第8章习题答案

习题81.名词解释：二叉排序树、平衡二叉树、平均查找长度、B-树、B+树、哈希表。

解：二叉排序树又称二叉查找树(Binary Search Trees ，简称为BST)，或者是一棵空树；或者是具有如下特性的二叉树：（1）若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；（2）若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；（3）它的左、右子树也都分别是二叉排序树。

平衡二叉树，又称AVL 树，它或者是一棵空树，或者是满足下列性质的二叉树：(1)左子树和右子树深度之差的绝对值不大于1；(2)左子树和右子树都是平衡二叉树。

平均查找长度ASL(average search length)定义为：ASL=∑=ni i i c p 1，其中，n 是查找表中记录的个数。

i p 是查找第i 个记录的概率，通常认为每个记录的查找概率相等，即np i 1=，i c 是找到第i 个记录所需进行的比较次数。

B-树是一种平衡的多路查找树。

在B-树中，每个结点的大小一般是一个磁盘页，而结点中所包含的关键字及其孩子数目取决于磁盘页的大小。

一棵度为m 的B-树，又称m 阶B-树，它或者是空树，或者是满足如下性质的m 叉树：(1)树中每个结点至多有m 棵子树。

(2)若根结点不是叶子结点，则至少有两棵子树；(3)除根结点外的所有非终端节点至少有⎡m /2⎤棵子树。

(4)所有非终端结点中包含如下信息：(n ，0A ，1K ，1A ，2K ，…，n K ，n A )其中i K (1≤i ≤n )为关键字，而且i K ＜1+i K (1≤i ≤n -1)，即关键字递增有序；i A 为指向孩子结点的指针，而且1+i A 所指子树中的所有结点的关键字均小于i K ；i A 所指子树中的所有结点的关键字均大于i K ；n 为关键字个数，而且满足⎣m /2⎦≤n ≤m -1(当该结点为根时满足2≤n ≤m -1)。

显然n +1为子树个数。

(5)所有叶子结点都在树的同一层上，并且不带信息(可以看作外部结点或查找失败的结点，实际上这些结点不存在，指向这些结点的指针为空)。

B+树是应文件系统所需而产生的B-树的一种变型。

一棵B+树和B-树的差异在于：(1)有n 棵子树的结点中含有n 个关键字。

(2)所有叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含有这些关键字记录的指针，且叶子结点本身依关键字自小到大顺序链接。

(3)所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树根结点中最大(或最小)关键字。

根据设定的哈希函数H(key)和所选中的处理冲突的方法，将一组关键字映象到一个有限的、地址连续的地址集(区间)上，并以关键字在地址集中的“象”作为相应记录在表中的存储位置，这种表被称为哈希表。

2.顺序查找、折半查找、哈希查找的时间复杂度分别是多少？既然有了高效的查找算法，为什么低效的方法不放弃？解：时间复杂度是判断查找方法的一个重要指标，但不是惟一指标。

使用什么查找方法要综合考虑。

哈希查找时间复杂度为)1(O ，查找速度最快，但需构建哈希寒舍，计算哈希地址，查找时要解决冲突的方法；折半查找时间复杂度为)(log 2n O ，需要元素有序且顺序存储，排序操作的时间开销大；顺序查找时间复杂度最差，为)(n O ，但对查找表五要求，数据有序无序均可，在数据量较小时使用方便。

3.假定对有序表{3，4，5，7，24，30，42，54，63，72，87，95}进行折半查找，试回答下列问题： (1)画出描述折半查找过程的判定树。

(2)如查找元素54，需依次与哪些元素比较？ (3)如查找元素90，需依次与哪些元素比较？(4)假定每个元素的查找概率相等，求查找成功时的平均查找长度。

解：（1）（2）若查找元素54，需依次与元素30、63、42、54比较，查找成功。

（3）若查找元素90，需依次与元素30、63、87、95比较，查找失败。

（4）ASL succ =（1*1+2*2+4*3+5*4）/12=37/12.4.设有n 个值不同的元素存于顺序结构中，试问：能否用比2n -3少的比较次数遴选出这n 个元素的最大值和最小值？若能，请说明如何实现的；在最坏情况下，至少要进行多少次比较？解：将顺序存储的n 个元素对称比较，即第一个元素与最后一个元素比较，第二个元素与倒数第二个元素比较，…，比较中的小者放在前半部，大者放在后半部，用了次比较⎡n/2⎤次比较。

再在前后两部分中分别简单选择最小和最大元素，各用⎡n/2⎤-1次比较，总共用了3*⎡n/2⎤-2次比较 。

5.在查找算法中，设置监视哨的作用是什么？解：监视哨的作用是免去查找过程中每次都要检测整个表是否查找完毕，提供了查找效率。

6.一棵具有m 层的AVL 树至少有多少个结点，最多有多少个结点？解：设以N m 表示深度为m 的AVL 树中含有的最少结点数。

显然，N 0=0，N 1=1，N 2=2，且N m =N m-1+N m-2+1（m ）≥2）。

这个关系与斐波那契数列类似，用归纳法可以证明：当m ≥0时，N m =F m+2-1，而F m 约等于5/mΦ（其中2/)51(+=Φ，则N m 约等于15/2-Φ+m （即深度为m 的AVL 树树具有的最少结点数）。

当m 层的AVL 树是满二叉树时，结点数为最大值12-m。

7.设哈希表的地址范围为0~17，哈希函数为H(key)=key%16，用线性探测再散列处理冲突，输入关键字序列10、24、32、17、31、30、46、47、40、63、49，构造哈希表，并回答下列问题：(1)画出哈希表示意图。

(2)若查找关键字63，需要依次与哪些关键字比较？(3)若查找关键字60，需要依次与哪些关键字比较？(4)假设每个关键字的查找概率相等，求查找成功时的平均查找长度。

解：（1）（2）查找关键字63，H(k)=63MOD16=15，依次与31、46、47、32、17、63比较。

（3）查找关键字60，H(k)=60MOD16=12，哈希地址为空，查找失败。

（4）ASL succ=23/11。

8.将整数序列4、5、7、2、1、3、6中的数依次插入到一颗空的二叉排序树中，试构造相应的二叉排序树，给出图形构造过程，并写出相应的算法。

解：void CreatBSTree(BSTree &T){KeyType A[7]={4,5,7,2,1,3,6};ElemType e;for(int i=0;i<7;i++){e.key=A[i];Insert_BST(T,e);}}9.将整数序列4、5、7、2、1、3、6中的数依次插入到一颗空的平衡二叉排序树中，试构造相应的平衡二叉排序树，给出图形构造过程，并写出相应的算法。

解：void CreatAVL(BSTree &T){KeyType A[7]={4,5,7,2,1,3,6};BSTree s;for(int i=0;i<7;i++){s=new BSTNode;s->data.key=A[i];s->bf=0;s->lchild=NULL;s->rchild=NULL;InsertAVL(T,s);}}10.编写一个算法，输出在一棵二叉排序树中查找某个关键字k经过的路径。

解：void PrintBST(BSTree T,KeyType kval){if(!T)exit(0);printf("%d ",T->data.key);if(kval==T->data.key)exit(0);else if(kval<T->data.key)PrintBST(T->lchild,kval);else PrintBST(T->rchild,kval);}11.编写一个算法，判断给定的二叉树是否是二叉排序树。

解：int last=0,flag=1;int Is_BSTree(BSTree T){//判断二叉树T是否二叉排序树,是则返回1,否则返回0 if(T->lchild&&flag) Is_BSTree(T->lchild);if(T->data.key<last) flag=0; //与其中序前驱相比较last=T->data.key;if(T->rchild&&flag) Is_BSTree(T->rchild);return flag;}//Is_BSTree12.编写一个算法，利用折半查找算法在一个有序表中插入一个元素x，并保持表的有序性。

解：void Insert(SSTable L, ElemType x){low=1;high=L.length;while(low<=high){mid=(low+high)/2;if(x.key<L.elem[mid].key)high=mid-1;else if(x.key>L.elem[mid].key)low=mid+1;else return;}for(i=L.length; i>=low;i--)L.elem[i+1]=L.elem[i] ;L.elem[low]=x;return;}13.假设哈希表长为m，哈希函数为H(key)，用链地址法解决冲突。

试编写输入一组关键字并建立哈希表的算法。

解：typedef struct Node{ElemType data;struct Node *next;}Node ,*Hlist;void CreateHList(Hlist L[],int m){int x,k;Node *s;for(int i=0; i<m; i++ )L[i]=NULL;for(i=0;i<m;i++){scanf("%d",&x);k=H(x);s=new Node;s->data.key=x;s->next=L[k];L[k]=s;}}14.请分别为4种平衡化旋转构造四个关键字插入序列，使得在构造平衡二叉排序树时该旋转至少发生一次。

解：(1)14，13，12，15，在插入12时需要进行一次LL型调整。

(2)12，13，14，15，在插入14时需要进行一次RR型调整。

(3)15，13，14，11，在插入14时需要进行一次LR型调整。

(4)12，15，14，13，在插入12时需要进行一次RL型调整。

15.写出从哈希表中删除关键字为k的一个记录的算法，设哈希函数为H(key)，解决冲突的方法为链地址法。

解：void Delete(Hlist L[],KeyType k){int i;i=H(k);//用哈希函数确定关键字k的哈希地址if(!L[i]){printf("无被删除记录\n");exit(0);}Node *p,*q;p=L[i];q=p;//p指向当前记录（关键字），q是p的前驱while(p&&p->data.key!=k){q=p;p=p->next;}if(!p){printf("无被删除记录");exit(0);}if(q==L[i]){L[i]=p->next;delete p;}//被删除关键字是链表中的第一个结点else{q->next=p->next; delete p;}}16.设二叉排序树的各元素值互不相同，采用二叉链表作为存储结构，试分别设计递归和非递归算法按递减序打印所有左子树为空、右子树非空的结点的数据域的值。