题意，舍去)∴每年经营总收入的年增长率为0.2则2013年预计经营总收入为：600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800答：2013年预计经营总收入为1800万元.5.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润.（1）写出x与y之间的关系式；（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？解∶（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是500-10x个，则依题意得y=［（50+x）-40］（500-10x），即y=-10x2+400x+5000.（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000.整理，得x2-40x+300=0.解得x1=10,x2=30.所以商品的单价应定为50+10=60（元）或50+30=80（元）.当商品的单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）.6.“国运兴衰，系于教育”图中给出了我国从1998─2002年每年教育经费投入的情况．(1)由图可见，1998─2002年的五年内，我国教育经费投入呈现出趋势；(2)如果我国的教育经费从2002年的5500亿元，增加到2004年7920亿元，那么这两年的教育经费平均年增长率为多少？解：（1）上升或增长．（2）设平均每年增长率为x．依题意，5500（1+x）2=7920解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：这两年的教育经费平均年增长率为20%．【教学说明】进一步提高分析问题、解决问题的能力，深刻体会方程的思想方法在解应用问题中的用途．四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材“习题2.5”中第1、2题.教学反思《一元二次方程的应用——增长率及利润问题》与我们的生活密切相关，在解决增长率问题时，要弄清关键词语的含义和有关数量间的关系，掌握其规律，还应注意各种数据变化的基础，针对本节课的内容，制作了多媒体教学课件，让学生在探讨、练习中完成所学内容.本节课中，同学们能积极投入到课堂教学中，认真思考、讨论，踊跃发言，课堂气氛活跃，在个别问题的回答上，学生大胆发言，配合默契，达到了积极的教学效果.。
山东省德州市第五中学2015-2016学年度上学期九年级一元二次方程教21.2.1配方法1【数学】
21.2.1 配方法（第1课时）学习目标：1、 会用开平方法解形如x 2=p 或（x+m ）2=p （p ≥0）的方程。
2、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想．学习重点运用开平方法解形如（x+m ）2=p （p ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．学习难点通过根据平方根的意义解形如x 2=p ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=p （p ≥0）的方程． 学前准备1.(1)回忆一下：平方根的概念及性质（2）求出或表示出下列各数的平方根。
25 ； 7 ； 169 .2.把下列各式因式分解： =++122x x （ ）2 ； =+-1682x x （ ）2=+-161212y y （ ）2 自习自疑阅读教材相关内容，完成以下练习。
一桶某种油漆可刷的面积为1500dm 2，李林用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？1、 设正方形的棱长为xdm ，请列出方程。
2、 用你学过的知识解这个方程。
合作探究对照上面解方程的过程，你认为应该怎样解下列方程（1）x 2＝169； （2）2251x =；（3）(2x-1)2=5 （4）x 2+6x+9=4归纳：1.解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．2.如果方程能化成x 2=p 或（x+m ）2=p （p ≥0）的形式，那么可得或巩固练习解下列方程：（1）2280x -= （2）2953x -=（3） 2(6)90x +-= （4）()23160x --=；（5）2445x x -+=； （6）2951x +=；拓展提高1、（1）()()22112-=+x x （2）()222596x x x -=+-2、对于方程 χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？当堂检测1.填空题①方程2313x -=的解为②若方程()02=+-b a x 有解，则b 的取值范围是 ③在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a ☆b =22a b -，则方程（4☆3）☆x =13的解x = ④若322+x 与422-x 互为相反数，则x 的值是2.用直接开平方法解下列方程（1）22320x -=； （2）()243250x --=；（3）29614x x ++=； （4）)226-=（5）()()5525x x +-=； （6)()()2241252x x +=-3.某家庭前年人均收入为3000元，到今年人均收入为4320元，如果每年人均收入增长率相同（也叫平均增长率），求这个增长率。
山东省德州市第五中学上学期九年级一元二次方程教21.1一元二次方程【数学】
21.1 一元二次方程学习目标1、理解一元二次方程的概念；2、掌握一元二次方程的一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项；3、理解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目学习重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用．学习难点：正确识别一般式中的“项”及“系数”。
学习过程探索新知问题1 要设计一座高2m的人体雕像,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?问题2 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm．在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？问题3 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应该邀请多少个队参赛？1、小组合作列出满足条件的方程问题1：问题2：问题3：2、议一议：上面三个方程与一元一次方程有什么区别？它们有什么共同点？3、类比一元一次方程给一元二次方程及一元二次方程的解（也叫根）下一个定义:一元二次方程：（三个要素）一元二次方程的根：归纳：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ≠0）．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．思考：为什么规定a≠0？跟踪练习：1、指出下列方程，哪些是一元二次方程？（1）-x 2＝0 (2) 3x 2-5x =0 (3)2x 2－5xy ＋6y ＝0 (4)212103x x --= （5） 2102y += （6）7x212=； 2(7)10mx nx ++= 2、3、4、若关于x 的方程(k －3)x 2＋ 2x －1＝0是一元二次方程，则k5、议一议：下列哪些数是方程2120x x +-=的解？-4，-3，-2，-1, 0, 1, 2, 3, 46、已知x=2是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m=7、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？当堂达标1、 下列关于x 的方程是否是一元二次方程？若是一元二次方程，请分别指出其二次项系数、一次项系数、常数项：．032)1(2=++x ax023)2(2=+mx x222(3)(1)8210(4)(1)2(5)2(5)74m x mx m b x bx b tx x tx----=+-+=-=-2、当m 取何值时，方程||1(1)230m m x mx +-++=是关于x 的一元二次方程？3、若一元二次方程20ax bx c ++=有一个根为1，则a b c ++= ； 若0a b c -+=，则方程必有一根是4、 据题意，设出恰当的未知数列出方程，并化为一般形式⑴两数的差为2，平方和为52，求这两个数。
山东省德州市第五中学上学期九年级一元二次方程教公式法1【数学】
21.2.2 公式法（1）学习目标1. 了解公式法的概念；2.熟练应用公式法解一元二次方程学习重点熟练应用公式法解一元二次方程学习难点熟练应用公式法解一元二次方程.学前准备1、用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522、 总结用配方法解一元二次方程的步骤．合作探究1、 你能用配方法求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根：解：二次项的系数化为1，得______________________________,移项，得 _______________________________,配方，得 ________________________________,即 ( )2=________________想一想:接下来能直接开方吗？若不能，又有几种情况？ 因为a≠0，所以042＞a ，式子的ac b 42-值有三种情况：① b 2-4ac ＞0； ② b 2-4ac ＝0； ③ b 2-4ac ＜0.（1）当ac b 42-＞0时，两边开平方，得_____________,所以=+ab x 2____________，所以x=即x 1= ,x 2= ;（2）ac b 42-=0时，两边开平方，得________________,所以=+ab x 2 , 所以x=_____________,即x 1=_______________, x 2= _________________;(3) b 2-4ac ＜0时，方程____________________.归纳（1）一般地，式子 b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示，即∆=（2）对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当_______________________时，它的根是x=__________________,这个式子叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的 ，利用求根公式可以直接将一元二次方程一般形式的各项系数代入到求根公式中，求出一元二次方程的根，这种求一元二次方程根的方法叫注意：用判别式判断根的情况时，一元二次方程必须化成 形式；例题用公式法解下列方程．（1）x 2-4x-7=0 （2）2x 2-22x+1=0 （3）5x 2-3x=x+1 （4）x 2+17=8x合作探究根据上节推导出的求根公式，想一想用公式法解一元二次方程的步骤有哪些？（1）将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.（2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。
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21.3实际问题与一元二次方程(2)
学习目标
掌握建立数学模型以解决平均增长率与降低率问题.
教学重点
列一元二次方程解有关平均增长率与降低率问题
教学难点
发现平均增长率与降低率问题中的等量关系
自主探究
两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为元，两年后甲种药品成本为元．
依题意，得
解得：x1≈，x2≈。
根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为。
②设乙种药品成本的平均下降率为y．则，
列方程：
解得：
（提示：方程的两个根都符合题意吗？）
答：两种药品成本的年平均下降率．
思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）小结：类似地这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式
若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(中增长取+,降低取－)
巩固练习
1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200kg，2003年平均每公顷产8460kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率.
2.某厂一月份产值为10万元，第一季度产值共3
3.1万元。
若每个月比上月的增长百分数相同，求这个百分数。
3、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
达标检测
1.某商品原来单价96元，厂家对该商品进行了两次降价，每次降低的百分数相同，现单价为54元，求平均每次降价的百分数？
2、某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.96%，平均每次降息的百分率是多
少？（结果精确到0.01﹪）。