2011考研心理学心理统计学重点分析

心理统计学重点分析一．描述统计（一）统计图表1）统计图次数分布图：①直方图：用以矩阵的面积表示连续性随即变量次数分布的图形。

②次数多边形图：一种表示连续性随机变量次数分布的线形图，属于次数分布图。

③累加次数分布图：分为：累加直方图和累加曲线图；其中累加曲线的形状大约有三种：一种是曲线的上枝长于下枝（正偏态），另一种是下枝长于上枝（负偏态），第三种是上枝，下枝长度相当（正态分布）。

其他统计图：条形图：用于离散型数据资料；圆形图：用于间断性资料；线形图：更多用于连续性资料，凡预表示两个变量之间的函数关系，或描述某种现象在时间上的发展趋势，或一种现象随另一种现象变化的情况，用这种方法比较好。

散点图：2）统计表①简单次数分布表②分组次数分布表③相对次数分布表：将次数分布表中各组的实际次数转化为相对次数，即用频数比率表示。

④累加次数分布表⑤双列次数分布表：对有联系的两列变量用同一个表来表示其次数分布。

（二）集中量数1）算术平均数M1nii XX N==∑优点：反应灵敏；计算严密；计算简单；简明易解；适合于进一步用代数方法演算；较少受抽样变动的影响；缺点：受极端数据的影响；若出现模糊不清的数据时，无法计算平均数；计算和运用平均数的原则：同质性原则；平均数与个体数值相结合的原则；平均数与标准差。

方差相结合原则；性质：①在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于零②在一组数据中，每一个数都加上一个常数C，所得的平均数为原来的平均数加常数C ③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C 2)中数：Md 按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，即这组数据中，一般数据比它大，一般数据比它小。

注意计算方法；3)众数：Mo 是指在次数分布中出现次数最多的那个数值；三者的关系：正偏态分布中，M>Md>Mo负偏态分布中，M<Md<MoMo=3Md-2M （自己推导一下）（三）差异量数差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数。

1）离差与平均差离差：分布中的某点到均值得距离，其符号表示了某分数与均值之间的位置关系，而数值表示了它们之间的绝对距离。

所有的离差之和始终为零。

X µ=−x 平均差：次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。

..iX XA D n−=∑2）方差与标准差（1）总体的方差和标准差方差：每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的均数。

作为样本统计量用符号s 2表示，作为总体参数用符号σ2表示，也叫均方。

2SS Nσ=标准差：方差的平方根作为样本统计量用符号s 表示，作为总体参数用符号σ表示。

σ=（2）样本的方差和标准差样本的变异性往往比它来自的总体的变异性要小。

为了校正样本数据带来的偏差，在计算样本方差时，我们用自由度来矫正样本误差，从而有利于对总体参数更好的无偏差估计：21SS S n =−S =（3）性质①每一个观测值都加一个相同的常数C 之后，计算得到的标准差等于原来的标准差；②每一个观测值都乘以一个相同的常数C，所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数。

3）变异系数当遇到下列情况时，不能用绝对差异量来比较不同样本的离散程度，而应当使用相对差异量数，最常用的就是差异系数。

①两个或两个以上样本所使用的观测工具不同，所测的特质相同②两个或两个以上样本使用的是同种观测工具，所测的特质相同，但样本间水平差异较大差异系数：一种最常用的相对差异量，为标准差对平均数的百分比100%sCV X=×注题目：变异系数与标准差的区别于联系?标准差反映了一个次数分布的离散程度,当对同一个特质,使用同一种测量工具进行测量,所测样本水平比较接近时,直接比较标准差的大小即可以知道样本间离散程度的大小;但是当遇到下列情况,则不能直接比较标准差:(1)两个或两个以上的样本所使用的观测工具不同,所测的特质不同;(2)两个或两个以上的样本使用的是同一种观测工具,测量的也是同一种特质,但样本间的水平相差较大;在第一种情况下,标准差的单位不同,显然不能直接进行比较;第二种情况下,虽然标准差单位相同,但样本的水平不同,通常情况下,平均数的值较大,其标准差的值一般也较大;平均数的值越小,其标准差的值也越小;（四）相对量数1）百分位数：第P 百分位数就是指在其值为P 的数值以下，包括分布中全部数据的百分之p,其符号是Pp；2）百分等级：常模团体中低于该分数的人所占总体的百分比；百分位数的逆运算；3）标准分数（1）定义标准分数：以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数，也叫Z 分数离平均数有多远，即表示原始分数在平均数以上或以下几个标准差的位置。

X XZ s−=（2）性质①Z 分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量②一组原始分数转换得到的Z 分数可正可负，所有原始分数的Z 分数之和为零③原始数据的Z 分数的标准差为1④若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z 分数均值为0，标准差为1的标准正态分布（3）优点①可比性——不同性质的成绩，一经转换为标准分数，就可在同一背景下比较；②可加性——不同性质的原始数据具有相同的参照点，因此可相加；③明确性——知道了标准分数，利用标准正态分布表就能知道其百分等级；④稳定性——转换成标准分数之后，规定了标准差为1，保证了不同性质分数在总分数中权重一样。

（4）缺点①标准分数过于抽象不易理解；②在非正态分布下，分布形态不同的分数，仍然不能进行比较，也不能相加求和；（五）相关量数相关系数：两列变量间相关程度的数字表现形式作为样本的统计量用r 表示，作为总体参数一般用ρ表示。

正相关：两列变量变动方向相同负相关：两列变量中有一列变量变动时，另一列变量呈现出与前一列变量方向相反的变动零相关：两列变量之间没有关系，各自按照自己的规律或无规律变化1）积差相关（1）前提①数据要成对出现，即若干个体中每个个体都有两种不同的观测值，并且每队数据与其它对子相互独立,N 应不小于30对；②两列变量各自总体的分布都是正态的，至少接近正态；③两个相关的变量是连续变量，也即两列数据都是测量数据；④两列变量之间的关系应是直线性的；（2）公式（注意协方差：∑xy/N）X YXY r −=∑∑∑2）等级相关（就是Spearman 等级相关）适用范围适用于只有两列变量，而且是等级变量性质的具有线性关系的资料，若原始数据为等比或等距，则先转化为顺序型数据3）肯德尔等级相关（1）肯德尔W 系数（等级评定法）也叫肯德尔和谐系数，原始数据资料的获得一般采用等级评定法，即让K 个被试对N 件实物进行等级评定。

其原理是评价者评价的一致性除以最大变异可能性。

()()2223112i iR RNW K N N −=−∑∑R i ：评价对象获得的K 个等级之和，N：等级评定的对象的数目，K：等级评定者的数目。

（2）肯德尔U 系数#其与肯德尔W 系数所处理的问题相同，但评价者采用对偶比较法，即将N 件事物两两配对分别进行比较。

()281(1)(1)ijij r K r U N n K K −=+−⋅−∑∑r ij 为对偶比较记录表中i>j 格中的择优分数。

当完全一致时U=1.当完全不一致时，U=-1/K(K 为奇数)U=-1/(K-1)(K 为偶数)4)点二列相关与二列相关（1）点二列相关适用于一列数据为等距或等比数据,而且其总体分布为正态，另一列为离散型二分称名变量。

多用于评价是非类测验题组成的测验的内部一致性等问题;p qpb tX X r s −=是与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数，是与二分称名变量的另一个p X q X 值对应的连续变量的平均数，p 与q 是二分称名变量两个值各自所占的比率，s t 是连续变量的标准差（2）二列相关适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列变量被人为地分成两类。

p q b t X X pqr s y−=⋅注:两者之间的区别:二分变量是否为正态分布,总的原则是,如果不是十分明确,观测数据的分布形态是否为正态分布,这是不管观测数据代表的是一个真正的二分变量还是基于正态分布的人为的二分变量,都用点二列相关;当确认数据分布形态为正态分布,都应选用二列相关;5)Ф相关适用于两个变量都是只有两个点值或只表示某些质的属性。

r Φ=其中a、b、c、d 分别为四格表中左上、右上、左下、右下的数据具体见卡方检验二．推断统计（一）推断统计的数学基础（略）（二）参数估计1）点估计，区间估计，与标准误（1）一个良好估计量的标准：（1）无偏性：即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值，其偏差的平均值为0；例如，用样本平均数作为总体平均数μ的估计值，就是无偏性；因为无限多个样本平均数X 与μ的偏差之和为零；但方差S 2不是σ2的无偏估计，σ2的无偏估计是：S 2n-1=∑x 2/（N-1）（2）有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无偏估计变异量小者有效性高，变异大者有效性底，即方差越小越好；例如μ的估计量有Mo,Md,X 但是，只有X 是变异量最小。

（3）一致性：即当样本无限增大，估计值应能够越来越接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐接近于真值；即当N →∞，X →μ,S 2n-1→σ2;(4)充分性：指一个容量为n 的样本统计量，是否充分地反映了全部n 个数据所反映的总体信息。

例如X 能反映所有数据所代表的总体的信息，故X 的充分性高；二Mo，Md 只反映了部分数据所反映的总体信息，充分性低；（2）区间估计：区间估计的原理是根据样本分布理论，应样本分布的标准误计算区间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率；2）总体平均数的估计3）标准差与方差的估计（可以先算出方差的区间，再求标准差的区间）（三）假设检验1）假设检验的原理：（1）两类假设备则假设：因变量的变化、差异却是是由于自变量的作用往往是我们对研究结果的预期，用H 1表示。

虚无假设：实际上什么也没有发生，我们所预计的改变、差异、处理效果都不存在观察到的差异只是随机误差在起作用，用H 0表示。

（2）小概率原理小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的。

两类错误Ⅰ型错误：当虚无假设正确时，我们拒绝了它所犯的错误，也叫α错误。

Ⅱ型错误：当虚无假设是错误的时候，我们没有拒绝所犯的错误，也叫β错误。

两类检验的关系①α+β不一定等于1②在其他条件不变的情况下，α与β不可能同时减小或增大（4）检验的方向性单侧检验：强调某一方向的检验，显著性的百分等级为α双侧检验：只强调差异不强调方向性的检验，显著性百分等级为α/22）样本与总体平均数差异的检验3）两样本平均数差异的检验4）方差齐性的检验：（1）样本方差与总体方差当从正态分布的总体中随机抽取容量为n 的样本时，其样本方差与总体方差比值服从χ2分布：由自由度查χ2表，依据显著性水平判断2220nsχσ=1df n =−（2）两个样本方差之间①独立样本其中当两样本自由度相差不大时可用代替查表时22s F s =大小n s n-1s （双侧检验）11221,1df n df n =−=−②相关样本22t =2df n =−5）相关系数的显著性检验①积差相关a.当ρ=0时：其中t =2df n =−b.当ρ≠0时：先通过查表将r 和ρ转化为费舍Z r 和Zρ然后进行Z 检验。