【高考复习】数学第2章第3讲函数的单调性与最值知能训练轻松闯关理北师大版31

第3讲 函数的单调性与最值1．(2016·菏泽一模)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0，1)上递减的函数序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④解析：选B.①y ＝x 12在区间(0，1)上递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0，1)上递减；③y ＝|x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1在区间(0，1)上递减；④y ＝2x ＋1在区间(0，1)上递增．故选B.2．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1解析：选B.因为f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1， 所以f (3)＝1，即22＋m －1＝1，m ＝－2.3．(2016·北京海淀区模拟)下列函数y ＝f (x )的图像中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f (3)>f (2)的只可能是( )解析：选D.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14>f (3)>f (2)，所以函数y ＝f (x )有增有减，排除A ，B.在C 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f (0)，f (3)>f (0)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<f (3)，排除C ，故选D. 4．对于正实数a ，函数y ＝x ＋a x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞上为增函数，则a 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，916C ．(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞ 解析：选B.由函数y ＝x ＋a x 的图像知，函数y ＝x ＋a x在(0，a )上是减函数，在(a ，＋∞)上是增函数，所以有a ≤34，故选B.5．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(2， 5 ) C ．(－5，－2) D ．(－5，－2)∪(2， 5 )解析：选D.因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.6．(2016·长春调研)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，且在(－∞，0)上递增，如果x 1＋x 2<0且x 1x 2<0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．可能为0 B ．恒大于0 C ．恒小于0 D ．可正可负 解析：选C.由x 1x 2<0不妨设x 1<0，x 2>0. 因为x 1＋x 2<0，所以x 1<－x 2<0.由f (x )＋f (－x )＝0知f (x )为奇函数．又由f (x )在(－∞，0)上递增得，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)， 所以f (x 1)＋f (x 2)<0.故选C.7．函数y ＝x －|1－x |的增区间为________．解析：y ＝x －|1－x | ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥1，2x －1，x <1. 作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的递增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]8．已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f (x )在[－1，0]上的最小值为________． 解析：因为a >0，b >0，所以ax 3，bx 都是R 上的增函数，又2x在R 上递增，所以f (x )在R 上递增，故f (x )在[0，1]和[－1，0]上均递增，由题意f (1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2，所以f (x )在[－1，0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋2－1＝－2＋12＝－32.答案：－329．已知函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，则A ＝f (a 2－a ＋1)，B ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系为__________．解析：因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，又f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，即A ≤B .答案：A ≤B10．(2016·蚌埠模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0.若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：根据所给的分段函数，画函数图像如图．可知函数f (x )在整个定义域上是递减的，由f (3－a 2)<f (2a )可知，3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：－3<a <111．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0，2]，求函数的最大值和最小值．解：设x 1，x 2是区间[0，2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋1＝－2（x 2－x 1）（x 1＋1）（x 2＋1）.由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间[0，2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0，2]的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a >0，x 2－x 1>0，所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述知0<a ≤1.1．(2016·潍坊模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2tx ＋t 2，x ≤0，x ＋1x＋t ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则t 的取值范围为( )A ．[－1，2]B ．[－1，0]C ．[1，2]D ．[0，2]解析：选D.法一：(排除法)当t ＝0时，结论成立，排除C ；当t ＝－1时，f (0)不是最小值，排除A 、B ，选D.法二：(直接法)由于当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋t 在x ＝1时取得最小值为2＋t ，由题意知，当x ≤0时，f (x )＝(x －t )2，若t ≥0，此时最小值为f (0)＝t 2，故t 2≤t ＋2，解得－1≤t ≤2，此时0≤t ≤2；若t <0，则f (t )<f (0)，条件不成立，故选D.2．(2016·濮阳模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数． 给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．解析：对于①，若f (x )＝x 2，则f (x 1)＝f (x 2)时x 1＝x 2，或x 1＝－x 2，故①错误；对于②，f (x )＝2x是R 上的增函数，当f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，故②正确； 对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f (x )为单函数，x 1，x 2∈A ，若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；对于④，假若f (x 1)＝f (x 2)时，有x 1≠x 2，这与单调函数矛盾，故④正确． 答案：②③④3．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1x 2>1，所以2－1x 1x 2>0，所以h (x 1)<h (x 2)， 所以h (x )在(1，＋∞)上递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]．4．已知二次函数f (x )＝ax2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，－f （x ），x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．(1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0，所以b ＝a ＋1，所以f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1. 因为对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝（a ＋1）2－4a ≤0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，（a －1）2≤0. 所以a ＝1，从而b ＝2，所以f (x )＝x 2＋2x ＋1，所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x >0，－x 2－2x －1，x <0.(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1. 因为g (x )在[－2，2]上是单调函数，所以k －22≤－2或k －22≥2，解得k ≤－2或k ≥6.故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞) .。