15.2.3整数指数幂 王 冲

通过以上举例，你能总结出 负整数的指数的确定方法吗？
• 方法１：数小数点，右移几 位就是负几 • 方法２：原数中第一个非零 数前有几个零，就是负几
例题：用科学记数法表示下列各数
0.1= 1 × 10
-1
0.01= 1 × 10
-5
-2 -8
0.00001= 1 × 10
0.00000001= 1 × 10
4 5 4
归 纳
整数指数幂的所有运算性质用于指数是负数 和零的幂的运算也是完全成立的。 整数指数幂的性质： （注意：m , n 是 整 数 ）
a a a m n m n mn a a a
m n
ab
a
m n

a
mn
n
n
a nb n
b b n a a
1
( 2) 3
=
=
1
a( 3 ) 底数变倒数.
我们又总结得出公式：
3
2
想一想，如何用语言叙述：) a ? (a 0, p 是正整数
p
1 2 3
a
3
1 3 a
（a≠0）
a
p
1 p a
(a 0, p 是正整数 )
任何不等于零的数的 p p 是正整数）次幂， （ 等于这个数的
1 5 a
am (m是正整数） am= 1 （m=0）
1 a
m
（m是负整数）
试一试
1、填空： 1 （1）32=___， 30=__， 3-2=____; 9 9 1
1 1 （2）(-3)2=___，(-3)0=__，(-3)-2=_____； 9 9 1 2 2=___, b0=__, b-2=____(b≠0). b2 1 （3）b b
继续探究同底数幂的除法：
m÷an=am-n a
(1) 同底数幂的除法法则am÷an=am-n 中，a,m,n必须满足什么条件？
m>n
a≠0
在现实生活中会不会遇到m<n 或者m=n的情形呢？
(1)
0 3÷53 =___ 5
5 =1
若53÷53也能适用同底数幂的除法法则， 你认为53÷53= 53-3 =50 应当得出50等于多少呢？ (2) 任何数的零次幂都等于1吗？ 0=1 ？？ a
复习旧知，引入新课
规定： 一般地，当n是正整数时，
a
n
1 n a
（ a 0 ，n是正整数）
a
n
中，指数n的取值范围推广到全体整数.
这就是说：a－n（a≠0)是an的倒数.
例如: a
1
1 a n ( a 0) a
n
1 a
a
5
有了负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数。
学了就用 用科学记数法表示：
－7 （1）０.００００００675= 6.75×10

；
；
9.9×10－10 （2）０.０００００００００99=
（3）-０.００００００００61＝ - 6.1×10－9
。
用小数表示下列各数 （1）7.2×10－5 = （2）1.5×10－4
0.000072 ; 0 000015 . = 0..000015
x ； m n mn 幂的乘方：(a ) a （m，n是正整数）
4 3
3
12
（3）( xy ) = x y ； 积的乘方： (a b) a b （n是正整数）
n n n
3
3
复习旧知，引入新课
（4） a
4
a
3
=
a；
m
同底数幂的除法：a
a a
n
mn
a a 3 3 （5）( ) = b ；
【做一做，对吗？】
（1）20= 1
3 ( 2) 2
3
2
2 3
3
2Leabharlann 4 9( 3)0.01
1 100
3
100 1000000
3
3
(4)(3a )
2
1 1 2 6 27a 3a
例题讲解:
(1) (3m n )
解： 1毫米=10-3米，1纳米=10-9米
(10 ) (10 ) 10 10
9
3 3
9 3
27
10
9 ( 27 )
10
18
1立方毫米的空间可以放1018个1立 方纳米的物体。
a n n ( 2) a b b
n
n
注：负指数幂的引入可
以使除法转化为乘法。
【例题】
例1
(1)
计算:
(a
1
b )
6
2
3
(2)
a b· a b
2 2
2 2 8 8 8
2 2 3

a b b 3. a
6
3
a b· a b a b b 8. a
6 6
-n
-4 0.000611= 6.11 × 10
-3 -0.00105= -1.05 × 10
0.0‥‥‥01= 1 × 10
n个0
思考：当绝对值较小的数用科学记数法表示为a ×10-n 时，a，n有什么特点？ a的取值一样为1≤︱a︱＜10；n是正整数，n等于 原数中左边第一个不为0的数字前面所有的0的个数。 （包括小数点前面的0）
a×10-n
a 是整数位只有一位的正数，n是正整数。
10 10000
4
仔细观察发现
在1的后面有 多少个0，就是 1x10的多少次 方
10 1000
3
10 100
2
n 个0
10n 1000
10 10
1
10 1
0
找到规律
101 0.1 10 0.01 10 0.001 10 0.0001
分析：把a×10－n还原成原数时，只需把a的小数点 向左移动n位。
例3.纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9米。 把1纳米的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球 放到地球上。1立方毫米的空间可以放多少个1 立方纳米的物体?
解：1毫米=10-3米， 1纳米=10-9米。 （10-3）3÷（10-9）3=10-9÷10-27 =10-9-（-27）=1018
3
（a≠0，m，n是正整数）
b
a n a 商的乘方： ( ) n （b≠0，n是正整数） b b
n
复习旧知，引入新课
（6） x
4
x = 1；
4
规定： 0 a
1（ a 0）
2
1 2 3 5 a 2 . a （7） a =
1 规定： a 2 3 5 35 2 a 思路1： a a a a （ a 0） 3 3 a a 1 3 5 思路2： a a 2 3 2 5 a aa a
答：1立方米的空间可以放1018个1立方纳米的物体
1纳米=10-9米
1亿=108
即小于1的正数可以用科学记数法 表示为a×10-n的形式，其中a是整数数 位只要一位的正数，n是正整数。 这种形式更便于比较数的大小。
例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8，
前者是后者的103倍。
纳米是非常小的长度单位，1纳米=10-9米。 把1纳米的物体放在乒乓球上就如同把乒乓球放在 地球上。1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳 米的物体？
p 次幂的倒数。
博 文 中 学 王 冲
博文中学
王冲
复习回顾
我们知道，当n是正整数时，
a a a a
n
n个a相乘
那么，正整数指数幂还有那些运
算性质呢
请同学们回忆一下
复习旧知，引入新课
算一算，并分别说出1—7题所用的运算性质． （1）a 4 a 3
7
a
同底数幂的乘法：a m a n a mn （m，n是正整数） （2）( x ) =
m÷an=am·-n （1）a a
解：两个等式都正确。 （1）∵am÷an=am-n =am+(-n)=am·-n a ∴am÷an=am·-n a
a an 1 n (2) n a n a nb n b b b
a a nb n b
n
15
同底数幂的除法法则
成员长胖：
am÷an=am-n
（a≠0，m，n都是正整数，且 m＞n ）

探究当m<n时，
3 3
3 5
1 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3
3
a a
2 5
35
3
a
2
1 aa 3 aaaaa a
a
我们又发现： 2
3
2 5
3
3
探究验证？
53÷53
125÷125 1

3 3
n
0
n
3

5
3 3
5 1
我们得出： 0
5
nn
0
1
3 1
0
3
0
于是我们可以规定：
a 1 ( a 0)
你能用语言叙述吗？
零的零次幂没有意义。00无意义！
任何不等于零的数的零次幂都等于1。
考一考
3
15
125 0 2 3 (888 –44.77) _____ 999
4 3 2
在1的前面有 多少个0，就是 1x10的负几次 方

(n为正整数)
10n 0.0001
n 个0
小数点向右移几 位,指数就是负几.