2019-2020学年高中数学苏教版必修4模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上) 1．sin 330°＝________.【解析】sin 330°＝sin(330°－360°)＝sin(－30°)＝－1 2.【答案】－1 22．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sin α＋cos α的值等于________．【解析】据三角函数的定义，可知|OP|＝5，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25.【答案】－253．化简：cos 4－sin22＋2＝________.【解析】原式＝2cos22－1＋1＋cos22＝3cos22＝－3cos 2【答案】－3cos 24.⎝⎛⎭⎪⎫cosπ12－sinπ12⎝⎛⎭⎪⎫cosπ12＋sinπ12＝________.【解析】原式＝cos2π12－sin2π12＝cosπ6＝32.【答案】325．已知a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)，若a⊥b，则k＝________.【解析】∵a＝(2,1)，a＋b＝(1，k)∴b＝(－1，k－1)又a⊥b，∴a·b＝－2＋(k－1)＝0，∴k＝3.【答案】 36．过点A(－2,1)，且平行于向量a＝(3,1)的直线方程为________．【解析】 直线斜率为k ＝13，故直线方程为y －1＝13(x ＋2)，即x －3y ＋5＝0. 【答案】 x －3y ＋5＝07．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x≤π6的值域为________．【解析】 ∵0≤x ≤π6，∴π3≤2x ＋π3≤2π3 ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，18.如图1，在△ABC 中，E ，F 分别是边AC ，BC 的中点，D 是EF 的中点，设AC →＝a ，BC →＝b ，则AD →＝________.(用a ，b 表示)图1【解析】 ED →＝12EF →＝1212AB →＝14(CB →－CA →)＝14(－b ＋a )． AE →＝12AC →＝12a ，AD →＝AE →＋ED → ＝12a ＋14(－b ＋a )＝34a －14b . 【答案】 34a －14b9．若b ＝(1,1)，且a·b ＝2，(a －b )2＝3，则|a |＝________. 【解析】 由(a －b )2＝3，得a 2－2a·b ＋b 2＝3， 则a 2－2×2＋2＝3，故a 2＝5，|a |＝ 5. 【答案】510．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的单调递减区间是________．【解析】 由π2＋2k π＜2x －π6＜3π2＋2k π，k ∈Z 得 π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋kπ，5π6＋kπ，k ∈Z11．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2,1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为________．【解析】 由题意知，b －c ＝(－3,1－y )， a ＋c ＝(x ＋1，y －3)． 依题意，得错误!解得错误! ∴c ＝(1,2)，∴b·c ＝0，∴b ⊥c . 【答案】 90° 12．已知f (x )＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.【解析】 依题f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，∴f (x )图象关于直线x ＝π6＋π32对称，即关于直线x ＝π4对称，且π3－π6＜T ＝2πω，∴π4·ω＋π3＝3π2＋2k π，k ∈Z ，且0＜ω＜12，∴ω＝143. 【答案】 14313．如图2，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为________．图2【解析】 分别延长OA ，OB 至OA ′，OB ′，连接CA ′，CB ′构成如图的平行四边形：注意到|OA →|＝|OB →|＝1，设|OA ′|＝λ， |OB ′|＝μ.则∠BOC ＝∠OCA ′＝90°，于是μ＝|OB ′|＝|A ′C |＝|OC |tan 30°＝2，λ＝|OA ′|＝|OC|cos 30°＝4，故λ＋μ＝6.【答案】 614．(2016·南通高一检测)已知θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝________.【解析】 ∵sin θ＋cos θ＝22sin θcos θ， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2sin 2θ，∴sin 2θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2θ＝θ＋π4， ∴θ＝π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝12.【答案】 12二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知tan α＝12， 求错误!的值． 【解】 原式＝1＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝错误!＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1， 又∵tan α＝12，∴原式＝12＋112－1＝－3.16．(本小题满分14分)设e 1，e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A ，B ，C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m ，n 的值．【解】 以O 为原点，e 1，e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)， 所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A ，B ，C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎨⎧mn －5m ＋n －5＝0，m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－12或⎩⎨⎧m ＝10，n ＝5.17．(本小题满分14分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2， 即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1， 所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)， 由0＜β＜π，得0＜π－β＜π. 又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sinβ＝1，得sinα＝sinβ＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.18．(本小题满分16分)已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α. (2)求f (x )的解析式．【解】 (1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin 错误!＝3sin 错误!，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ，∴y ＝x 1＋2x2，即f (x )＝x1＋2x2.19．(本小题满分16分)(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值．【解】 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎭⎪⎫2x －6.(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则g (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝kπ2＋π12－θ，k ∈Z . 由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z . 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π2)的部分图象如图3所示．图3(1)求f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12倍，再将所得函数图象向右平移π6个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π12时，求函数y ＝fx ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最值．【解】 (1)由图得34T ＝116π－π3＝96π＝32π， ∴T ＝2π，∴ω＝2πT ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＝0，得A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π＋φ＝0，∴116π＋φ＝2k π，φ＝2k π－116π. ∵0＜φ＜π2，∴当k ＝1时，φ＝π6. 又由f (0)＝2，得：A sin φ＝2，A ＝4， ∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)将f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变得到y ＝4sin2x ＋π6，再将图象向右平移π6个单位得到g (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得： k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3(k ∈Z )．(3)y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6－2×4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π6 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin xcos π4＋cos xsin π4－42cos x ＝22sin x ＋22cos x －42cos x ＝22sin x －22cos x ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，512π，x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34π，π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，∴函数的最小值为－4，最大值为2.。