第四课时 直线的两点式方程 高中数学必修2北师大版
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高中数学《两条直线的垂直与平行》导学课件 北师大版必修2
问题3 两直线垂直的判定
(1)斜截式:已知直线m的方程为y=k1x+b1,直线n的方程为 y=k2x+b2,m⊥n⇔k1·k2=-1. (2)一般式:直线m的方程为A1x+B1y+C1=0,直线n的方程为 A2x+B2y+C2=0,m⊥n⇔A1A2+B1B2=0.
问题3 中心对称问题
(2)直线关于点的对称,其主要方法是:在已知直线上取两点, 利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点 式求出直线方程.
3
整理得 4x+3y-17=0.
对称问题 光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(1,6),求BC所在直线的方程.
【解析】作出草图,如图所示.
设 A 点关于直线 y=x 的对称点为 A'点,D 点关于 y 轴的对称点为 D'点,则易得 A'(-2,-4),D'(1,6). 由入射角等于反射角可得 A'D'所在直线经过点 B 与 C,故 BC 所在的直线方程为y-6 =x-1 ,即 10x-3y+8=0.
(2)因为所求直线垂直于直线 y=-2,所以所求直线的斜率不 存在.又因为直线经过点(-1,1),所以所求直线方程为 x=-1.
平面几何中的平行与垂直问题
已知A(1,1),B(5,4),C(2,3).
(1)求一点D,使四边形ABDC为平行四边形.
(2)求△ABC中AB边上的高所在的直线方程.
【解析】设 D(m,n),由已知得 kAB=34,kAC=2,kBD=mn--45,kCD=mn--32.
问题1 在上述情境中,当m∥n时,直线n的方程为 2x-y-3=0; 当m⊥n时,直线n的方程为 x+2y+1=0 .
2019-2020学年北师大版必修二 直线的两点式方程 课件(22张)
A.2x+y-8=0
B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0
D.2x-y-12=0
解析:点 M 的坐标为(2,4),点 N 的坐标为(3,2),由两点式方程得���4���--22 = ���2���--33,即
2x+y-8=0.
答案:A
12345
2.经过点(0,-2),且在两坐标轴上的截距和为 2 的直线方程是( )
.
答案:(3,4)
探究一
探究二
探究三
探究四
探究一直线的两点式方程
若已知直线上的两点坐标,可直接用两点式方程写出直线的方程,但要特别 注意横坐标相等或纵坐标相等时,不能用两点式.已知直线上的两点坐标,也 可先求出斜率,再利用点斜式写出直线方程.
典型例题 1
已知三角形的三个顶点 A(-4,0),B(0,-3),C(-2,1),求: (1)BC 边所在的直线的方程; (2)BC 边上中线所在的直线的方程.
y1≠y2
yy2--yyx11-=x1 x2 -x1
斜率存在 且不为 0
名师点拨
如 果 将直线方程的两点式转化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),此时只要直 线 上 已知两点不重合,都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任 意 已 知两点的直线).
123
做一做 1
过点 A(5,6)和点 B(-1,2)的直线的两点式方程是( )
∵直线 l 过点(2,-1),∴2������ + -���1��� =1,
∴a=1,则直线 l 的方程为 x+y-1=0.
错因分析:错解忽略了直线 l 过原点时的情况.
正解:设直线 l 在两个坐标轴上的截距都为 a.
高中数学北师大版必修2 2.1 教学课件 《直线的方程》(数学北师大必修二)
b 叫做直线在 y 轴上的截距.
5.直线方程的一般式
关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0，这个方 程(其中 A、B 不全为零)叫做直线方程的一般式．
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授： 6.中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 若两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段 PP 1 2 的中点坐标为(x，y)，则 x= 2 ，y= 2 ，
y2 y1 k 解： 当倾斜角 =90°时，斜率不存在；当 ≠90°时， x2 x1 ．
（1） k （3） k
2 (1) 3 2 (2) ； k 0； （ 2 ） 3 1 4 5 1
5 4 9 2 3 5 ； （4）∵倾斜角 =90°，
则此公式为线段 PP 1 2 的中点坐标公式．
x y y1 x x1 直线方程的五种形式的比较如下表： 1 a y2 by1 x2 x1
北京师范大学出版社 | 必修二
一、新课讲授： 7.直线方程的不同形式间的关系
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程的形式 y ― y 1= k ( x ― x 1) y=kx+b 常数的几何意义 适用范围
注：1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存 在.点斜式不能表示平行于 y 轴的直线，即斜率不存在的直线； 2.当直线 l 的倾斜角为 0°时，直线方程为 y y1 ； 3.当直线倾斜角为 90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示 .这时直线 方程为: x x1 . y y0 k 4. x x0 表示直线去掉一个点 P0 ( x0 , y 0 ) ； y y 0 k ( x x0 ) 表示一条直线.
2.1.4直线的两点式方程教案(北师大版必修二).doc
2. 1. 4直线的两点式方程一、教学目标1、知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学方法：启发、引导、讨论.四、教学过程问题设计意图师生活动1、利用点斜式解答如下问遵循由浅及教师引导学生：根据已有的知识，要求题：深，由特殊直线方程，应知道什么条件？能不能把问（1）已知直线/经过两点到一般的认题转化为已经解决的问题呢？在此基础妤（1,2）,鬥（3,5），求直线/的知规律。
使上，学生根据已知两点的坐标，先判断是方程. 学生在已有否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而（2 ）已矢口两点的知识基础可求出直线方程：上获得新结3好（州,兀2）,场（兀2，儿）其（1）y _2 =—（%-1）论，达到温2故知新的目⑵y y严儿儿（X旳）（“1 乂兀2，开乂y2），求通过这两点的直线方程。
的。
教师指出：当只北儿时，方程可以写成y—儿兀一旺/、（不工X” X工”）旳一儿兀2 —為由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式（two-point form）.2、若点^(x1?x2),^(x2,y2)使学生懂得教师引导学生通过画图、观察和分析，发两点式的适现当旺=兀2时，直线与％轴垂直，所中有X]=兀，或％= y 2，此用范围和当时这两点的直线方程是什么？已知的两点以直线方程为：X = %!；当儿=儿时，直线与y轴垂直，直线方程为：y =儿。
不满足两点式的条件时它的方程形式。
问题设计意图师生活动3、例3教学使学生学会教师引导学生分析题目中所给的条件有什已知直线1与X轴的交点为用两点式求么特点？可以用多少方法来求直线Z的方A (a,0),与y轴的交点为直线方程；程？那种方法更为简捷？然后由求出直线B(O,Z?),其中QH OQ H O,求理解截距式方程：源于两点直线Z的方程。
《直线的两点式方程》课件5 (北师大版必修2)
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；
例题分析
例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 y 线的方程.
.
C
. A
O
.M
. B
x
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
x y 1 a b
l1 ∥ l 2 k1 k2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
5 5 kl 2 23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
练习:写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, 3); (2)A(0,5), B(5,0)
复习回顾
点斜式 y－y1 = k（x－x1） 斜截式 y = kx + b
例题分析：
例3 已知直线l1 : y k1 x b1 , l2 : y k 2 x b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 l 2的条件是什么?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
例题分析
例4、三角形的顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)， 求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直 y 线的方程.
.
C
. A
O
.M
. B
x
例题分析
例1、已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求这条直线l的方程.
x y 1 a b
l1 ∥ l 2 k1 k2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
5 5 kl 2 23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得 y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
练习:写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, 3); (2)A(0,5), B(5,0)
复习回顾
点斜式 y－y1 = k（x－x1） 斜截式 y = kx + b
例题分析：
例3 已知直线l1 : y k1 x b1 , l2 : y k 2 x b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 l 2的条件是什么?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
高中数学北师大版必修2课件：直线方程的两点式和一般式
方法归纳 用截距式方程解决问题的优点及注意事项 (1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标， 因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周 长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通 过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式， 故解决问题过程中要注意分类讨论．
示意图 y－y1 x－x1 ＝ y2－y1 x2－x1 y1≠y2且x1≠x2 x y a＋b＝1 ab≠0
方程 适用范围
2.直线的一般式方程 把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0叫做直线的一般式 方程，简称一般式．其中系数A，B满足A，B不同时为0.
|自我尝试| 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) y－y1 (1)过点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直线都可以用方程 ＝ y2－y1 x－x1 表示．( × ) x2－x1 x y (2)在x轴，y轴上的截距分别为a，b的直线方程为 a ＋ b ＝ 1.( × ) (3)能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示．( √ )
方法归纳 求直线的两点式方程的策略以及注意点 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴， 若满足，则考虑用两点式求方程． (2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字 母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时， 必须注意坐标的对应关系．
跟踪训练 2 (2017· 江西崇义中学月考)经过点M(1,1)，且在两 坐标轴上截距相等的直线是( ) A．x＋y＝2 B．x＋y＝1 C．x＋y＝2或x＝y D．x＝1或y＝1
解析：若截距为0，则直线方程为y＝x，若截距不为0，设l的 方程为x＋y＝a，又l过M点， 所以1＋1＝a，所以a＝2，故l为x＋y＝2，故选C. 答案：C
高中数学北师大版必修二 2.1.2.2直线方程的两点式和一般式 课件(26张)
������-(-3) -6-(-3) ������-(-2) ,整理得 -5-(-2)
=
x-y-1=0.
(2)∵ 直线与 x 轴垂直,∴ 方程为 x=-3. (3) + =1,整理得 x-y+2=0. (4) + =1,整理得 x+y-4=0.
������ 4 ������ 4 ������ -2 ������ 2
������-������1 ������2 -���意义,因此不能用两点式表示.当 x1=x2 时,直线方程为 ������2 -������1
x=x1;当 y1=y2 时,直线方程为 y=y1.
预习交流 2
在直线方程的一般式 Ax+By+C=0 中,为什么要规定 A,B 不同时为 0? 提示:若 A=B=0,则方程变为 C=0,此时该式不能表示任何直线.故直 线方程的一般式 Ax+By+C=0 必须加上 A,B 不同时为 0 这个条件,才能 表示一条直线.
4 3 4 3 ������ -1 ������ 1
3 ������
4 -������
问题导学
当堂检测
1.已知两点的坐标,求此两点所在直线的方程时,可首先考虑两点 式方程;若两点所在直线的斜率存在时,也可利用点斜式表示方程;若利 用条件能求出 x 轴、y 轴上的截距时,可用截距式表示方程,但不论用何 种方法,最后结果通常化为一般式. 2.由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 , 所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时 ,要注意这一局限 性,避免造成丢解.一般地,当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标 轴上的截距互为相反数、在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 k(k≠0)倍 时,经过原点的直线均符合这些要求,求其方程时应分类讨论.
=
x-y-1=0.
(2)∵ 直线与 x 轴垂直,∴ 方程为 x=-3. (3) + =1,整理得 x-y+2=0. (4) + =1,整理得 x+y-4=0.
������ 4 ������ 4 ������ -2 ������ 2
������-������1 ������2 -���意义,因此不能用两点式表示.当 x1=x2 时,直线方程为 ������2 -������1
x=x1;当 y1=y2 时,直线方程为 y=y1.
预习交流 2
在直线方程的一般式 Ax+By+C=0 中,为什么要规定 A,B 不同时为 0? 提示:若 A=B=0,则方程变为 C=0,此时该式不能表示任何直线.故直 线方程的一般式 Ax+By+C=0 必须加上 A,B 不同时为 0 这个条件,才能 表示一条直线.
4 3 4 3 ������ -1 ������ 1
3 ������
4 -������
问题导学
当堂检测
1.已知两点的坐标,求此两点所在直线的方程时,可首先考虑两点 式方程;若两点所在直线的斜率存在时,也可利用点斜式表示方程;若利 用条件能求出 x 轴、y 轴上的截距时,可用截距式表示方程,但不论用何 种方法,最后结果通常化为一般式. 2.由于直线的截距式方程不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线 , 所以在利用待定系数法设直线的截距式方程求解时 ,要注意这一局限 性,避免造成丢解.一般地,当直线在两坐标轴上的截距相等、在两坐标 轴上的截距互为相反数、在 x 轴上的截距是在 y 轴上截距的 k(k≠0)倍 时,经过原点的直线均符合这些要求,求其方程时应分类讨论.
《直线的两点式方程》课件5 (北师大版必修2)
复习回顾
点斜式 y－y1 = k（x－x1） 斜截式 y = kx + b
例题分析：
例3 已知直线l1 : y k1 x b1 , l2 : y k 2 x b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 l 2的条件是什么?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；
y B
l
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫 做直线方程的截距式方程;
练习
下 列 四 个 命 题 中 的 真 题 是 (B ) 命 A.经 过 定 点0P 0 ,y 0 )的 直 线 都 可 以 用 (x 方 程 y y 0 k(x x 0 )表 示 ; B.经 过 任 意 两 个 不 同 1,y1 ), 2(x2 ,y 2 )的 点 的 直 线 P1(x P x y C.不 经 过 原 点 的 直 线 可 以 用 方 程 1表 示 ; 都 a b D.经 过 定 点 的 直 线 都 以 用 y kx b表 示 . 可
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
练习:写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, 3); (2)A(0,5), B(5,0)
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其 中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的 直线方程呢？
点斜式 y－y1 = k（x－x1） 斜截式 y = kx + b
例题分析：
例3 已知直线l1 : y k1 x b1 , l2 : y k 2 x b2 试讨论 : (1)l1∥ l 2的条件是什么? (2)l1 l 2的条件是什么?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；
y B
l
说明(1)直线与x轴的交点(a,0) 的横坐标a叫做直线在x轴的截距， 此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫 做直线方程的截距式方程;
练习
下 列 四 个 命 题 中 的 真 题 是 (B ) 命 A.经 过 定 点0P 0 ,y 0 )的 直 线 都 可 以 用 (x 方 程 y y 0 k(x x 0 )表 示 ; B.经 过 任 意 两 个 不 同 1,y1 ), 2(x2 ,y 2 )的 点 的 直 线 P1(x P x y C.不 经 过 原 点 的 直 线 可 以 用 方 程 1表 示 ; 都 a b D.经 过 定 点 的 直 线 都 以 用 y kx b表 示 . 可
y y1 x x1 ( x1 x2 , y1 y2 ) y2 y1 x2 x1
说明(1)这个方程由直线上两点确定;
(2)当直线没有斜率或斜率为0时,不能用
两点式求出它们的方程.(此时方程如何得到?)
练习:写出过下列两点直线的 两点式方程: (1) P1(2,1),P2(0, 3); (2)A(0,5), B(5,0)
已知直线上两点P1(x1,y1), P2(x2,y2)（其 中x1≠x2, y1≠y2 ），如何求出通过这两点的 直线方程呢？
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第四课时直线的两点式方程
一、教学目标
1、知识与技能：（1）掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。
2、过程与方法：让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点。
3、情态与价值观：（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点
1、重点：直线方程两点式。
2、难点：两点式推导过程的理解。
三、教学方法：启发、引导、讨论.
四、教学过程
四、教后反思：。