解析几何专题
平面解析几何职高专题
选择题在平面直角坐标系中，点P(3, -2)关于x轴对称的点Q的坐标是（）。
A. (-3, 2)B. (3, 2)C. (-3, -2)D. (2, -3)直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为（）。
A. (-3/2, 0)B. (0, 3)C. (-3, 0)D. (3/2, 0)若直线l的斜率为-1，且过点(1, 2)，则直线l的方程是（）。
A. y = -x + 3B. y = -x - 1C. y = x + 1D. y = x - 3圆x² + y² = 9与直线y = 2x的交点个数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. 无法确定两点A(1, 2)和B(4, 5)之间的距离是（）。
A. √10B. 3√2C. 5D. √26填空题若点A(-2, y)在直线y = 3x + 1上，则y = _______。
直线y = mx + b与直线y = 2x平行，且过点(1, 3)，则m = _______，b = _______。
圆(x - 2)² + (y + 3)² = 4的圆心坐标是_______。
在平面直角坐标系中，点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，且点P在第三象限，则点P的坐标是_______。
已知两直线l₁: y = 2x + 1 和l₁: y = kx - 3 互相垂直，则k = _______。
简答题求直线y = 2x - 4与坐标轴围成的三角形的面积。
已知两点A(1, 2)和B(3, 4)，求线段AB的中点坐标。
已知圆的方程为x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0，求该圆的圆心和半径。
证明：两条平行线分别被第三条直线所截，所得的对应线段成比例。
已知直线l过点P(1, 2)且与直线y = -x + 3垂直，求直线l的方程。
专题七 解析几何专题复习
专题七、解析几何1、解析几何（椭圆、双曲线、抛物线）1、椭圆18y 16x 22=+的离心率为（ ）A.31 B. 21C. 33D. 222、设F 1，F 2是椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，P 为直线x =32a上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A. 21B. 32C. 43D. 543、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点P (4,-2)，则它的率心率为（ ）A.6B.5 C.26 D. 25 4、已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与抛物线C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |=12，P 为C 的准线上的一点，则△ABP 的面积为（ ） A.18 B.24 C.36 D.485、等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A ，B 两点，|AB|=34，则C 的实轴长为（ ） A.2 B. 22 C.4 D.86、已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），P 3（x 3，y 3）在抛物线上，且2x 2=x 1+x 3，则有（ ）A.|FP 1|+|FP 2|=|FP 3|B.|FP 1|2+|FP 2|2=|FP 3|2C.2|FP 2|+|FP 1|=|FP 3|D.|FP 2|2+|FP 1|²|FP 3|7、双曲线221102x y -=的焦距为（ ） A . 23 B. 24 C.33 D. 34 8、已知一正方形的两顶点为双曲线C 的两焦点，若另外两个顶点在双曲线上，则双曲线C 的离心率e =（ ） A.13+ B.12+ C.215+ D. 2122+9、已知F 1、F 2是椭圆191622=+y x 的两焦点，过点后的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AB|=5，则|AF 1|+|BF 1|=（ ）A.16B.11C.10D.910、设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，点A 为垂足，如果直线AF 的斜率为-3，那么|PF |=A. 34B. 8C. 38D.1611、已知双曲线1366422=+y x 的焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且 ∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为（ ）A.18B. 324C. 336D.3212、已知双曲线C ：12222=+by a x (a ＞0，b ＞0)半焦距为c ，若直线y =2x 与双曲线的一个交点A 横坐标为c ，则双曲线的离心率为（ ） A.222+ B. 2122+ C. 13+ D.12+13、双曲线112422=-y x 的焦点到其渐近线的距离是（ ） A. 32 B.2 C. 3 D.114、已知椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)，左焦点F （-C.0），右顶点B （a.0）与短轴的一个端点C 的连线构成的三角形恰好为直角三角形，则该椭圆的离心率是（ ） A.221+- B. 231+- C. 21D.215、已知抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点M （1，m ）（m ＞0）到其焦点的距离为5，双曲线 1222=-y ax （a ＞0）的顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a =（ ）A. 251B. 91C. 51D. 3116、设F 1, F 2分别为双曲线12222=-by a x （a ＞0,b ＞0）的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.3x ±4y =0B.3x ±5y =0C.4x ±3y =0D.5x ±4y =0 17、过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB|=8，则P=（ ）A.8B.6C.4D.2。
高考解析几何复习专题
交点法探究：
①判别式；②根与系数关系：两根和、两根积（横坐标关系与纵坐标关系转换）； ③数量关系转换（长度、角度、斜率、面积、向量关系或不等关系等转换）； ④位置关系转换（平行或垂直或相交等）
x1 x2 x1x2
y1 y2 y1 y2
问 题
繁 与 简
关于交点法：交点法中的曲线与方程
关联特征转换典型题例关联特征转换非交点法应用题例数学语言转换数形特征转换圆锥曲线概念与基本量关系向量与数量关系转换已知点ab是椭圆的左右顶点f为左焦点点p是椭圆上异于ab的任意一点直线ap与过点b且垂直于x交于点m直线bpmn1求证
高考数学复习专题
解析几何-交点法
（高考全国卷解答题20题探究）
解析几何专题-交点法 1.数学思想：方程（组）思想 2. 问题特征：直线与圆锥曲线-相交弦 3. 途径方法：两式两线两法
焦半
|
PF
|
x0
p 2
, (P(x0,
y0 ) C
:
y2
2 px)
径：
注意：①抛物线方程有四种形式；
②焦半径对应四种不同表示方式
七、圆锥曲线问题类型
问题类型
一、求曲线或轨迹方程问题--方程（组）思想应用 （1）点与曲线-方程思想；（2）向量关系-特征转化； （3）特征量或特征量关系；（4）位置特征关系转化
4、路径选择、计算方法
交点法小练与思考 练习1 若直线
与椭圆
恒有公共点，
求实数 的取值范围
直线与曲线
练习2
已知椭圆
x
2
2
y2 1
1 的左右焦点分别为 F1、F2 ，若过点 P（0，-2）、F1 的直线交
椭圆于 A,B 两点，求 ABF2 的面积
(完整版)解析几何专题含答案
椭圆专题练习1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A B C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．B C D ．133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）345.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是. 7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r。
解析几何专题训练
一、选择题1．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝kx ＋b (k ≠0)交于A ，B 两点，且此两点的横坐标分别为x 1，x 2，直线与x 轴交点的横坐标是x 3，则恒有( )A ．x 3＝x 1＋x 2B ．x 1x 2＝x 1x 3＋x 2x 3C ．x 1＋x 2＋x 3＝0D ．x 1x 2＋x 2x 3＋x 3x 1＝0 答案 B解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax 2，y ＝kx ＋b ，得ax 2－kx －b ＝0，可知x 1＋x 2＝k a ，x 1x 2＝－ba ，x 3＝－bk ，代入各项验证即可得B 正确，故选B.2．已知A ，B ，C 三点在曲线y ＝x 上，其横坐标依次为1，m,4(1<m <4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A ．3 B.94 C.52 D.32 答案 B解析 由题意知A (1,1)，B (m ，m )，C (4,2)．直线AC 所在的方程为x －3y ＋2＝0，点B 到该直线的距离为d ＝|m －3m ＋2|10.S △ABC ＝12|AC |·d ＝12×10×|m －3m ＋2|10＝12|m －3m ＋2|＝12|(m －32)2－14|.∵m ∈(1,4)，∴当m ＝32时，S △ABC 有最大值，此时m ＝94.故选B.3．过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点M (x 0，y 0)(y 0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当MA 与MB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y等于( )A ．－2B ．2C ．4D ．－4 答案 A解析 k MA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝y 1－y 0y 212p －y 202p ＝2p (y 1－y 0)y 21－y 20＝2p y 1＋y 0(y 0≠y 1)，同理：k MB ＝2py 2＋y 0.由题意：k MA ＝－k MB ，∴2p y 1＋y 0＝－2py 2＋y 0，∴y 1＋y 0＝－(y 2＋y 0)，y 1＋y 2＝－2y 0，∴y 1＋y 2y 0＝－2，故选A.4．(2011·福州质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8C.17－1D.5＋2 答案 C解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，设点P 到抛物线的准线的距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF |，∴|PQ |＋d ＝|PQ |＋|PF |≥(|PC |－1)＋|PF |≥|CF |－1＝17－1.二、填空题5．已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．答案 4解析 依题意得|MA |＋|MF |≥(|MC |－1)＋|MF |＝(|MC |＋|MF |)－1，由抛物线的定义知|MF |等于点M 到抛物线的准线x ＝－1的距离，结合图形不难得知，|MC |＋|MF |的最小值等于圆心C (4,1)到抛物线的准线x ＝－1的距离，即为5，因此所求的最小值为4.6．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，动点P 在曲线y 2＝－4x (y ≥0)上，则△P AB 的面积的最小值为________．答案 2 2解析 由题意，得F (1,0)，直线AB 的方程为y ＝x －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8.设P (－y 24，y 0)，则点P 到直线AB 的距离为|y 204＋y 0＋1|2，∴△P AB 的面积S ＝|y 20＋4y 0＋4|2＝(y 0＋2)22≥22，即△P AB 的面积的最小值是2 2.三、解答题7．(2011·北京东城区期末)已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F (0，2)，且长轴长与短轴长的比是2 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 上在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线P A ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求△P AB 面积的最大值．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，a b ＝2，c ＝2，解得a 2＝4，b 2＝2.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 22＝1.(2)由题意知，两直线P A ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k .又由(1)知，P (1，2)，则直线PB 的方程为y －2＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y －2＝k (x －1)，y 24＋x 22＝1，得(2＋k 2)x 2＋2k (2－k )x ＋(2－k )2－4＝0.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x B ＝1·x B ＝k 2－22k －22＋k2，同理可得x A ＝k 2＋22k －22＋k2.则x A －x B ＝42k 2＋k 2，y A －y B ＝－k (x A －1)－k (x B －1)＝8k 2＋k 2. 所以k AB ＝y A －y B x A －x B＝2为定值．(3)由(2)，设直线AB 的方程为y ＝2x ＋m .由⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，y 24＋x 22＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0.由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)>0，得m 2<8. 此时x A ＋x B ＝－2m2，x A ·x B ＝m 2－44.点P 到直线AB 的距离d ＝|m |3，|AB |＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝－32m 2＋12.∴S △P AB ＝12d ·|AB |＝12|m |3·24－3m 22＝12 m 2(8－m 2)2当且仅当m 2＝8－m 2即m 2＝4时，S max ＝ 2.8．已知定点C (－1,0)及椭圆x 2＋3y 2＝5，过点C 的动直线与椭圆相交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点M ，使MA →·MB →为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 分斜率存在和不存在两种情况讨论，假设存在，那么数量积MA →·MB →应该与直线的方向无关．解析 假设在x 轴上存在点M (m,0)，使MA →·MB →为常数．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．①当直线AB 与x 轴不垂直时，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将y ＝k (x ＋1)代入x 2＋3y 2＝5，消去y 整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1·x 2＝3k 2－53k 2＋1.所以MA →·MB →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝(x 1－m )(x 2－m )＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－m )(x 1＋x 2)＋k 2＋m 2.整理得MA →·MB →＝(6m －1)k 2－53k 2＋1＋m 2＝(2m －13)(3k 2＋1)－2m －1433k 2＋1＋m 2＝m 2＋2m －13－6m ＋143(3k 2＋1).注意到MA →·MB →是与k 无关的常数，从而有6m ＋14＝0，m ＝－73，此时MA →·MB →＝49.②当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A ，B 的坐标分别为A (－1，23)、B (－1，－23)，当m ＝－73时，亦有MA →·MB →＝49.综上，在x 轴上存在定点M (－73，0)，使MA →·MB→为常数．9．(2010·北京卷，文)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)、(2，0)，离心率是63.直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直线作圆P ，圆心为P .(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．解析 (1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C的方程为x23＋y 2＝1.(2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)．由⎩⎨⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±3(1－t 2). 所以圆P 的半径为3(1－t 2).当圆P 与x 轴相切时，|t |＝3(1－t 2).解得t ＝±32所以点P 的坐标是(0，±32)．(3)由(2)知，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝3(1－t 2)． 因为点Q (x ，y )在圆P 上， 所以y ＝t ±3(1－t 2)－x 2≤t ＋3(1－t 2).设t ＝cos θ，θ∈(0，π)，则t ＋3(1－t 2)＝cos θ＋3sin θ＝2sin(θ＋π6)．当θ＝π3，即t ＝12，且x ＝0时，y 取最大值2.1．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝2px (p >0)上的两点，并且满足OA ⊥OB ，则y 1y 2等于( )A ．－4p 2B ．－3p 2C ．－2p 2D ．－p 2 答案 A解析 ∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB→＝0.∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.①∵A 、B 都在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p .代入①得y 212p ·y 222p ＋y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝－4p 2. 2．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC→＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x 答案 A解析 如图，易知|AF →|＝|AC →|，已知AF →＝FB →，即|AF →|＝|FB →|，又AC ⊥BC ，∴∠ABC ＝30°.∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos30°＝|BA →|·|BA →|·cos30°·cos30° ＝|BA →|2cos 230°＝48， ∴|BA→|＝8.∴|AC →|＝4，p ＝|FD →|＝2. ∴抛物线方程为y 2＝4x .3．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P 、Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ→的最小值．解 (1)由题设点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意直线l 2的方程为y ＝kx ＋1， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0.记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.∵直线PQ 的斜率k ≠0，易得点R 的坐标为(－2k ，－1)，RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1) ＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4＝4(k 2＋1k 2)＋8，∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取到等号． RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ→的最小值为16. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以双曲线x 23－y 2＝1的焦点为顶点，其离心率与双曲线的离心率互为倒数．(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为点A ，B ，点M 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点．①求证：直线MA ，MB 的斜率之积为定值；②若直线MA ，MB 与直线x ＝4分别交于点P ，Q ，求线段PQ 长度的最小值．解 (1)易知双曲线x 23－y 2＝1的焦点为(－2,0)，(2,0)，离心率为23，则在椭圆C 中a ＝2，e ＝32，故在椭圆C 中c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，由题易知A (－2,0)，B (2,0)，则k MA ＝y 0x 0＋2，k MB＝y 0x 0－2，故k MA ·k MB ＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4，点M 在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1，即y 20＝1－x 204＝－14(x 20－4)，故k MA ·k MB ＝y 20x 20－4＝－14，即直线MA ，MB 的斜率之积为定值．②解法一：设P (4，y 1)，Q (4，y 2)，则k MA ＝k P A ＝y 16，k MB ＝k BQ ＝y 22，由①得y 16·y 22＝－14，即y 1y 2＝－3，当y 1>0，y 2<0时，|PQ |＝|y 1－y 2|≥2－y 1y 2＝23，当且仅当y 1＝3，y 2＝－3时等号成立．同理可得，当y 1<0，y 2>0时，当且仅当y 1＝－3，y 2＝3时，|PQ |有最小值2 3.解法二：设直线MA 的斜率为k ，则直线MA 的方程为y ＝k (x ＋2)，从而P (4,6k )，由①知直线MB 的斜率为－14k ，则直线MB 的方程为y ＝－14k (x －2)，故得Q (4，－12k )，故|PQ |＝|6k ＋12k |≥23，当且仅当k ＝±36时等号成立，即|PQ |有最小值2 3.5．如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B两点，O 为坐标原点，OA→＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线C 的方程；(2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值．分析 (1)根据根与系数关系和OA→＋OB →＝(－4，－12)列方程组，利用待定系数法求解；(2)线段AB 的长度为定值，只要求点P 到直线AB 的最大值即可．解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 2＝－2py ，得x 2＋2pkx －4p ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4.因为OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)＝(－4，－12)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4，－2pk 2－4＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，k ＝2.所以直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线C 的方程为x 2＝－2y .(2)解法一：设P (x 0，y 0)，依题意，抛物线过点P 的切线与l 平行时，△ABP的面积最大，y ′＝－x ，所以－x 0＝2⇒x 0＝－2，y 0＝－12x 20＝－2，所以P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2·(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0， |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410.∴△ABP 的面积最大值为410·4552＝8 2.解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0，|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝1＋22·(－4)2－4(－4)＝410， 设P (t ，－12t 2)(－2－22<t <－2＋22)， 因为AB 为定值，当点P 到直线l 的距离d 最大时，△ABP 的面积最大，d ＝|2t ＋12t 2－2|22＋(－1)2＝|12(t ＋2)2－4|5，因为－2－22<t <－2＋22，所以当t ＝－2时，d max ＝455，此时P (－2，－2)．∴△ABP 的面积最大值为410·4552＝8 2.。
解析几何专题(含答案)
解析几何与极坐标和参数方程专题1. 已知命题 p ：方程x 22m+y 29−m=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，命题 q ：双曲线 y 25−x 2m=1 的离心率e ∈(√62,√2)，若命题 p ，q 中有且只有一个为真命题，求实数 m 的取值范围.2. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 {x =√3cosα,y =sinα,（α 为参数），以坐标原点为极点，以 x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρsin (θ+π4)=2√2．（1）写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；（2）设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求 ∣PQ ∣ 的最小值及此时 P 的直角坐标．3. 在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1:x =−2，圆 C 2:(x −1)2+(y −2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求 C 1，C 2 的极坐标方程；（2）若直线 C 3 的极坐标方程为 θ=π4(ρ∈R )，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，N ，求 △C 2MN 的面积．4. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1，直线 l 与抛物线相交于不同的 A ，B 两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 l 过抛物线的焦点，求 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； （3）如果 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，直线 l 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．5. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线x−√2y+4=0相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在x轴正半轴上，是否存在某个确定的点M，过该点的动直线l与抛物线C交于A，B两点，使得1∣AM∣2+1∣BM∣2为定值．如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由．6. 在平面直角坐标系xOy中，动点A的坐标为(2−3sinα,3cosα−2)，其中α∈R．在极坐标系（以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线C的方程为ρcos(θ−π4)=a．（1）判断动点A的轨迹的形状；（2）若直线C与动点A的轨迹有且仅有一个公共点，求实数a的值．7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)．（1）求椭圆 C 的方徎；（2）动点 P 在直线 l ：x =−2√2 上，过 P 作直线交椭圆 C 于 M ，N 两点，使得 PM =PN ，再过 P 作直线 lʹ⊥MN ，直线 lʹ 是否恒过定点，若是，请求出该定点的坐标；若否，请说明理由．8. 在平面直角坐标系 xOy 中，C 1:{x =t,y =k (t −1)（t 为参数）．以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 2:ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0．（1）求 C 1 的普通方程及 C 2 的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若 P ，Q 分别为 C 1，C 2 上的动点，且 ∣PQ ∣ 的最小值为 2，求 k 的值．9. 设 F 1，F 2 分别是椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左，右焦点，M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直．直线 MF 1 与 C 的另一个交点为 N ． （1）若直线 MN 的斜率为 34，求 C 的离心率；（2）若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2，且 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣，求 a ，b ．10. 已知抛物线 E:x 2=2py (p >0)，直线 y =kx +2 与 E 交于 A ，B 两点，且 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，其中 O 为原点．（1）求抛物线 E 的方程；（2）点 C 坐标为 (0,−2)，记直线 CA ，CB 的斜率分别为 k 1，k 2，证明：k 12+k 22−2k 2 为定值．11. 已知椭圆的一个顶点为A(0,−1)，焦点在x轴上．若右焦点到直线x−y+2√2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M，N．当∣AM∣=∣AN∣时，求m的取值范围．12. 双曲线C与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，直线y=√3x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．13. 已知不过第二象限的直线 l:ax −y −4=0 与圆 x 2+(y −1)2=5 相切． （1）求直线 l 的方程；（2）若直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，直线 l 2 与直线 l 1 关于直线 y =1 对称，求直线 l 2 的方程．14. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3 与圆 C 的交点为 O ，P ，与直线 l 的交点为 Q ，求线段 PQ 的长．15. 双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0,−5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求椭圆的方程和双曲线方程．16. 在抛物线y=4x2上有一点P，若点P到直线y=4x−5的距离最短，求该点P坐标和最短距离．17. 已知函数y=a2−x+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，点A在直线mx+ny=1(mn>0)上，求1m +1n的最小值．18. 已知直线l:y=x+m与抛物线y2=8x交于A，B两点，（1）若∣AB∣=10，求m的值；（2）若OA⊥OB，求m的值．19. 若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴端点正好是正方形的四个顶点，又焦点到同侧长轴端点的距离为√2−1，求椭圆的方程．20. 讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2−y2=1的公共点的个数．21. 已知p：方程x2+2mx+(m+2)=0有两个不等的正根；q：方程x2m+3−y22m−1=1表示焦点在y轴上的双曲线．（1）若q为真命题，求实数m的取值范围；（2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．22. 已知双曲线的焦点在x轴上，∣F1F2∣=2√3，渐近线方程为√2x±y=0，问：过点B(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于M，N两点，并且点B为线段MN的中点?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．23. 已知点 P (2,0) 及圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0．（1）设过 P 的直线 l 1 与圆 C 交于 M ，N 两点，当 ∣MN∣=4 时，求以 MN 为直径的圆 Q 的方程； （2）设直线 ax −y +1=0 与圆 C 交于 A ，B 两点，是否存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ?若存在，求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由．24. 在直角坐标系 xOy 中，已知直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2．（1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点 M 的直角坐标为 (1,2)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ，求 ∣MA ∣⋅∣MB ∣ 的值．25. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为√32，两焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于M，N两点，且△F2MN的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P(m,0)作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点，求弦长∣AB∣的最大值．26. 已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n=qS n−1+1，其中q>0，n>1，n∈N∗．（1）若2a2，a3，a2+2成等差数列，求{a n}的通项公式；（2）设双曲线x2−y2a n2=1的离心率为e n，且e2=3，求e12+e22+⋯+e n2．27. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ−4sinθ，以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 {x =1+tcosα,y =−1+tsinα（t 为参数）．（1）判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，并说明理由；（2）若直线 l 和曲线 C 相交于 A ，B 两点，且 ∣AB ∣=3√2，求直线 l 的斜率．28. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率 e =√63，坐标原点到直线 l:y =bx +2 的距离为 √2．（1）求椭圆的方程；（2）若直线 y =kx +2(k ≠0) 与椭圆相交于 C ，D 两点，是否存在实数 k ，使得以 CD 为直径的圆过点 E (−1,0)?若存在，求出 k 的值，若不存在，请说明理由．29. 在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点P(−3,0)，其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M(x,y)为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．30. 椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有如下命题：AB是椭圆x2 a2+y2b2=1(a>b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=−b2a2为定值．那么对于双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则有命题：AB是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则k OM⋅k AB=定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．31. （1）求中心在原点，焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(3,−2√6)的椭圆方程；（2）求e=√6，并且过点(3,0)的椭圆的标准方程．332. 已知抛物线y2=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是FQ的中点，求点M的轨迹方程．33. 已知点A(0,−2)，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为2√33，O为坐标原点．（1）求E的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．34. P为椭圆x225+y29=1上一点，F1，F2为左右焦点，若∠F1PF2=60∘．（1）求△F1PF2的面积；（2）求P点的坐标．35. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为 (1,0)．（1）求双曲线 C 的方程；（2）已知直线 y =x +m 与双曲线 C 交于不同的两点 A ，B ，且线段 AB 的中点为 M (x 0,y 0)．当 x 0≠0 时，求 y0x 0的值．36. 已知双曲线 x 216−y 24=1 的两焦点为 F 1，F 2．（1）若点 M 在双曲线上，且 MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求 M 点到 x 轴的距离；（2）若双曲线 C 与已知双曲线有相同焦点，且过点 (3√2,2)，求双曲线 C 的方程．37. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且∣PF1∣=43，∣PF2∣=143，PF1⊥PF2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线L过圆x2+y2+4x−2y=0的圆心M交椭圆于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线L的方程．38. 已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y−29=0相切．（1）求圆的方程；（2）设直线ax−y+5=0(a>0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(−2,4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．39. 已知直线 C 1:{x =1+tcosα,y =tsinα(t 为参数)，圆 C 2:{x =cosθ,y =sinθ(θ 为参数)．（1）当 α=π3 时，求 C 1 与 C 2 的交点坐标；（2）过坐标原点 O 作 C 1 的垂线，垂足为 A ，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．40. 已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x −3y =0 上，且被直线 y =x 截得的弦长为 2√7，求圆 C 的方程．41. 如图，直线 l:y =x +b 与抛物线 C:x 2=4y 相切于点 A ． （1）求实数 b 的值；（2）求以 A 点为圆心，且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程．42. 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 (x +6)2+y 2=25．（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；（2）直线 l 的参数方程是 {x =tcosα,y =tsinα,（t 为参数），直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，∣AB∣=√10，求 l 的斜率．43. 已知双曲线与椭圆x29+y225=1有公共焦点F1，F2，它们的离心率之和为245．（1）求双曲线的标准方程；（2）设P是双曲线与椭圆的一个交点，求cos∠F1PF2．44. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(32,√6)，求抛物线与双曲线方程．45. 已知曲线 C 上任一点 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1． （1）求曲线 C 的方程；（2）过点 Q (1,2) 作两条倾斜角互补的直线与曲线 C 分别交于点 A ，B ，试问：直线 AB 的斜率是否为定值，请说明理由．46. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），直线 l 过点 (0,2) 且倾斜角为 π3．（1）求圆 C 的普通方程及直线 l 的参数方程；（2）设直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求弦 ∣AB ∣ 的长．47. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0)，离心率为√22，直线y=k(x−1)与椭圆C交于不同的两点M，N．（1）求椭圆C的方程；（2）当△AMN的面积为√103时，求k的值．48. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，A点在椭圆上，离心率是√22，AF2与x轴垂直，且∣AF2∣=√2．（1）求椭圆的方程；（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．49. 已知点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22．（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 右焦点 F 的直线 l 与椭圆交于两点 A ，B ，在 x 轴上是否存在点 M ，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．答案1. 若命题 p ：方程 x 22m +y 29−m =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆为真命题； 则 9−m >2m >0， 解得 0<m <3，则命题 p 为假命题时，m ≤0 或 m ≥3，若命题 q ：双曲线 y 25−x 2m =1 的离心率 e ∈(√62,√2) 为真命题； 则 √5+m 5∈(√62,√2)，即5+m 5∈(32,2)，即 52<m <5，则命题 q 为假命题时，m ≤52 或 m ≥5，因为命题 p ，q 中有且只有一个为真命题， 当 p 真 q 假时，0<m ≤52， 当 p 假 q 真时，3≤m <5，综上所述，实数 m 的取值范围是：0<m ≤52 或 3≤m <5．2. （1） C 1:{x =√3cosα,y =sinα（α 为参数）的直角坐标方程是：x 23+y 2=1，C 2 的直角坐标方程：ρsin (θ+π4)=2√2， 整理得，√22ρsinθ+√22ρcosθ=2√2，x +y =4．（2） 设 x +y =4 的平行线为 l 1:x +y +c =0， 当 l 1:x +y +c =0 且 c <0 和 C 1 相切时 ∣PQ ∣ 距离最小， 联立直线和椭圆方程得 x 23+(x +c )2−1=0，整理得4x 23+2cx +c 2−1=0，需要满足 Δ=−4c 23+163=0，求得 c =±2，当直线为 l 1:x +y −2=0 时，满足题意，来自QQ 群339444963 此时 ∣PQ ∣=√2，此时直线 l 1 和椭圆交点即是 P 点坐标 (32,12)．3. （1） C 1:ρcosθ=−2，C 2:ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0． （2） C 3:y =x ，圆 C 2 的圆心 C 2 到 y =x 的距离 d =√2=√22， ∴∣MN∣=2⋅√12−(√22)2=√2，∴S △C 2MN =12⋅∣MN∣⋅d =12⋅√2⋅√22=12．4. （1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 x =−1， 所以 p 2=1，p =2．所以抛物线的标准方程为 y 2=4x ．（2） 设 l:my =x −1，与 y 2=4x 联立，得 y 2−4my −4=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4， 所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=−3.（3） 假设直线 l 过定点，设 l:my =x +n ，{my =x +n,y 2=4x, 得 y 2−4my +4n =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1+y 2=4m ，y 1y 2=4n ． 由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4=(m 2+1)y 1y 2−mn (y 1+y 2)+n 2=n 2+4n,解得 n =−2，所以 l:my =x −2 过定点 (2,0)． 5. （1） 联立方程有，{x −√2y +4=0,y 2=2px,有 y 2−2√2py +8p =0，由于直线与抛物线相切，得 Δ=8p 2−32p =0，所以 p =4， 所以 y 2=8x ．（2） 假设存在满足条件的点 M (m,0)(m >0)，直线 l:x =ty +m ，有 {x =ty +m,y 2=8x, y 2−8ty −8m =0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，有 Δ>0，y 1+y 2=8t ，y 1y 2=−8m ，∣AM ∣2=(x 1−m )2+y 12=(t 2+1)y 12，∣BM ∣2=(x 2−m )2+y 22=(t 2+1)y 22，1∣AM∣2+1∣BM∣2=1(t 2+1)y 12+1(t 2+1)y 22=1(t 2+1)(y 12+y 22y 12y 22)=1(t 2+1)(4t 2+m4m 2),当 m =4，满足 Δ>0 时，1∣AM∣2+1∣BM∣2 为定值， 所以 M (4,0)．6. （1） 设动点 A 的直角坐标为 (x,y )，则 {x =2−3sinα,y =3cosα−2,所以动点 A 的轨迹方程为 (x −2)2+(y +2)2=9，其轨迹是半径为 3 的圆．（2） 直线 C 的极坐标方程 ρcos (θ−π4)=a 化为直角坐标方程是 √2x +√2y =2a ，由 ∣∣2√2−2√2−2a ∣∣2=3，得 a =3 或 a =−3．7. （1） 因为椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √63．且过点 (3,−1)，所以 {9a 2+1b 2=1,c 2a 2=a 2−b 2a 2=(√63)2,解得 a 2=12，b 2=4， 所以椭圆 C 的方程为x 212+y 24=1．（2） 因为直线 l 的方程为 x =−2√2， 设 P(−2√2,y 0)，y 0∈(−2√33,2√33)， 当 y 0≠0 时，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，由题意知 x 1≠x 2，联立 {x 1212+y 124=1,x 2212+y 224=1,所以 x 12−x 2212+y 12−y 224=0， 所以y 1−y 2x 1−x 2=13⋅x 1+x 2y 1+y 2，又因为 PM =PN ， 所以 P 为线段 MN 的中点， 所以直线 MN 的斜率为 −13⋅−2√2y 0=2√23y 0， 又 lʹ⊥MN ，所以 lʹ 的方程为 y −y 0=02√2+2√2)，即 y =02√2+4√23)， 所以 lʹ 恒过定点 (−4√23,0)． 当 y 0=0 时，直线 MN 为 x =−2√2， 此时 lʹ 为 x 轴，也过点 (−4√23,0)， 综上，lʹ 恒过定点 (−4√23,0)．8. （1） 由 {x =t,y =k (t −1),可得其普通方程为 y =k (x −1)， 它表示过定点 (1,0)，斜率为 k 的直线．由 ρ2+10ρcosθ−6ρsinθ+33=0 可得其直角坐标方程为 x 2+y 2+10x −6y +33=0， 整理得 (x +5)2+(y −3)2=1，它表示圆心为 (−5,3)，半径为 1 的圆． （2） 因为圆心 (−5,3) 到直线 y =k (x −1) 的距离 d =√1+k 2=√1+k 2，故 ∣PQ ∣ 的最小值为 √1+k 2−1，故√1+k 21=2，得 3k 2+4k =0， 解得 k =0 或 k =−43．9. （1） 根据 c =√a 2−b 2 及题设知 M (c,b 2a )，F 2(−c,0)，由斜率公式并化简整理易得 2b 2=3ac ． 将 b 2=a 2−c 2 代入 2b 2=3ac ，解得 ca =12 或 ca =−2（舍去）． 故 C 的离心率为 12．（2） 由题意，得原点 O 为 F 1F 2 的中点，MF 2∥y 轴，所以直线 MF 1 与 y 轴的交点 D (0,2) 是线段 MF 1 的中点，故 b 2a =4，即b 2=4a. ⋯⋯① 由 ∣MN∣=5∣∣F 1N∣∣ 得 ∣DF 1∣=2∣∣F 1N∣∣． 设 N (x 1,y 1)，由题意知 y 1<0， 则 {2(−c −x 1)=c,−2y 1=2, 即 {x 1=−32c,y 1=−1.代入 C 的方程，得 9c 24a 2+1b 2=1. ⋯⋯② 将 ① 及c =√a 2−b 2 代入 ② 得 9(a 2−4a )4a 2+14a =1．解得 a =7，b 2=4a =28，故 a =7，b =2√7．10. （1） 将 y =kx +2 代入 x 2=2py ，得 x 2−2pkx −4p =0． 其中 Δ>0，设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=2pk ，x 1x 2=−4p ．所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+x 122p ⋅x 222p =−4p +4．由已知，−4p +4=2，解得 p =12，所以抛物线 E 的方程为 x 2=y ．（2） 由（1）知，x 1+x 2=k ，x 1x 2=−2． k 1=y 1+2x 1=x 12+2x 1=x 12−x 1x 2x 1=x 1−x 2，同理 k 2=x 2−x 1，k =y 1−y2x 1−x 2=x 12−x 22x 1−x 2=x 1+x 2，所以 k 12+k 22−2k 2=−8x 1x 2=16.11. （1） 依题意可设椭圆方程为 x 2a 2+y 2=1，则右焦点 F(√a 2−1,0)，由题设∣∣√a 2−1+2√2∣∣√2=3，解得 a 2=3，故所求椭圆的方程为 x 23+y 2=1．（2） 设 P 为弦 MN 的中点，由 {y =kx +m,x 23+y 2=1,得 (3k 2+1)x 2+6mkx +3(m 2−1)=0， 由于直线与椭圆有两个交点，所以 Δ>0，即 m 2<3k 2+1, ⋯⋯① 所以 x P =x M +x N2=−3mk 3k 2+1， 从而 y P =kx P +m =m3k 2+1， 所以 k AP =y P +1x P=−m+3k 2+13mk，又 ∣AM∣=∣AN∣， 所以 AP ⊥MN ， 则 −m+3k 2+13mk=−1k ，即 2m =3k 2+1, ⋯⋯②把 ② 代入 ① 得 2m >m 2 解得 0<m <2， 由 ② 得 k 2=2m−13>0，解得 m >12．故所求 m 的取值范围是 (12,2)．12. 设双曲线方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，由椭圆x 28+y 24=1，求得两焦点为 (−2,0)，(2,0)，所以对于双曲线 C ：c =2．又 y =√3x 为双曲线 C 的一条渐近线， 所以 ba =√3，解得 a =1，b =√3． 所以双曲线 C 的方程为 x 2−y 23=1．13. （1） 因为直线 l 与圆 x 2+(y −1)2=5 √1+a 2=√5，因为直线 l 不过第二象限，所以 a =2， 所以直线 l 的方程为 2x −y −4=0．（2） 因为直线 l 1 过点 (3,−1) 且与直线 l 平行，所以设直线 l 1 的方程为 2x −y +b =0，因为直线 l 1 过点 (3,−1)，所以 b =−7，则直线 l 1 的方程为 2x −y −7=0， 因为直线 l 2 与 l 1 关于 y =1 对称，所以直线 l 2 的斜率为 −2，且过点 (4,1)， 所以直线 l 2 的方程为 y −1=−2(x −4)，即化简得 2x +y −9=0． 14. （1） 圆 C 的参数方程 {x =1+cosφ,y =sinφ（φ 为参数）．消去参数可得：(x −1)2+y 2=1．把 x =ρcosθ，y =ρsinθ 代入化简得：ρ=2cosθ，即为此圆的极坐标方程． （2） 如图所示，由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3，射线 OM ：θ=π3．可得普通方程：直线 l ：y +√3x =3√3，射线 OM ：y =√3x ． 联立 {y +√3x =3√3,y =√3x,解得 {x =32,y =3√32,即 Q (32,3√32)． 联立 {y =√3x,(x −1)2+y 2=1,解得 {x =0,y =0 或 {x =12,y =√32. 所以 P (12,√32)．来自QQ 群339444963所以 ∣PQ∣∣=√(12−32)2+(√32−3√32)2=2．15. 由共同的焦点 F 1(0,−5)，F 2(0,5)， 可设椭圆方程为y 2a2+x 2a 2−25=1，双曲线方程为 y 2b 2−x 225−b 2=1，点 P (3,4) 在椭圆上，16a 2+9a 2−25=1，解得 a 2=40，双曲线的过点 P (3,4) 的渐近线为 y =43x ，故b 225−b 2=169，解得 b 2=16．所以椭圆方程为：y 240+x 215=1； 双曲线方程为：y 216−x 29=1．16. 设点 P (t,4t 2)，点 P 到直线 y =4x −5 的距离为 d ，则 d =2√17=4(t−12)2+4√17．当 t =12时，d 取得最小值，此时 P (12,1) 为所求的点，最短距离为 4√1717． 17. 当 x =2 时 y =2， 所以过定点 A (2,2)， 因为 A 在直线上，所以 2m +2n =1，且 mn >0， 所以 1m +1n =(1m +1n )(2m +2n )=2+2+2m n+2n m≥4+2√4=8，即 1m +1n 的最小值为 8．18. （1） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)． {y =x +m,y 2=8x⇒x 2+(2m −8)x +m 2=0⇒{Δ=(2m −8)2−4m 2>0,x 1+x 2=8−2m,x 1x 2=m 2.∣AB ∣=√2∣x 1−x 2∣=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=10,m =716， 因为 m <2， 所以 m =716．（2） 因为 OA ⊥OB ， 所以 x 1x 2+y 1y 2=0，x 1x 2+(x 1+m )(x 2+m )=0，2x 1x 2+m (x 1+x 2)+m 2=0． 2m 2+m (8−2m )+m 2=0，m 2+8m =0，m =0 或 m =−8， 经检验 m =−8．19. 因为椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点， 所以 b =c ，a =√2b ，又焦点到同侧长轴端点距离为 √2−1，即 a −c =√2−1，即 a −b =√2−1，解得 a =√2，b =c =1， 所以当焦点在 x 轴时，椭圆的方程为：x 22+y 2=1； 当焦点在 y 轴时，椭圆的方程为y 22+x 2=1．20. 由方程组 {y =kx +1,x 2−y 2=1 消去 y ，得 (1−k 2)x 2−2kx −2=0，当 1−k 2=0，即 k =±1 时，有一个交点． 当 1−k 2≠0，即 k ≠±1 时，Δ=(−2k )2+4×2(1−k 2)=8−4k 2．由 Δ>0，即 8−4k 2>0，得 −√2<k <√2，此时有两个交点． 由 Δ=0，即 8−4k 2=0，得 k =±√2，此时有一个交点． 由 Δ<0，即 8−4k 2<0，得 k <−√2 或 k >√2，此时没有交点．综上知，当 k ∈(−√2,−1)∪(−1,1)∪(1,√2) 时，直线 l 与曲线 C 有两个交点； 当 k =±√2 时，直线 l 与曲线 C 切于一点； 当 k =±1 时，直线 l 与曲线 C 交于一点；当 k ∈(−∞,−√2)∪(√2,+∞) 时，直线 l 与曲线 C 没有交点．21. （1） 由已知方程 x 2m+3−y 22m−1=1 表示焦点在 y 轴上的双曲线，则 {m +3<0,1−2m >0,得 {m <−3,m <12,得 m <−3，即 q ：m <−3． （2） 若方程 x 2+2mx +(m +2)=0 有两个不等的正根，则 {Δ=4m 2−4(m +2)>0,−2m >0,m +2>0,解得 −2<m <−1，即 p ：−2<m <−1． 因 p 或 q 为真，所以 p ，q 至少有一个为真． 又 p 且 q 为假，所以 p ，q 至少有一个为假．因此，p ，q 两命题应一真一假，当 p 为真，q 为假时，{−2<m <−1,m ≥−3,解得 −2<m <−1；当 p 为假，q 为真时，{m ≤−2或m ≥−1,m <−3,解得 m <−3．综上，−2<m <−1 或 m <−3． 22. 根据题意，c =√3，ba =√2， 所以 a =1，b =√2．所以双曲线的方程是：x 2−y 22=1．过点 B (1,1) 的直线方程为 y =k (x −1)+1 或 x =1．①当 k 存在时，联立方程可得 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0．当直线与双曲线相交于两个不同点，可得 Δ=(2k 2−2k )2−4(2−k 2)(−k 2+2k −3)>0，k <32，又方程的两个不同的根是两交点 M ，N 的横坐标， 所以 x 1+x 2=2(k−k 2)2−k 2．又因为 B (1,1) 是线段 MN 的中点， 所以2(k−k 2)2−k 2=2，解得 k =2．所以 k =2，使 2−k 2≠0 但使 Δ<0．因此当 k =2 时，方程 (2−k 2)x 2+(2k 2−2k )x −k 2+2k −3=0 无实数解，故过点 B (1,1) 与双曲线交于两点 M ，N 且 B 为线段 MN 中点的直线不存在． ②当 x =1 时，直线经过点 B 但不满足条件． 综上所述，符合条件的直线 l 不存在．23. （1） 由于圆 C ：x 2+y 2−6x +4y +4=0 的圆心 C (3,−2)，半径为 3，∣CP∣=√5，而弦心距 d =√5，所以 d =∣CP∣=√5， 所以 P 为 MN 的中点，所以所求圆的圆心坐标为 (2,0)，半径为 12∣MN∣=2，故以 MN 为直径的圆 Q 的方程为 (x −2)2+y 2=4；（2） 把直线 ax −y +1=0 即 y =ax +1 代入圆 C 的方程，消去 y ，整理得 (a 2+1)x 2+6(a −1)x +9=0．由于直线 ax −y +1=0 交圆 C 于 A ，B 两点，故 Δ=36(a −1)2−36(a 2+1)>0，即 −2a >0，解得 a <0．则实数 a 的取值范围是 (−∞,0)．设符合条件的实数 a 存在，由于 l 2 垂直平分弦 AB ，故圆心 C (3,−2) 必在 l 2 上． 所以 l 2 的斜率 k PC =−2， 所以 k AB =a =12， 由于 12∉(−∞,0)，故不存在实数 a ，使得过点 P (2,0) 的直线 l 2 垂直平分弦 AB ．24. （1） 直线 l:{x =1+√22ty =2+√22t(t 为参数)，消去参数 t 可得普通方程 l:x −y +1=0．曲线 C:ρ2(1+sin 2θ)=2，可得 ρ2+(ρsinθ)2=2， 可得直角坐标方程：x 2+y 2+y 2=2， 即 C:x 22+y 2=1．（2） 把 l:{x =1+√22t y =2+√22t 代入 x 22+y 2=1 中，整理得 3t 2+10√2t +14=0， 设 A ，B 对应的参数分别为 t 1，t 2， 所以 t 1⋅t 2=143，点 M 在直线上由 t 的几何意义可知，∣MA ∣∣MB ∣=∣t 1⋅t 2∣=143．25. （1） 由题得：ca =√32，4a =8，所以 a =2，c =√3． 又 b 2=a 2−c 2，所以 b =1，即椭圆 C 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 由题意知，∣m∣≥1．当 m =1 时，切线 l 的方程 x =1，点 A ，B 的坐标分别为 (1,√32)，(1,−√32)，此时 ∣AB∣=√3；当 m =−1 时，同理可得 ∣AB∣=√3．当 ∣m∣>1 时，设切线 l 的方程为 y =k (x −m )(k ≠0)， 由 l 与圆 x 2+y 2=1√k 2+1=1，即 m 2k 2=k 2+1．得 k 2=1m 2−1．由 {y =k (x −m ),x 24+y 2=1得 (1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0． 设 A ，B 两点的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则 Δ=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=48k 2>0，x 1+x 2=8k 2m1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．所以∣AB∣=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√3∣m∣m 2+3.因为 ∣m∣≥1， 所以 ∣AB∣=4√3∣m∣m 2+3=4√3∣m∣+3∣m∣≤2，且当 m =±√3 时，∣AB∣=2，由于当 m =±1 时，∣AB∣=√3，所以 ∣AB∣ 的最大值为 2．26. （1）当n≥2时，S n+1=qS n+1, ⋯⋯①S n=qS n−1+1, ⋯⋯②①−②得a n+1=q⋅a n，即从第二项开始，数列{a n}为等比数列，公比为q，当n=2时，S2=qS1+1，即a1+a2=qa1+1，可得a2=a1q，所以数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a2=a1q=q，a3=a1q2=q2，因为2a2，a3，a2+2成等差数列，所以2a3=2a2+a2+2，即2q2=2q+q+2，解得q=2，所以数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n=2n−1；（2）由（1）可得数列{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列，所以a n=q n−1>0，根据题意，e n2=1+a n2，因为e2=3，所以1+a22=9，解得a2=2√2，所以q=a2a1=2√2，所以a n=(2√2)n−1，所以e n2=1+a n2=1+8n−1，所以e12+e22+⋯+e n2=n+(1+8+82+⋯+8n−1)=n+8n−17．27. （1）因为曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ−4sinθ，所以ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x−4y，即(x−1)2+(y+2)2=5，因为直线l过点(1,−1)，且该点到圆心的距离为√(1−1)2+(−1+2)2<√5，所以直线l与曲线C相交．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，∣AB∣=2√5≠3√2，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k(x−1)，即kx−y−k−1=0，圆心到直线l的距离d=√k2+1=√(√5)2−(3√22)2，解得k=±1，所以直线l的斜率为±1．28. （1）直线l:y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为√2，√b2+1=√2，所以 b =1， 因为椭圆的离心率 e =√63， 所以a 2−1a 2=(√63)2，所以 a 2=3， 所以所求椭圆的方程是x 23+y 2=1．（2） 直线 y =kx +2 代入椭圆方程，消去 y 可得：(1+3k 2)x 2+12kx +9=0， 所以 Δ=36k 2−36>0， 所以 k >1 或 k <−1，设 C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则有 x 1+x 2=−12k 1+3k2，x 1x 2=91+3k 2，因为 EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)，且以 CD 为直径的圆过点 E ， 所以 EC ⊥ED ，所以 (x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，所以 (1+k 2)x 1x 2+(2k +1)(x 1+x 2)+5=0， 所以 (1+k 2)×91+3k 2+(2k +1)×(−12k1+3k 2)+5=0， 解得 k =76>1，所以当 k =76 时，以 CD 为直径的圆过定点 E ．29. （1） 将曲线 C 的极坐标方程 ρ2−2ρcosθ−3=0 化为直角坐标方程为 x 2+y 2−2x −3=0， 直线 l 的参数方程为 {x =−3+tcosα,y =tsinα（t 为参数），将参数方程代入 x 2+y 2−2x −3=0，整理得 t 2−8tcosα+12=0， 因为直线 l 与曲线 C 有公共点，所以 Δ=64cos 2α−48≥0， 所以 cosα≥√32 或 cosα≤−√32， 因为 α∈[0,π)，所以 α 的取值范围是 [0,π6]∪[5π6,π)．（2） 曲线 C 的方程 x 2+y 2−2x −3=0 可化为 (x −1)2+y 2=4，其参数方程为 {x =1+2cosθ,y =2sinθ（θ 为参数）， 因为 M (x,y ) 为曲线上任意一点，所以 x +y =1+2cosθ+2sinθ=1+2√2sin (θ+π4)，所以 x +y 的取值范围是 [1−2√2,1+2√2]． 30. b 2a 2证明：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)， 则有 {x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22.x 12a 2−y 12b 2=1，x 22a 2−y 22b 2=1， 两式相减得 x 12−x 22a 2=y 12−y 22b 2，即(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2=(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2，(y 1−y 2)(y 1+y 2)(x 1−x 2)(x 1+x 2)=b 2a 2 即 k OM ⋅k AB =b 2a 2．31. （1） 设椭圆的方程为 x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)． 因为椭圆的焦距等于 4，且经过点 P(3,−2√6)， {2c =2√a 2−b 2=4,32a2+(−2√6)2b2=1,解得 {a 2=36,b 2=32.所以所求的椭圆方程为 x 236+y 232=1． （2） ①当椭圆的焦点在 x 轴上时， 因为 a =3，e =c a=√63， 所以 c =√6，可得 b 2=a 2−c 2=3．此时椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1；②当椭圆的焦点在 y 轴上时， 因为 b =3，e =ca =√63， 所以√a 2−b 2a=√63，解得 a 2=27．此时椭圆的标准方程为y 227+x 29=1．综上所述，所求椭圆的标准方程为 x 29+y 23=1 或 y 227+x 29=1．32. 设 M (x,y )，P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，易求 y 2=4x 的焦点 F 的坐标为 (1,0)，因为 M 是 FQ 的中点，所以 {x =1+x22,y =y 22⇒{x 2=2x −1,y 2=2y, 又 Q 是 OP 的中点，所以 {x 2=x12,y 2=y 12⇒{x 1=2x 2=4x −2,y 1=2y 2=4y,因为 P 在抛物线 y 2=4x 上，所以 (4y )2=4(4x −2)， 所以 M 点的轨迹方程为 y 2=x −12．33. （1） 设 F (c,0)，由条件知 2c=2√33，得 c =√3．又 ca=√32， 所以 a =2，b 2=a 2−c 2=1，故 E 的方程为 x 24+y 2=1．（2） 依题意当 l ⊥x 轴不合题意，故设直线 l ：y =kx −2，设 P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，将 y =kx −2 代入x 24+y 2=1，得 (1+4k 2)x 2−16kx +12=0，当 Δ=16(4k 2−3)>0，即 k 2>34时，x 1,2=8k±2√4k 2−31+4k 2．从而 ∣PQ∣∣=√k 2+1∣∣x 1−x 2∣=4√k 2+1⋅√4k 2−31+4k 2，又点 O 到直线 PQ 的距离 d =√k 2+1，所以 △OPQ 的面积 S △OPQ =12d∣∣PQ∣∣=4√4k 2−31+4k 2，设 √4k 2−3=t ，则 t >0，S △OPQ =4t t 2+4=4t+4t≤1，当且仅当 t =2，k =±√72等号成立，且满足 Δ>0，所以当 △OPQ 的面积最大时，l 的方程为：y =√72x −2 或 y =−√72x −2．34. （1） 因为 a =5，b =3， 所以 c =4，设 ∣PF 1∣=t 1，∣PF 2∣=t 2， 则 t 1+t 2=10， ⋯⋯①t 12+t 22−2t 1t 2⋅cos60∘=82， ⋯⋯②由 ①2−② 得 t 1t 2=12，所以 S △F 1PF 2=12t 1t 2⋅sin60∘=12×12×√32=3√3．（2） 设 P (x,y )，由 S △F 1PF 2=12⋅2c ⋅∣y ∣=4⋅∣y ∣ 得 4∣y ∣=3√3， 所以 ∣y ∣=3√34⇒y =±3√34, 将 y =±3√34代入椭圆方程解得 x =±5√134， 所以 P (5√134,3√34) 或 P (5√134,−3√34) 或 P (−5√134,3√34) 或 P (−5√134,−3√34)． 35. （1） 双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的渐近线方程为：y =±ba x ， 则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3， 则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2） 联立直线方程和双曲线方程，得到， {y =x +m,x 2−y 23=1,消去 y ，得 2x 2−2mx −m 2−3=0， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则判别式 Δ=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ， 中点 M 的 x 0=m 2，y 0=x 0+m =32m ， 则有 y0x 0=3．来自QQ 群33944496336. （1）如图所示，不妨设 M 在双曲线的右支上，M 点到 x 轴的距离为 ℎ， MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 MF 1⊥MF 2， 设 ∣MF 1∣=m ，∣MF 2∣=n ，由双曲线定义知，m −n =2a =8, ⋯⋯① 又 m 2+n 2=(2c )2=80, ⋯⋯② 由 ①② 得 m ⋅n =8， ∴12mn =12∣F 1F 2∣⋅ℎ， ∴ℎ=2√55．来自QQ 群339444963（2） 设所求双曲线 C 的方程为 x 216−λ−y 24+λ=1(−4<λ<16)，由于双曲线 C 过点 (3√2,2)，所以 1816−λ−44+λ=1，解得 λ=4 或 λ=−14（舍去）． ∴ 所求双曲线 C 的方程为 x 212−y 28=1．37. （1） ∵ 点 P 在椭圆 C 上， ∴2a =∣PF 1∣+∣PF 2∣=6，a =3．在 Rt △PF 1F 2 中，2c =∣F 1F 2∣=√∣PF 2∣2+∣PF 1∣2=√(143)2+(43)2=2√533；故椭圆的半焦距 c =√533，从而 b 2=a 2−c 2=289，∴ 椭圆 C 的方程为 x 29+y 2289=1．（2） 已知圆的方程为 (x +2)2+(y −1)2=5，∴ 圆心 M 的坐标为 (−2,1)． 设 A ，B 的坐标分别为 (x 1,y 1)，(x 2,y 2)． 由题意 x 1≠x 2 且 x 129+y 12289=1, ⋯⋯①x 229+y 22289=1. ⋯⋯②由②−①得(x1−x2)(x1+x2)9+(y1−y2)(y1+y2)289=0. ⋯⋯③又A，B关于点M对称，∴x1+x2=−4，y1+y2=2，代入③得y1−y2x1−x2=5681，即直线L的斜率为5681，∴直线L的方程为y−1=5681(x+2)，即56x−81y+193=0．故所求的直线方程为56x−81y+193=0．来自QQ群33944496338. （1）设圆心为M(m,0)(m∈Z)．由于圆与直线4x+3y−29=0相切，且半径为5，所以∣4m−29∣5=5，即∣4m−29∣=25．因为m为整数，故m=1．故所求圆的方程为(x−1)2+y2=25．（2）把直线ax−y+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得(a2+1)x2+2(5a−1)x+1=0，由于直线ax−y+5=0交圆于A，B两点，故Δ=4(5a−1)2−4(a2+1)>0，即12a2−5a>0，由于a>0，解得a>512，所以实数a的取值范围是(512,+∞)．（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为−1a ，l的方程为y=−1a(x+2)+4，即x+ay+2−4a=0，由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，所以1+0+2−4a=0，解得a=34．由于34∈(512,+∞)，故存在实数a=34．使得过点P(−2,4)的直线l垂直平分弦AB．来自QQ群339444963 39. （1）当α=π3时，C1的普通方程为y=√3(x−1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组{x2+y2=1, y=√3(x−1),解得C1与C2的交点为(1,0) 和 (12,−√32).（2） C 1 的普通方程为xsinα−ycosα−sinα=0,A 点坐标为 (sin 2α,−cosαsinα)，故当 α 变化时，P 点轨迹的参数方程为{x =12sin 2α,y =−12sinαcosα,(α为参数). P 点轨迹的普通方程为(x −14)2+y 2=116.故 P 点轨迹是圆心为 (14,0)，半径为 14 的圆． 40. 设圆心为 (3t,t )，半径为 r =∣3t∣， 则圆心到直线 y =x 的距离 d =√2=∣∣√2t ∣∣，由勾股定理及垂径定理得：(2√72)2=r 2−d 2，即 9t 2−2t 2=7，解得：t =±1，所以圆心坐标为 (3,1)，半径为 3；或圆心坐标为 (−3,−1)，半径为 3， 则圆 C 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=9 或 (x +3)2+(y +1)2=9． 41. （1） 由 {y =x +b,x 2=4y得 x 2−4x −4b =0, ⋯⋯①因为直线 l 与抛物线 C 相切，所以 Δ=(−4)2−4×(−4b )=0， 解得 b =−1．（2） 由（1）知 b =−1，故方程 ① 即为 x 2−4x +4=0，解得 x =2，代入 x 2=4y ，得 y =1． 故点 A (2,1)，因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切，所以圆 A 的半径 r 等于圆心 A 到抛物线的准线 y =−1 的距离，即 r =∣1−(−1)∣=2， 所以圆 A 的方程为 (x −2)2+(y −1)2=4．42. （1） 由 {x =ρcosθ,y =ρsinθ, 可得，(ρcosθ+6)2+ρ2sin 2θ=25，整理得 ρ2+12ρcosθ+11=0 即为所求．（2） 令直线 l 的斜率为 k ，可得直线的直角坐标方程为 kx −y =0． 圆的半径为 r =5，圆心到直线的距离 d =√k 2+1，又因为 ∣AB∣=√10，所以可得∣AB∣24+d 2=r 2，即 52+36k 2k 2+1=25，解得 k =±√153． 43. （1） 椭圆 x 29+y 225=1 的焦点为 (0,±4)，离心率为 e =45． 因为双曲线与椭圆的离心率之和为 245， 所以双曲线的离心率为 2， 所以 ca =2．因为双曲线与椭圆 x 29+y 225=1 有公共焦点 F 1，F 2，所以 c =4，所以 a =2，b =√12，所以双曲线的方程是 y 24−x 212=1．（2） 由题意，∣PF 1∣+∣PF 2∣=10，∣PF 1∣−∣PF 2∣=4， 所以 ∣PF 1∣=7，∣PF 2∣=3， 因为 ∣F 1F 2∣=8， 所以 cos∠F 1PF 2=72+32−822⋅7⋅3=−17．44. 由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点， 所以 p =2c ．设抛物线方程为 y 2=4c ⋅x ， 因为抛物线过点 (32,√6)， 所以 6=4c ⋅32，所以 c =1，故抛物线方程为 y 2=4x ． 又双曲线 x 2a2−y 2b 2=1 过点 (32,√6)，所以94a2−6b 2=1．又 a 2+b 2=c 2=1， 所以94a2−61−a 2=1．所以 a 2=14 或 a 2=9（舍）． 所以 b 2=34， 故双曲线方程为 4x 2−4y 23=1．45. （1） 因为 P 到点 F (1,0) 的距离比它到直线 l ：x =−2 的距离少 1， 所以 P 到点 F (1,0) 的距离与它到直线 l ：x =−1 的距离相等，所以由抛物线定义可知点 P 的轨迹是以 F 为焦点、以直线 l ：x =−1 为准线的抛物线，设抛物线方程为 y 2=2px (p >0) ， 所以 P =2，所以曲线 C 的方程为 y 2=4x ．（2） 直线 AB 的斜率为定值 −1，理由如下：设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则 y 12=4x 1，y 22=4x 2，因为直线 AQ ，BQ 倾斜角互补， 所以 k AQ +k BQ =0，即 y 1−2x 1−1+y 2−2x 2−1=0，4y1+2+4y 2+2=0，所以 y 1+y 2=−4， 所以 k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=−1．46. （1） 圆 C 的参数方程为 {x =2cosφ,y =2sinφ（φ 为参数），消去参数可得：圆 C 的普通方程为 x 2+y 2=4．由题意可得：直线 l 的参数方程为 {x =12t,y =2+√32t （t 为参数）． （2） 依题意，直线 l 的直角坐标方程为 √3x −y +2=0， 圆心 C 到直线 l 的距离 d =22=1， 所以 ∣AB ∣=2√r 2−d 2=2√3．47. （1） 因为椭圆一个顶点为 A (2,0)，离心率为 √22，所以 {a =2,ca =√22,a 2=b 2+c 2,所以 b =√2，所以椭圆 C 的方程为 x 24+y 22=1．（2） 直线 y =k (x −1) 与椭圆 C 联立 {y =k (x −1),x 24+y 22=1, 消元可得 (1+2k 2)x 2−4k 2x +2k 2−4=0，设 M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，则 x 1+x 2=4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−41+2k 2， 所以 ∣MN∣=√1+k 2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√(1+k 2)(4+6k 2)1+2k 2，因为 A (2,0) 到直线 y =k (x −1) 的距离为 d =√1+k 2，所以 △AMN 的面积 S =12∣MN∣d =∣k∣√4+6k 21+2k 2，因为 △AMN 的面积为 √103， 所以∣k∣√4+6k 21+2k 2=√103， 所以 k =±1． 48. （1） 由题意 ca =√22，b 2a=√2，a 2=b 2+c 2，解得 a =2√2，b =c =2， 则椭圆的方程为：x 28+y 24=1．（2） 要使 △AOB 面积最大，则 B 到 OA 所在直线距离最远． 设与 OA 平行的直线方程为 y =√22x +b ．由 {y =√22x +b,x 28+y 24=1, 消去 y 并化简得 x 2+√2bx +b 2−4=0． 由 Δ=0 得 b =±2√2， 不妨取 b >0，所以与直线 OA 平行，且与椭圆相切的直线方程为：y =√22x +2√2，则 B 到直线 OA 的距离等于 O 到直线：y =√22x +2√2 的距离 d ，d =4√33，又 ∣OA ∣=√6，△AOB 面积的最大值 S =12×√6×4√33=2√2．49. （1） 因为点 (1,√22) 在椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 上，椭圆离心率为 √22，所以 { 1a 2+12b 2=1,c a =√22,a 2=b 2+c 2, 解得 a =√2，b =1，所以椭圆 C 的方程为x 22+y 2=1．来自QQ 群339444963（2） 假设存在点 M (x 0,0)，使得 MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值， 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，设直线 l 的方程为 x =my +1，联立 {x 22+y 2=1,x =my +1得 (m 2+2)y 2+2my −1=0，y 1+y 2=−2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 0,y 1)=(my 1+1−x 0,y 1)，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−x 0,y 2)=(my 2+1−x 0,y 2)， 所以MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1+1−x 0)(my 2+1−x 0)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (1−x 0)(y 1+y 2)+(1−x 0)2=−(m 2+1)m 2+2+−2m 2(1−x 0)m 2+2+(1−x 0)2=m 2(x 02−2)+2(1−x 0)2−1m 2+2,。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题5 解析几何 专题5 解析几何
形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆
2 2
+ 2
2
=1(a>b>0)中,
①当P为短轴端点时,θ最大.
1
②S=2|PF1||PF2|·sin
θ=b tan
2
=c|y0|,当|y0|=b
2
大值,最大值为bc.
2
2
− 2 =1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或 2
2
− 2 =1(a>0,b>0)(焦点在 y
轴上).
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py(p>0).
5.圆锥曲线的几何性质
性质
椭圆
c2
b2
=a 2 =1-a 2 ,e→0,椭圆越
-1.
(2)若直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0,则l1∥l2
1 2 -2 1 = 0,
1 2 -2 1 = 0,
⇔
或
l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
1 2 -2 1 ≠ 0
1 2 -2 1 ≠ 0,
名师点析与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);
2
kAB·
kOM=2 =9.
9
kAB=-2,不满足;对
9
kAB=4,满足.故选
D.
6.(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程
解析几何专题资料
《解析几何》专题资料1. 已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线2:-=y l 的距离小1。
（1）求曲线C 的方程；（2）过点.,,)2,2(B A C m P λ=设两点交于与曲线的直线 ①当m 求直线时,1=λ的方程；②当△AOB 的面积为24时（O 为坐标原点），求λ的值。
2. 已知方向向量为()3 1，=v 的直线l 过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点以及点(0，32-)，椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上。
⑴求椭圆C 的方程。
⑵过点E(-2，0）的直线m 交椭圆C 于点M 、N ，且满足0cot 634≠∠=⋅MON ，(O 为坐标原点)，求直线m 的方程。
3. 已知12(2, 0), (2, 0)F F -，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （Ⅰ）求轨迹E 的方程；（Ⅱ）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点.若设点(, 0)M m ，问：是否存在实数m ，使得直线l 绕点2F 无论怎样转动，都有0MP MQ ⋅=成立？若存在，求出实数m 的值；若不存在，请说明理由.4. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率e ＝2，且1B 、2B 分别是双曲线虚轴的上、下端点（Ⅰ）若双曲线过点Q （2，3），求双曲线的方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若M 、N 是双曲线上不同的两点，且2221,B M B N B M B N λ=⊥ ，求直线MN 的方程5. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e . 直线aex y l +=:与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设.AB AM λ= （Ⅰ）证明：21e -=λ； （Ⅱ）若21,43F PF ∆=λ的周长为6；写出椭圆C 的方程. 6. 已知圆C ：224x y +=.（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B 两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.7. 设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .（1）求点P 的轨迹方程；（2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？8. 设直线:(1)(0)l y k x k =+≠与椭圆2223(0)x y a a +=>相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（1）证明：2223.3k a k >+； （2）若OAB CB AC ∆=求,2的面积取得最大值时的椭圆方程．9. 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。
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解析几何专题题型一：结合韦达定理解题（Ⅰ）定值问题：例1、椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，P 为椭圆C 上任意一点．已知12PF PF ∙的最大值为3，最小值为2．（１）求椭圆C 的方程；（２）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），且以MN 为直径的圆过点A ．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解析：（1） P 是椭圆上任一点,12||||2PF PF a ∴+=且1||a c PF a c -≤≤+，121212||||cos y PF PF PF PF F PF =∙=∠222121[||||4]2PF PF c =+-222111[||(|2||)4]2PF a PF c =+-- 2221(||)2PF a a c =-+-……………………2分当1||PF a =时，y 有最小值222a c -；当2||PF a c =-或a c +时, y 有最大值22a c -．2222322a c a c ⎧-=∴⎨-=⎩， 2241a c ⎧=⎨=⎩， 2223b a c =-=． ∴椭圆方程为22143x y +=。
……………………4分 （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将y kx m =+代入椭圆方程得222(43)84120k x kmx m +++-=．21212228412,4343km m x x x x k k --∴+==++………………6分 11y kx m =+，22y kx m =+，22121212(2)()y y k x x km x x m =+-++， MN 为直径的圆过点A 0AM AN ∴∙=，2271640m km k ∴++=，27m k ∴=-或2m k =-都满足0∆>，……………………9分若2m k =-直线l 恒过定点(2,0)不合题意舍去， 若27m k =-直线l ：2y k(x )7=-恒过定点2(,0)7．EX1.1 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一个顶点到两个焦点之间的距离分别为3+，3-（1）求椭圆的方程；（2）如果直线()x t t R =∈与椭圆相交于,A B ，若(3,0),(3,0)C D -，证明直线CA 与直线BD 的交点K 必在一条确定的双曲线上；（3）过点)0,1(Q 作直线l （与x 轴不垂直）与椭圆交于M N 、两点，与y 轴交于点R ，若RM MQ λ= ，RN NQ μ=，证明：λμ+为定值．解：（1）由已知333a a c c a c ⎧=⎧+=+⎪⎪⇔⎨⎨=⎪-=-⎪⎩⎩2221b a c =-=………………………3分所以椭圆方程为2219x y +=。
………………………5分 （2）依题意可设00(,),(,),(,)A t y B t y K x y -，且有22019t y +=又00:(3),:(3),33y y CA y x DB y x t t -=+=-+- 22202(9)9y y x t -=--，将22019t y +=代入即得22221(9),199x y x y =--=所以直线CA 与直线BD 的交点K 必在双曲线2219x y -=上。
……………………10分 （3）依题意，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-，……………11分BC设),(33y x M 、),(44y x N 、),0(5y R ，则M N 、两点坐标满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.19,)1(22y x x k y 消去y 并整理，得2222(19)18990k x k x k +-+-=，所以22439118k k x x +=+， ① 23429919k x x k -=+， ② ……………………13分因为MQ RM λ=，所以[]),()0,1(),0(),(33533y x y y x -λ=-，即⎩⎨⎧λ-=--λ=.,)1(35333y y y x x 所以)1(33x x -λ=，又l 与x 轴不垂直，所以13≠x ，所以331x x -=λ，同理441x x -=μ。
…………………………14分所以443311x xx x -+-=μ+λ34343434()21()x x x x x x x x +-=-++。
将①②代入上式可得49-=μ+λ。
…………………………16分例2、如图所示，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，点)2,4(A 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，PA PF +的最小值为8.（1）求抛物线方程；（2）若O 为坐标原点，问是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于C B ,两点，且以BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.解：设抛物线的准线为l ，过P 作l PB ⊥于B ，过A 作l AC ⊥于C ， （1）由抛物线定义知PBPF =ACPB PA PF PA ≥+=+⇒(折线段大于垂线段)，当且仅当C P A ,,三点共线取等号.由题意知8=AC ,即8824=⇒=+p p⇒抛物线的方程为：x y 162= 5分 （2）假设存在点M ，设过点M 的直线方程为b kx y +=，显然0≠k ，0≠b ，设),(11y x B ，),(22y x C ，由以BC 为直径的圆恰过坐标原点有0=⋅⇒02121=+y y x x ① 6分把b kx y +=代人x y 162=得0)8(2222=+-+b x bk x k 由韦达定理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+2221221)8(2k b x x k bk x x ② 7分又 2212122121)())((b x x bk x x k b kx b kx y y +++=++= ③②代人③得k by y 1621=④②④代人①得k b k b k b 1601622-=⇒=+⇒动直线方程为)16(16-=-=x k k kx y 必过定点)0,16( 10分当BC k 不存在时，直线16=x 交抛物线于)16,16(),16,16(C B -,仍然有0=⋅，综上：存在点M )0,16(满足条件 12分EX2.1 已知抛物线D 的顶点是椭圆13422=+y x 的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线D 的方程；(2)已知动直线l 过点()0,4P ,交抛物线D 于A 、B 两点.()i 若直线l 的斜率为1,求AB 的长；()ii 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由.解:(1)由题意,可设抛物线方程为()022>=p px y . …………1分由13422=-=-b a ,得1=c . …………2分∴抛物线的焦点为()0,1,2=∴p . …………3分 ∴抛物线D 的方程为x y 42=. …………4分(2)设()11,y x A ,()22,y x B . …………5分()i 直线l 的方程为：4-=x y , …………6分联立⎩⎨⎧=-=xy x y 442,整理得:016122=+-x x …………7分AB ∴=()2122124[)11(x x x x -++104=.…………9分EX2.2 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42=的一条切线． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点)31,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A ，B 两点．问：是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？ 若存在，求点T 坐标；若不存在，说明理由． 解析：（Ⅰ）由0)42(:40222=+-+⎩⎨⎧==+-b x b x y xy b y x 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切，04)42(22=--=∆∴b b ，∴1b =，……2分∵圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴22==b a 故所求椭圆方程为.1222=+y x（Ⅱ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222)34()31(=++y x 当L 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x由⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=++101)34()31(22222y x y x y x 解得即两圆公共点（0，1） 因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）（ⅰ）当直线L 斜率不存在时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）（ⅱ）若直线L 斜率存在时，可设直线L ：31-=kx y 由01612)918(:12312222=--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=kx x k y y x kx y 得消去记点),(11y x A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+9181691812),,(22122122k x x k k x x y x B 则)34)(34()1)(1()1,(),1,(212121212211--+=--+=⋅-=-=kx kx x x y y x x y x y x 所以又因为916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 0916918123491816)1(222=++⋅-+-⋅+=k k k k k∴TA⊥TB,综合（ⅰ）（ⅱ），以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）．（Ⅱ）取值范围问题：例3、如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E ；（I ）求曲线E 的方程；（II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围．【解】（1）.0,2=⋅=∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a ……………5分∴曲线E 的方程为.1222=+y x ………………6分 （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则……………………8分 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴， λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得……………………10分.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0===λFH FG x )1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴……………………………………12分EX3.1 如图，已知椭圆C ：)0(235222>=+m m y x ，经过椭圆C 的右焦点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆G 于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，设O 为椭圆的中心，射线OM 交椭圆于N 点． （1）是否存在k ，使对任意m>0，总有=+成立？若存在，求出所有k的值；（2）若31(4)2OA OB m m ⋅=-+ ，求实数k 的取值范围．【解】（1）椭圆C ：)0,(,,2325,1232522222222m F m c m m m c my m x ∴==-==+ 1分 直线AB ：y ＝k （x －m ）,………… 2分()⎪⎩⎪⎨⎧>=+-=0235),(222m m y x m x k y ，（10k 2＋6）x 2－20k 2mx ＋10k 2m 2－15m 2＝0． 3分 设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）,则x 1＋x 2＝6102022+k m k ，x 1x 2＝61015102222+-k m m k 4分 则x m ＝.6106)(,61010222221+-=-=+=+k kmm x k y k m k x x m m5分若存在k,使M ,=+为ON 的中点，∴2=+．∴()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+==+61012,610202,2222k km k m k y x m m ，即N 点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+61012,61020222k km k m k ． 6分由N 点在椭圆上，则,262101231610205122222m k km k m k =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ 7分即5k 4－2k 2－3＝0．∴k 2＝1或k 2＝－53（舍）． 故存在k ＝±1使.ON OB OA =+8分（2）2121y y x x +=∙＝x 1x 2＋k 2（x 1－m ）（x 2－m ）＝（1＋k 2）x 1x 2－k 2m （x 1＋x 2）＋k 2m 2＝（1＋k 2）·()61015610k m 20k ·261015102222222222+-=++-+-k k m k m k k m m k 10分由()),4(2161015322m m k k+-=+-得.24216101522-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-m m k k 12分即k 2－15≤－20k 2－12,k 2≤7777,71≤≤-∴k 且k ≠0． 14分EX3.2 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴的负半轴上，过其上一点)0)(,(000≠x y x P 的切线方程为a x x ax y y )((2000-=-为常数）； （I ）求抛物线方程；（II ）斜率为1k 的直线PA 与抛物线的另一交点为A ，斜率为2k 的直线PB 与抛物线的另一交点为B（A 、B 两点不同），且满足k k λλλλ=-≠≠=+若),1,0(012，求证线段PM 的中点在y 轴上； （III ）在（II ）的条件下，当0,11<=k λ时，若P 的坐标为（1，－1），求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标的取值范围．【解】（I ）由题意可设抛物线的方程为)0(22>-=p py x ,∵过点)0)(,(000≠x y x p 的切线方程为)(2000x x ax y y -=-,000|2,x x x y ax p ='∴=-=………………2分 1.2p a∴=-∴抛物线的方程为).0(2<=a ax y …………………………………………………3分（II ）直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-,2010,().y a x y yk x x ⎧=⎨-=-⎩ 2111100000,,.A A k kax k x k x y x x x x a a∴-+-=∴+==- 同理,可得20B k x x a=-. …………………………………………………………5分 1212100,,.B kk k k k x x a +=∴=-=-- λλλ…………………………6分 又 (0,1),BM MA =≠≠- λλλ 0(),.A BM B A M M x x x x x x x x +∴-=-==-λλλ∴线段PM 的中点在y 轴上.……7分（III ）由1,(1,1), 1.P a =-=-λ可知221111(1,(1)),(1,(1)).A k k B k k ∴---+--- 211111(2,2),(2,4).AP k k k AB k k ∴=++=………………………………………8分 ∵∠PAB 为钝角，且P, A, B 不共线, 0.AP AB ∴⋅<即211111(2)2(2)40.k k k k k +⋅++⋅<21112111(252)0.0,2520.k k k k k k ∴++<<∴++> 1112,0.2k k ∴<--<<或……………10分又∵点A 的纵坐标21(1),A y k =-+ ∴当21-<k 时，1-<A y ；当1110,1.24时A k y -<<-<<-∴∠PAB 为钝角时点A 的坐标的取值范围为1(,1)(1,).4-∞--- ……………12分EX3.3 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点；（1）求椭圆C 的方程；（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．(1)解：由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a -===，即2243a b =又b ==2243a b ==，故椭圆的方程为22143y x += (2)解：由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-由22(4)143y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k <设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221212223264124343k k x x x x k k -+==++， ① ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++∴22222121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++∵2104k <≤，∴28787873443k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈- ， ∴OA OB ⋅ 的取值范围是13[4)4-，．(3)证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112()y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8x x x x x x x -+=+-由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)．EX3.4 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点M （1，—3）、N （5，1），若动点C 满足x y C t t t 4),()1(2=∈-+=的轨迹与抛物线且点R 交于A 、B 两点； （I ）求证：OB OA ⊥；（II ）在x 轴上是否存在一点)0)(0,(≠m m P ，使得过点P 的直线l 交抛物线x y 42=于D 、E 两点，并以线段DE 为直径的圆都过原点。