2.5 平面向量应用举例ppt课件

2．证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价 条件：a⊥b⇔_______⇔_______.
3．求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝______.
4．求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公 式＝________.
1.a＝λb
a·b 3.|a||b|
跟踪训练
2．求证：证明菱形的两条对角线互相垂直．
分析：通过证两对角线所在向量的数量积为零． 解析：证明：如图所示，在菱形ABCD中，AB＝AD，
∴A→B2＝A→D2
( ) ( ) O→B－O→A 2＝ O→D－O→A 2，化简得
O→B2＋O→A2－2O→A·O→B＝O→D2＋O→A2－2O→A·O→D， 又O→B＝－O→D，上式可化为：
分析：通过利用向量的加减法法则证明E→F＝λB→E.
解析：证明：∵在平行四边 ABCD 中， A→E＝13B→C，A→F＝14A→C， ∴E→F＝A→F－A→E＝14A→C－13B→C
( ) ＝14 B→C－B→A －13B→C＝－14B→A－112B→C，
而B→E＝B→A＋A→E＝B→A＋13B→C， ∴E→F＝－14B→E. 又∵它们有公共点 E，∴E、F 三点共线．
2.5 平面向量应用举例
2.5 平面向量应用举例
课
预
典
课
课
标
习
例
堂
堂
点
导
精
导
小
击
学
析
练
结
1．体会向量方法在几何问题中的应用． 2．体会向量方法在物理中的应用．
基础梳理
一、向量方法在几何中的应用
1．证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件： a∥b⇔________⇔_______.
思考应用
2．你能利用向量解决物理上的常见问题吗？试一试：滑块A和B叠放在倾 角为30°的斜面上，A的质量为2 kg，它们一起以4 m/s2的加速度从静止开始下滑， 在下滑2 m的过程中，求：
(1)支持力对A做的功； (2)合外力对滑块A做的功．
解析：(1)WN＝N·s＝Nscos〈N，s〉． ∵cos〈N，s〉＝0，∴WN＝0. (2)W 合＝ΔEkA＝12mv2，
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
二、向量方法在物理中的应用 1．力、速度、加速度、位移是________． 2．力、速度、加速度、位移的合成与分解是向量的________运算，运 动的叠加也用到向量的合成． 3．动量mv是________． 4．功即是力F与所产生的位移s的________．
向量 加法和减法 向量 数量积
x1y2－x2y1＝0 2.a·b＝0
4. |a|2
x1x2＋y1y2＝0
思考应用
1．用向量方法解决平面几何问题的三个步骤是什么？
解析：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题；
而 v2t－v20＝2as 代入数据得 W 合＝16 N.
自测自评
1．▱ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2,1)， B(－1,3)，C(3,4)，
则顶点D的坐标为(
)
B
A．(2,1)
B．(2,2)
C．(1,2)
D．(2,3)
2．已知△ABC， A→B＝a，且A→Ca·＝b<0b，，则△ABC的形状(
( ) O→A·O→B－O→A·O→D＝O→A·O→B－O→D ＝O→A·D→B＝0.
所以菱形的对角线互相垂直．
向量方法在物理中的应用 一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000 km到达B地， 然后向C地飞行．设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2000 km，求飞机从B地到C地的位移．
P→O＝5．a，△A则BCP→的A顶＋点P→AB(－＋2,P→3)C, B＋(_4_，P→__D－_＝_2_)，_. 重心4aG(2，－1)则C点的坐标为
________． (4，－4)
用向量方法证明共线与相交问题
在平行四边 ABCD 中，已知A→E＝13B→C， A→F＝14A→C，求证：B、E、F 三点共线．
分析：设AD，BE交于一点H，然后证H点在CF上．
解析：设 AD，BE 交于一点 H， B→C＝a，C→A＝b，C→H＝h， 则B→H＝a＋h，A→H＝h－b,
∵B→H⊥A→C，
∴(a＋h)·b＝0.① 同理∴(h－b)·a＝0.②
①＋②得 h·b＋h·a＝0， ∴C→H·B→A＝0. ∴三条高线 AD，BE，CF 相交于一点．
点评：在证明有关三点共线问题时，我们可以考虑 证E→F＝λB→E成立；若已知E→F＝λB→E成立，则 B、E、F 三点 共线成立，这是在解析几何中告诉点共线，长度关系，坐 标关系的一个重要条件．
跟踪训练
1．如图，已知△ABC的三条高是AD， BE，CF，用向量方法证明：AD，BE，CF相交 于一点．
∠CBD＝∠BCD＝12∠BDA＝30°. 所以∠ABC＝90°.
用向量方法证明垂直问题
用向量方法证明：直径所对的圆周角是直角．
分析：通过证明B→A·C→A＝0.
解析：证明：如图所示，
( ) B→A·C→A＝(B→O＋O→A)·O→A－O→C ，
| | | | ∵B→O＝O→C且
→ OA
＝
→ OC
，
∴B→A·C→A＝O→A2－O→C2＝0.
∴∠BAC＝90°.
点评： 用向量方法证平面几何中的垂直问题，主要是通过证线段所 在向量的数量积为零．
分析：物理学科中矢量及矢量的运 算．
解析：如右图所示，设A在东西基 线和南北基线的交点处．
依题意，A→B的方向是北偏西 60°，|A→B|＝1000 km； A→C的方向是南偏西 60°，|A→C|＝2000 km，所以∠BAC＝60°.
过点 B 作东西基线的垂线，交 AC 于点 D，则△ABD 为正三角形，所以 BD＝AB＝CD＝1000 km，
)
A．钝角三角形A
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
3．四边形ABCD中，若
()
A
A．四边形ABCD是矩形
| | | | A→B＋A→D ＝则下A→列B－判断A→D正确，的是
B．四边形ABCD是正方形
C．四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形
D．四边形ABCD是邻边不垂直的菱形
4.▱ABCD中心为O，P为该平面内异于O的任一点，且