2016-2017学年人教A版选修2-2 1.5.2汽车行驶的路程课件(33张)

gt2 1 2 1 2 [0＋1＋2＋„＋(n－1)]＝ gt 1－ . n 2 n (4)取极限：当Δt→0 时，sn 的极限，就是所求的自由 落体运动在时间[0，t]内所经过的距离为 s＝ 1 1 2 gt 1－n＝ gt . 2
2
sn ＝
1 2

类型 2 求变力所做的功 [典例 2] 弹簧在拉伸的过程中， 力与伸长量成正比， 即力 F(x)＝kx(k 为常数，x 是伸长量)，求将弹簧从平衡 位置拉长 b 所做的功． 解：将物体用常力 F 沿力的方向拖动距离 x，则所做 的功 W＝F· x.
(3)求和：在整个区间[a，b]上变力 F 所做的功就近似 地表示为 W≈ (ξi)Δxi.
1．用极限逼近原理求汽车变速行驶的路程，是一种 “以直代曲”的思想，它体现了对立统一、量变与质变 的辩证关系. 2．求汽车行驶的路程(或变力所做的功)的基本思想 是用曲边梯形的面积表示路程 ( 或所做的功 ) ，基本思路 是：把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形→用小矩形近似 替代小曲边梯形→求各小矩形的面积之和→求各小矩形 面积之和的极限.
[变式训练] 如果物体在常力作用下沿直线运动，且 力与位移同向，那么力对物体所做的功 W 就是 F 与位移 的乘积．但如果作用的力不是一个常数，而是随着位移 的不同而变化，即力 F 是位移 x 的函数 F＝F(x)，假定在 变力 F 的作用下沿 x 轴由 x＝a 移动到 x＝b(b＞a)，求这 种变力所做的功是多少？
每个时间段行驶的路程记为Δsi＝(i＝1，2，„，n)． 故路程和 sn＝ .
n＋i－1 (2)近似代替：ξi＝ (i＝1，2，„，n)， n
2 n n ＋ i － 1 1 Δsi≈v ·Δt＝6n＋i－1 ·n n
6 1 6n ＝ 2·n＝ 2 i － 1 （ n ＋ i － 1 ） 1＋ n 6n ≈ (i＝1，2, „，n)． （n＋i－1）（n＋i）
2．某物体沿直线运动，其速度 v(t)＝t，这个物体在 t＝0 到 t＝1 这段时间内所走的路程为( 1 1 3 A. B. C. D．1 3 2 4 解析：直线 t＝0，t＝1，与曲线 v(t)＝t 以及横轴围成 1 的三角形面积为 ，即为所求路程． 2 答案：B )
3．已知某物体运动的速度为 v＝t3，t∈[0，1]，若把 区间 4 等分， 取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩 形的高，则物体运动的近似值为( 1 111 110 25 A. B. C. D. 19 256 270 64
为计算方便，取 ξi 为小区间的左端点，用时刻 ξi 的速度 （i－1） v(ξi)＝g n t 近似代替第 i 个小区间上的速度，因此 t 在每个小区间上自由落体在Δt＝ 内所经过的距离，可以 n
i － 1 t 近似地表示为Δsi≈g· t·n(i＝1，2，„，n)． n
ib （i－1）b b 长度为Δx＝ n － ＝n. n
b b 2b （ n － 1 ） b 把在每段0，n，n， n ，„， 上所 ， b n
做的功分别记作：Δw1，Δw2，„，Δwn. (2)近似代替：取各小区间的左端点函数值作为小矩 形的高，
第一章
导数及其应用
1.5 定积分的概念 1．5.2 汽车行驶的路程
[ 学习目标 ] 1. 通过实际例子，进一步了解如何用 “以直代曲”和“逼近”的思想方法求解变速直线运动 的路程(重点)． 2．从问题情境中了解定积分的实际背景，初步了解 定积分的概念(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 求变速直线运动的(位移)路程： 如果物体做变速直线运动，速度函数 v＝v(t)，那么 也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求 出它在 a≤t≤b 内所作的位移 s.
5．汽车做匀变速直线运动，在时刻 t 的速度为 v(t) ＝t2＋2(单位：km/h)，则该汽车在 1≤t≤2 这段时间内行 驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图 形的直线和曲线分别是____________________________． 解析：围成该图形的直线和曲线分别是 t＝1，t＝2， v＝0，v＝t2＋2. 答案：t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2
（i－1）b b （ i － 1 ） b 由条件知：Δ wi ≈ F · n (i ·Δ x ＝ k· n n
＝1，2，„，n)．
kb2 1 从而得到 w 的近似值 w≈wn＝ 1－n. 2
(4)取极限：w＝
wn＝
kb2 1 kb2 1－ ＝ . பைடு நூலகம் n 2
it i－1 t 每个小区间所表示的时间Δt＝n－ n t＝n. 在各个小区间物体下落的距离记为Δs1，Δs2，„，Δ sn . (2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近 似代替变速运动的路程．
i － 1 i 上任取一时刻 ξ (i＝1， 在小区间 2， „， n)， i t， t n n
温馨提示 (1)在实际操作中， 常把区间[a， b]n 等分， 这样在小矩形面积求和时就比较简单； (2)小矩形的个数不同，得到的面积的近似值的和也 不同.
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶 的路程．( )
(2)物体做匀加速直线运动时，速度 v(单位：m/s)关 于时间 t(单位：s)的关系是 v＝3＋t，则物体在 0＜t＜4 时段内经过的路程为 20 m．( )
n
i＝ 1
[ 变式训练 ]
用定积分定义求自由落体的下落距
离：已知自由落体的运动速度 v＝gt，求在时间区间[0， t]内，物体下落的距离 s. 解 ： (1) 分 割 ： 把 时 间 [0 ， t] 等 分 成 n 个 小 区 间
i － 1 i (i＝1，2，„，n)， t， t n n
kb2 所以将弹簧从平衡位置拉长 b 所做的功为 . 2
归纳升华 把变力所做功的问题转化为常力所做的功， 采用的方 法仍然是分割、近似代替、求和、取极限四步．求曲边梯 形面积和求变速直线运动的路程， 虽然它们的实际意义不 同，但都可以归纳成求一个特定形式的极限，抛去它们的 实际意义，就会得到定积分的概念．
13 12 33 1 25 3 解析：S≈4 ＋2 ＋4 ＋1 × ＝ . 4 64
)
答案：D
4．汽车以 v＝(3t＋2) m/s 做变速直线运动时，第 1 s 到第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是______m. 解析：由题意知，所求路程为直线 x＝1，x＝2，y＝ 1 0 与 y＝3x＋2 所围成的直角梯形的面积，故 s＝ ×(5＋ 2 8)×1＝6.5. 答案：6.5
(3)求物体运动的路程的方法与求曲边梯形的面积的 方法相同．( )
解析：(1)错，分割的区间表示汽车行驶的时间． (2)对，物体经过的路程为直线 t＝0，t＝4，v＝0 和 曲线 v ＝ 3 ＋ t 围成的曲边梯形的面积，该面积为 S ＝ （3＋7）×4 ＝20. 4
(3)对，两个不同的问题都用以下四个步骤求解：① 分割；②近似代替；③求和；④取极限． 答案：(1)× (2)√ (3)√
(1)分割： 在区间[0，b]上等间隔地插入 n－1 个点， 将区间[0，b]等分成 n 个小区间：
b b 2b （ n － 1 ） b 0， ， ， ，„， . ， b n n n n
（ i － 1 ） b ib 记第 i 个区间为 ， (i＝1，2，„，n)，其 n n
归纳升华 (1)求变速直线运动的路程是用“以不变代变” 和 “逼 近”的思想方法，把变速直线运动的路程问题划归为匀速 直线运动的路程来解决， 其步骤为： ①分割； ②近似代替； ③求和；④取极限．
(2)求曲边梯形的面积或变速直线运动的路程的过程 中，都经过了上述四个步骤，它们都用到了 k nf(xi)．
解：(1)分割：将 a，b 之间分割成 n 个小区间．设 a ＝x0<x1<x2<„<xi－1<xi<„xn＝b.记第 i 个区间的长度为 Δ xi＝xi－xi－1(i＝1，2，„，n)．并在小区间[xi－1，xi]内任 取一点 ξi.
(2)近似代替：如果区间很小，由 F 在[xi－1，xi]内变化不 大，可近似看作常力，把 F(ξi)记为这个常力，那么物体从 xi Δxi(i＝1，2，„，n)． －1 到 xi 所做的功ΔWi＝F(ξi)·
6n (3)求和：sn＝ ＝ i 1 （n＋i－1）（n＋i）
n ＝
1 1 1 1 1 1 － ＋ － ＋ „ ＋ － 6n ＝ 2 n n n＋1 n＋1 n＋2 2n＋1 1 1 6nn－2n.
(4)取极限：s＝
sn ＝
1 1 6nn－2n＝3.
类型 1 求变速运动的路程(自主研析) [典例 1] 一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间 6 t 的速度 v(t)＝ 2，求汽车在 t＝1 到 t＝2 这段时间内运动 t 的路程 s.
解： (1) 分割：把区间 [1 ， 2] 等分成 n 个小区间
1 n ＋ i － 1 n ＋ i (i＝1，2，„，n)，每个区间的长度Δt＝n， ， n n