高数同济六版第四章复习
高等数学第六版上册(同济大学) 第四章答案
x
2 dx
−
4∫
xdx
+
4∫
dx
=
1 3
x
3
−
2x
2
+
4x
+C
.
(11) ∫ (x2 + 1)2 dx ;
解
∫
(
x
2
+1)
2
dx
=
∫
(
x
4
+
2
x
2
+1)dx
=
∫
x
4
dx
+
2∫
x
2
dx
+
∫
dx
=
1 5
x
5
+
2 3
x
3
+
x
+
C
.
(12) ∫ ( x +1)( x3 −1)dx ;
1
3
解 ∫ ( x +1)( x3 −1)dx = ∫ (x 2 − x + x3 −1)dx = ∫ x 2dx − ∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx − ∫ dx
dx =
∫
−1
x2
dx =
−
1 1 +1
− 1 +1
x2
+C
=2
x +C .
2
(4) ∫ x 2 3 xdx ;
解
∫x23
7
xdx = ∫ x 3 dx =
1
7 +1
x3
+C =
3
7 +1
10
线性代数-工程版(同济大学第六版)第四章
定义2：若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合 称为向量组．
注: (1) 向量组中的向量必须是同型向量.
(2)一个向量组可含有限多个向量，也可含无限多个向量.
例如 （1）
1
2
b1,b2,
, bl a1, a2 ,
, am
k21
k22
km1 km2
k1l
k2l
kml ml
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
若 Cm×n = Am×l Bl×n ，即
c11 c12
c21
c22
cm1 cm2
c1n a11 a12
c2n
a21
a22
cmn am1 am2
a1l b11 b12
a2l
b21
b22
aml bl1 bl 2
b1n
b2n
bln
则
r1T r2T
a11 a21
3
2
0
3
1
7
0
2e1 3e2
7e3
7 0 0 1
线性组合的系数
一般地，对于任意的 n 维向量b ，必有
b1 1 0
b3
b1
0
b2
0
b3
1
bn 0 0 0
0
0
bn
0
同济六版高等数学第四章第二节
例 例3 3 2 x x 2 d e e x x 2 ( x 2 ) d e x x 2 d ( x 2 ) e u du
例 例5 5. tx a c s d x x n d i o c x n 1 x x d s c o x o ss u 1 d l | u | C n u l n | c o s x | C
积分公式：
tx a l d n | c n x | x C o , c s x o l d | s n t x | i x C n
§4. 2 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
首页
上页
返回
下页
结束
铃
基本思路
设 F (u)f(u),
可导, 则有
dF[(x)]f[(x) ](x)dx
F[(x)]CF(u)Cu(x)
f(u)duu(x)
第一类换元法
第二类换元法
积分表
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、第一类换元法
❖定理1(换元积分公式)
积分表
首页
上页
返回
下页
结束
铃
( x ) ( x ) d ] f [ f ( x [ x ) ( d x ) ( x ] ) ( x ) d ] f ( u ) d f [ ( x x F ) ( u d ) u ( x C ] ) F [ f ( u ( x ) d ) C F ( ] u ) u C F [ ( x
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点
关于高等数学同济第六版上册期末复习重点标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]第一章：1、极限（夹逼准则）2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型）第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续2、求导法则（背）3、求导公式也可以是微分公式第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节）2、洛必达法则3、泰勒公式拉格朗日中值定理4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习）5、曲率公式曲率半径第四章、第五章：积分不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ）定积分： 1、定义 2、反常积分第六章：定积分的应用主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长第七章：向量问题不会有很难1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面4、空间旋转面（柱面）第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列 {xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
同济高等数学第六版上册第四章ppt
5. 求下列积分: dx ; (1) 2 2 x (1 x ) 提示:
dx ( 2) 2 . 2 sin x cos x
(1)
1 1 (1 x 2 ) x 2 1 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
arcsin u C
(直接配元)
f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
2 12 C C 1
因此所求曲线为 y x 1
2
O
x
目录
上页
下页
返回
结束
从不定积分定义可知: d f ( x)d x f ( x) 或 d f ( x)dx f ( x) dx (1) dx
( 2)
F ( x) dx F ( x) C k dx
第四章 不定积分
微分法: F ( x) ( ? ) 积分法: ( ? ) f ( x) 互逆运算
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
第四章
目录
上页
下页
返回
结束
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 若函数 f ( x ) 在区间 I 上连续 , 则 f ( x ) 在 I 上 (下章证明) 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
x x e d x e C
(12)
x a C (13) a x dx ln a
目录
上页
下页
返回
结束
dx 例2. 求 3 . x x
高等数学(同济大学)第六版课件上第4章
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
o
x0
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
因此所求曲线为 y x2 1
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
gt
2
v0t
x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
x
x x(t)
x0 x(0) o
机动 目录 上页 下页 返回 结束
先求 由
知
v(t) ( g) d t gt C1
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) gt v0
再求
高数期末复习第四章 不定积分
帮
高数高上数第四章重点
数 高
郭啸龙主编
帮
帮 《不定积分》
数
数
本章说明
高
高
汇总了求不定积分的所有方法与题型，含所有公式
帮 数 高
帮 数 高
帮
帮 第四章 不定积分重要知识点
考点
重要程度
分值
1.直接积分 2.凑积分 3.换元法
数必考
0~3
4.分部积分法
6~10
5.有理化积分
1. kdx kx C
帮 (4) cot xdx ln | sin x | C
(6) csc xdx ln | csc x cot x | C
数 (8)
dx sin 2 x
csc2 xdx cot x C
高 (10) csc x cot xdx csc x C
帮
帮 定义：在区间 I 上， F(x) f (x) （或 dF (x) f (x)dx ）,则 F (x) 称为 f (x) 在区间 I 上
即 x 3 (A B)x (3A 2B) .
帮 数
因是恒等式，两端关于 x 的同次幂的系数应相等,即
A B 1 3A 2B 3,
帮 从中解得 A 5,B 6 .
x2
x
3 5x
dx 6
x52dx
x
6
dx 3
5
ln
|
x
2
|
6
|
x
3
|
C
数
高
数 高
高
帮 数 高
帮 数 高
的一个原函数.
数 定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记作 f (x)dx ,
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章复习提要
4.1 不定积分的概念和性质
1、基本积分表
2、公式())()(x f dx x f ='⎰和C x f dx x f +='⎰)()(
3、注意如下问题：（填空、选择、判断） 若x e -是)(x f 的原函数，则=⎰x x f x d )(ln 2C x +-
221 若)(x f 是x e -的原函数，则=⎰x x x f d )(ln C x C x
++ln 10 若)(x f 的导数为x sin ，则)(x f 的一个原函数是（B ）。
A x sin 1+;
B x sin 1-;
C x cos 1+;
D x cos 1-
4.2 换元积分法
1、第一换元法的原理：⎰dx x g )(
把被积函数)(x g 凑成)())(()(x x f x g ϕϕ'=的形式，
因而这种方法也称为凑微分法。
2、一些规律： ①x d x f x x f dx x x f )(2))((21)(⎰⎰⎰
='= ②⎰⎰⎰
++='++=+)()(1))((1)(b ax d b ax f a dx b ax b ax f a dx b ax f ③⎰⎰⎰='=)(ln )(ln ))(ln (ln 1)(ln x d x f dx x x f dx x
x f ④x xd x xdx x x xdx x n k n k n k cos cos )cos 1(sin cos sin cos sin 22)12(⎰⎰⎰--==+ ⑤x xd x xdx x x xdx x n k n k n k sin sin )sin 1(cos sin cos sin cos 22)
12(⎰⎰⎰-==+ 注：⎰+xdx k )12(sin 和⎰
+xdx x n k sin cos )12(可以看做④和⑤的特殊情形。
⑥⎰xdx x n k 22cos sin 用公式22cos 1sin 2x x -=和2
2cos 1cos 2x x +=降次。
⑦x d x x x xd x xdx x k n k n k n tan )tan 1(tan tan sec tan sec tan 2222⎰⎰⎰
+==+ 注⎰xdx k 2sec 可以看做⑦的特殊情形
⑧x d x xdx x xdx k k k cot )cot 1(csc csc csc 22222⎰⎰⎰+-==+
⑨x xd x x xd x xdx x n k
n k n k sec sec )1(sec sec sec tan sec tan 1212)12(--+⎰⎰⎰-== ⑩利用积化和差公式：
)]cos()[cos(2
1cos cos B A B A B A ++-= )]sin()[sin(2
1cos sin B A B A B A -++= )]sin()[sin(2
1sin cos B A B A B A --+= )]cos()[cos(2
1sin sin B A B A B A +--= 第二换元法
1、 被积函数中含有22x a -，利用代换)2,2(,sin ππ-
∈=t t a x 2、 被积函数中含有22x a +，利用代换)2,2(,tan π
π-∈=t t a x 3、 被积函数中含有22a x -，利用代换),0(,sec π∈=t t a x （一般要分情况讨论）
4、 被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换
利用下列积分公式：
⒃C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ；⒄C x xdx +=⎰|sin |ln cot
⒅C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ；⒆C x x xdx +-=⎰
|cot csc |ln csc ⒇C a x a x a dx +=+⎰arctan 122；（21）C a x a x a a
x dx ++-=-⎰ln 2122 （22）C a x a x dx +=-⎰
arcsin 22；（23）C x a x x a dx +++=+⎰)ln(2222 （24）
C a x x a x dx
+-+=-⎰2222ln 4.3 分部积分法
1、分部积分公式：⎰⎰-=vdu uv udv
2、u 的选取原则：反→对→幂→指→三。
这个原则不是绝对的，如通常⎰
⎰=x x xde xdx e sin sin 。
3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。
如dx x ⎰2)(arcsin t x =arcsin t d t sin 2⎰；
dx x x ⎰22ln t x =ln dt e t t -⎰2
5、 遇到根式b ax +，先令b ax t +=去根号。
6、 会做形如例
7、8那样具有典型特点的题目。
4.4 有理函数的积分
1、)
()(x Q x P ，先用多项式除法化成真分式； 2、对)(x Q 分解因式，根据分解结果用待定系数法确定
)()(x Q x P 的分解式： ⎰--+)3)(2(1x x x ：应设3
2)3)(2(1-+-=--+x B x A x x x ⎰++++)1)(12(22x x x x ：应设)1()12()1)(12(222+++++=++++x x C Bx x A x x x x ⎰++++22)1)(12(2x x x x ：应设22232)1()12()1)(12(2+++++++=++++x x E Dx Cx Bx x A x x x x
原则就是分子的次数总是要比分母低一次。
3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分
2tan 12tan
2sin 2x x x +=；2tan 12tan 1cos 22x x x +-=；2
tan 12tan 2tan 2
x x x -= 令t x =2tan ，则三角函数就转化成为有理函数 4. 被积函数含有n b ax +或n d cx b
ax ++，则令n b ax t +=或n d cx b
ax t ++=
几个典型题目
P207页（42）
⎰++-dx x x x 3212，（43）⎰-+21x x dx P211页例7、8。