2014年全国高考理科数学试题及答案-湖南卷
湖南高考理科数学试题含答案(Word版).pdf
B、x= 7 12
C、x= 3
D、x= 6
【答案】A
【解析】函数 f ( x) 的对称轴为 x − = + k x = + + k ,
2
2
2
因为
3
0
sin ( x − )dx
=
0
−
cos
2 3
−
+
cos
=
0
sin
3
−
=
0
,
则 x = 5 是其中一条对称轴,故选 A. 6
【考点定位】三角函数图像 辅助角公式
13．若关于 x 的不等式
ax − 2 3 的解集为
x
|
−
5 3
x
1 3
，则
a=________.
学海无涯
(二)必做题(14-16 题)
y x, 14 若变量 x, y 满足约束条件 x + y 4, 且 z = 2x + y 的最小值为-6，则 k = _______。
y k,
学海无涯
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数 学（理工农医类）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的
1、满足
z +1
=i
（i 的虚数单位）的复数 z=
z
A、 1 + 1 i 22
B、 1 − 1 i 22
C、 − 1 + 1 i 22
b2
=
2
p
a 2
+
b
a b
=
【考点定位】抛物线
2014年高考理科数学湖南卷(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则 (1)(1)f g +=( )A .3-B .1-C .1D .3 4.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,ABBC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= .16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图418.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC = （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=sin 6CBA ∠=, 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =,且241F F =-. （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图72014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】由题意可知i i z z +=，所以i ()1z z =+，令z a bi =+，经化简可知1a ba b =-⎧⎨=+⎩，所以12a =，12b =-，即11i 22z =-，故选B.【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 【考点】随机抽样的概率 3.【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，即()()()()f x f x g x g x =-⎧⎨-=-⎩，联立3232()()1()()1f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩，得出2()1f x x =+，3()g x x =-，所以(1)(1)211f g +=-=，故选C.【提示】因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()f x f x -=，()()g x g x =--，联立方程得出()f x 和()g x 的解析式，再令1x =即可. 【考点】对数奇偶性 4.【答案】A【解析】根据()()555122rr rr r C x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为23351(2)202C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故选A.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论.【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.【提示】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论. 【考点】循环结构流程图 7.【答案】B【解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则628r r r -+=-，故选B.【提示】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r .【考点】几何体的体积 8.【答案】D【解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由2(1)(1)(1)p q x ++=+，1x +=所以1x =，故选D.【提示】根据增长率之间的关系，建立方程关系即可得到结论. 【考点】增长率 9.【答案】A 【解析】由2π30⎰()0f x dx =，可以得出2πcos cos()3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即π3ϕ=，所以()s i n 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因此一条对称轴为πππ32x k -=+（k ∈Z ）所以5π6x =，故选A. 【提示】由2π3⎰()0f x dx =，可以得到ϕ的值，可以知道对称轴x 从而求得x 的值.【考点】积分，对称轴，三角函数 10.【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图象上存在020001,e (0)2x P x x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭关于y 轴对称的点02001,e 2x Q x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭在函数2()l n ()g x x x a =++的图象上，从而0220001e ()ln()2x x x x a +-=-+-+，即001e ln()02x x a --+-=，问题等价于函数001()e ln()2xh x x a =--+-在(,0)x ∈-∞存在零点.即(a ∈-∞【提示】由题意可得001e ln()02xx a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围. 【考点】对称性 二、填空题11.【答案】(cos sin )1p θθ-=【解析】设直线方程y x b =+，联立22(2)(1)1x y y x b ⎧-+-=⎨=+⎩得出2222(3)420x x b b b --++-=，由韦达定理212422b b x x +-=，123x x b +=-，又有||2AB ===所以最后得出1b =-，故直线方程1x y -=，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=【提示】由题意可得直线l 的方程为y x b =+，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心(2,1)在直线l 上，由此求得b 的值，可得直线的方程. 【考点】直线与参数方程的位置关系，极坐标12.【答案】32【解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E，则BD DC =，由ABD △的勾股定理可得1AD =，由双隔线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直线332AE r =⇒=，故填32.【提示】设垂足为D ，O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算R 即可. 【考点】勾股定理，双割线定理 13.【答案】3-【解析】由题可得523231233aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：3- 【提示】由题可得52321233aa ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，可得a 的值.【考点】绝对值不等式 14.【答案】2-【解析】作出不等式组4y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的区域，可以得出三条直线的交点(),k k ，(4),k k -，(2)2,，且y x ≤，4x y +≤的可行域，所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当(4),k k -为最优解时，2(4)614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-，故填2-.【提示】做出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定k 的值即可. 【考点】线性规划 15.1【解析】由,2a C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,2a F b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22122a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩1. 【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求ba 的值.【考点】抛物线16.【答案】1]【解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3cos ,sin )θθ+([0,2π))θ∈，则||OA OB OD ++==，因为2c o s 3s i nθθ的取值范围为[[=，827(11+=+1=，所以||OA OB OD ++的取值范围为1]+.【提示】由题意设点D 的坐标为(3c o s θθ+，求得||8OA OB OD ++=+.根据2cos sin θθ的取值范围，可得||OA OB OD ++的最大值.【考点】平面向量的基本运算 三、解答题 17.【答案】（Ⅰ）1315（Ⅱ）140【解析】（Ⅰ）记{}E =甲组研发新产品成功，{}F =乙组研发新产品成功.由题设知2()3P E =，1()3P E =，3()5P F =，2()5P F =，故所求的概率为13()()()()()()15P P F P E P E P F P E P F =++=. （Ⅱ）设企业可获利润为X （万元），则X 的可能取值为0，100，120，220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=，133(100)()3515P X P EF ===⨯=，224(120)()3515P X P EF ===⨯=，236(220)()3515P X P EF ===⨯=，数学期望为30048013202100()0100120220140151515151515E X ++=⨯+⨯+⨯+⨯===. 【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可， （Ⅱ）求出企业利润的分布列，再根据数学期望公式计算即可.【考点】分布列和数学期望，概率 18.【答案】（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）在ADC △中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠=故由题设知，cos CAD ∠==（Ⅱ）sin 14BAD ∠== 于是sin sin()BAC BAD CAD ∠=∠-∠sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD =∠∠-∠∠27721⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ . 在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，故37sin 3sin AC BACBC CBA∠===∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等， 所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面， 所以111AC OB ⊥，于是111OB O HC ⊥平面， 进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角. 不妨设2AB =.因为60CBA ∠=︒，所以OB =1OC =，1OB =. 在11Rt OO B △中，易知11111OO O B O H OB ==而111O C =，于是1C H故1111cos O H C HO C H∠==. 即二面角11C OB D --【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，ACBD O =，11111AC B D O =，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形.可得111O O CC BB ∥∥且1CC AC ⊥，1BB BD ⊥，进而1OO AC ⊥，1OO BD ⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD ⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB ⊥，11OB C H ⊥，所以11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D --的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角20.【答案】（Ⅰ）13p =（Ⅱ）141(1)332nn n a --=+ 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又1a ，22a ，33a 成等差数列， 所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得13p =，0p =，当0p =时，1n n a a +=， 这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.（Ⅱ）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->①，但2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②， 由①②知，2210n n a a -->，因此21221221(1)122n nn nn a a ---⎛⎫⎪⎝⎭--==③， 因为{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n n na a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n na a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a ----=++++2111(1)1222nn --=+-++112121()1121n ---=++ 141(1)332nn --=+. 故数列{}n a 的通项公式为141(1)332nn n a --=+. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||nn n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应的通项公式，再用分段函数的形式表示出来. 【考点】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式21.【答案】（Ⅰ）1C 的方程为2212x y +=2C的方程为2212xy -=（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）因为12e e =，22a b +=44434a b a -=，因此222a b =，从而2(,0)F b，4,0)F ， 24||1b F F -==， 所以1b =，22a =.故1C ，2C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.（Ⅱ）因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-.由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210m y my +--=，易知此方程的判别式大于0. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1y ，2y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m-，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得22(2)4m x -=， 所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m=-，从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =. 因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧， 所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =，又因为21221||m y y +-=，所以2212m d +=.故四边形APBQ 的面积22212213||2221222mS PQ d mm+===-+--. 而2022m <-≤，故当0m =时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ 的面积，再由关于n 的函数的单调性求得最值.【考点】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值22.【答案】（Ⅰ）当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增 （Ⅱ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++， 当1a ≥时，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增.当01a <<时，由()0f x '<得1x =2x =-舍去）. 当1(0,)x x ∈时()0f x '<；当11(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递增，在区间1(,)x +∞上单调递增. 综上所述：当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在区间⎛ ⎝上单调递减，在区间⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）式知.当1a ≥，()0f x '>，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<. 又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a -.2≠-，解得12a ≠. 此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1221222()()ln(1)ln(1)22x xf x f x ax ax x x +=+-++-++ 21212ln[1()]a x x a x x =+++-1212121244()2()4x x x x x x x x +++++24(1)ln(21)21a a a -=--- 22ln(21)221a a =-+--， 令21a x -=，由01a <<且12a ≠知：当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<. 记22()ln 2g x x x=+-.（ⅰ）当10x -<<时，2()2ln()2g x x x =-+-，所以222222()0x g x x x x -'=-=<. 因此，()g x 在区间(10)-,上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<， 故当102a <<时，12()()0f x f x +<.（ⅱ）当10x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222()0g x x x '=-<，因此.()g x 在区间(0)1,上单调递减，从而()(1)0g x g >=. 故当112a <<时，12()()0f x f x +>，综上所述.满足条件的a的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用。
14年高考真题理科数学湖南卷
13．若关于 x 的不等式| ax 2 | 3 的解集为
x | 5 3 x 1 3，则 a
（二）必做题（14-16 题）
yx 14．若变量 x, y 满足约束条件 x y 4 ，且 z 2x y 的
y k 最小值为 6 ，则 k _____。
（B） 1
②
（D）4
）
（C） p1 p3 p2
（D）20
（C）1
（D） 1 1 i 22
湖南
（D）
（D）3
2014 年高考真题理科数学（解析版） 卷
8．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p ，第二年的增长率为 q ，
则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
pq
（A）
现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B 。设甲、
乙两组的研发相互独立。⑴求至少有一种新产品研发
成功的概率；⑵若新产品 A 研发成功，预计企业可获
利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企业可获
利润 100 万元。求该企业可获利润的分布列和数学期
望。
18．（本小题满分 12 分）如图 5，在平面四边形
ABCD 中， AD 1 ， CD 2 ， AC 7 。⑴求
cos CAD 的值；⑵若 cos BAD
19．（本小题满分 12 分）如图 6，四棱柱
ABCD A1B1C1D1 的所有棱长都相等，
AC BD O ， A1C1 B1D1 O1 ，四边形
ACC1A1 和四边形 BDD1B1 均为矩形。⑴证明：
足| CD | 1 ，则| OA OB OD | 的最大值是__________。
2014年普通高等学校招生全国统一考试---理数(湖南)(1)
科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码的姓名、准考证号和科目。
2. 选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效。
考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
3. 本试题卷共6页。
如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。
4. 考试结束后，将本试题卷和答题一并交回。
姓名准考证号祝你考试顺利!绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南1）理 科 数 学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{2,0,1}A =，集合{|||B x x a =<，且}x Z ∈，则满足A B ⊆的实数a 可以取的一个值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知命题p ：,x R $ 使1sin 2x x <成立． 则p Ø为（ ） A ．,x R " 1sin 2x x ³均成立 B ．,x R " 1sin 2x x <均成立 C ．,x R $ 使1sin 2x x ³成立 D ．,x R $ 使1sin 2x x =成立 3．已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是 （ ）A ．πB ．65πC ．π2D ．67π 4．在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则sin4xπ的值介于12-与22之间的概率为( ) A ．14B ．56 C ．13 D ．235．按下图所示的程序框图运算：若输出k ＝2，则输入x 的取值范围是（ ）A ．(20,25]B ．(30,57]C ．(30,32]D ．(28,57]6．当实数,x y 满足不等式0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有2ax y +≤成立，则实数a 的取值集合是（ ）A ．(1,1]-B ．(1,2)C ．(0,1]D ．(,1]-∞ 开始输入x k =0x =2x +1k =k +1 x >115?.结束否是输出k7．已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示： 在原三棱锥中给出下列命题： ①BC ⊥平面SAC ； ②平面SBC ⊥平面SAB ； ③SB ⊥AC ．其中所有正确命题的代号是 （ ） A ．①② B ．①③ C ．② D ．①8．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)C ．(1,2)D ．(1,2)9．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 0C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）：① 甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ② 乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③ 丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8； 则肯定进入夏季的地区有 ( )A ． 3个B ．2个C ．1个D ． 0个 10．如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重合．．．的一个动点，且OB y OA x OC +=，若 (0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为（ ）A ．)3,1(B ．)3,31( C ．)1,21( D ．)2,21( A B SSA （B ） CC S （A ）B 正视图侧视图 俯视图COCBA （第10题图）二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分. 请将答案填在答．题卡对应题号．．．．．．的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. （一）必考题（11—14题）11．已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上的投影等于 ．12．从,,,,a b c d e 这5个元素中取出4个放在四个不同的格子中，且元素b 不能放在第二个格子中，问共有 种不同的放法．（用数学作答）13．若函数()(0x f x a x a a =-->且1)a ≠ 有两个零点，则实数a 的取值范围是 ． 14．科拉茨是德国数学家，他在1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ,如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31n +），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如初始正整数为6，按照上述变换规则，我们可以得到一个数列：6，3，10，5，16，8，4，2，1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：（1）如果2n =，则按照上述规则施行变换后的第8项为 ．（2）如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数．．为 ． （二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑. 如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，ABC ∆的外接圆的切线AE 与BC 的延长线相交 于点E ，BAC ∠的平分线与BC 相交于点D ， 若8EB =，2EC =，则ED =______．16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线C 的极坐标方程是)4cos(2πθρ+=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：1413x ty t=-⎧⎨=-+⎩（为参数t ），则直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为______．三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． （本题满分12分）已知函数)cos()(ϕω+=x A x f （0>A ,0>ω,02<<-ϕπ）的图像与y 轴的交点为)1,0(，它在y 轴右侧的第一个最高点和 第一个最低点的坐标分别为)2,(0x 和)2,2(0-+πx （1）求函数)(x f 的解析式； （2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求)2(θf 的值．18．（本题满分12分）节日期间,高速公路车辆较多.某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的车速(km /h )分成六段 [80,85),[85,90),[90,95),[95,100), [100,105),[105,110)后得到如下图的频率分布直方图.(1)此调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法? (2)求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值.(3)若从车速在[80,90)的车辆中任抽取2辆,求抽出的2辆车中车速在[85,90)的车辆数ξ的分布列及数学期望.110 80 85 90 95100 105 车速0．0100．020 0．0400．050 0．060 频率 组距19．（本题满分12分）如图，在各棱长均为2的三棱柱111C B A ABC -中，侧面⊥11A C C A 底面ABC ，︒=∠601AC A ．（1）求侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小； （2）已知点D 满足BC BA BD +=，在直线1AA 上是 否存在点P ，使C AB DP 1//平面？若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A 、B 两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A 、B 两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A 中取得的倒入B 中，B 中取得的倒入A 中，这样操作进行了n 次后，A 喷雾器中药水的浓度为%n a ，B 喷雾器中药水的浓度为%n b ．（1）证明：n n a b +是一个常数； （2）求n a 与1n a -的关系式； （3）求n a 的表达式．21．（本小题满分13分）已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+= ，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．22．（本小题满分14分） 已知1()ln ,()1(0)f x x g x x x=-=-> （1）求()()()F x f x g x =-的极值，并证明：若12,(0,)x x ∈+∞有2121()()'()()f x f x f x x x -≥-； （2）设12,0λλ>，且121λλ+=，120,0x x >>， 证明：11221122()()()f x f x f x x λλλλ+≥+，若0,0(1,2,,)i i x i n λ>>= ，由上述结论猜想一个一般性结论（不需要证明）； （3）证明：若0(1,2,,)i a i n >= ，则12121212()nna a a a aan n a a a a a a n++++++≥参 考 答 案1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 卷 A D D D C B A A C C B 卷DACBDDDCBD1．【答案】A ．【解析】a =3时，B ＝{－2，－1，0,1，2}，符合A ⊆B ． 2． 【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 3．【答案】D【解析】值域[-2,1]含最小值不含最大值,故定义域小于一个周期,故选D 4．【答案】D 【解析】由题意可得644xπππ-≤≤，即213x -≤≤,其区间长度为53，由几何概型公式知所求概率为55326=．5．【答案】C【解析】当输出k ＝2时，应满足211152(21)1115x x +≤⎧⎨++>⎩，得28<x ≤57．6．【答案】B【解析】画出可行域，直线2ax y +=恒过定点（0，2），则可行域恒在直线2ax y +=的下方，显然当0a ≤时成立，当0a >时，直线即为122x ya+≤，其在x 轴的截距2201a a ≥⇒<≤，综上，可得1a ≤． 7．【答案】A【解析】：显然有三视图我们易知原几何体为三棱锥侧棱SA 垂直于底面ABC ，底面是个直角三角形AC BC ⊥，从而我们易知只有①是正确的8．【答案】A【解析】由于ABE ∆为等腰三角形，可知只需045AEF ∠<即可，即2||||b AF EF a c a<⇒<+，化简得23012e e e --<⇒<<．9．【答案】C【解析】甲地肯定进入，因为众数为22，所以22至少出现两次，若有一天低于22 0C ，则中位数不可能为24；丙地肯定进入，2210.85(3226)18(26)x ⨯--=≥-，若21x ≤，上式显然不成立．乙地不一定进入，如13，23，27，28，29．10．【答案】C【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以OB 所在的直线为x 轴，O 为原点建立平面直角坐标系，((0,))3COB πθθ∠=∈，则13(cos ,sin ),(1,0),(,)22C B A θθ，由题意可得 21sin cos 1323(cos ,sin )(1,0)(,)sin 223cos sin 32x x y x y y y θθθθθθθ⎧⎧==+⎪⎪⎪⎪=+⇒⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩令2()sin cos 3f u x y λθλθλθ-==+=+，(0,)3πθ∈则()f θ在(0,)3πθ∈不是单调函数，从而2'()cos sin 03f λθθλθ-=-=在(0,)3πθ∈一定有解，即2tan 3λθλ-=在(0,)3πθ∈时有解，可得2(0,3)3λλ-∈，即1(,2)2λ∈，经检验此时()f θ此时正好有极大值点．11．【答案】 55-【解析】a 在b 方向上的投影为5cos ,5===-a b a b a a b a a b b ． 12．【答案】 96【解析】间接法435496A A -= 13．【答案】1a >【解析】作图分析知当01a <<时只有一个零点，当1a >时有两个零点 14．【答案】（1）1 ；（2）6【解析】（1）如果2n =，按以上变换规则，得到数列：12382,1,4,,1a a a a ==== ； （2）设对正整数n 按照上述变换，得到数列：1278,,,,a a a a ，∵81a =，则72a =1321541876321215432112832642181620124510312124816a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎧⎧=⎧=⇒=⇒⎪⎨⎪=⎪⎩⎪=⇒=⇒⎨⎪=⎧⎪⎪=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒⎨⎨⎪=⎩⎩⎪⎪=⇒=⎧⎪=⇒=⇒=⇒⎨⎪=⇒=⎩⎩则n 的所有可能取值为2，3，16，20，21，128，共6个．15．【答案】4【解析】ADE ABD BAD ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠ 而ABD EAC ∠=，BAD DAC ∠=∠，所以ADE DAE ∠=∠所以EA ED =， 2216ED EA EC EB ==⋅=，所以4ED =16．【答案】75【解析】把⎩⎨⎧+-=-=t y tx 3141化为普通方程为3410x y ++=，把2cos()4πρθ=+化为直角坐标系中的方程为220x y x y +-+=，∴圆心到直线的距离为110，∴弦长为117221005-=．17．解：（1）由题意可得2=Aπ22=T 即π4=T ，21=ω……………………………………………… 3分 )21cos(2)(ϕ+=x x f ，1)0(=f由21cos =ϕ且02<<-ϕπ，得3πϕ-=函数)321cos(2)(π-=x x f …… ………………………………………………6分（2）由于1cos 3θ=且θ为锐角，所以322sin =θ )2(θf )3sin sin 3cos(cos 2)3cos(2πθπθπθ+=-=…………………………………10分)233222131(2⨯+⨯⋅=3621+=……………………12分 18．解(1)系统抽样 …………………………………2分(2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于97.5 设图中虚线所对应的车速为x ,则中位数的估计值为0.0150.0250.0450.06(75)0.5x ⨯+⨯+⨯+⨯-=,解得97.5x =即中位数的估计值为77.5 …………………………………6分 (3)从图中可知,车速在[80,85)的车辆数为10.015402m =⨯⨯=(辆), 车速在[85,90)的车辆数为20.025404m =⨯⨯=(辆) ∴0,1,2ξ=,2024261(0)15C C P C ξ===,1124268(1)15C C P C ξ===,0224266(2)15C C P C ξ===,xzyOξ的分布列为ξ12P115 815 615均值864()01215153E ξ=+⨯+⨯=. …………………………………12分 19．解：（1)∵侧面⊥11ACC A 底面ABC ，作AC O A ⊥1于点O ，∴⊥O A 1平面ABC ．又︒=∠=∠601AC A ABC ，且各棱长都相等，∴1=AO ，31==OB OA ，AC BO ⊥． ………………………………………2分故以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(B ，)3,0,0(1A ，)0,1,0(C ，∴)3,1,0(1=AA ，)3,2,3(1=AB ， )0,2,0(=AC ．……4分设平面C AB 1的法向量为)1,,(y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅++=⋅023231y AC n y x AB n 解得)1,0,1(-=n ．由46223,cos 111==⋅⋅><nAA n AA n AA ． 而侧棱1AA 与平面C AB 1所成角，即是向量1AA 与平面C AB1的法向量所成锐角的余角， ∴侧棱1AA 与平面C AB 1所成角的正弦值的大小为46…………………6分（2）∵BC BA BD +=，而()()3,1,0,3,1,0.BA BC =--=-∴(23,0,0)BD =-又∵)0,0,3(B ，∴点D 的坐标为)0,0,3(-D ． 假设存在点P 符合题意，则点P 的坐标可设为),,0(z y P ，∴),,3(z y DP =． ∵C AB DP 1//平面，)1,0,1(-=n为平面C AB 1的法向量，∴由1AP AA λ= ，得0,331=∴⎩⎨⎧==+y y λλ． ……………10分 又⊄DP 平面C AB 1，故存在点P ，使C AB DP 1//平面，其坐标为)3,0,0(，即恰好为1A 点． ………………………12分 20．解：（1）开始时，A 中含有1012%⨯=1.2千克的农药，B 中含有106%⨯=0.6千克的农药，n 次操作后，A 中含有10%0.1n n a a ⨯=千克的农药，B 中含有10%0.1n n b b ⨯=千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而0.10.1 1.20.6,18n n n n a b a b +=+∴+=（常数）． …………………………4分（2）第n 次操作后，A 中10千克的药水中农药的重量具有关系式：119110n n n a b a --⨯+⨯=由（1）知1118n n b a --=-，代入化简得14955n n a a -=+ ① …………………………8分 （3）令14()5n n a a λλ-+=+，利用待定系数法可求出λ=—9，所以149(9)5n n a a --=-，可知数列{}9n a -是以19a -为首项，45为公比的等比数列．由①，104949571255555a a =+=⨯+=由等比数列的通项公式知：111412449(9)()()3()5555n n n n a a ---=-==， 所以43()95nn a =+． …………………………12分21．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴=，∴抛物线21:4C y x = …………………………2分同理由椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,2b c a ==∴=．得椭圆222:12y C x +=． …………………………4分（2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++=216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ …………………………5分由12,NA AF NB BF λλ==得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-=整理得：121212,11x xx x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+． …………………………8分 （3）设(,),(,),(,)p p Q Q p Q p Q P x y Q x y S x x y y ∴++，则'(,0),'(,0)p Q P x Q x由''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+= 得21p Q p Q x x y y +=-；① 2212p p y x +=；②2212Q Q y x +=；③ …………………………11分由①+②+③得22()()12p Q p Q y y x x +++=∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证． …………………………13分22．解：（1）解：1()ln ,F x x x =--则21'(),x F x x-= 当x ∈（0，1）时'()0F x >，x ∈（1，＋∞）时'()0F x <， ∴()F x 在（0，1）递增，在（1，＋∞）递减，max ()(0)0F x F == …………………………2分∴当0x >时()()f x g x ≤恒成立，即0x >时1ln 1x x≥-恒成立。
2014年高考湖南理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】满足ii z z+=（i 为虚数单位）的复数z =（ ）（A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22--【答案】B【解析】由题意()i i 11i i i 1i i i 1i 22z z z z z z +-=⇒+=⇒-=-⇒==--，故选B ．（2）【2014年湖南，理2，5分】对一个容量为N 的总体抽取容量为m 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） （A ）123p p p =< （B ）231p p p =< （C ）132p p p =< （D ）123p p p == 【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==，故选D ． （3）【2014年湖南，理3，5分】已知()f x ，()g x 分别是定义R 在上的偶函数和奇函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()11f g +（ ）（A ）-3（B ）-1 （C ）1 （D ）3 【答案】C 【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=且()()111f g ---=，则()()()()()()1131211111f g f f g g ⎧-=⎧=⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ．（4）【2014年湖南，理4，5分】51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是（ ）（A ）-20 （B ）-5 （C ）5 （D ）20 【答案】A【解析】第1n +项展开式为()55122nn n C x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2n =时，()()2532351*********nn n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命题p ：若x y >，则x y -<-；命题q ：若x y >，则22x y >．在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中，真命题是（ ）（A ）①③ （B ）①④ （C ）②③ （D ）②④ 【答案】C【解析】当x y >时,两边乘以1-可得x y -<-，所以命题p 为真命题,当1,2x y ==-时,因为22x y <，所以命题q 为假命题，所以②③为真命题，故选C ．（6）【2014年湖南，理6，5分】执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于（ ）（A ）[]6,2-- （B ）[]5,1-- （C ）[]4,5- （D ）[]3,6- 【答案】D【解析】当[)2,0t ∈-时,运行程序如下，(](]2211,9,32,6t t S t =+∈=-∈-，当[]0,2t ∈时，[]33,1S t =-∈--，则(][][]2,63,13,6S ∈---=-，故选D ．（7）【2014年湖南，理7，5分】一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B【解析】由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则862r r r -+-=，故选B ．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为（ ）（A ）2p q +（B ）(1)(1)12p q ++- （C（D1【答案】D【解析】设两年的平均增长率为x ,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒，故选D ．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函数发()()sin f x x ϕ=-，且230()0x f x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ）（A ）56x π= （B ）712x π= （C ）3x π= （D ）6x π=【答案】A【解析】解法一：函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，因为()232sin 0cos cos 03x dx ππϕϕϕ⎛⎫-=⇒--+= ⎪⎝⎭⎰sin 03πϕ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭， 所以23k πϕπ=+或423k ππ+，则56x π=是其中一条对称轴，故选A ． 解法二：由定积分的几何性质与三角函数图象可知,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()sin()f x x ϕ=-的一个对称中心，所以sin()03πϕ-=，所以3k πϕπ=+，故选A ．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图像上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）（A ）(,)-∞（B ）(,-∞ （C）(（D）(【答案】B【解析】由题可得函数()f x 的图像上存在点020001(,)(0)2x P x x e x +-<关于y 轴对称的点02001(,)2x Q x x e -+-在函数2()ln()g x x x a =++的图像上，从而有()0220001ln()2x x e x x a +-=-+-+，即001ln()02x e x a --+-=．问题等价于函数1()ln()2x h x e x a =--+-在(),0x ∈-∞存在零点．解法一：1'()0x h x e x a=+>-+，()h x 在(),0x ∈-∞单调递增，当x →-∞时，()h x →-∞，要使()h x 在(),0-∞存在零点，则1(0)1ln 02h a =-->，从而a <B ．解法二： 问题等价于函数1()2x x e φ=-与()ln()x x a ϕ=-+的图象在(),0-∞有交点,在同一坐标系中作出这两个函数的图象，当()ln()x x a ϕ=-+的图象在左右平移的过程中，(0)(0)h ϕ>即可，即a e <，故选B ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．（一）选做题：在11,12,13三题中任选两题作答，如果全做，则按全两题记分． （11）【2014年湖南，理11，5分】在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线l 与曲线2cos :1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于,A B 两点，且2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，则直线l 的极坐标方程是 ．【答案】2sin 4πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【解析】曲线C 的普通方程为()()22211x y -+-=,设直线l 的方程为y x b =+，因为弦长2AB =，所以圆心()2,1到直线l 的距离0d =，所以圆心在直线l 上，故1y x =-2sin cos 1sin 4πρθρθρθ⎛⎫⇒=-⇒-=- ⎪⎝⎭．（12）【2014年湖南，理12，5分】如图3，已知,AB AC 是O 的两条弦，,3AO BC AB ⊥=，22BC =则O的半径等于 ． 【答案】32【解析】设线段AO 交BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ，则2BD DC ==，由三角形ABD 的勾股定理可得1AD =，由双割线定理可得2BD DC AD DE DE =⇒=，则直径332AE r =⇒=．（13）【2014年湖南，理13，5分】若关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a = ．【答案】3-【解析】由题可得52331233a a ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3a ⇒=-．（二）必做题（14~16题）（14）【2014年湖南，理14，5分】若变量,x y 满足约束条件4y xx y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最小值为6-，则k = ． 【答案】2- 【解析】求出约束条件中三条直线的交点为()(),,4,k k k k -(),2,2，且,4y x x y ≤+≤的可行域如图,所以2k ≤，则当(),k k 为最优解时，362k k =-⇒=-，当()4,k k -为最优解时，()24614k k k -+=-⇒=，因为2k ≤，所以2k =-．（15）【2014年湖南，理15】如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b <，原点O 为AD 的中点，抛物线经过,C F 两点，则ba= ．【答案】21+【解析】由题可得,,,22a a C a F b b ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2222a paa b p b ⎧=⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩21a b ⇒=+．（16）【2014年湖南，理16，5分】在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(0,3),(3,0)A B C -，动点D 满足1CD =，则OA OB OD ++的最大值是 ． 【答案】17+【解析】动点D 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，可设D 的坐标为(3cos ,sin )θθ+，则(2cos ,3sin )OA OB OD θθ++=++．()()222cos 3sin OA OB OD θθ++=+++()822cos 3sin θθ=++()87sin θϕ=++，其中43sin ,cos 77ϕϕ==， 当()sin 1θϕ+=时，OA OB OD ++的取到最大值17+．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（17）【2014年湖南，理17，12分】某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现 安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ．设甲、乙两组的研发相互独立． （1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记{E =甲组研发新产品成功}，{F =乙组研发新产品成功}．由题意知2132(),(),(),()3355P E P E P F P F ====， 且E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．（1）记{E =至少有一种新产品研发成功}，则H EF =，于是122()()()3515P H P E P F ==⋅=，故所求的概率为13()1()15P H P H =-=．（2）设企业可获利润为X ，则X 的可能取值为0,100,120,220．因122(0)()3515P X P EF ===⋅=，133224236(100)(),(120)(),(220)().351535153515P X P EF P X P EF P X P EF ===⋅====⋅====⋅=X0 100 120 220 P215 315 415 615 数学期望为：()0120100220151555E X =⨯+⨯+⨯+⨯14015==．（18）【2014年湖南，理18，12分】如图，在平面四边形ABCD 中，1,2,7AD CD AC ===．（1）求cos CAD ∠的值；（2）若7cos BAD ∠=-，21sin CBA ∠=，求BC 的长．解：（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得：222cos 2AC AD CD CAD AC AD +-∠=⋅，故由题设知，27cos .27CAD ∠==． （2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，因为27cos CAD ∠=，7cos BAD ∠=-，所以221sin 1cos CAD CAD ∠=-∠=, 2221sin 1cos BAD BAD ∠=-∠=， 于是()3sin sin sin cos cos sin BAD CAD BAD CAD BAD CAD α=∠-∠=∠∠-∠∠= 在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC AC CBAα=∠，故37sin 23sin 21AC BC CBA α⋅⋅===∠． （19）【2014年湖南，理19，13分】如图,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,11111,AC BD O AC B D O ==，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 为矩形．（1）证明:1O O ⊥底面ABCD ；（2）若060CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值．解：（1）如图（a ），因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥，同理1DC BD ⊥．因为11//CC DD ，所以1CC BD ⊥，而AC BD O =，因此1CC ⊥平面ABCD ， 由题设知11//O O C C ，故1O O ⊥平面ABCD ． （2）解法一： 如图（a ），过1O 作11O H B C ⊥于H ，连接1C H ．由（1）知，1O O ⊥平面ABCD ，所以1O O ⊥平面1111A B C D ，于是111O O AC ⊥，又四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而11AC ⊥平面11B BDD ，所以111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC ，进而11OB C H ⊥，所以11O HC ∠为二面角11C OB D --的平面角，不妨设2AB =， 因为060CBA ∠=，所以11,OB OC OB === 在11Rt OO B ∆中，易知11111O O O H B O B O =⋅=,又111O C =．于是1C H ===故1111cos O H O HC C H ∠====11C OB D --． 解法二：因为四棱柱1111-ABCD A B C D 的所有棱长都相等，所以ABCD 是菱形，因此 AC BD ⊥，又1O O ⊥平面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直．如图（b ），以1,,OB OC OO 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设2AB =，因为060CBA ∠=，所以1OB OC =．于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ，易知，1(0,1,0)=n 是平面 平面11B BDD 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 是平面11OB C 的一个法向量， 则212100OB OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即2020z y z +=+=⎪⎩，取z =2,x y ==所以2=n ．设二面角11C OB D --的大小为，易知是锐角，于是 121212cos cos ,θ⋅=<>===⋅n n n n n n ．二面角11C OB D -- （20）【2014年湖南，理20，13分】已知数列{}n a 满足111,,*n n n a a a p n N +=-=∈．（1）若数列{}n a 是递增数列，且123,2,3a a a 成等差数列，求p 的值；（2）若12p =，且{}2+1n a 是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式． 解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，11nn n n n a a a a p ++-=-=，而11a =，因此2231,1a p a p p =+=++，又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而得230p p -=．解得1,03p p ==．当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故13p =．（2）{}2+1n a 是递增数列，因而2+1210n n a a -->，于是()()2+122210n n n n a a a a --+-> ① 但2211122n n -<，所以2+12221n n n n a a a a --<- ② 由①，②知，2210n n a a -->，因此()221221211122n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③ 因为{}2n a 是递减数列，同理可得2120n n a a +-<，故()21221221122n nn n na a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④图a 1A OC B D1C 1B 1D A1O H1由③，④知，()1112n n n na a ++--==，于是121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-()()()11211111111412111222233212n n nnnn -+-----=+-++=+=+⋅+．数列{}n a 的通项公式为()1141332nn n a --=+⋅．（21）【2014年湖南，理21，13分】如图，O 为坐标原点，椭圆221221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222221(0)x yC a b a b-=>>：的左右焦点分别为34,F F ，离心率为2e ，已知123e e =，且2431F F =-．（1）求12C C ，的方程；（2）若1F 过作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值． 解：（1）因为123e e =，所以2222311b b a a -+=，即4434a b -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ， 24331b b F F -==-，所以1b =，22a =，椭圆1C 方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=． （2）因为直线AB 不垂直于y 轴且过点()11,0F -，故课设直线AB 的方程为1x my =-．由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=．易知此方程的判别式大于0．设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++，因此()12122422x x m y y m -+=+-=+，AB 的中点为222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=． 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()2224m x -=，222222420,,22m m x y m m ∴->==--，2222+4222m PQ x y m ∴=+=- 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则B 点到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以()()1122220mx y mx y +++<， 于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而()2122224my y d m +-=+又因为()22121212222144m y y y y y y m +-=+-=+，所以2222124m d m +=+四边形APBQ 面积222122132221222m S PQ d m m+=⋅==-+-- 而2022m <-<，故当0m =时，S 取得最小值2．四边形APBQ 面积的最小值为2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常数0a >，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+．（1）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围．解：（1）()()24'12a f x ax x =-++()()()()2224112a x ax ax x +-+=++()()()224112ax a ax x +-=++，（*）因为()()2120ax x ++>， 所以当10a -≤时，当1a ≥时，()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时,()12'0f x x x =⇒==-，当1(0,)x x ∈时，()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，()'0f x <． 故()f x 在区间1(0,)x 单调递减，在1(,)x +∞单调递增的． 综上所述：当1a ≥时,()'0f x ≥，此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增，当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在12a a ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增的． （2）由（*）式知，当1a ≥时，()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是1x =2x =-，且由()f x 的定义可知，1x a >-且2x ≠-，所以1a ->-，2--，解得12a ≠-，此时，（*）式知1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22x x f x f x ax ax x x +=+-++-++ ()()()121221212121244ln 1224x x x x a x x a x x x x x x ++⎡⎤=+++-⎣⎦+++()()()22412ln 21ln 2122121a a a a a -=--=-+---． 令21a x -=，由01a <<且12a ≠-知当102a <<时，10x -<<；当112a <<时，01x <<．记22()ln 2g x x x =+-．（ⅰ）当10x -<<时，()2()2ln 2g x x x =-+-，所以222222'()x g x x x x -=-=，因此，()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，故当102a <<时，12()()0f x f x +<．（ⅱ）当01x <<时，2()2ln 2g x x x =+-，所以222222'()x g x x x x-=-=，因此，()g x 在()0,1上单调递减， 从而()(1)0g x g >=，故当112a <<时，12()()0f x f x +>． 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．。
2014年高考理科数学湖南卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.满足ii z z +=（i 为虚数单位）的复数z =( )A .11i 22+B .11i 22-C .11i 22-+D .11i 22--2.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽 样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为1p ,2p ,3p ,则( ) A .123p p p =＜ B .231p p p =＜ C .132p p p =＜D .123p p p ==3.已知()f x ,()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且32()()1f x g x x x -=++,则(1)(1)f g += ( ) A .3-B .1-C .1D .34.51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 ( )A .20-B .5-C .5D .205.已知命题p ：若x y ＞,则x y -＜-；命题q ：若x y ＞,则22x y ＞.在命题①p q ∧；②p q ∨；③()p q ∧⌝；④()p q ⌝∨中,真命题是( )A .①③B .①④C .②③D .②④6.执行如图1所示的程序框图,如果输入的[2,2]t ∈-,则输出的S 属于 ( )A .[6,2]--B .[5,1]--C .[4,5]-D .[3,6]-7.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示.将该石材切削、打磨,加工成球,则能得到的最大球的半径等于( )A .1B .2C .3D .48.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A .2p q+ B .(1)(1)12p q ++-CD19.已知函数()sin()f x x ϕ=-,且2π30()d 0f x x =⎰,则函数()f x 的图象的一条对称轴是( )A .5π6x =B .7π12x =C .π3x =D .π6x = 10.已知函数21()e (0)2x f x x x =+-＜与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A.(-∞ B.(-∞ C.( D.(二、填空题：本大题共6小题,考生作答5小题,每小题5分,共25分.（一）选做题（请考生在第11,12,13三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分）11.在平面直角坐标系中,倾斜角为π4的直线l 与曲线C ：2cos ,1sin ,x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）交于A ,B 两点,且||2AB =.以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 .12.如图3,已知AB ,BC 是O 的两条弦,AO BC ⊥,AB =BC =则O 的半径等于 .13.若关于x 的不等式|2|3ax -＜的解集为51{|}33x x -＜＜,则a = . （二）必做题（14～16题）14.若变量x ,y 满足约束条件,4,,y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥且2z x y =+的最小值为6-,则k = .15.如图4,正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为,()a b a b ＜,原点O 为AD 的中点,抛物线22(0)y px p =＞经过C ,F 两点,则ba= . 16.在平面直角坐标系中,O 为原点,(1,0)A -,(0,3)B ,(3,0)C ,动点D 满足||1CD =,则||OA OB OD ++的最大值是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. （Ⅰ）求至少有一种新产品研发成功的概率；（Ⅱ）若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120 万元；若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望.-----在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效---------姓名________________ 准考证号_____________图1图2图3图4数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）18.（本小题满分12分）如图5,在平面四边形ABCD 中,1AD =,2CD =,AC （Ⅰ）求cos CAD ∠的值；（Ⅱ）若cos BAD ∠=,sin CBA ∠= 求BC 的长.19.（本小题满分12分）如图6,四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等,AC BD O =,11111AC B D O =,四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形. （Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=,求二面角11C OB D --的余弦值.20.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足11a =,1||n n n a a p +-=,*n ∈N .（Ⅰ）若{}n a 是递增数列,且1a ,22a ,33a 成等差数列,求p 的值； （Ⅱ）若12p =,且21{}n a -是递增数列,2{}n a 是递减数列,求数列{}n a 的通项公式.21.（本小题满分13分）如图7,O 为坐标原点,椭圆1C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左、右焦点分别为1F ,2F ,离心率为1e ；双曲线2C ：22221x y a b -=的左、右焦点分别为3F ,4F ,离心率为2e .已知12e e =且241F F . （Ⅰ）求1C ,2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.21.（本小题满分13分）已知常数0a ＞,函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0+)∞，上的单调性； （Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ,2x ,且12()()0f x f x +＞,求a 的取值范围.图5图6图73 / 152014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）答案解析【提示】根据复数的基本运算即可得到结论. 【考点】复数的四则运算 2.【答案】D【解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.【提示】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可. 【考点】二项式定理 5.【答案】C【解析】根据不等式的性质可知，若x y >，则x y -<-成立，即p 为真命题，当1x =，1y =-时，满足x y >，数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）但22x y >不成立，即命题q 为假命题，则①p q ∧为假命题；②p q ∨为真命题；③()p q ∧⌝为真命题；④()p q ⌝∨为假命题，故选：C.【提示】根据不等式的性质分别判定命题p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论. 【考点】非、或、且，真假命题 6.【答案】D【解析】当[2,0)t ∈-时，运行程序如下，221(1,9]t t =+∈，(26]3,S t -=∈-，当[0,2]t ∈时，[,1]33S t ∈--=-，则(2,6][3,1][3,6]S ∈---=-，故选D.r5 / 15【提示】由题意可得001e ln()0x x a ---+=有负根，采用数形结合的方法可判断出a 的取值范围.BD DC AD DE DE =⇒=O 的半径等于R ，先计算AD ，再计算数学试卷 第16页（共45页）数学试卷 第17页（共45页）数学试卷 第18页（共45页）【提示】可先由图中的点与抛物线的位置关系，写出C ，F 两点的坐标，再将坐标代入抛物线方程中，消去参数p 后，得到a ，b 的关系式，再寻求b的值.||OA OB OD ++=||OA OB OD ++的取值范围为cos,sin )θθ，求得||8OA OB OD ++=+||OA OB OD ++的最大值.【提示】（Ⅰ）利用对立事件的概率公式，计算即可，AC AD7 / 15数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）21277217147⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 37sin 23sin 216AC BACCBA∠=∠. 【提示】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos CAD ∠的值.（Ⅱ）根据cos CAD ∠，cos BAD ∠的值分别，求得sin BAD ∠和sin CAD ∠，进而利用两角和公式求得sin BAC ∠的值，最后利用正弦定理求得BC . 【考点】解三角形，余弦定理，正弦定理19.【答案】（Ⅰ）如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥. 同理1DD BD ⊥.因为11CC DD ∥，所以1CC BD ⊥. 而ACBD O =，因此1C C B D C A ⊥底面.由题设知，11O O C C ∥. 故1C O B D O A ⊥底面.（Ⅱ）如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC . 由（Ⅰ）知，1C O B D O A ⊥底面， 所以11111O O A B C D ⊥底面， 于是111O O AC ⊥.又因为四棱柱1111A B ABC C D D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，11112OO O BOB=19【提示】（Ⅰ）由已知中，四棱柱1111ABCD A B C D-的所有棱长都相等，AC BD O=，11111AC B D O=，四边形11ACC A和四边形11BDD B均为矩形.可得111O O CC BB∥∥且1CC AC⊥，1BB BD⊥，进而1OO AC⊥，1OO BD⊥，再由线面垂直的判定定理得到1O O ABCD⊥底面；（Ⅱ）由线面垂直，线线垂直推得111AC OB⊥，11OB C H⊥，所以11C HO∠是二面角11C OB D--的平面角.再由三角函数求得二面角11C OB D--的余弦值.【考点】线线关系、线面关系，二面角9 / 15数学试卷 第29页（共45页） 数学试卷 第30页（共45页）11(1)32nn -- 【解析】解（Ⅰ）因为{}n a 1(1)2n n --++112121()121n ---+11 / 1511(1)32nn --. }n 的通项公式为11(1)32nn --. 【提示】（Ⅰ）根据条件去掉式子的绝对值，分别令1n =，2代入求出2a 和3a ，再由等差中项的性质列出关于p 的方程求解，利用“{}n a 是递增数列”对求出的p 的值取舍；（Ⅱ）根据数列的单调性和式子“1||n n n a a p +-=”、不等式的可加性，求出221n n a a --和1n n a a +-，再对数列{}n a 的项数分类讨论，利用累加法和等比数列前n 项和公式，求出数列{}n a 的奇数项、偶数项对应22a b a +=，从而2(F数学试卷 第34页（共45页）数学试卷 第35页（共45页） 数学试卷 第36页（共45页） 22212m m ++，22214m m ++.2222213|222122m d m m +==-+--. S 取得最小值2.13 / 15【提示】（Ⅰ）由斜率公式写出1e ，2e 把双曲线的焦点用含有a ，b 的代数式表示，结合已知条件列关于a ，b 的方程组求解a ，b 的值，则圆锥曲线方程可求；（Ⅱ）设出AB 所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y 的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB 中点M 的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB 的长度，写出PQ 的方程，和双曲线联立后解出P ，Q 的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P ，Q 到AB 的距离，然后代入三角形面积公式得四边形APBQ n数学试卷第40页（共45页）数学试卷第41页（共45页）数学试卷第42页（共45页）【提示】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性，注意对a分类讨论；（Ⅱ）利用导数判断函数的极值，注意a的讨论及利用换元法转化为求函数最值问题解决. 【考点】函数单调性，极值，导数的性质与应用15 / 15。
14年高考真题理科数学湖南卷
（B） 1 1 i 22
（C） 1 1 i 22
2．对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和
分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别是 p1, p2 , p3 ，则（
）
（A） p1 p2 p3
p1 p2 p3
（B） p2 p3 p1
（B）5, 1
（D）3, 6
x2
7．一块石材表示的几何何的三视图如图 2 所示，将该石
材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于（
） （A）1
1/8
（B）2
y3
（C）3
的系数是（
（C）5
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2014年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.满足ii z z +=(i 为虚数单位)的复数z =( ) A.11i 22+ B.121i 2- C.11i 22-+ D.11i 22-- 【测量目标】复数的四则运算【考查方式】给出一个复数分式，求复数z 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】由题意可知i z +=z i ，所以z =(z +1)i,令z =a +b i,经化简可知1a b a b =-⎧⎨=+⎩，所以a =12,b =12-,即z =121i 2-,故选B. 2.对一个容器为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则( )A.123p p p =<B.231p p p =<C.123p p p =<D.123p p p ==【测量目标】随机抽样的概率【考查方式】根据三种不同的方法，计算每种概率比较概率的大小 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即123p p p ==.故选D.3.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )- g (x )=321x x ++,则f(1)+g (1)=( ) A.－3 B.－1 C.1 D.3 【测量目标】对数奇偶性【考查方式】根据函数的奇偶性，先求出f (x ),g (x )的表达式，再求值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以f (x )= f (-x ),g (-x )= -g (x )，即()()()f x f xg x g x =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩（），联立()()()323211f xg x x x f x g x x x ⎧-=++⎪⎨---=-++⎪⎩（）,得出f (x )=21x +，g (x )=-3x ，所以f(1)+g (1)=2-1=1，故选C. 4.5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是( ) A.－20 B.－5 C.5 D.20 【测量目标】二项式定理【考查方式】根据二项式展开式求其某项的系数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】根据()()5551C 22rrrr r x y --⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以23x y 的系数为()23351C 22⎛⎫- ⎪⎝⎭= -20，故选A. 5.已知命题p :若x >y ,则-x <-y ;命题q :若x >y ,则22x y >在命题:①p q ∧;②p q ∨;③()p q ∧⌝;④()p q ⌝∨中，真命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 【测量目标】非、或、且，真假命题【考查方式】给出命题的关系，判断真假命题 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由题意可知p 是真命题，q 是假命题，再根据逻辑关系得出②③是真命题，故选C. 6.执行如图所示的程序框图，如果输入的[]2,2t ∈-，则输出的S 属于()第6题图 LLJ64A.[]6,2--B.[]5,1--C.[]4,5-D.[]3,6-【测量目标】循环结构流程图【考查方式】给出循环结构图，分析每一次是否满足条件，得出最终答案 【参考答案】D 【难易程度】中等【试题解析】当[)2,0t ∈-时，运行程序如下，(]2211,9t t =+∈，S =t -3(]2,6∈-,当t ∈[]0,2时，S =t -3[]3,1∈--，则S ∈(]2,6- []3,1--=[]3,6-，故选D.7.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()第7题图 LLJ65A.1B.2C.3D.4 【测量目标】几何体的体积【考查方式】给出三视图，还原成实物体，求出体积，再求能得到的最大球的半径 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】由图可知该几何体的为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ,则8-r +6-r =2286r +⇒=2,故选B.8.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A.2p q+ B.()()1112p q ++- C.pq D.()()111p q ++-【测量目标】增长率【考查方式】给出第一年和第二年的增长率，计算平均增长率 【参考答案】D 【难易程度】中等【试题解析】由题意可知：设平均增长率为x ，由()()11p q ++=(1+x )2,1+x =()()11p q ++所以x =()()111p q ++-,故选D.9.已知函数f (x )=sin(x -ϕ),且2π30⎰f (x )dx =0,则函数f (x )的图象的一条对称轴是( )A.5π6x =B.7π12x =C.π3x =D.π6x =【测量目标】积分，对称轴，三角函数【考查方式】给出积分的值.求函数，在求出其对称轴 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由2π30⎰f (x )dx =0,可以得出cos ()2πcos 3ϕϕ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即ϕ=π3，所以f (x )=sin(x -π3),因此一条对称轴为πππ32x k -=+(k ∈Z )所以5π6x =，故选A.10.已知函数f (x )=()2102x x e x +-<与g (x )=2x 21()2x f x x e =+-(x ＜0)与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.1(,)e -∞ B.(),e -∞ C.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D.1,e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【测量目标】对称性【考查方式】根据函数的对称性，求参数的取值范围 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】由题可得函数f (x )的图象上存在点P (0x ，0x 2+0x e12-)(00x <)关于y 轴对称的点Q (-0x ，0x 2+0x e 12-)在函数2()ln()g x x x a =++的图象上，从而0212x x e +-=()()200ln x x a -+-+,即0x e -()0ln x a -+-12=0，问题等价于函数h (x )= 0xe -()0ln x a -+-12在x ∈(),0-∞存在零点.即a (),e ∈-∞二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.(一)选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)11.在平面直角坐标系中，倾斜角为π4的直线l 与曲线:2cos 1sin x C y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)交于A ,B 两点，则||2AB =，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是 .【测量目标】直线与参数方程的位置关系，极坐标【考查方式】先求出交点坐标，在把交点转化为极坐标标 【参考答案】(cos sin )1p θθ-= 【难易程度】容易【试题解析】设直线方程y =x +b ,联立()()22211x y y x b⎧-+-=⎪⎨=+⎪⎩得出22x -2x (3-b )+4+2b -2b =0,由韦达定理12x x =2422b b +-，123x x b +=-，又有||2AB ==21k +21212()4x x x x +-，所以最后得出b =-1, 故直线方程x -y =1，所以极坐标方程为(cos sin )1p θθ-=.12.如图，已知AB,BC 是O 的两条弦，AO ⊥BC ,AB =3,BC =22,则O 的半径等于第12题图 LLJ66 【测量目标】勾股定理，双割线定理 【考查方式】在三角形中利用勾股定理 【参考答案】32【难易程度】容易【试题解析】设线段AO 与BC 于点D 延长AO 交圆与另外一点E ,则BD =DC =2,由ABD △的勾股定理可得AD =1，由双隔线定理可得BD DC AD DE DE ⋅=⋅⇒=2，则直线AE =3⇒32r =，故填32. 13.若关于x 的不等式|ax -2|<3的解集为{x |-53-<x <13}，则a = . 【测量目标】绝对值不等式【考查方式】给出不等式的解集，求参数 【参考答案】-3 【难易程度】容易【试题解析】由题可得5|2|3231|2|33aa a ⎧--=⎪⎪⇒=-⎨⎪-=⎪⎩，故填：-3. (二)必做题(14－16题)14.若变量y x ，满足约束条件4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩………，则2z x y =+的最大值为-6，则k=_________.第14题图 LLJ67a【测量目标】线性规划【考查方式】给出不等式找出最优解，再求最大值 【参考答案】-2 【难易程度】容易【试题解析】作出不等式组4y x x y y k ⎧⎪+⎨⎪⎩………表示的区域，可以得出三条直线的交点(k ,k ),(4-k ,k ),(2,2),且,4y x x y +剟的可行域，所以k ≤2，则当(k ,k )为最优解时，3k =-6⇒k =-2,当(4-k ，k )为最优解时，2(4-k )+k =-6⇒k =14,因为k ≤2，所以k =-2，故填-2.15.如图，正方形ABCD 和正方形DEFG ,的边长分别为a ,b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线()220y px p =>经过C ,F 两点，则ba=.第15题图LLJ67【测量目标】抛物线【考查方式】根据抛物线的几何性质，得出两正方形的边长比 【参考答案】21+ 【难易程度】中等【试题解析】由C (2a ，-a )，F (2a +b ,b )，则22222a pab a a b p b ⎧=⎪⇒=⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩+1，故填21+. 16.在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，()0,3B ,()3,0C ，动点D 满足||CD=1,则||OA OB OD ++的取值范围是 .【测量目标】平面向量的基本运算【考查方式】先求出圆的轨迹方程在设点，再利用平面向量的基本运算求出取值范围. 【参考答案】71,71⎡⎤-+⎣⎦【难易程度】较难【试题解析】动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设为(3+cos θ,sin θ) (θ∈[)0,2π),则||OA OB OD ++ =()()223cos 1sin 3θθ+-++=()822cos 3sin θθ++，因为2cos θ+3sin θ的取值范围为()()222223,23⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦=7,7⎡⎤-⎣⎦, ()282717+=+=1+7，827-=()217-=71-，所以||OA OB OD ++的取值范围为71,71⎡⎤-+⎣⎦.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望 【难易程度】容易【测量目标】分布列和数学期望，概率【考查方式】由甲、乙成功概率，计算满足条件的概率，在画出分布列并计算数学期望 【试题解析】(I)记E =｛甲组研发新产品成功｝，F =｛乙组研发新产品成功｝.由题设知21(),()33P E P E ==，32(),()55P F P F ==,故所求的概率为P =()P F ()P E +()P E ()P F +()P E ()P F =1315.(Ⅱ)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0，100,120,220.因122(0)()3515P X P EF ===⨯=, 133(100)()3515P X P EF ===⨯=, 224(120)()3515P X P EF ===⨯=, 236(220)()3515P X P EF ===⨯=,故所求的分布列为:X0 100 120220P 215 315415615数学期望为2()015E X =⨯+310015⨯+412015⨯+622015⨯=300480132021001401515++==. 18. (本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD ,中，AD =1，CD =2，AC =7 (1)求cos CAD ∠的值；(2)若cos BAD ∠=714-,sin CBA ∠=216求BC 的长.第18题图LLJ68【难易程度】容易【测量目标】解三角形，余弦定理、正弦定理 【考查方式】给出边长利用余弦定理求边长【试题解析】(1)在ADC △中，由余弦定理，得222cos .2AC AD CD CAD AC AD+-∠=⋅故由题设知，71427cos .727CAD +-∠==2sin 1BAD COS BAD ∠=-∠=273211().1414--=于是sin x =sin()BAD CAD ∠-∠ =sin cos BAD CAD ∠∠- cos sin BAD CAD ∠∠= 32127721()147147⋅--⋅=3.2在ABC △中，由正弦定理，sin sin BC AC a CBA =∠, 故BC =37sin 23sin 216AC a CBA ⋅⋅==∠. 19. (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD -1111A B C D 的所有棱长都相等，AC BD =O ,1111AC B D =1O ,四边形1111ACC A BDD B 和四边形均为矩形. (1)证明：1O O ⊥底面ABCD(2)若°60CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值.第19题图 LLJ69【难易程度】中等【测量目标】线线关系、线面关系，二面角【考查方式】由线线关系来证线面关系，再利用求二面角 【试题解析】(1)如图，因为四边形11ACC A 为矩形，所以1CC AC ⊥.同理1DD BD ⊥.因为1CC ∥1DD ，所以1CC BD ⊥.而AC BD O = ，因此1CC ⊥底面ABCD.由题设知，1O O ∥1C C .故1O O ⊥底面ABCD .(2)如图2，过1O 作11O H OB ⊥于H ，连接1HC .由(1)知，1O O ⊥底面ABCD ，所以1O O ⊥底面1111A B C D ，于是1O O ⊥11AC .又因为四棱柱ABCD -1111A B C D 的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形，因此1111AC B D ⊥，从而1111AC BDD B ⊥平面，所以111AC OB ⊥， 于是111OB O HC ⊥平面，进而11OB C H ⊥.故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角.不妨设AB =2.因为60OCBA ∠=，所以3OB =，117OC OB ==，.在11Rt OO B △中， 易知11111327OO O B O H OB ⋅==.而111O C =，于是1C H =22111O C O H +=1219177+=. 故1111322577cos 19197O HC HO C H∠===.即二面角11C OBD --的余弦值为25719.第19题图 LLJ70 20. (本小题满分13分)已知数列{}n a 满足1a =1,|1n n a a +-|=np ,*n ∈N(1)若{}n a 是递增数列，且1a ，22a ，33a ,成等差数列，求p 的值；(2)若12p =，且{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式. 【难易程度】中等【测量目标】等差、等比数列，数列的单调性，通项公式【考查方式】由数列的单调性，求出数列的通项公式,由等差数列性质求参数p【试题解析】解(1)因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=.而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p ==,当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾.故13p =.(2)由于{}21n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是()()2122210n n n n a a a a +--+->①,但2211122n n -<，所以212221a a a a n n n n -<-+-②,由①②知，2210n n a a -->，因此222121211(1)()22n nn n n a a -----==③，因为{}2n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<，故22121221(1)22nn n nna a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭--=-=④，由③④即知，11(1)2n n n n a a ++--=.于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2111(1)1 (222)nn --=+-++111()1211212n ---=+⋅+141(1)332n n --=+⋅.故数列{}n a 的通项公式为141(1)332n n n a --=+⋅. 21. (本小题满分13分)如图，O 为坐标原点，椭圆221:221x y C a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为1e ；双曲线222:221x y C a b -=的左、右焦点分别为34,F F ，离心率为2e .已知1232e e =且|24F F |=31-(1)求1C ,2C 的方程；(2)过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB 的中点.当直线OM 与2C 交于P ,Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.第21题图LLJ71【难易程度】较难【测量目标】曲线标准方程，焦点、离心率，直线与曲线的位置关系，最值 【考查方式】先求出曲线标准方程，在利用直线与曲线的关系解决第二问【试题解析】(1)因为1232e e =，所以222232a b a b a a -+⋅=，即44434a b a -=，因此222a b =，从而24(,0),(3,0)F b F b ，于是24331b b F F -==-，所以1b =，22a =.故12,C C 的方程分别为2212x y +=，2212x y -=.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -,故可设直线AB 的方程为1x my =-.由221,12x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得 22(2)210m y my +--=,易知此方程的判别式大于0. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+,因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222(,)22mM m m -++，故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y +=.由22,212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22(2)4m x -=，所以220m ->，且2242x m =-，2222m y m =-，从而22224222m PQ x y m+=+=-.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以112222224mx y mx y d m +++=+.因为点A 、B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y ++<，于是112211222222mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而2122(2)24m y y d m +-=+,又因为2121212()4y y y y y y -=+-=222212m m ⋅++，所以2222124m d m ⋅+=+.故四边形APBQ 的面积 222122132221222m S PQ d mm ⋅+=⋅==⋅-+--.而2022m <-…，故当0m =时，S 取得最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.第21题图LLJ7222. (本小题满分13分)已知常数0a >，函数f (x )=ln(1+ax )22xx -+. (1)讨论f (x )在区间()0,+∞上的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点12,x x 且()()120f x f x +>求a 的取值范围. 【难易程度】较难【测量目标】函数单调性，极值，导数的性质与应用【考查方式】利用求导证明单调性，由不等式求出参数【试题解析】(1)f '()1a x ax =+22(2)2(2)x x x +--+=224(1)(1)(2)ax a ax x +-++,当a …1时，此时()f x 在区间()0,+∞上单调递增.当0＜a ＜1时，由'()f x ＜0得112a x a -=(212a x a-=-舍去).当x ∈(0，1x )时'()f x ＜0；当x ∈11(,)x x ∈+∞时，'()f x ＞0,故()f x 在区间(0，1x )上单调递增，在区间(1x ，+∞)上单调递增.综上所述:当a …1时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，()f x 在区间(0，12a a -)上单调递减，在区间(12a a-，+∞)上单调递增.(2)由(1)式知.当a …1，'()f x …0，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点，必有0＜a ＜1.又()f x 的极值点只可能是1x =12a a -和2x = -12a a-，且由()f x 的定义可知，x ＞1a -且x ≠—2，所以12a a -＞1a -.12a a-≠—2，解得a ≠12.此时，由上式易知，1x ，2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而1()f x +2()f x =ln(1ax +)-122x x ++ln(1+2ax )-222x x + =()21212ln 1a x x a x x ⎡⎤+++⎣⎦-()()121212124424x x x x x x x x +++++=ln ()221a -—()4121a a --= ln ()221a -+2221a --,令2a -1=x ,由0＜a ＜1且a ≠12知:当0＜a ＜12时,-1＜x ＜0; 当12＜a ＜1时.0＜x ＜1.记g (x )=ln 2x +2x -2.(i)当-1＜x ＜0时，g (x )=2in(-x )+ 2x -2，所以g '(x )=2x -22x =222x x -＜0.因此，g (x )在区间(-1,0)上单调递减，从而g (x )＜g (-1)=-4＜0，故当0＜a ＜12时，1()f x +2()f x ＜0.(ii)当0＜x ＜1时，g (x )=2ln x +2x -2,所以()222g x x x'=-<0,因此.g (x )在区间(0,1)上单调递减，从而g (x )＞g (1)=0. 故当12＜a ＜1时，1()f x +2()f x ＞0,综上所述.满足条件的a 的取值范围为(12，1).。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足1z i z+=（i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p ==3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则(1)(1)f g +=A 、3-B 、1-C 、1D 、3 4、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A 、-20B 、-5C 、5D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨ 中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6]7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++-C 19、已知函数发()sin(x )f x ϕ=-，且230()0xf x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 10、已知函数21()-(0)2xf x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象在存在关于y 轴对称点，则a 的取值范围是A 、-∞（ B 、-∞（ C 、（ D 、（ 二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分） 11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a=+⎧⎨=+⎩（a 为参数）交于A ，B 两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。
12. 如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥,AB =BC =O 的半径等于________。
13．若关于x 的不等式 23ax -<的解集为 51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则 a=________. (二)必做题(14-16题)14. 若变量x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且 2z x y =+的最小值为-6，则k =_______。
15. 如图4正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a<b), 原点O为AD 的中点，抛物线 2y 2(0)px p =>经过C 、F 两点，则ba=_________。
16．在平面直角坐标系中，O 为原点 A(1-C(3 0)动点D 满足 1CD = ，则 OA OB OD ++的最大值是__________。
三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .(本小题满分l2分)某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立。
(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率；(Ⅱ)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望18．（本小题满分l2分）如图5，在平面四边形ABCD 中，1,2,7A D C D C == （Ⅰ）求cos CAD ∠的值 （Ⅱ）若cos 6BAD CBA ∠=∠=，求BC 的长19. （本小题满分l2分）如图6，四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，11111,AC BD O AC B D O⋂=⋂=，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形。
（Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值。
20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足111,,.nn n a a a p n N *+=-=∈（Ⅰ）若{}n a 是递增数列，且123a ,2a ,3a 成等差数列，求p 的值； （Ⅱ）若12p =，且{}12n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式。
21、如图7，O 为坐标原点，椭圆1C :2222x y +=1a b（a>b>0）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ：双曲线2C ：2222x y -=1a b 的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e 。
已知12e e ，且24F F 。
（Ⅰ）求1C 、2C 的的方程；（Ⅱ）过1F 做1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值22、已知常数a>0，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+。
（Ⅰ）讨论f （x ）在区间0+ （，）上的单调性；（Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点1x 、2x ，且f （1x ）+f （2x ）>0，求a 的取值范围参考答案1-5 BDCAC 6-10 DBDAB11.sin4πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭12.3213.-3 14.-2 116.17. 解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为23,35，则23122()11353515P B⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据对立事件概率之间的公式可得13()1()15P A P B=-=，所以至少一种产品研发成功的概率为1315（2）由题可得，设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0，120+0，100+0，120+100，即ξ=0，120，100，220由独立试验的概率计算公式可得：232(0)113515Pξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭234(120)13515Pξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭231(100)1355Pξ⎛⎫==-⨯=⎪⎝⎭232(220)355Pξ==⨯=所以ξ的分布列如下：则数学期望24120120100220151555Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=.18.解：（1）在ADC中，由余弦定理可得222cos2AC AD CDCADAC AD+-∠===⋅（2）设BACα∠=，则BAD CADα=∠-∠因为cos CAD∠=，cos BAD∠=所以sin7CAD∠===sin BAD∠===于是sin sin()BAD CADα=∠-∠sin cos cos sinBAD CAD BAD CAD=∠∠-∠∠147147⎛=--⨯⎝⎭2=在ABC中，由正弦定理，得sin sinBC ACCBAα=∠故sin3sinACBCCBAα⋅===∠19.（1）证明：因为四边形11ACC A为矩形，所以1CC AC⊥又因为点O是AC的中点，点1O是11AC的中点，所以11//OO CC，所以1OO AC⊥同理，在矩形11BDD B中，可得1OO BD⊥BD和AC是平面ABCD的两条相交的直线，故可得，1O O⊥底面ABCD（2）方法一：如图（a），过1O做11O H OB⊥于H，连接1HC由（1）知，1O O⊥底面ABCD，所以1O O⊥底面1111A B C D，于是111OO AC⊥又因为四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形， 因此1111B D AC ⊥，从而11AC ⊥平面11BDD B ，所以，111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11OHC 进而11OB C H ⊥，故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角。
不妨设2AB =，因为60CBA ∠=，所以11,OB OC OB == 在11Rt OOB中，易知11111OO O B O H OB ⋅==而111O C =，于是得1C H ==故1111cos O HC HO C H∠===即二面角11C OB D --的余弦值为19方法二：因为四棱柱1111ABCD A BC D -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC BD ⊥，又1O O ⊥底面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直。
如图（b），以O 为坐标原点，1,,OB OCOO 坐在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -。
设2AB =，因为60CBA ∠=，所以1OB OC ==，于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ， 易知1(0,1,0)n =是平面11BDD B 的一个法向量 设2(,,)n x y z =是平面11OB C 的一个法向量，则2020z y z +=+=⎪⎩取z =2,x y ==2n =， 设二面角11C OB D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是1212cos ||||n n n n θ⋅===⋅ 故二面角11C OB D -- 20.解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，所以11||n n n n n a a a a p ++-=-=而11a =，令1,2n =，得到2231,1a p a p p =+=++ 又因为123,2,3a a a 是等差数列，所以21343a a a =+ 因而230p p -= 解得0p =或13p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故舍去， 所以13p =（2）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->① 因为2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②由①②知，2210n n a a -->因此212221211(1)22n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③因为2{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<故22121221(1)22nn n n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③④可知，11(1)2n n n na a ++--= 于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2111(1)1...222nn --=+-++1111211212n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+⋅+141(1)332n n --=+⋅ 故数列{}n a 的通项公式是141(1)332nn n a --=+⋅21.解：（1）因为12e e ==，即44434a b a -= 因此222a b =从而24(,0),,0)F b F 24||1b F F -== 所以21,2b a ==故12,C C 的方程分别为222212:1,:122x x C y C y +=-= （2）因为AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-，由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my +--= 易知此方程的判别式大于0，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根 所以12122221,22m y y y y m m -+==++ 因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2m y x =-，即20mx y += 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22(2)4m x -= 所以220m ->，且222224,22m x y m m ==-- 从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y +++<于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mxy +++=+--，从而22d =又因为12||y y -==所以2d =故四边形APBQ 的面积1||22S PQ d =⋅==而2022m <-≤故当0m =时，S 取最小值2综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为222.解：（1）对函数()f x 求导，可得2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++（*） 因为2(1)(2)0ax x ++>，所以当1a≥时，()0fx '≥，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，由()0f x '=得12x x ==- 当1(0,)x x ∈时，()0f x '<；当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在区间上单调递减，在)+∞上单调递增。