2009年考研数一试题

⎛1 0 1⎞ ⎟ ( A) ⎜ ⎜ 2 2 0⎟ . ⎜ 0 3 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎜ 1 − (C ) ⎜ ⎜ 2 ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 4 1 4 1 − 4 1⎞ − ⎟ 6 ⎟ 1 ⎟ . 6 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠
* *
）
⎛1 2 0⎞ ⎟ ( B) ⎜ ⎜ 0 2 3⎟ . ⎜1 0 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎜ 1 ( D) ⎜ ⎜ 4 ⎜ 1 ⎜ ⎜− ⎝ 6 − 1 2 1 4 1 6 1 ⎞ 2 ⎟ ⎟ 1⎟ − . 4⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠
2
）
1 . 6 1 ( C ) a = −1, b = − . 6
( A ) a = 1, b = −
1 . 6 1 ( D ) a = −1, b = . 6
( B ) a = 1, b =
y
1
（2）如图，正方形
{( x, y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为
∫∫ y cos xdxdy ，
（19） （本题满分 10 分）计算曲面积分 I =
� ∫∫
∑
xdydz + ydzdx + zdxdy
(x
2
+y +z
2
3 2 2
，其中
)
∑
是曲面
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 的外侧。
（20） （本题满分 11 分）
⎛ 1 −1 −1 ⎞ ⎜ 设 A = −1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −4 −2 ⎟ ⎝ ⎠
( A) 0 .
( B ) 0.3 .
( C ) 0.7 .
( D ) 1.
（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N ( 0,1) ， Y 的概率分布为
P {Y = 0} = P {Y = 1} =
1 ， 记 FZ ( z ) 为 随 机 变 量 Z = XY 的 分 布 函 数 ， 则 函 数 2
D2 , D4 两区域关于 x 轴对称，而 f ( x, − y ) = − y cos x = − f ( x, y ) ，即被积函数是关于 y 的
奇函数，所以 I 2 = I 4 = 0 ;
D1, D3 两区域关于 y 轴对称，而 f (− x, y ) = y cos(− x) = y cos x = f ( x, y ) ，即被积函数是
2
(C ) ⎜
⎛ O 3 A* ⎞ ⎟. * O ⎠ ⎝ 2B
( D) ⎜
⎛ O * ⎝ 3B
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（7）设随机变量 X 的分布函数为 F ( x ) = 0.3Φ ( x ) + 0.7Φ ⎜ 态分布函数，则 EX = （ ）
⎛ x −1 ⎞ ⎟ ，其中 Φ ( x ) 为标准正 ⎝ 2 ⎠
2
（16） （本题满分 9 分）设 an 为曲线 y = x n 与 y = x
∞ ∞
n +1
( n = 1, 2,.....) 所围成区域的面积，记
S1 = ∑ an , S 2 = ∑ a2n −1 ，求 S1 与 S2 的值。
n =1 n =1
（17） （本题满分 11 分）椭球面 S1 是椭圆
n =1
∞
( C ) 当 ∑ bn
n =1
收敛时，
∑a b
n =1
2 2 n n
收敛.
( D ) 当 ∑ bn
n =1
发散时，
∑a b
n =1
2 2 n n
发散.
（5）设 α1 , α 2 , α 3 是 3 维向量空间 R 的一组基，则由基 α1 , α 2 , α 3 到基
3
1 2
1 3
α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 的过渡矩阵为（
1 . 6 1 ( C ) a = −1, b = − . 6 【答案】 A
( A) a = 1, b = −
1 . 6 1 ( D ) a = −1, b = . 6
( B ) a = 1, b =
【解析】 f ( x) = x − sin ax, g ( x) = x ln(1 − bx) 为等价无穷小，则
x2 y 2 + = 1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是过点 4 3
3
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( 4, 0 ) 且与椭圆
x2 y 2 + =1 4 3
相切的直线绕 x 轴旋转而成。
（Ⅰ）求 S1 及 S2 的方程 （Ⅱ）求 S1 与 S 2 之间的立体体积。 （18） （本题满分 11 分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数 f ( x ) 在 [ a, b ] 上连续，在 (a, b) 可导，则存在
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）当 x → 0 时， f ( x ) = x − sin ax 与 g ( x ) = x ln (1 − bx ) 等价无穷小，则（
ξ ∈ ( a, b ) ，使得 f ( b ) − f ( a ) = f ′ (ξ )( b − a )
（ Ⅱ ） 证 明 ： 若 函 数 f ( x ) 在 x = 0 处 连 续 ， 在 ( 0, δ )(δ > 0 ) 内 可 导 ， 且
x → 0+
lim f ′ ( x ) = A ，则 f +′ ( 0 ) 存在，且 f +′ ( 0 ) = A 。
}
四个区域 Dk ( k = 1, 2,3, 4 ) ， I k = 则 max { I k } =
1≤ k ≤ 4
∫∫ y cos xdxdy ，
Dk
D1
-1
D2 D3
-1
D4
1
x
( A) I1 .
( B ) I2 .
( C ) I3 .
( D ) I4 .
【答案】A 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
(Ⅰ)求参数 λ 的矩估计量； （Ⅱ）求参数 λ 的最大似然估计量
5
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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当 x → 0 时， f ( x ) = x − sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1 − bx ) 等价无穷小，则
。
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + ay′ + by = 0 的通解为 y = ( C1 + C2 x ) e ，则非 齐次方程 y′′ + ay′ + by = x 满足条件 y ( 0 ) = 2, y ′ ( 0 ) = 0 的解为 y = （11）已知曲线 L : y = x （12）设 Ω =
2
x
。 。 。
( 0 ≤ x ≤ 2 ) ，则 ∫ xds =
L
{( x, y, z ) x
。
2
+ y 2 + z 2 ≤ 1 ，则 ∫∫∫ z 2 dxdydz =
Ω
}
（13）若 3 维列向量 α , β 满足 α T β = 2 ，其中 α 为 α 的转置，则矩阵 βα T 的非零特征值 为
T
(14)设 X 1 , X 2 ,⋯ , X m 为来自二项分布总体 B ( n, p ) 的简单随机样本， X 和 S 分别为样本
Dk
四个区域 Dk ( k = 1, 2,3, 4 ) ， I k = 则 max { I k } = （
1≤ k ≤ 4
D1
-1
）
D2 D3
-1
D4
1
x
( A ) I1 .
( B ) I2 .
( C ) I3 .
( D ) I4 .
（3）设函数 y = f ( x ) 在区间 [ −1,3] 上的图形为：
2
均值和样本方差。若 X + kS 为 np 的无偏估计量，则 k =
2
2
。
三、解答题（15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.） （15） （本题满分 9 分）求二元函数 f ( x, y ) = x
2
( 2 + y ) + y ln y 的极值。
2
f ( x) x − sin ax x − sin ax 1 − a cos ax a 2 sin ax lim = lim 2 = lim 2 洛 lim 洛 lim x →0 g ( x ) x →0 x ln(1 − bx ) x →0 x ⋅ (−bx ) x →0 x →0 −3bx 2 −6bx a 2 sin ax a3 = lim =− =1 x →0 6b 6b − ⋅ ax a
2
3
x
-2
0 -1 ）
∞
1
2
3
x
(C ) .
n →∞
( D) .
（4）设有两个数列 {an } , {bn } ，若 lim an = 0 ，则（
∞ ∞
∞
( A ) 当 ∑ bn 收敛时， ∑ anbn 收敛.
n =1 n =1
∞ ∞
( B ) 当 ∑ bn 发散时， ∑ anbn 发散.
n =1
∞
4