NA-5-3-高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 具有如下性质： 1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2） (正交性) ( x ) Pi ( x ) P j ( x )dx 0, ( i j )
数值分析
数值分析
一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法
考虑更一般形式的数值积分问题
I ( f ) ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
n
定义：若求积公式
b
a
( x) f ( x)dx Ak f ( xk ) 对一切
k 0
不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对 于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的 代数精度为m.
左
b a
( x ) g ( x )dx 0，
右
A
k 0
n
k
g( xk ) 0
左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.
数值分析
数值分析
定义: 使求积公式
b a
( x ) f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公 式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数. 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。
0.888888889 f (0) 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例 : 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分 x 1.5dx 1 解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
1
1
1
x 1.5dx
0.555556( 0.725403 2.274596) 0.888889 1.5 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 1 x 1.5dx 3 ( 0.5 4 1.5 2.5) 2.395742
i0 i i
b n a i0 b ( x )l i ( x )dx f ( xi ) a i 0 n
n
代入积分式
b
a
( x ) f ( x )dx ( x )( l i ( x ) f ( x i ))dx
因此，求积系数为
b a
Ai ( x )li ( x )dx
数值分析
数值分析
(1) 用待定系数法构造高斯求积公式 例：选择系数与节点，使求积公式（1）
1 1
f ( x )dx c1 f ( x1 ) c 2 f ( x 2 )
(1)
成为Gauss公式。 解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得 c1 c 2 1, 求解得： c1 + c2=2 c1 x1+ c2 x2=0 c1 x12+ c2 x22 =2/3 c1 x13+ c2 x23 =0 所求Gauss公式为： 1 3 3 1 f ( x )dx f ( 3 ) f ( 3 ) 数值分析
为Gauss型求积公式。 解：先作变量代换 1 1 1 1 x (a b ) (b a )t (1 t ), dx dt 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 于是 f ( x )dx f ( (1 t ))dt F ( t )dt 1 0 2 1 2 2 1 由两点Gauss Legendre求积公式 F (t )dt F (0.577) F (0.577) 1 得 1 1 1 1 1 1 1 1 0 f ( x)dx 2 1 f ( 2 (1 t ))dt 2 f ( 2 (1 0.577)) 2 f ( 2 (1 0.577))
( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ), Ak
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n i k
是Guass型求积公式。
证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
数值分析
数值分析
例
对积分 f ( x )dx， 试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使
1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 ) A3 f ( x3 )
( x 0 ( x ), 0 ( x )) 1 ( 0 ( x ), 0 ( x ))
(1 x 2 ) dx 1 2 2 同 理 求 出 2 (x) x 5 2 2 2 ( x )的 零 点 为 x 0 , x1 5 5
1
1 1
(1 x 2 ) xdx
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1. 事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(xxn)2 代入求积公式,这里 x0, x1…,xn是节点，有
b
a
( x) f ( x)dx ( x)q( x)Pn1 ( x)dx ( x)r( x)dx
a a
数值分析
b
b
数值分析
பைடு நூலகம்
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低 于n，故有
b a
b
a
( x )r ( x )dx Ak r ( xk ) Ak f ( xk ) (4)
数值分析
数值分析
利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：
1. 以 n 1次正交多项式的零点 x 0 , x1 , x n作为积分点 (高斯点）， 2 .用高斯点 x 0 , x 1 , x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
f ( x)
l ( x) f ( x )
这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一 般区间的积分.
数值分析
数值分析
例
对积分 f ( x )dx， 试利用n 1的两点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1和A0 , A1 使
1
0
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
数值分析
数值分析
定理1：设节点x0, x1…,xn∈[a,b]，则求积公式
b a
( x ) f ( x )dx Ak f ( x k )
k 0
n
的代数精度最高为2n+1次。 证明：取特殊情形 ( x ) 1, 分别取 f(x)=1, x，x2，...xr 代入公式，并让其成为 等式，得： A0 + A1 + …… + An =∫ab1dx.= b-a b x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a xdx.= （b2-a 2)/2 ...... b r r r r x0 A0 + x1 A1+ …… +xn An =∫a x dxr =(br+1-a r+1) (r+1)
k 0 k 0
b b
n
n
由性质3）及(4)式，有
( x ) f ( x )dx ( x )q( x ) Pn1 ( x )dx ( x )r ( x )dx
a a
0 ( x )r ( x )dx Ak f ( xk )
b a k 1
n
即对 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式 都精确成立。 证毕
1 1 1
( 1 x 2 ) dx A 0 A1
2
2 1 (1 x ) xdx A 0 ( 4 5 ) A1 ( 联立解出 A 0 A 1 3 得到两点高斯求积公式 为
1 2
2 ) 5
4 2 2 1 (1 x ) f ( x )dx 3 f ( 5 ) f ( 5 ) 数值分析
0
数值分析
数值分析
以 2 ( x )的 零 点 x 0
2
5 5 两点高斯公式 n 1, 应有 3次代数精度，求积公式 形如
, x1
2
作为高斯点。
1
1
Gauss型求积公式-第5章
形如
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0 n
插值型求积公式的代数精度至少为
n。
x0 x0
x1 x1
x0 x0
x1 x1
两点的求积公式为： 1 f ( x) dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) 若限制等距节点，则 1、x0 , x1固定，A0 , A1 变量 2、确定 A0 , A1 需两个方程
x0 , x1 ,, xn 是Gauss点 x0 , x1 ,, xn 是Gauss点
n 1 ( x) 是正交多项式。
x , x ,, x
0 1
n
是正交多项式的根。
证明： 必要性
I ( f ) ( x) f ( x)dx
a
b
I n ( f ) Ak f ( xk )
n n 2
n 1 ( xk ) 1 ( x ) ( x xk ) f ( xk ) n 1 k
2
n 1 ( x) ( x xk ) f ( xk ) 1 ( xk )( x xk ) k 0 n
1
1
f ( x) dx
1 1 f f 3 3
对于任意区间 a, b 上权函数 x 1 的Gauss型求积公式，只需 作变量替换：
x
则有
x a, b t 1, 1 ，这样
ab ba t 2 2
n 1 ( xk ) f ( xk ), k 0,1,..., n H 2 n 1 ( xk ) f ( xk ), H 2
的2n+1次Hermite插值多项式，即（P110 例5）
数值分析(高斯求积公式)
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式 取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R
数值分析课件_高斯求积公式
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n
2
a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a
b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。 对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n
N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a
b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。 只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:
b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明： 必要性 设
p( x ) H n
高斯(Gauss)求积公式
数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式 ）
为正交多项式序列， 设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质： 具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是 次多项式。 2） 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ） 正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3） 由性质 ）及(4)式，有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
Gauss型积分公式
G a u s s型积分公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n 次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss 型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为12此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre 求积公式的系数其中k 的取值范围为Gauss 点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss 点，在实际应用中只需查表即可。
gauss型求积公式系数和
高斯（Gauss）求积公式的系数和确定方法如下：确定节点：首先确定求积公式所使用的节点，这些节点通常选择为高斯点。
构造高斯型求积公式：根据所选的节点，构造高斯型求积公式。
高斯型求积公式的一般形式为：∫f(x)dx≈∑(A*f(x_i))，其中A是求积系数，x_i是高斯点。
确定求积系数：通过求解线性方程组来确定求积系数。
具体地，根据高斯型求积公式的构造原理，可以建立一个线性方程组，该方程组由节点处的函数值和高斯型求积公式中的求积系数组成。
解这个线性方程组可以得到求积系数。
验证求积公式的精度：通过数值试验来验证求积公式的精度。
例如，可以选择一些已知的函数进行测试，比较使用高斯型求积公式计算的结果与真实值之间的误差。
Gauss型积分公式
Gauss型积分公式摘要求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。
这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。
当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。
已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n 为偶数时，其代数精度达到n+1。
若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。
如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。
因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。
关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度1、实验目的1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。
2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。
3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。
2、算法流程下面介绍三种常见的Gauss型积分公式1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式勒让德（Legendre）多项式如下定义的多项式称作勒让德多项式。
由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式的系数相同。
也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式是在上带的n次正交多项式，而且这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。
其中Gauss-Legendre求积公式的系数1其中k的取值范围为Gauss点和系数不容易计算，但是在实际计算中精度要求不是很高，所以给出如下表所示的部分Gauss点和系数，在实际应用中只需查表即可。
数值分析课程课件 Gauss求积公式
4.5.2 常用Gauss求积公式
1.Gauss—Legendre求积公式
第三章 数值积分与数值微分
不失一般性，可取a＝-1，b＝1而考察区间[-1，1]
上的高斯公式
1
n
(x) f (x)dx
1
Ak f (xk ).
k 0
在区间[-1，1]上取权函数 x 1, 那么相应的正交多项 式为Legendre多项式。以Legendre多项式的零点为 Gauss点的求积公式为
和 x0 , x1 ,使所得公式的代数精度m>1(最高为n-1=3)。即求
积公式(4.5.2)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立，只要 A0 , A1 和 x0 , x1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x
2 0
A1 x12
得
A0 A1 1
代入（*）得：
1
3
3
f (x)dx f ( ) f ( )
1
3
3
易验证，这是代数精度为m=3的插值型求积公式。
第三章 数值积分与数值微分
由上例可知，在节点数目固定为n 的条件下，可以通过
适当选取求积节点xk的位置以及相应的求积系数Ak，使机
械求积公式
b
a
f
1
1
f
xdx
A0
f
0
令它对f(x)=1准确成立。 即可得出 A0 2 。 这样构造出的一点Gauss-Legendre公式是中矩形公式。
再取
P2
(
x)
1 2