浙江省杭州市塘栖中学高三数学一轮复习课件理 第章 函数的定义域与值域最值

最大值和最小值．
解析：1由f (x 2) f (2 x)，f (x 7) f (7 x)可 以发现函数f x的图象关于直线x 2，x 7对称， 且f x =f [(x 2) 2] f [2 (x 2)] f (4 x)
f [7 (3 x)] f [7 (3 x)] f (10 x)．
①
①当y 2=0，即y=2时，即3x＋0 0，所以x 0 R；
②当y 2 0，即y 2时，因为x R时，方程( y 2)x2
( y 1)x y 2=0恒有实根，
所以 ( y 1)2 4 ( y 2)2 0，
所以1 y 5且y 2，所以原函数的值域为{y |1 y 5}．
C．[ 5 ，10 ] 23
B．[2，10 ] 3
D．[3，10 ] 3
解析：本题等价于求函数y t+ 1 (1 t 3)的值域， t2
当t＝1时，ymin =2；当t=3时，ymax
10 ，故选B. 3
4.函数y ln(x 1) 的定义域为________ . x2 3x 4
解析：由
所以f x是以10为周期的周期函数． 所以f (5) f (5+10) f 5 =9.
解析： 2 根据周期性、图象的对称性可得，
x 122
f
(x)=
x
22 2
x [16,17] . x 17, 20]
2x x 122
g
(x)=
2
x
x222
x [16,17] .
x 17, 20]
域是R，故选A.
2.(2010 嘉兴一中高三摸底考试)函数y 2 x的值
域是
A．[0，+)?
B．[1，+)

C．(，+)
D．[，+)
解析：因为 x 0，所以2 x 20 =1，故选B.
3.若函数y f x的值域是[1 ，3]，则函数F x f x +
2
f
1
x
的值域是
A．[1 ，3] 2
如果函数y=f(x)在区间［a，b］上单调递减， 在区间［b，c］上单调递增，则函数 y=f(x)在x=b处有最小值f(b).
例题1.1求函数f x lg x2 2x的定义域；
9 x2
2若函数y f x的定义域是0, 2，求函数g x
f 2x的定义域． x 1
解析：1要使函数f x 有意义，则只需：
解析： 2 求复合函数的值域：
设 x2 6x 5( 0)，则原函数可化为y . 又因为 x2 6x 5= (x 3)2 +4 4，
所以0 4，故 0, 2， 所以y＝ x2 6x 5的值域为0, 2．
解析：3 (方法一)反函数法：
y 3x 1的反函数为y 2x 1，其定义域为{x R |
拓展训练已知函数f 2x 的定义域是[1,1]，求
f log2x的定义域．
解析：因为y f 2x 的定义域是[1,1]，即-1 x 1，
所以 1 2x 2. 2
所以函数y＝f
log
2
x
中，1
2
log 2 x
2.
即log2 2 log2x log2 4，所以 2 x 4.
故函数f log2x的定义域为[ 2，4]．
所以y 3x2 x 2的值域为[ 23，+)． 12
改题：求函数y 3x2 x 2，x 1, 3的值域．
解：(利用函数的单调性)
函数y 3x2 x 2在x 1, 3上单调递增，
所以当x 1时，原函数有最小值为4； 当x 3时，原函数有最大值为26.
所以函数y=3x2 x 2，x 1,3的值域为4, 26．
x2
x3
x 3}，所以原函数y 3x 1的值域为{y R | y 3}． x2
(方法二)分离变量法：
y 3x 1 = 3(x 2) 7 =3+ 7 ，
x2 x2
x2
因为 7 0，所以3+ 7 3，
x2
x2
所以函数y 3x 1的值域为{y R | y 3}． x2
解析： 4 换元法(代数换元法)：
因为x 16,17时，g x的最大值为16，最小值为9；
x 17, 20时，g x＞g 17＝9，g x的最大值为
g 20＝36，所以g xmax ＝36，g xmin ＝9.
备选题：设函数f
x
x2
x ax
，其中a为实数． a
1若函数f x的定义域为R，求实数a的值；
2当函数f x的定义域为R＋，值域为(0，13]时，求
解析：2 y 2x2 x 1 x(2x 1) 1 x 1 x 1
2x 1
2x 1
2x 1
2
1
x
2
1
1， 2
2
因为x 1 ，所以x 1 0，
2
2
1
1
所以x
1 2
2 x1
2
(x 1) 2
x
2
1
=
2，
2
2
1
解析： 2 当且仅当x
1 2
x
2 1
时，即x
1 2
2
时等
2
号成立．所以y 2 1 ， 2
x
3loga
x
3=(loga
x
3)2 2
3 4
，
知当loga x
3 2
时，loga
y有最小值
3. 4
3
因为0＜a＜1，所以此时y有最大值a4 .
3
根据题意有a 4
2
a
1 .这时x
3
a2
(
1
)
3 2
1.
4
4
48
点评：已知函数的最值，求函数解析式中参数的 值的问题，可利用求函数的值域的方法，再解方 程即可．
所以3y2 4y 0，
所以0 y 4，所以原函数的值域为[0，4]．
3
3
例题3设0＜a＜1，x和y满足loga x 3logxa logx y 3，如果y有最大值 2 ，求这时a和x的值．
4
解析：原式可化为loga
x
3 loga
x
loga loga
y x
=3，
即loga
y＝log
2 a
y=f(x)的最大值.
最小值：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数
y=f(x)的最小值.
注意：
①函数的最大(小)值首先应该是某一个函数 值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；
②函数的最大(小)值应该是所有函数值中最 大 ( 小 ) 的 ， 即 对 于 任 意 的 x∈I ， 都 有
一、定义域、值域
函 数 y=f(x),x∈A ， 其 中 集 合 A 是 函 数 的 定义域 .与x对应的y的值称为函数值， 函 数 值 的 集 合 {f(x)|x∈A} 称 为 函 数 的 值域 .
二、最值 1.定义： 最大值：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在 实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数
x2 9
2x 0，即 x2 0
x 2或x 0， 3 x 3
解得-3＜x＜0或2＜x＜3.
故函数f x的定义域是(3, 0) 2,3．
解析：2由0 2x 2 0 x 1，又x 1，
故定义域为0,1．
点评：求函数的定义域总是归结为解不等 式(组)，要认真观察函数的具体表达式．
例题2.求下列函数的值域：
1 y 3x2 x 2;
2 y x2 6x 5；
3 y 3x 1；
x2
5 y x 1 x2；
4 y x 4 1 x； 6 y | x 1| | x 4 | .
解析：1 (配方法)
因为y 3x2－x 2=3(x 1)2 23 23， 6 12 12
2．求函数值域的几种方法函数的值域由其对应法则 和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点可分
三类：1 求常见函数的值域； 2 求由常见函数复合而 成的函数的值域； 3 求由常见函数作某些“运算”而
得函数的值域．
2．1 直接法：利用常见函数的值域来求，需熟练掌握
基本初等函数，尤其是幂函数、对数函数、三角函数 的定义域． 一次函数y ax b(a 0)的定义域为R，值域为R；
设t 1 x 0，则x＝1 t2， 所以原函数可化为y 1 t2 +4t (t 2)2 +5(t 0)， 所以y 5，所以原函数值域为(，5]．
注：总结y ax b cx d型值域： 设 cx d =t后，变形为：y a t2 ad b t，然后
cc 利用配方法求值域即可． 但要注意换元后定义域的变化，即t 0.
意义外，还应考虑使实际问题有意义；
3已知f x的定义域求f g x的定义域或已知 f g x的定义域求f x的定义域： ①若已知f x的定义域[a，b]，其复合函数f g x 的定义域应由a g x b解出； ②若已知f g x的定义域为[a，b]，则f x的定义域 即为g x的值域．
3 R＋恒成立，所以解得a 0.
则x a a 2 a a， x
所以0 y 1 . 2 aa
依题意得2 a a 1，解得a＝1. 3
1．求函数定义域一般有三类问题：
1 给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意
义的自变量的取值集合；
2 实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有
1
y
2x2 x 2 x2 x 1