人教B版高中数学必修四翠园中学-第二学期期中考试

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学命题人：李明辉 邹宁本试卷共4页，20小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、 121ii+=+ A ．31i 22-- B ．31i 22-+ C ．31i 22+ D ． 31i 22-2、已知集合2{||1|2},{|40}M x x N x x x =-≥=-≥，则M N = A ．{|03}x x x ≤≥或 B ． {|04}x x x ≤≥或 C ．{|13}x x x ≤-≥或 D ． {|14}x x x ≤-≥或3、函数x y 525-=的值域是A ．[0,)+∞B ．[]5,0C ．[)5,0D ．()5,0 4、如图，在Rt △ABC 中，A ＝90°，AB ＝1，则AB ·BC 的值是 A 、1 B 、－1C 、1或－1D 、不确定，与B 的大小，BC 的长度有关5、设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是A ．b c a >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>第4题5π12-π32Oyx第6题6、函数()2sin()(,0,)2f x x x R πωϕωϕ=+∈><的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是 A 、2,3π-B 、2,6π-C 、4,6π-D 、4,3π7、x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 A 、21或-1 B 、2或21C 、2或1D 、2或-1 8、已知椭圆C ：2212516x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN +=A 、10B 、15C 、20D 、25二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9、曲线53xy e x =--在点(0,5)-处的切线方程为 . 10、已知,20,1413)cos(,71cos παββαα<<<=-=且则cos β= . 11、若样本a 1,a 2,a 3的方差是a ，则样本13,13,13321+++a a a 的方差为_________.12、已知数列{}n a 满足 331log 1log ()n n a a n N *++=∈，且 2469a a a ++=，则3579log ()a a a ++的值是 .13、若偶函数)(x f 对定义域内任意x 都有)2()(x f x f -=，且当(]1,0∈x 时，x x f 2log )(=，则=)215(f .14、如图，过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 依次交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝_______．()()sin 24cos sin 26f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （本小题满分12分）设函数 ．(1)求 的值；(2)求 的单调递增区间．16. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为 ，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X.（1）求袋子中白球的个数；（2）求X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，DB 平分∠ADC ，E 为PC 的中点，()0f ()f x 172PDCBAEAD ＝CD ＝1，DB ＝2 ，PD ＝2。

（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）证明：AC ⊥PB ；（3）求二面角E －BD －C 的余弦值；18. （本小题满分14分）设椭圆方程22221x y a b+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于X轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点00(,)P x y ，若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．19. （本小题满分14分）已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+（其中a 为常数）； （1）如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值；（2）设0a >，问是否存在0(1,)3ax ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 20、（本小题满分14分）数列 的前n 项和为 ，已知 ， ( ) .(Ⅰ) 求 ；(Ⅱ) 求数列 的通项；{}n a n S 2(1)n n S n a n n =--n ∈*N23,a a {}n a 112a =(Ⅲ)设,数列 的前n 项和为 ,证明: ( *n ∈N ).翠园中学2014-2015学年第二学期期中考试高二理科数学 参考答案一、选择题：CDCB AADC二、填空题：9. 058=++y x ； 10. 21； 11. 9a ；12． 5 ； 13． -1； 14. 4；三、解答题： 15.+11n n n b S S ={}n b n T52n T <16.（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，…………………1分 即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分 X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=，()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分 ∴X 的分布列为：…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 X 0 1 2 3 P 47 27 435 13518.解： （1）因为24a =，所以，2a = --------------------------------2分∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即22114c b += --------------------4分224c b =-，解得22b =17.椭圆方程为22142x y += ------------------------------------------------------------7分（2）存在这样的点00(,)P x y .设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则121212OM ON y y k k x x ==-，化简为 121220x x y y += ---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴2211142x y +=，2222142x y += 由2OP OM ON =+得0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩- ----------------------------------------11分所以2212212020)2(2)2(2y y x x y x +++=+ 222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+⨯+=即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分 19.解：（1）2322()()2f x x x a x ax a x=-=-+，则22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()g x 在12a x -=处有极大值， ∴112a a a -=⇒=-，或1323a a a -=⇒=；综上：3a =或1a =-．（6分）（2）假设存在，即存在(1,)3ax ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>， (8分)当(1,)3a x ∈-时，又0a >，故0x a -<， 则存在(1,)3a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<，（10分）1当123a a ->即3a >时，2(1)1033a a a ⎛⎫⎛⎫+-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得332a a ><-或，3a ∴>；（12分）2当1123a a--≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，a ∴无解； 综上：3a >．（14分）20．【解析】(Ⅰ)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； …………………1分当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； ………………………2分(Ⅱ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S n S S n n -=---，整理得()2211(1)n n nS n S n n --=+-，即()1111n n n S nS n n -+-=- …………………………5分所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………6分 所以()1nn S nn+=，即21n n S n =+ ………………………7分 代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+.当n=1时，,,21上式成立=n a 故：()111n a n n =-+， ………………8分方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,……………………4分下面用数学归纳法证明:①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ………………5分②假设()*n k k =∈N ,猜想也成立,即()111k a k k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+-整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有n ∈*N()111n a n n =-+ . …………………………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………9分 当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭……11分当1=n 时,13522T =<成立； ………………………12分当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦综上所述,命题得证. ………………………………………………………14分。