2017高考数学文科二轮复习对点练：第一部分 专题四 数列、推理与证明 第2讲 演练 精品
2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练：模拟卷1含解析
高考冲刺模拟卷Ⅰ本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．时间：120分钟，满分：150分．第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
复数6i7+8i2 016(其中i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ C )A.第一象限B。
第二象限C.第三象限D。
第四象限2。
一批产品有A，B,C三种型号，数量分别是120件，80件，60件。
为了解它们的质量是否存在差异,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本,其中从型号C的产品中抽取了3件,则n的值是（ D ）A。
9 B。
10C。
12 D。
133。
已知条件p：log2(x-1)〈1;条件q:|x—2|〈1，则p是q成立的（ C )A。
充分不必要条件B 。
必要不充分条件C 。
充分必要条件D.既不充分也不必要条件4。
已知0≤θ≤2π，且cos )2(θπ-->0，012sin 22>-θ，则θ的范围是（ C ）A.)2,0(π B 。
),2(ππC 。
)23,(ππ D 。
)2,23(ππ5。
已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长为4,过焦点且垂直于长轴的弦长为3,则椭圆的方程是 （ A )A.13422=+y xB 。
12422=+y xC 。
14522=+y xD 。
1222=+y x6。
随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则（ C ）A.p 1〈p 2<p 3 B 。
p 2<p 1<p 3C.p 1〈p 3〈p 2D.p 3<p 1<p 27.在长为5 cm 的线段AB 上任取一点C ，以AC ，BC 为邻边作一矩形,则矩形面积不小于4 cm 2的概率为 ( C )A.51 B.52C 。
53 D.548。
如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB=2，AC=3，BC=7，则BC AO •= （ B ）A.23 B.25C 。
2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练专题二不等式、函数与导数第3讲特训13题(一)Word版含答案
第一部分 专题二 第3讲1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A ．p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C ．pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设原来的生产总值为a ，平均增长率为x ， 则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2， 解得1＋x ＝(p ＋1)(q ＋1)， 即x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( B ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a bc ＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对于A ，log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c a log c b ，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b ·log c a ＝log a b ，⇒log a b ＝log c blog c a，符合换底公式，所以正确；对于C ，log a bc ＝log a b ·log a c ，不满足对数运算公式log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确；对于D ，log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，不满足log a (xy )＝log a x ＋log a y (x ，y >0)，所以不正确． 3．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( A )A ．e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：构造函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x >0，∴函数g (x )单调递增．∵x 1<x 2，∴g (x 1)<g (x 2)，即f (x 1)e x 1<f (x 2)e x 2，∴e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)．4．已知实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( A ) A ．x 3>y 3B ．sin x >sin yC ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)D.1x 2＋1>1y 2＋1解析：∵实数x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，∴x >y ， 对于A ，当x >y 时，x 3>y 3，恒成立．对于B ，当x ＝π，y ＝π2时，满足x >y ，但sin x >sin y 不成立．对于C ，若ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)，则等价为x 2>y 2成立，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2>y 2不成立．对于D ，若1x 2＋1>1y 2＋1，则等价为x 2＋1<y 2＋1，即x 2<y 2，当x ＝1，y ＝－1时，满足x >y ，但x 2<y 2不成立．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3，x ∈(－1，0]，x ，x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 解析：由g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)， 分别作出函数f (x )和y ＝h (x )＝m (x ＋1)的图象如图． 由图象可知f (1)＝1，h (x )表示过定点A (－1,0)的直线．当h (x )过(1,1)时，m ＝12，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12.当h (x )过(0，－2)时，h (0)＝－2， 解得m ＝－2，此时两个函数有两个交点． 当h (x )与f (x )相切时，两个函数只有一个交点， 此时1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0， 当m ＝0时，x ＝－23，只有1解；当m ≠0，由Δ＝9＋4m ＝0得m ＝－94，此时直线和f (x )相切．∴要使函数有两个零点，则－94<m ≤－2或0<m ≤12.6．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析：根据题意，该生产x 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800＋x ·x 8＝800＋18x 2，这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 f (x )＝800＋18x 2x ＝800x ＋18x (x 为正整数)．由基本不等式，得f (x )≥2800x ·18x ＝20. 当且仅当800x ＝18x ＝10时，f (x )取得最小值，可得x ＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小．7．已知函数f (x )＝2－，x ≤ 2 , 函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个 (x －2)2, x > 2数为 ( A )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0. 函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数， 在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为2.8．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，4x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是(0,1]．解析：∵函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k 的取值范围是(0,1]．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0，(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝ 14 .解析：∵f [f (－1)]＝1， ∴f [f (－1)]＝f (2－(－1))＝f (2)＝a ·22＝4a ＝1，∴a ＝14.10．若函数f （x ）=有两个零点，则实数b 的取值范围是__( 0,2 )__．解析：函数f （x ）=有两个零点等价于函数y=与y =b 的图像有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=及y =b 的图像.11．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为(－∞，2]．解析：当x ＝0时，f (0)＝a ， 由题意得：a ≤x ＋1x ，又∵x ＋1x ≥2x ·1x＝2， ∴a ≤2.12．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是(0,1)∪(1,2)．解析：函数y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1|·|x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－(x ＋1)，－1≤x <1，x ＋1，x <－1，由图可知当一次函数y ＝kx 的斜率k 满足0<k <1或1<k <2时，直线y ＝kx 与函数y ＝|x 2－1|x －1的图象相交于两点．。
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题四 数列、推理与证明 第2讲 数列的
第2讲 数列的求和问题1．(2016·课标全国甲)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1 000项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，据已知有7＋21d ＝28， 解得d ＝1.所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1 000，3，n ＝1 000，所以数列{b n }的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.2．(2016·山东)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝a n ＋n ＋1b n ＋n，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.(2)由(1)知，c n ＝n ＋n ＋1n ＋n＝3(n ＋1)·2n ＋1.又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]．两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2]＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋41－2n1－2－n ＋1×2n ＋2 ＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求一般数列的和，体现转化与化归的思想.热点一 分组转化求和有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．例1 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，所以S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3. 当n 为偶数时， S n ＝2×1－3n1－3＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1， n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1， n 为奇数.思维升华 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解．在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式．跟踪演练1 (2015·湖南)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *.(1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .(1)证明 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1， 即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1， 故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解 由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝33n－12. 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝33n－12－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32n －32－，n 是奇数，32n2－，n 是偶数.热点二 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝2,3S n ＝5a n －a n －1＋3S n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)3S n －3S n －1＝5a n －a n －1(n ≥2)， ∴2a n ＝a n －1，a n a n －1＝12， 又∵a 1＝2，∴{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2＝22－n.(2)b n ＝(2n －1)22－n，T n ＝1×21＋3×20＋5×2－1＋…＋(2n －1)·22－n ，12T n ＝1×20＋3×2－1＋…＋(2n －3)·22－n ＋(2n －1)·21－n ， ∴12T n ＝2＋2(20＋2－1＋…＋22－n )－(2n －1)·21－n ＝2＋2[1－－1n －1]1－2－1－(2n －1)21－n＝6－(2n ＋3)·21－n，∴T n ＝12－(2n ＋3)·22－n.思维升华 (1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列；(2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．跟踪演练2 已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)(n ∈N *)． (1)求a n ；(2)若b n ＝2n·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵4S n ＝(a n －1)(a n ＋3)＝a 2n ＋2a n －3，∴当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1－3， 两式相减得，4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1， 化简得，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， ∵{a n }是正项数列，∴a n ＋a n －1≠0，∴a n －a n －1－2＝0，对任意n ≥2，n ∈N *都有a n －a n －1＝2， 又由4S 1＝a 21＋2a 1－3得，a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3或a 1＝－1(舍去)，∴{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， ∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1. (2)由已知及(1)知，b n ＝(2n ＋1)·2n ，T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，①2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，②②－①得，T n ＝－3×21－2(22＋23＋24＋ (2))＋(2n ＋1)·2n ＋1＝－6－2×－2n －11－2＋(2n ＋1)·2n ＋1＝2＋(2n －1)·2n ＋1.热点三 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于{1a n a n ＋1}或{1a n a n ＋2}(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．例3 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2. (1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴q 2＋9＋3d ＝27,6＋d ＝q 2，解得q ＝3，d ＝3. ∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意及(1)，得S n ＝n＋3n2， c n ＝32S n ＝32×23·1n n ＋＝1n －1n ＋1.所以T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 思维升华 (1)裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而达到在求和时某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件． (2)常用的裂项公式 ①1nn ＋k ＝1k (1n －1n ＋k)； ②1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)； ③1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．跟踪演练3 (1)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 5＝15，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前m 项和为910，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的正整数n 有( ) A ．最小值63 B ．最大值63 C ．最小值31 D ．最大值31答案 (1)B (2)A解析 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋5×42d ＝15，∴a 1＝d ＝1，∴a n ＝n ， ∴1a n ·a n ＋1＝1n －1n ＋1.∴1a 1·a 2＋1a 2·a 3＋1a 3·a 4＋…＋1a m ·a m ＋1＝1－12＋12－13＋…＋1m －1m ＋1＝1－1m ＋1＝m m ＋1＝910， ∴m ＝9. (2)∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)， ∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 223＋log 234＋…＋log 2n ＋1n ＋2＝(log 22－log 23)＋(log 23－log 24)＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝log 22－log 2(n ＋2) ＝log 22n ＋2，由S n <－5＝log 2132⇒2n ＋2<132⇒n >62， 故使S n <－5成立的正整数n 有最小值63.1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋22nnn ＋，其前n 项和为S n ，若存在M ∈Z ，满足对任意的n ∈N *，都有S n <M 恒成立，则M 的最小值为________．押题依据 数列的通项以及求和是高考重点考查的内容，也是《考试大纲》中明确提出的知识点，年年在考，年年有变，变的是试题的外壳，即在题设的条件上有变革，有创新，但在变中有不变性，即解答问题的常用方法有规律可循． 答案 1解析 因为a n ＝n ＋22nn n ＋＝n ＋－n2nn n ＋＝12n －1n －12nn ＋，所以S n ＝(120×1－121×2)＋(121×2－122×3)＋…＋[12n －1n －12nn ＋]＝1－12nn ＋，由于1－12n n ＋<1，所以M 的最小值为1.2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a (S n －a n ＋1)(a 为常数，且a >0)，且4a 3是a 1与2a 2的等差中项．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和T n .押题依据 错位相减法求和是高考的重点和热点，本题先利用a n ，S n 的关系求a n ，也是高考出题的常见形式．解 (1)当n ＝1时，S 1＝a (S 1－a 1＋1)， 所以a 1＝a ，当n ≥2时，S n ＝a (S n －a n ＋1)，①S n －1＝a (S n －1－a n －1＋1)，②由①－②，得a n ＝a ·a n －1， 即a na n －1＝a ， 故{a n }是首项a 1＝a ，公比为a 的等比数列， 所以a n ＝a ·an －1＝a n.故a 2＝a 2，a 3＝a 3.由4a 3是a 1与2a 2的等差中项，可得8a 3＝a 1＋2a 2， 即8a 3＝a ＋2a 2，因为a ≠0，整理得8a 2－2a －1＝0， 即(2a －1)(4a ＋1)＝0， 解得a ＝12或a ＝－14(舍去)，故a n ＝(12)n ＝12n .(2)由(1)，得b n ＝2n ＋1a n＝(2n ＋1)·2n，所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，①2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1，所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.A 组 专题通关1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1答案 A解析 因为a n ＝2n －1＋12n ，所以S n ＝n＋2n －2＋－12n121－12＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n 等于( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ，n >3答案 C解析 由S n ＝n 2－6n 可得， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7. 当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式， ∴a n ＝2n －7，n ∈N *.∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0. ∴当n ≤3时，T n ＝|S n |＝6n －n 2， 当n >3时，T n ＝S n ＋2|S 3|＝n 2－6n ＋18.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2，1≤n ≤3，n 2－6n ＋18，n >3.3．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析 由题意得，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)， 所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的等差数列，所以S 20＝(a 1＋a 3＋…＋a 19)＋(a 2＋a 4＋…＋a 20)＝122，故选B.4．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为T n ，则T 2 016的值为( )A ．－12B ．－1C.12 D ．1答案 D解析 由a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，得a 2＝1－1a 1＝12，a 3＝1－1a 2＝－1，a 4＝1－1a 3＝2，…，由上可知，数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又a 1a 2a 3＝2×12×(－1)＝－1，且2 016＝3×672.∴T 2 016＝(－1)672＝1. 故选D.5．1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋14＋…＋1210 的值为( )A ．18＋129B ．20＋1210C ．22＋1211D ．18＋1210答案 B解析 设a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1[1－12n ]1－12＝2[1－(12)n]，原式＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝2[1－(12)1]＋2[1－(12)2]＋…＋2[1－(12)11]＝2[11－(12＋122＋…＋1211)]＝2[11－12－12111－12] ＝2[11－(1－1211)]＝2(11－1＋1211)＝20＋1210.6．设f (x )＝4x4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，则S ＝________.答案 1 007解析 ∵f (x )＝4x 4x ＋2， ∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 0142 015)，① S ＝f (2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (12 015)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]＝2 014， ∴S ＝2 0142＝1 007. 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________. 答案 480解析 方法一 依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465； 当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.方法二 ∵a n ＋2＋(－1)na n ＝1，∴a 3－a 1＝1，a 5－a 3＝1，a 7－a 5＝1，…，且a 4＋a 2＝1，a 6＋a 4＝1，a 8＋a 6＝1，…，∴{a 2n －1}为等差数列，且a 2n －1＝1＋(n －1)×1＝n ，即a 1＝1，a 3＝2，a 5＝3，a 7＝4，∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋1＋2＝4，S 8－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝3＋4＋1＝8， S 12－S 8＝a 9＋a 10＋a 11＋a 12＝5＋6＋1＝12，…，∴S 60＝4×15＋15×142×4＝480. 8．定义np 1＋p 2＋…＋p n 为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n 5，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝________. 答案 1021解析 由定义可知a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＝5(n ＋1)2，可求得a n ＋1＝10n＋5，所以a n ＝10n －5，则b n ＝2n －1，又1b n b n ＋1＝12(1b n －1b n ＋1)， 所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b 10b 11＝12(1b 1－1b 2＋1b 2－…－1b 10＋1b 10－1b 11) ＝12(1b 1－1b 11)＝1021. 9．(2015·福建)在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝22n a －＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝－2101－2＋＋2 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.10．已知在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n (S n －12)． (1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明T n <12. (1)解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1代入S 2n ＝a n (S n －12)，得2S n S n －1＋S n －S n －1＝0，由于S n ≠0， 所以1S n －1S n －1＝2， 所以{1S n }是首项为1，公差为2的等差数列，从而1S n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝12n －1. (2)证明 因为b n ＝S n 2n ＋1＝1n －n ＋＝12(12n －1－12n ＋1)， 所以T n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)] ＝12(1－12n ＋1)<12， 所以T n <12. B 组 能力提高11．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝64－4n 5，设A n ＝|a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12| (n ∈N *)，则当A n 取最小值时，n 的值为( )A ．16B ．14C ．12D ．10答案 D解析 令a n ＝0，得a 16＝0，所得a 16－i ＋a 16＋i ＝0 (i ∈N *)． 因为A n 是等差数列{a n }中连续13项的和的绝对值，A n ≥0. 因此取n ＝10时，a n ＋a n ＋1＋…＋a n ＋12＝0，即A n ＝0最小，故选D.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( ) A ．1 509B ．3 018C ．1 512D ．2 016 答案 C解析 因为a 1＝12， a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12，n ＝2k －k ∈N *，1，n ＝2k k ∈N *故数列的前2 016项的和等于 S 2 016＝1 008×(1＋12)＝1 512.13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(1n 2＋n ，a n ) (n ∈N *)，若a ∥b ，设数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n 的最小值为________．答案 1解析 因为向量a ＝(1,2)，b ＝(1n 2＋n ，a n ) (n ∈N *)， a ∥b ，所以1·a n －1n 2＋n·2＝0， 即a n ＝2n 2＋n ＝2(1n －1n ＋1)， 从而数列{a n }的前n 项和为S n ＝2(11－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝2(1－1n ＋1)＝2n n ＋1＝21＋1n ， 显然当n ＝1时，S n 取得最小值，为1.14．已知{a n }是一个公差d 大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋n 2，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)∵a 3＋a 5＝a 2＋a 6＝14，a 3a 5＝45，∴a 3＝5，a 5＝9或a 3＝9，a 5＝5，∵d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 5＝a 1＋4d ＝9⇒a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)由b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝a n ＋n 2， 得b 12＋b 222＋…＋b n 2n ＝2n －1＋n 2， b 12＋b 222＋…＋b n －12n －1＝2(n －1)－1＋(n －1)2(n ≥2)，两式相减得b n 2n ＝2n ＋1，∴b n ＝2n (2n ＋1)(n ≥2)， 又b 12＝a 1＋1，∴b 1＝4， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n n ＋，n ≥2，4，n ＝1.记T n ＝b 2＋b 3＋…＋b n ， 则T n ＝22×5＋23×7＋…＋2n (2n ＋1)， 2T n ＝23×5＋24×7＋…＋2n ＋1(2n ＋1)， 两式相减得－T n ＝4＋2n ＋1(1－2n )， 则T n ＝2n ＋1(2n －1)－4，∴S n ＝2n ＋1(2n －1)．。
2017高考数学文科二轮(通用版)复习对点练：第一部分专题四数列、推理与证明第2讲演练
第一部分专题四第2讲1．用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是（A)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1"，因此，要做的假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”．2．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律,第n个等式可为12－22＋32－42＋…＋（－1）n－1·n2＝（－1）n－1·n n＋12。
解析：左边为平方项的(－1）n－1倍的和,右边为（1＋2＋3＋…＋n）的(－1)n－1倍，可用数学归纳法证明成立．3．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n(n∈N*）个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝错误!2.解析：由题可知13＝（0＋1)2；13＋23＝（1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2；…∴13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n）2＝错误!2。
4．在计算“1×2＋2×2＋…＋n(n＋1）”时，某同学学到了如下一种方法:先改写第k项：k(k＋1)＝错误!k（k＋1)(k＋2）－(k－1）k（k＋1)］，由此得1×2＝错误!（1×2×3－0×1×2),2×3＝错误!(2×3×4－1×2×3），…n（n＋1）＝错误!n(n＋1)（n＋2)－(n－1）n（n＋1)］，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝错误!n（n＋1）(n＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n（n ＋1）(n＋2）（n＋3)”，其结果为错误!n（n＋1）（n＋2）（n＋3)·(n ＋4）．解析:先改写第k项：k（k＋1)(k＋2)(k＋3)＝1k(k＋1）（k＋2）（k＋3)(k＋4）－(k－1）k（k＋1）（k＋2)·(k＋3）], 5由此得1×2×3×4＝错误!（1×2×3×4×5－0×1×2×3×4)，2×3×4×5＝错误!(2×3×4×5×6－1×2×3×4×5）,…，n（n＋1)(n＋2）（n＋3）＝错误!n(n＋1)(n＋2)(n＋3）(n＋4)－(n－1）n（n＋1)(n＋2）（n＋3）］，相加得1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n（n＋1）(n＋2）·(n＋3）＝错误!n(n＋1)(n＋2）(n＋3)(n＋4）．5．（2016·山西质量检测）观察下列式子：1,1＋2＋1，1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1,…,由以上可推测出一个一般性结论:对于n∈N*，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝__n2__。
2017高考数学文科二轮复习对点练：第一部分 专题四 数
第一部分 专题四 第1讲1．(2016·陕西八校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为( A )A ．37B ．36C ．20D ．19解析：a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37， ∴m ＝37.故选A ．2．(2016·河北唐山统考)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( B )A ．2B ．73C ．310D ．1或2解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.3．(2016·山西四校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若公比q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( A )A ．31B ．36C ．42D ．48解析：由等比数列的性质，得a 3a 5＝a 2a 6＝64，于是由⎩⎨⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，且公比q >1，得a 3＝4，a 5＝16，所以⎩⎨⎧ a 1q 2＝4，a 1q 4＝16，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2(q ＝－2舍)，所以S 5＝1×(1－25)1－2＝31，故选A ．4．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：因为{a n }为等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3，当a 2>a 1>0时，得公差d >0，∴a 3>0，∴a 1＋a 3>2a 1a 3，∴2a 2>2a 1a 3，即a 2>a 1a 3，故选C ．5．(2016·江西南昌调研)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( C )A ．若a 3＞0，则a 2 015＜0B ．若a 4＞0，则a 2 016＜0C ．若a 3＞0，则S 2 015＞0D ．若a 4＞0，则S 2 016＞0解析：等比数列{a n }的公比q ≠0. 对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2 015＝a 1q 2 014>0，所以A 不正确； 对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0， 所以a 2 016＝a 1q 2 015>0，所以B 不正确； 对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0， 所以当q ＝1时，S 2 015>0，当q ≠1时，S 2 015＝a 1(1－q 2 015)1－q >0(1－q 与1－q 2 015同号)，所以C 正确，同理可知D 错误，故选C ．6．(2016·福建卷)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( D )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由题可知a ，b 是方程x 2－px ＋q ＝0的两根， ∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正数． ∵a ，b ，－2适当排序后成等比数列， ∴－2是a ，b 的等比中项，得ab ＝4，∴q ＝4. 又a ，b ，－2适当排序后成等差数列， 所以－2是第一项或第三项，不妨设a <b ， ∴2a ＝b －2，联立⎩⎨⎧2a ＝b －2，ab ＝4，消去b 得a 2＋a －2＝0，得a ＝1或a ＝－2，又a >0，∴a ＝1，此时b ＝4， ∴p ＝a ＋b ＝5，∴p ＋q ＝9，故选D.7．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( C )★★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ …A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2解析：从图中观察五角星构成规律， n ＝1时，有1个； n ＝2时，有3个； n ＝3时，有6个； n ＝4时，有10个； …所以a n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n (n ＋1)2.8．(2016·山东泰安模拟)在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( B )A ．1 C ．3D ．4解析：由题知表格中第三纵列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每横行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12. 所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，因此x ＋y ＋z ＝2.9．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝3n －1.解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2.又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.10．(2016·云南统考)在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是100101.解析：由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0， 又a n >0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以1a 1－1为首项，－1为公差的等差数列，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101.11．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为2011. 解析：由已知得，a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…，a n －a n －1＝n －1＋1(n ≥2)，则有a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋n －1＋(n －1)(n ≥2)，因为a 1＝1，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝n 2＋n2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝1也适合上式，故a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)，所以1a n ＝2n 2＋n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，从而1a 1＋1a 2＋1a 3＋ (1)10＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－111＝2011.12．已知数列{a n}是等差数列，a1＝tan 225°，a5＝13a1，设S n为数列{(－1)n a n}的前n项和，则S2 016＝3_024.解析：因为a1＝tan 225°＝1，所以a5＝13a1＝13，则公差d＝a5－a15－1＝13－14＝3，所以a n＝3n－2，所以(－1)n a n＝(－1)n(3n－2)，所以S2 016＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2 016－a2 015)＝1 008 d＝3 024.。
高三文科数学小对点练4 数列2
小题对点练四数列2建议用时：40分钟一、选择题1．等差数列{a n}的前n项和为S n，假设a3＋a5＝8，那么S7＝A 28 B．32 C．56 D．242．数列1错误!，3错误!，5错误!，7错误!，…，那么其前n项和S n为A．n2＋1－错误!B．n2＋2－错误!C．n2＋1－错误!D．n2＋2－错误!3．等比数列{a n}的前n项和为S n，假设2S4＝S5＋S6，那么数列{a n}的公比q的值为A．－2或1 B．－1或2C．－2 D．14．等比数列{a n}中，a2·a8＝4a5，等差数列{b n}中，b4＋b6＝a5，那么数列{b n}的前9项和S9等于A．9 B．18 C．36 D．725．中国古代数学著作?算法统宗?中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．〞其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A．192里B．96里C．48里D．24里6．等比数列{a n}中，a4＝2, a7＝5，那么数列{g a n}的前10项和等于A．2 B．g 50 C．5 D．107．数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，假设a1a2a3＝15，且错误!＋错误!＋错误!＝错误!，那么a2等于A．2 C．38．数列{a n}的前n项和S n＝4n＋bb是常数，n∈N*，假设这个数列是等比数列，那么b＝A．－1 B．0 C．1 D．49．在数列{a n}中，a1＝错误!，a2＝错误!，a n a n＋2＝1，那么a2 018＋a2 019＝D．510．在等差数列{a n}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，那么使S n到达最大值的n是A．21 B．2021 C．19 D．1811．S n表示数列{a n}的前n项和，假设对任意n∈N*满足a n＋1＝a n＋a2，且a3＝2，那么S2 019＝A．1 008×2 02021 B．1 008×2 019C．1 009×2 019 D．1 009×2 020212．在各项都为正数的数列{a n}中，首项a1＝2，且点a错误!，a错误!在直线－9＝0上，那么数列{a n}的前n项和S n等于A．3n－1二、填空题13．各项均不为零的等差数列{a n}中，a1＝2，假设a错误!－a n－1－a n＋1＝0n∈N*，n≥2，那么S2 018＝________14．设数列{a n}2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，那么a1＝________，S5＝________ 15．数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，那么这个数列的前16项之和S16等于________．16．数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，且对任意n∈N*，均有a n，S n，a错误!成等差数列，那么a n＝________习题答案1答案：A解析：[S7＝错误!＝错误!＝]2答案：A解析：[∵a n＝2n－1＋错误!，∴S n＝错误!＋错误!＝n2＋1－错误!]3答案：C解析：[假设q＝1，那么S4＝4a1，S5＝5a1，S6＝6a1，显然不满足2S4＝S5＋S6，故A、D错．假设q＝－1，那么S4＝S6＝0，S5＝a5≠0，不满足条件，故B错，因此选C]4答案：B解析：[∵在等比数列{a n}中，a2·a8＝4a5，即a错误!＝4a5，∴a5＝4∴由题意可知a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2∴S9＝9b5＝18]5答案：B解析：[由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为错误!的等比数列，那么错误!＝378，解得a1＝192，那么a2＝96，即第二天走了96里]解析：[由题意可知a4a7＝a5a6＝a3a8＝a2a9＝a1a10，即a1a2…a9a10＝105，所以数列{g a n}的前10项和等于g a1＋g a2＋…＋g a9＋g a10＝g a1a2…a10＝g 105＝5]7答案：C解析：[∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!，∵a1a2a3＝15，∴错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!，即a2＝3]8答案：A解析：[显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝错误!＝错误!·q n－错误!＝4n＋b，∴b＝－1]9答案：C解析：[由于a1＝错误!，a2＝错误!，结合a n a n＋2＝1，可得a3＝2，a4＝3，a5＝错误!，a6＝错误!，…，归纳可知其具有周期性，周期为4，故a2 018＋a2 019＝a4×504＋2＋a4×504＝a2＋a3＝错误!＋2＝错误!]＋310答案：B解析：[因为{a n}是等差数列，所以a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a3＝35，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，a4＝33，那么公差d＝a4－a3＝－2，那么a n＝a3＋n－3d＝41－2n，该数列前2021正数，从第21项开始是负数，所以S n ma＝S2021使S n到达最大值的n是2021选B]11答案：C解析：[在a n＋1＝a n＋a2中，令n＝1，得a2＝a1＋a2，a1＝0；令n＝2，得a3＝2＝2a2，a2＝1，于是a n＋1－a n＝1，故数列{a n}是首项为0，公差为1的等差数列，S2 019＝错误!＝1 009×2 019]解析：[由点a错误!，a错误!在直线－9＝0上，得a错误!－9a错误!＝0，即a n＋3a na n－3a n－1＝0，又数列{a n}各项均为正数，且a1＝2，∴a n＋3a n－1＞0，∴a n－－13a n－1＝0，即错误!＝3，∴数列{a n}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n 项和S n＝错误!＝错误!＝3n－1]13答案：4 036解析：[由于a错误!－a n－1－a n＋1＝0n∈N*，n≥2，即a错误!－2a n＝0，∴a n＝2，n≥2，又a1＝2，∴a n＝2，n∈N*，故S2 018＝4 036]14答案：1121解析：[∵a n＋1＝2S n＋1，∴S n＋1－S n＝2S n＋1，∴S n＋1＝3S n＋1，∴S n＋1＋错误!＝3错误!，∴数列错误!是公比为3的等比数列，∴错误!＝3，又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋错误!＝错误!×34＝错误!×34＝错误!，∴S5＝121]15答案：7解析：[根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋－5＋－6＋－1＝0又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S16＝2×0＋7＝7]16答案：n解析：[∵a n，S n，a错误!成等差数列，∴2S n＝a n＋a错误!当n＝1时，2a1＝2S1＝a1＋a错误!又a1>0，∴a1＝1当n≥2时，2a n＝2S n－S n－1＝a n＋a错误!－a n－1－a错误!，∴a错误!－a错误!－a n＋a n－1＝0，∴a n＋a n－1a n－a n－1－a n＋a n－1＝0，又a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝1，∴{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n＝nn∈N* ]。
高考文科数学二轮复习对点练：专题四数列专题对点练15
专题对点练 154.1~4.2 组合练一、选择题 (共 9 小题 ,满分 45 分 )(限时 90分钟 ,满分 100 分)1.设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和 ,若 a 1+a 3+a 5= 3,则 S 5= () A .5 B.7 C.9 D.112.《九章算术》是我国第一部数学专著 ,下有源自此中的一个问题 : “今有金箠 ,长五尺 ,斩本一尺 ,重四 斤,斩末一尺 ,重二斤 .问金箠重几何 ?”其意思为 :今有金杖 (粗细平均变化 )长 5 尺,截得本端 1尺,重 4斤, 截得尾端 1 尺,重 2 斤 ,则金杖重 ( ) A.18 斤B.15 斤C.13 斤D.20 斤3.已知等差数列 { a n } 的公差为 2,若 a 2,a 4,a 8 成等比数列 ,则{ a n } 的前 n 项和 S n = () A .n(n+ 1) B.n( n-1)C. D. 4.公差不为零的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .若 a 4 是 a 3 与 a 7 的等比中项 ,S 8 =16,则 S 10 等于 ( )A .18 B.24 C.30 D.60 5.等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n .已知 S 3=a 2+ 10a 1,a 5= 9,则 a 1=( ) A . B.- C. D.-6.(2018 广东深圳耀华模拟 ) 在数列 { a n } 中 ,a 1= 1,a n+ 1= 2a n - 2n ,则 a 17= ()1617A .-15×2B.15×2C.-16×216D.16×2177.设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S m-1=- 2,S m = 0,S m+1= 3,则 m= ( )A .3 B.4C.5D. 68.在等比数列 { a n } 中,各项均为正数 ,S n 是其前 n 项和 ,且知足 2S 3= 8a 1+ 3a 2,a 4= 16,则 S 4= ( )A .9 B.15 C.18 D.309.在递减等差数列 { a n } 中 , a 1a 3= -4.若 a 1= 13,则数列的前 n 项和的最大值为 ()A .B.C. D.二、填空题 (共 3 小题 ,满分 15 分 )10.已知等比数列 { a}, a a =a5,a = 8,则{ a } 的前 4 项和 S =.n 2 44n411.设等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3,S 9,S 6 成等差数列 ,且 a 2+a 5= 4,则 a 8 的值为 .12.(2018 湖北要点高中协作体模拟 )定义 “等积数列 ”,在一个数列中 ,假如每一项与它的后一项的积都为同一个常数 ,那么这个数列叫做等积数列 ,这个常数叫做该数列的公积 .已知数列 { a n } 是等积数列且a 1= 2,公积为 10,则这个数列前 21 项和 S 21 的值为三、解答题 (共 3 个题 ,满分分别为 13 分 ,13 分 ,14 分)13.已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,且对随意正整数 n,都有(1) 求数列 { a n } 的通项公式 ;(2) 设 b n = log 3a n ,求数列 { b n } 的前 n 项和 T n ..3a n = 2S n + 3 建立 .14.已知数列{ a n}的前n项和为S n,且知足S n+n= 2a n(n∈ N*) .(1)证明 :数列 { a n+ 1} 为等比数列 ,并求数列 { a n} 的通项公式 ;(2) 若 b n= (2n+ 1)a n+ 2n+ 1,数列 { b n} 的前 n 项和为 T n,求知足不等式> 2 010 的 n 的最小值 .15.已知数列{ a n}的前n项和为S n,且知足a1= 1,2S n= (n+ 1)a n.在数列{ b n}中,b n=.(1)求数列 { a n},{ b n} 的通项公式 ;(2) 求数列的前n项和T n.专题对点练15 答案1.A分析由 a1+a 3 +a 5= 3,得 3a3= 3,解得 a3= 1.故 S5==5a3= 5.2.B分析由意可知 ,在等差数列 { a n} 中 ,a1 = 4,a5= 2,S5== 15,故金杖重15 斤.3.A分析∵a2,a4,a8成等比数列 ,∴=a 2·a8,即 (a1+ 6)2=( a1+2)( a1+ 14),解得 a1= 2.∴S n=na 1+d= 2n+n 2-n=n 2+n=n (n+ 1).故 A .4.C分析等差数列 { a n} 的公差 d≠0.由意 ,得( a1+3d)2= (a1+ 2d)(a1+ 6d),即 2a1+3d= 0.①∵S8= 16,∴8a1+× d=16,②立①②解得 a1=- ,d= 1. S10= 10××1= 30.5.C分析数列 { a n} 的公比 q,若 q= 1,由 a5= 9,得 a1= 9,此 S3= 27,而 a2+ 10a1= 99,不足意 ,所以 q≠1.∵当 q≠1 ,S3==a 1·q+ 10a1,∴2=q+ 10,整理得 q = 9.∵a5=a 1·q4= 9,即 81a1= 9,∴a1=.6.A分析由意可得,即=- ,据此可得 ,数列是首,公差 -的等差数列 ,故+ (17-1)×=-,∴a17=- 15×216.故 A .a =S -S= 0-(-2)= 2,a =S-S = 3-0= 3.d=a-a= 3-2= 1.7.C分析S=- 2,S = 0,S = 3,m+1m+1∵ m-1m m+1∴ m m m-1m+ 1m∴m∵S m=ma 1+×1= 0,∴a1=- .又=a 1+m× 1= 3,∴-+m= 3.∴m= 5.故 C.8.D分析等比数列 { a n} 的公比 q> 0,∵2S3= 8a1+3a2,∴2(a1+a 2+a 3)= 8a1+ 3a2,22即 2a1q = 6a1+a 1q,即 2q-q- 6= 0,解得 q= 2.又 a4= 16,可得 a1×23= 16,解得 a1= 2.S4== 30.9.D分析公差 d, d< 0.由意 ,得 13(13+ 2d)= (13+d )2-4,解得 d=- 2 或 d= 2(舍去 ),∴a n=a 1+( n-1)d= 15-2n.当 a n= 15-2n≥0 ,即 n≤7.5;当 a n+ 1 =13-2n≤0 ,即 n≥6.5. ∴当n≤7 ,a n> 0.∴=,∴数列的前 n 和+ ⋯ +,∴当 n= 6 ,数列的前 n 和最大 ,最大,故 D.10.15分析等比数列 { a n } 的公比 q,∵a2a4=a 1q·a4=a 1·a5=a 5,∴a1= 1.又 a4= 8,∴3∴4= 15.q = 8,q= 2.故 S =11.2分析∵等比数列 { a n} 的前 n 和 S n,S3,S9,S6成等差数列 ,且 a2+a 5= 4,∴解得 a 1q= 8,q 3=- ,∴a 8=a 1q 7= (a 1q)( q 3)2= 8×=2.12.72 分析 由数列 { a n } 是等 数列 ,且 a 1= 2,公 10,依据等 数列的定 ,得 a 2= 5,a 3= 2,由此能够知道数列 { a n } 的全部奇数 2,全部偶数 5. 故 个数列前 21 和 S 21= 7×10+ 2= 72.13.解 (1)在 3a n = 2S n + 3 中 ,令 n= 1,得 a 1= 3.当 n ≥2 ,3a nn①=2S + 3,3a n- 1= 2S n-1+ 3,② ①- ②得 a n = 3a n-1,∴数列 { a n } 是以 3 首 ,3 公比的等比数列 ,∴a n = 3n .(2) 由 (1)得 b n = log 3a n =n ,数列 { b n } 的前 n 和 T n = 1+ 2+ 3+ ⋯+n= .14.(1) 明 当 n= 1 ,2a 1=a 1+ 1,∴a 1= 1.∵2a n n* , ∴ 2a n- 1 n-1+n- 1,n ≥ 2,=S +n ,n ∈ N =S两式相减 ,得 a n = 2a n-1+1,n ≥ 2,即 a n + 1= 2(a n-1+ 1),n ≥ 2,∴数列 { a n + 1} 以 2 首 ,2 公比的等比数列 ,nn*∴a n + 1= 2 ,∴a n = 2 -1,n ∈ N .(2) 解 b n = (2n+ 1)a n + 2n+ 1= (2n+ 1) ·2n ,∴T n = 3×2+ 5×22+ ⋯ + (2n+ 1)·2n ,∴2T n = 3×22+ 5×23+ ⋯ + (2n+ 1) ·2n+ 1,两式相减可得 -T n = 3×2+ 2×2 23 n n+ 1,+ 2×2 + ⋯ + 2·2 -(2n+ 1)·2n+ 1n+ 1∴T n = (2n-1)·2 + 2,∴ >2010可化 2 > 2 010.∵210 11∴ 足不等式> 2 010 的 n 的最小 10.= 1 024,2 = 2 048,15.解 (1)当 n ≥2 ,由 2S n = (n+ 1)a n ,得 2S n-1=na n-1,两式相减得 2a n = (n+ 1)a n -na n-1,整理得.由 a n = ·⋯ ··⋯ ·1=n (n ≥ 2).又当 n= 1 ,a 1= 1,∴a n =n (n ∈ N * ).由 b n = = 2n+ 1,∴{ b n } 的通 公式 b n = 2n+ 1.(2) 由 (1)得.∴T n =+ ⋯ += 1-+ ⋯ += 1-.故数列的前 n 和 T n =.。
2017高考数学文科二轮复习对点练：第一部分 专题四 数
第一部分 专题四 第1讲1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4， a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( B ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：设{a n }的公比为q ，由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2(负值舍去)．∴a 3＋a 5＋a 7＝a 1q 2＋a 3q 2＋a 5q 2＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝21×2＝42.3．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( B )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析：由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0， 又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ， ∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝__10__. 解析：利用等差数列的性质可得a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， 从而a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25， 故a 5＝5，所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于2n －1.解析：由已知得，a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，解得⎩⎨⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1.而数列{a n }是递增的等比数列，∴a 1<a 4，∴a 1＝1，a 4＝8，从而q 3＝a 4a 1＝8，即q ＝2，则前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n－1.6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝－1n . 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ， 又由a 1＝－1，知S n ≠0， ∴S n ＋1S n ＋1S n －S nS n ＋1S n ＝1， 即1S n ＋1－1S n ＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1， 而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n .7．(2016·辽宁协作体一模)已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)·(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1a n －1.(1)证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)∵1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，∴b n ＋1－b n ＝13， ∴{b n }是等差数列． (2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，∴a n －1＝3n ＋2，∴a n ＝n ＋5n ＋2.8．已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式； (2)设b n ＝log 2a 2na 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和．解析：(1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3， 所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)． 又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2， 由a 3＝a 1·q ，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n -12 ；当n ＝2k (k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k ＝2n 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2n -12，n 为奇数，2n2 ，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n 2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n ， 上述两式相减，得12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n 2n ， 整理得，S n ＝4－n ＋22n －1.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *. 9．数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值．(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)，证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解析：(1)令n ＝3，a 1＋2a 2＋3a 3＝114，令n ＝2，a 1＋2a 2＝2，解得a 3＝14. (2)当n ＝1，a 1＝1，当n ≥2，na n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－n ＋12n －2＝n2n －1，∴a n ＝12n －1(n ≥2)，当n ＝1时代入a 1也满足，故a n ＝12n －1.所以数列{a n }为等比数列， 所以T n ＝1－12n1－12＝2－12n －1. (3)当n ＝1时，显然命题成立． 当n ≥2时，∵b n ＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n a n＝T n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n (T n －T n －1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n T n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －1T n －1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12T 2－T 1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13T 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12T 2＋…＋ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋1n T n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋…＋ 1n －1T n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12n －1 <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n .∵f (x )＝1－1x －ln x ，在(1，＋∞)为减函数，(可用导数证明) ∴f (x )<f (1)＝0，∴1－1x <ln x ，∴1－n －1n <ln nn －1＝ln n －ln(n －1)，故两边叠加得12＋13＋…＋1n <ln n ，所以S n <2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋…＋1n <2＋2ln n . 10．(2016·四川成都诊断)已知数列{a n }，如果数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n ＋a n－1，n ≥2，n ∈N *，则称数列{b n }是数列{a n }的“生成数列”．(1)若数列{a n }的通项为a n ＝n ，写出数列{a n }的“生成数列”{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }的通项为c n ＝2n ＋b (其中b 是常数)，试问数列{c n }的“生成数列”{q n }是否是等差数列，请说明理由；(3)已知数列{d n }的通项为d n ＝2n ＋n ，求数列{d n }的“生成数列”{p n }的前n 项和T n .解析：(1)当n ≥2时，b n ＝a n ＋a n －1＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝1适合上式， ∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)q n ＝⎩⎨⎧2＋b ，n ＝1，4n ＋2b －2，n ≥2，当b ＝0时，q n ＝4n －2，由于q n ＋1－q n ＝4， 所以此时数列{c n }的“生成数列”{q n }是等差数列． 当b ≠0时，由于q 1＝c 1＝2＋b ，q 2＝6＋2b ，q 3＝10＋2b ， 此时q 2－q 1≠q 3－q 2，所以数列{c n }的“生成数列”{q n }不是等差数列．综上，当b ＝0时，{q n }是等差数列；当b ≠0时，{q n }不是等差数列． (3)p n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3·2n －1＋2n －1，n ≥2，当n >1时，T n ＝3＋(3·2＋3)＋(3·22＋5)＋…＋(3·2n －1＋2n －1)， ∴T n ＝3＋3(2＋22＋23＋…＋2n －1)＋(3＋5＋7＋…＋2n －1)＝3·2n ＋n 2－4. 又n ＝1时，T 1＝3，适合上式，∴T n ＝3·2n ＋n 2－4.。
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第一部分 专题四 第2讲1．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( A )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析：因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 2．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 …照此规律，第n 个等式可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1·n (n ＋1)2.解析：左边为平方项的(－1)n －1倍的和，右边为(1＋2＋3＋…＋n )的(－1)n －1倍，可用数学归纳法证明成立．3．观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n (n ∈N *)个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎥⎤n (n ＋1)22. 解析：由题可知13＝(0＋1)2； 13＋23＝(1＋2)2； 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2； 13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2； …∴13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋4＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.4．在计算“1×2＋2×2＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k＋1)＝13k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，相加得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．类比上述方法，请你计算“1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)(n＋3)”，其结果为15n(n＋1)(n＋2)(n＋3)·(n＋4)．解析：先改写第k项：k(k＋1)(k＋2)(k＋3)＝15k(k＋1)(k＋2)(k＋3)(k＋4)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)·(k＋3)]，由此得1×2×3×4＝15(1×2×3×4×5－0×1×2×3×4)，2×3×4×5＝15(2×3×4×5×6－1×2×3×4×5)，…，n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝15n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)]，相加得1×2×3×4＋2×3×4×5＋…＋n(n＋1)(n＋2)·(n＋3)＝15n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．5．(2016·山西质量检测)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝__n2__.解析：因为1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，所以归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.6．(2016·山东青岛调研)对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. 解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O－BCD·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0.7．(高考改编)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }解析：由等比数列的性质可知b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20， ∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30.8．(2016·安徽安庆模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋43. 解析：(1)用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)： ①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立． (2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n >2， 所以a 2n ＋1－a 2n <0，所以a n ＋1<a n .这说明{a n }是单调递减的数列．(3)由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2， 所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n >2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2<14，所以a n ＋1－2<14(a n －2)<⎝ ⎛⎭⎪⎫142(a n －1－2)<…<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n·(a 1－2)．所以，当a ＝3时，a n ＋1－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即a n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋2.当n ＝1时，S 1＝3<2＋43， 当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n<3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋2＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1<2n ＋43.综上，当a ＝3时，S n <2n ＋43(n ∈N *)．9．(2016·江西南昌调考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c； (2)已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明：方程f (x )＝0没有负根． 解析：(1)要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c ＝3， 也就是c a ＋b ＋ab ＋c＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 需证c 2＋a 2＝ac ＋b 2，又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列， 故B ＝60°，由余弦定理，得即b2＝c2＋a2－2ac cos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．(2)假设x0是f(x)＝0的负根，则x0<0，且x0≠－1，ax0＝－x0－2 x0＋1，因为a＞1，所以0<ax0<1⇒0<－x0－2x0＋1<1，解得12<x0<2，这与x0<0矛盾，故方程f(x)＝0没有负根．10．(2016·江苏南京模拟)设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解析：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a ；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想a n＝a(n－1)＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时猜想正确，即a k＝a(k－1)＋a，则a k＋1＝f(a k)＝a·a ka＋a k＝a·a(k－1)＋aa＋a(k－1)＋a＝a(k－1)＋a＋1＝a[(k＋1)－1]＋a.这说明n＝k＋1时猜想正确．a (n－1)＋a .由①②知，对于任何n∈N*，都有a n＝。