2014届高考数学(理)一轮复习专题集训：平面向量的数量积

平面向量的数量积一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2012·德州模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若向量a ⊥b ，则x ＝( ) (A)2 (B)－2 (C)8 (D)－82.(2012·鞍山模拟)已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC ＝2，则n ·BC等于( )(A)－2 (B)2 (C)0 (D)2或－23.(2012·大连模拟)已知a ＝(x ，x)，b ＝(x ，t ＋2)，若函数f(x)＝a ·b 在区间[－1,1]上不是单调函数，则实数t 的取值范围是( ) (A)(－∞，－4] (B)(－4,0] (C)(－4,0)(D)(0，＋∞)4.在直角三角形ABC 中，∠C＝90°，AB ＝5，AC ＝4，则AB ·BC的值为( )(A)9 (B)－9 (C)12 (D)－125.已知三个向量a 、b 、c 两两所夹的角都为120°，|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°6.(2011·新课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 P 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈[0，2π3)， P 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈(2π3，π]，P 3：|a －b |＞1⇔θ∈[0，π3)， P 4：|a －b |＞1⇔θ∈(π3，π]，其中的真命题是( ) (A)P 1，P 4 (B)P 1，P 3 (C)P 2，P 3 (D)P 2，P 4二、填空题(每小题6分，共18分)7.已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝ .8.(2012·东营模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为60°，则|a －2b |等于 .9.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λ a ＋b 与a 垂直，则λ＝ .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λ b 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.11.(2012·济南模拟)已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，(1)若存在实数k 和t ，满足x ＝(t ＋2)a ＋(t 2－t －5)b ，y ＝－k a ＋4b 且x⊥y，求出k 关于t 的关系式k ＝f(t)；(2)根据(1)的结论，试求出函数k ＝f(t)在t∈(－2,2)上的最小值. 【探究创新】(16分)在△ABC 中，满足AB 与AC的夹角为60°，M 是AB 的中点， (1)若|AB |＝|AC |，求AB ＋2AC 与AB的夹角的余弦值；(2)若|AB |＝2，|BC |＝23，在AC 上确定一点D 的位置，使得DB ·DM达到最小，并求出最小值.答案解析1.【解析】选D.∵a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，且a ⊥b ， ∴a ·b ＝0即(1,2)·(x,4)＝0， ∴x ＋8＝0，∴x ＝－82.【解析】选B.n ·BC ＝n ·(AC －AB )＝n ·AC －n ·AB＝2－0＝2.3.【解析】选C.∵f(x)＝a ·b ＝x 2＋(t ＋2)x ， ∴f ′(x)＝2x ＋(t ＋2)，令f ′(x)＝0得x ＝－t ＋22，又f(x)在[－1,1]上不单调， ∴－1<－t ＋22<1，即－4<t<0.4.【解析】选B.如图所示，BC ＝AB 2－AC 2＝3， cosB ＝BC BA ＝35，∴AB ·BC ＝－BA ·BC＝－|BA|·|BC |cosB＝－5×3×35＝－9.5.【解题指南】先求(a ＋b ＋c )·a 和|a ＋b ＋c |，再利用向量夹角公式求余弦值，进而求角. 【解析】选D.由已知得(a ＋b ＋c )·a＝a 2＋a ·b ＋a ·c ＝1＋2cos 120°＋3cos120°＝－32，|a ＋b ＋c |＝1＋4＋9＋4cos120°＋6cos120°＋12cos120° ＝ 3.设向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为θ，则cos θ＝⋅(a +b +c)a|a +b +c ||a |＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a ＋b ＋c 与向量a 的夹角为150°.6.【解题指南】|a ＋b |＞1⇔(a ＋b )2＞1，|a －b |＞1⇔(a －b )2＞1，将(a ＋b )2，(a －b )2展开并化成与θ有关的式子，解不等式，得θ的取值范围.【解析】选A.|a ＋b |＞1⇔(a ＋b )2＞1，而(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ＞1， ∴cos θ＞－12，解得θ∈[0，2π3)，同理，由|a －b |＞1⇔(a －b )2＞1，可得θ∈(π3，π].7.【解题指南】向量a ＋b 与向量k a －b 垂直⇔(a ＋b )·(k a －b )＝0，展开用数量积公式求得k 的值.【解析】∵(a ＋b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k a 2＋(k －1)a ·b －b 2＝0，(*) 又∵a ，b 为两不共线的单位向量， ∴(*)式可化为k －1＝－(k －1)a ·b ，若k －1≠0，则a ·b ＝－1，这与a ， b 不共线矛盾； 若k －1＝0，则k －1＝－(k －1)a ·b 恒成立.综上可知，k ＝1时符合题意. 答案：18.【解析】∵〈a ，b 〉＝60°，∴cos 〈a ，b 〉＝cos60°＝12，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×1×cos60°＝1，|a －2b |＝4－4＋4＝4＝2. 答案：29.【解析】由已知，λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)， ∵λa ＋b 与a 垂直，∴(λa ＋b )·a ＝1×(λ＋4)－3×(－3λ－2)＝0， 即10λ＋10＝0， ∴λ＝－1. 答案：－110.【解题指南】a 与a ＋λb 的夹角为锐角⇔a ·( a ＋λb )>0且a 与a ＋λb 不共线. 【解析】∵a 与a ＋λb 均为非零向量，且夹角为锐角， ∴a ·(a ＋λb )>0，即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)>0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)>0，∴λ>－53，当a 与a ＋λb 共线时，存在实数m ，使a ＋λb ＝m a ， 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m，∴λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，综上可知，λ>－53且λ≠0.【误区警示】探究向量的夹角时首先要共起点，其次范围是[0，π]，a ·b >0⇔夹角为[0，π2)，而本题中锐角为(0，π2)，不含0，故需注意讨论a 与a ＋λb 共线时是否为同向.11.【解析】(1)由题意知a ·b ＝0，且|a |＝2，|b |＝1， ∴x ·y ＝－(t ＋2)·k ·(a )2＋4(t 2－t －5)·(b )2＝0，∴k ＝f(t)＝t 2－t －5t ＋2(t ≠－2).(2)k ＝f(t)＝t 2－t －5t ＋2＝t ＋2＋1t ＋2－5，∵t ∈(－2,2)，∴t ＋2＞0， 则k ＝t ＋2＋1t ＋2－5≥－3，当且仅当t ＋2＝1，即t ＝－1时取等号，∴k 的最小值为－3. 【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧(1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法；(2)熟记公式a ·a ＝a 2＝|a |2，易将向量问题转化为实数问题.【变式备选】△ABC 中，满足：AB ⊥AC，M 是BC 的中点.(1)若|AB |＝|AC |，求向量AB ＋2AC 与向量2AB ＋AC的夹角的余弦值； (2)若O 是线段AM 上任意一点，且|AB|＝|AC |＝2，求OA ·OB ＋OC ·OA 的最小值.【解析】(1)设向量AB ＋2AC 与向量2AB ＋AC 的夹角为θ，|AB|＝|AC |＝a ， ∵AB ⊥AC ，|AB|＝|AC |，∴(AB ＋2AC )·(2AB ＋AC )＝2AB 2＋5AB ·AC ＋2AC 2＝4a 2， |AB＋2AC |＝5a ，同理可得|2AB ＋AC|＝5a ，∴cos θ＝(AB 2AC)(2AB AC)|AB 2AC ||2AB AC |++++＝4a 25a 2＝45. (2)∵|AB |＝|AC |＝2，∴|AM|＝1.设|OA |＝x ，则|OM |＝1－x ，而OB ＋OC ＝2OM ， ∴OA ·(OB ＋OC )＝2OA ·OM ＝2|OA ||OM|cos π＝－2x(1－x)＝2x 2－2x ＝2(x －12)2－12当且仅当x ＝12时，OA ·(OB ＋OC )的值最小，为－12.【探究创新】【解析】(1)设|AB |＝|AC |＝a ，cos 〈AB ＋2AC ，AB 〉＝(AB 2AC)AB|AB 2AC ||AB |+⋅+⋅ ＝a 2＋a 27a 2·a ＝277. (2)因为〈AB ，AC 〉＝60°，|AB|＝2，|BC |＝23，由余弦定理可得：|AC |＝4，M 是AB 的中点，所以|AM |＝1，因为D 是AC 上一点，设|AD|＝x ，则|DC |＝4－x ，所以DB ·DM ＝(DA ＋AB )·(DA ＋AM )＝DA 2＋DA ·AM ＋AB ·DA ＋AB ·AM＝x 2－12x －12×2x ＋2＝x 2－32x ＋2＝(x －34)2＋2316，所以当x ＝34∈(0,4)，即D 距A 点34处时DB ·DM 取到最小值，且最小值为2316.。