4.3高斯型求积公式
高斯求积公式的构造
1
1
1
-1v(x)Ln(x)dx
v(x)u(n)(x)dx
-1
v(x)du(n 1)(x)
-1
1
v(x)u(n 1)(x) x 1 v(x)u(n 1)(x) x 1
u(n 1)(x)v(x)dx
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) u (n1 )(x )v(x )d x
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) v(1 )u (n2 )(1 ) u (n2 )(x )v(x )d x
1
51
8
51
f(x)dx f( 15) f(0) f( 15),
1
95
9
95
50.55,8 56 0.88,c8o9 1 s(1)5co1s1()50.714
9
9
5
5
1
c x o 0 . 5 d 0 s . 7 5 x 0 . 8 1 5 0 . 5 8 4 6 0 . 7 5 8 7 1 . 6 1 5 9
在 [ a , b ] 上 正 交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，则其 零点必为Guass点
设 f ( x ) 为 任 2 n 1 次 意 ,的 次
用 n ( x ) 除 f ( x ) 得
高斯求积定理
f ( x ) q ( x ) n ( x ) r ( x )
I sin 4
4
(1
0 . 573503
)
4
sin
4
( 1 . 573503
)
0 .9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式，则
I 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 0 . 8 4 5 8 f ( 0 5 ) 5 8 9 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 4 5 5 5
4.3高斯型求积公式
有
I=
b a
f ( x )dx 0,
n
而数值积分
In
Ak f ( x k )
k0
n
Ak n 1 ( x k ) 0
2
k0
故 最 高 可 能 代 数 精 度 为 2n + 1.
高斯求积公式
定 义 7- 1： 如 果 求 积 公 式
b
f ( x )d x
a
k=0
1 1
f ( x )d x
k=0
n
Ak f ( x k )
称 为 高 斯 - 勒 让 德 求 积 公 式 ， 具 有 2n 1 次 代 数 精 度 。 其 中 G a u ss 点 x k , 及 求 积 系 数 A k 可 查 表 求 得 .
点 数 1 2
xk
Ak
点 数 6
xk
Ak
0
n
Ak f ( x k ) 对 于
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定 义 7- 2： 若 插 值 求 积 公 式
b a
f ( x )d x
k =0
n
Ak f ( x k )
具 有 2n 1 次 代 数 精 度 ， 则 称 该 插 值 求 积 公 式 为 高 斯 求 积 公 式 ， 其 中 结 点 xk 称 为 高 斯 点 ； 求 积 系 数 Ak 称 为 高 斯 求 积 系 数 。
0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837
高斯求积公式
定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析：“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”，即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明：取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x)，
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0，
k 0
由于左端等于0，即( n1 ( x)，q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式，
则 x（k k 0，1， ，n）是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx
由
b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))
高斯求积公式-数值分析课程设计2
一、 引言介绍高斯型求积公式，并使用其求积分⎰=1sin I xdx 。
要求：数值实验结果要体现出随高斯点的增加误差的变化。
我们知道,求积公式⎰∑=≈bani i ix f Adx x f 0)()( （1.1）含有22+n 个待定常数i x 及),,2,1,0(n i A i =,如果它具有n 次代数精确度,则它应使1+m 个方程mk dx x x A bakni ki i ,,2,1,0,==⎰∑= (1.2)精确成立。
作为插值型求积公式(1.1)它至少具有n 次代数精确度；另一方面,令)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω,则对22+n 次多项式)()(21x x f n +=ω而言，(7.5.1)右端为零,而左端严格大于零,即(7.5.1)式对22+n 次多项式)(21x n +ω不准确成立。
但要确定方程组(7.5.2)中的22+n 个待定常数i x 与i A ,最多需要给出22+n 个独立条件,所以m最大取12+n 。
因此,插值型求积公式(1.1)的代数精确度最小是n ,最大是12+n ．由此可见，高斯公式的代数精度比牛顿-科特斯公式高，求解高斯求积公式的关键就是解出上述2n+2个待定常数。
为解决上述问题，首先要先给出三个定理：定理一：以n x x x ,,,10 为节点的插值型求积公式(7.5.1)具有12+n 次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式)())(()(101n n x x x x x x x ---=+ ω与任意次数不超过n 的多项式)(x P 均在区间],[b a 上正交,即⎰=+ban dx x x P 0)()(1ω (1.3)定理二：高斯公式(1.1)的求积系数k A 全为正,且nk dx x l dx x l A bak bak k ,1,0,)()(2===⎰⎰(1.4)定理三：对于高斯公式(1.1),其余项为dxx fn f R ban n ⎰+++=)()()!22(1)(21)22(ωη (1.5)其中).())(()(],,[101n n x x x x x x x b a ---=∈+ ωη证明 以n x x x ,,,10 为节点构造)(x f 的埃尔米特插值多项式)(x H),()(i i x f x H = ni x f x H i i ,1,0),()(='='因为)(x H 是12+n 次多项式,而它的余项是)()()!22(1)()(21)22(x fn x H x f n n +++=-ωξ所以高斯公式(7.5.1)对)(x H 能准确成立,即∑∑⎰====ni i in i iibax f Ax H A dx x H 0)()()(从而dxx fn dxx H dx x f x f A dx x f f R n ban babani i i ba)()()!22(1)()()()()(21)22(0++=⎰⎰⎰∑⎰+=-=-=ωξ若)()22(x fn +在区间],[b a 上连续,由于)(21x n +ω在],[b a 上不变号,故应用积分中值定理可得],[,)()()!22(1)(21)22(b a dx x fn f R ban n ∈+=⎰++ηωη上述定理说明,与牛顿—科兹公式进行比较,高斯公式不但具有高精度,而且它还是数值稳定的,但是节点和求积系数的计算比较麻烦。
高斯求积公式
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点，相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ， ， 记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为
gauss型求积公式
gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。
1. 定义。
- 在数值积分中，Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。
对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx（其中ρ(x)为权函数），Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。
这里x_i称为求积节点，A_i称为求积系数，n为求积公式的节点个数。
2. 特点。
- 高精度：Gauss型求积公式具有很高的代数精度。
对于n个节点的Gauss型求积公式，其代数精度为2n - 1。
这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x)，该求积公式能精确成立，即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i)，其中m≤slant2n - 1，P_m(x)是m次多项式。
- 节点分布：Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。
这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。
例如，当ρ(x) = 1，[a,b]=[- 1,1]时，对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x)，Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。
二、求积节点与求积系数。
1. 求积节点的确定。
- 以勒让德 - Gauss求积公式为例（ρ(x)=1，[a,b]=[-1,1]），求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。
勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x)，P_0(x)=1，P_1(x)=x来计算。
通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。
2. 求积系数的计算。
- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。
一种常见的方法是利用正交性条件。
对于勒让德 - Gauss求积公式，求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算，其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。
4.3 高斯积分
节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2
高斯求积公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑 性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形 公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度 时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算 量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前 面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度 高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法 所不能比的。
n
证明： 时代入公式， 证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得 ，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式， 个待定系数 变元),要想如上方程组有唯一解 个待定系数(变元 要想如上方程组有唯一解， 上式共有 r 个 等式，2n个待定系数 变元 要想如上方程组有唯一解，应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 程组中方程的个数等于变元的个数 即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是 数精度至少是 下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定 ，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为 个未知 如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知 中求积节点 如下 ≤ 上式成为 元线性方程组， 时方程组有唯一解 有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要 元线性方程组 此时要r=n 时方程组有唯一解 、 x1 A1 + x2 A2+ ……
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义2
最高幂项的系数为 an 0 的 n 次多项式
j ( x), j 0,1,
，若满足（两两正交） ： b 0, j k ( j , k ) ( x) j ( x) k ( x)d ( x) a Ak 0, j k 称为在[a,b]上带权 ( x ) 正交序列，
n
来说，不管在积分区间上的 n 1 个插值结点 xk 如 何选取，其代数精度至少为 n ；而只要选取合适的 xk 与 Ak，此插值求积公式的代数精度达到最大。
对于给定的求Biblioteka 节点,代数精度最高的求积公式 是插值型求积公式. 事实上,插值型求积公式的 代数精度完全由求积节点的分布所决定. 节点数目 固定后, 节点分布不同,所达到的代数精度也不同.
则 j ( x )
j ( x) 称为[a,b]上带权 ( x ) 的 n 次正交多项式。
高斯点与正交多项式的零点
定理4-1： 插值求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk ) 其节点 xk 为
b a k =0 n
高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
高斯-切比雪夫求积公式
1. 切比雪夫(Chebyshev)多项式： 定义在区间 [1,1] 上 n 阶切比雪夫多项式 Tn ( x ) cos( n ) cos( n arccos x ) 是关于权函数 ( x )
1 1 x 2
正交的函数系，
其 n 1 阶切比雪夫多项式 Tn 1 ( x ) 与任何次数不超过 n 的多项式 P( x ) 在区间上关于权函数 ( x ) 均正交， 即
a
b
(2) x n ( x )dx
a
b
存在 n 1,2,
则称(x)是[a,b]上的一个权函数。
正交多项式
在高等数学中介绍付立叶级数时，曾提到函数系 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…, cosnx, sinnx,… 中，由于任意两个函数乘积在区间[-，+]上的积分 都等于零，则说这个函数系在[-，+]上是正交的， 并称这个函数系为正交函数系。 定义1(a)：设函数f(x),g(x)[a,b],且
问题: 寻找最高代数精度的求积公式
对于任意的求积节点a x0 x 1
b n a k 0
xn b, 及求积系数,
求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )的代数精度必小于2n 2!
这是因为 对于2n+2次代数多项式 f ( x ) [( x x0 )( x x1 ) 有 I= f ( x )dx 0,
b k =0 n
具有 2n 1 次代数精度， 则称该带权插值求积公式为带权高斯求积公式， 其中结点 xk 称为带权高斯点； 求积系数 Ak 称为带权高斯求积系数。
权函数
定义:设[a,b]是有限或无限区间, (x)是定义在[a,b]上 的非零可积函数，若其满足
(1) ( x )dx 0
b k =0
n
所有次数不超过m 的多项式均能准确成立， 但对于 m 1 次多项式不一定准确成立， 则称该数值求积公式具有 m 次代数精度。
高斯求积公式
定义4-2：
若插值求积公式 f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k =0
n
具有 2n 1 次代数精度，则称该插值求积公式 为高斯求积公式，其中结点 xk 称为高斯点； 求积系数 Ak 称为高斯求积系数。
n 1
xk 0
Ak 2
n
xk ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346
2
±0.5773502692
±0.7745966692 0 ±0.8611363116 ±0.3399810436
( f , g)
b
a
f ( x ) g ( x )dx 0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上正交.
正交多项式
定义1(b)：设函数f(x),g(x)[a,b],且
( f , g)
( x ) f ( x) g ( x)dx 0
a
b
称为权函数
则称f(x)与g(x)在[a,b]上带权(x)正交.
高斯积分公式的数值稳定型
设lk ( x ), k 0,1, , n为Lagrange基函数.
lk2 ( x ) 0为2n次代数多项式, 其Gauss数值积分 等于精确积分,即有
2 0< ( x )lk2 ( x )dx Al i k ( xi ) Ak , b a i 0 n
k 0
n
P( x) 在积分区间上均正交， 即 n 1 ( x) P ( x)dx = 0
a
b
Gauss求积公式的特点： 1. 代数精度达到最高2n+1(针对n+1个节点而言) 2. 高斯点xk 是[a,b]上的n+1次正交多项式Pn 1 ( x )的根)
定理4-2： 带权插值求积公式 a ( x ) f ( x )dx Ak f ( xk ) 其结点 xk
所有, 高斯积分公式具有数值稳定性.
Gauss型求积公式的构造方法
(1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) .
3. Gauss Legendre求积公式 以Legendre多项式 Pn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的高斯点 xk， 则其插值求积公式
1
1
f ( x )dx Ak f ( xk )
k =0
n
称为高斯-勒让德求积公式，具有 2n 1 次代数精度。 其中Gauss点 xk , 及求积系数Ak 可查表求得.
1
1
Pn 1 ( x ) P ( x )dx = 0
2. Legendre多项式的性质:
(1) 正交性 : {Pn } n 0 是[ 1,1]上的正交多项式序列, 即 0, m n ( Pn , Pm ) Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 1 , mn 2n 1
a n n k 0 b 2 ( x xn )]2 n 1 ( x )
而数值积分
2 I n Ak f ( xk ) Ak n 1 ( xk ) 0 k 0
故最高可能代数精度为2n+1.
高斯求积公式
定义4-1：如果求积公式 a f ( x)dx Ak f ( xk ) 对于
第四章 微积分的数值计算方法
4.3 高斯型求积公式
4.3 高斯型求积公式
代数精度的概念：一个求积公式的准确程度
问题: 是否有比等距节点的Newton-Cotes型求积公式 更高代数精度的求积公式? 最高能达到多大?
注：对于一般的插值求积公式
b
a
f ( x )dx Ak f ( xk )
k =0
5
±0.9061798459 ±0.5384693101 0
0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889
8
±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425
0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
1
(2) 递推公式 P P0 ( x ) 1, 1( x) x ( n 1) Pn 1 ( x ) (2n 1) xPn ( x ) nPn 1 ( x ) n 1, 2,
(3)
n P ( x ) ( 1) P n n ( x)
(4) 所有根都是单根, 并在(1,1)上关于原点对称分布.
T1 ( x ) x, T0 ( x ) 1, Tn 1 ( x ) Tn 1 ( x ) 2 xTn ( x )
(3) 所有根都是单根, 在( 1,1)上与原点对称分布,且Tn ( x )的n个根为 x k cos (2k 1) ,(k 1, 2, 2n , n)
b k =0 n
为带权高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式
n 1 ( x) ( x xk ) 与任何次数不超过 n 的多项式
k 0
n
Pn ( x) 在积分区间上关于权函数 ( x) 均正交， 即
b
a
( x)n 1 ( x) Pn ( x)dx = 0。
(即高斯点xk 是[a,b]上关于权函数 ( x )的n+1次 正交多项式Pn 1 ( x )的根)
2 2
称为带权高斯-切比雪夫求积公式，具有 2n 1 次代数精度。
一般积分区间[a,b]的处理
ba ba 先令x t , 使得: 2 2
[a , b]
[1,1]
再利用标准区间 [a, b] 上的求积公式:
n ba 1 ba ba Ak f ( xk ) a f ( x)dx 2 1 f ( 2 t 2 )dt k =0 b a ( n 1) Ak Ak 2 x b a t ( n 1) b a k k 2 2 tk( n 1) , Ak( n 1) 为[-1,1]上高斯求积公式的高斯点及求积系数. b
1 1 x 2
3. Gauss - Chebyshev求积公式 以 Tn 1 ( x ) 的 n 1 个零点作为区间 [ 1,1] 上的带权高斯点， 其带权插值求积公式