高斯求积公式教法研究与改革

： 2.3.2 差商的相关性质（证略） 性质 1 差商与其所含节点的排列次序无关，也称差商具有对称性，即对任意的 xl 与 x j (l j ) 都有：
f [ x0 ,L , xl 1 , xl , xl 1 ,L , x j 1 , x j , x j 1 ,L , xk ] = f [ x0 ,L , xl 1 , x j , xl 1 ,L , x j 1 , xl , x j 1 ,L , xk ] 。
常锦才，王凯立：高斯求积公式教法研究与改革
2 高斯求积公式的知识准备 2.1 正交多项式：对于首项系数 a≠0 的 n 次多项式族（序列）gn(x)=anxn+…+a1x+a0（n=0,1,2,…） ，若满
b 0, i j ，其中： ( x) 是[a,b]上的非负连续函数且不恒等于零，则称 ( x) 为权函 足： (x)gi (x)g j (x)dx a A 0, i j
积，则 lim ∫ f (x) sin nxdx = 0 a
n →∞ b
2 1 sin nx 例 计算 lim ∫ 2 dx = 0 。 n →∞ 0 1 + x
解
sin 2 x 的周期为
黎曼引理的推广 设函数 f(x)在[a,b]上可积且 且在[0,T]上可 绝对可积， 函数 g(x)以 T(>0)为周期， 积， 则 lim ∫ f ( x) g (nx)dx = a
n
m+1 次的代数多项式不能准确的成立，则称该公式具有 m 次代数精度。 1.5 插值型求积公式的代数精度：对 n+1 个节点的插值型求积公式（1） ，至少具有 n 次代数精度，最高具 （证略） 有 2n+1 次的代数精度。
────────── 收稿日期：2003-11-05 作者简介：常锦才（1969-） ，男，河北滦南人，河北理工学院数理系讲师，燕山大学在读研究生。 - 42 -
b a k 0 n
2n+1 次多项式均准确成立。
即：余项 R( f ) ( x) f [ x, x0 ,L , xn ]n 1 ( x)dx 0 。
a b
取 f ( x) 为任一个 2n+1 次多项式， 则其 n+1 阶差商 f [ x, x0 ,L , xn ] 是 n 次多项式， 其中节点 x0 , x1 ,L , xn 为
a b
点处的函数值为 f ( xk ), k 0,1,L n 。作插值多项式 Ln ( x) f ( xk )lk ( x), 其中 lk ( x) 为插值基函数。
k 0
n
令 f ( x)dx Ln ( x)dx f ( xk ) lk ( x)dx ，记 Ak lk ( x)dx ，
第 26 卷第 5 期 Vol. 26 No.5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2004 年 9 月 Sep. 2004
高斯求积公式教法研究与改革
常锦才，王凯立
（河北理工学院 数理系，河北 唐山 063009） 摘 要：介绍了数值积分的基本概念及思想方法，对高斯求积公式教学内容及方法上进行了研究和改进，以
使学生易于理解接受并在实践中应用。 关键词：插值型求积公式；代数精度；权函数；正交多项式系 中图分类号：O171 文献标识码：B 文章编号：1009-9115（2004）05-0042-04
1 数值积分的基本概念和方法 微积分学是《高等数学》中研究的主要问题，为现代科学的发展作出了重大贡献，而这两种分析运算 都是用极限来定义的， 理论上也有比较完善的方法， 但这些方法不能直接应用于计算机来进行数值分析 （因 为计算机只能处理离散量的运算， 计算时需将连续量离散化） 。 数值微积分则将极限问题归结为函数值的四 则运算，从而使计算过程可以在计算机上实现。 1.1 数值积分的基本思想：利用插值理论，即逼近法，将积分求值问题归结为函数值的计算，避开求原函 数的困难。 1.2 具体做法： 为计算 f ( x)dx ，在区间 [a, b] 上取 n 1 个节点 xk , k 0,1,L n ，不妨设 a≤ x0 x1 L xn ≤b，在节
i 0
n
又，任一个低于 n+1 次的多项式均与 Pn 1 ( x) 带权正交，故 f [ x, x0 ,L , xn ] 与 Pn 1 ( x) 在[a,b]上带权 ( x) 正交， 即： R( f ) ( x) f [ x, x0 ,L , xn ]n 1 ( x)dx ( x) f [ x, x0 ,L xn ] C Pn 1 ( x)dx 0 ，证毕。
f [ xi 1 ,L , xi k ] f [ xi ,L , xi k 1 ] 为 f ( x) 关于节点 xi , xi 1 L , xi k 的 k 阶差商。 xi k xi
（2）记 f [ xi , xi 1 , xi 2 ]
（3）记 f [ xi , xi 1 ,L , xi k ]
n
lim Ak f ( xk ) ( x) f ( x)dx
具有最高次代数精度的求积公式—高斯求积公式以及相关知识做了（下转第 53 页）
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卢小青，解爱军，姬海岩：关于数列极限的计算
6 利用黎曼（Riemann）引理计算极限 黎曼引理 设函数 f(x)在[a,b]上可积且绝对可
b b b
b
n
a
a
k 0
a
a
则得： f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
（1）
即为数值求积公式。
1.3 定义：形如 f ( x)dx Ak f ( xk ) 的求积公式称为机械求积公式，xk 称为求积节点，Ak 称为求积系数
b a k 0
n
。记 R( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ) ，称 （可以看出 Ak 只与求积节点的选取有关，而与被积函数 f ( x) 无关）
数，多项式序列 g 0 ( x), g1 ( x),L , g n ( x),L 在[a,b]上带权 ( x) 正交，称 g n ( x) 为[a,b]上带权 ( x) 的 n 次正交多 项式。 例1
1 g 0 ( x) 1, g1 ( x) x, g 2 ( x) x 2 在[-1，1]上带权 ( x) 1 正交。 （读者可自己验证） 3
[a,b]上带权 ( x) 正交的 n+1 次多项式 Pn 1 ( x) 的 n+1 个互异实根，而 n 1 ( x) ( x xi ) 。
i 0
n
可以断言： n 1 ( x) C Pn 1 ( x) ，C 为一个常数。 （因为， Pn 1 ( x) 含有因子 ( x xi ) ，且次数为 n+1。 ）
k 0
n 1 ( x) 1 ( xk ) ( x xk )n
f [ x, x0 , x1 ,L xn ]n 1 ( x) ，其中： n 1 ( x) ( x xi ) ，将上式两端同乘以权函数 ( x) ，并从 a 到 b 积分，可
i 0
n
得 ：
b

a
b
b n 1 ( x) dx ，而余项 R ( f ) ( x) f [ x, x0 ,L , xn ]n 1 ( x)dx a 1 ( xk ) ( x xk )n
3.2 定义：若求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk ) 具有 2n+1 次代数精度(插值型求积公式的最高次代数精度)，
推论 当 f ( x) 为 2n+1 次多项式时，其 n+1 阶差商 f [ x, x0 , x1 ,L , xn ] 即为 n 次多项式。
3 高斯求积公式
，构造 3.1 一般理论：我们研究积分 ( x) f ( x)dx ，其中 ( x) 为［a,b］上的一个非负函数（称为权函数）
a b
a a b b
3.4
等价定义：按上述方法选取 x0 , x1 ,L , xn 作为求积节点而得的求积公式 ( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) 称为
b a k 0
n
高斯求积公式。 3.5 稳定性及收敛性简述： 稳定性：高斯求积公式是稳定的，即由原始数据的舍入误差引起的计算结果的误差可以得到控制。 收敛性：高斯求积公式对于连续函数 f ( x) 是收敛的，即
b a k 0
n
则称之为高斯求积公式，其中的求积节点称为高斯点。
3.3 问题如何适当选取节点 x0 , x1 ,L , xn ,使求积公式（2）具有最高次代数精度（2n+1）？
结论：只要将求积节点 x0 , x1 ,L , xn 取为［a,b］上某个带权 ( x) 正交的多项式系 Pn ( x) 中 n+1 次正交多项 式的根，即可使公式（2）的代数精度达到 2n+1 次。 证明：只需证明当节点 x0 , x1 ,L , xn 如上述方法选取时，求积公式 ( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) 对任意的
a
( x) f ( x)dx ( x) f ( xk )
b a k 0
n
b n1 ( x) dx ( x) f [ x, x0 ,L , xn ]n1 ( x)dx 故 公 式 （ 2 ） 中 记 a 1 ( xk ) ( x xk )n
Ak ( x)
： 2.2 正交多项式的相关性质（证略） 定理 1 设 {g n ( x)} 为[a,b]上带权 ( x) 正交的多项式序列，则任一低于 n 次的多项式 Q( x) 都与 g n ( x) 带 权正交，即： ( x)g n ( x)Q( x)dx 0 。