求解应用题设元五方法
列方程解应用题的四种方法
列方程解应用题的四种方法列方程（组）解应用题就是将已知量与未知量的关系列成等式，通过解方程（组）求出未知量的过程. 其目的是考查学生分析问题和解决问题的能力. 如何解决这类问题，其方法很多，现结合实例给出几种解法，以供参考.一、直译法设元后，把元看作未知数，根据题设条件，把数学语言直译为代数式，即可列出方程组. 例1（2007年南京市）某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg ，求南瓜亩产量的增长率． 分析：若设南瓜亩产量的增长率为x ，则南瓜种植面积的增长率为2x ．由此可知今年南瓜的亩产量为2000(1)x +kg ，共种植了10(12)x +亩南瓜，根据总产量是60 000kg 即可列出方程.解：设南瓜亩产量的增长率为x ．根据题意列方程，得10(12)2000(1)60000x x ++= ．解得10.550%x ==，22x =-（不合题意，舍去）． 答：南瓜亩产量的增长率为50％．二、列表法设出未知数后，视元为未知数，然后综合已知条件，把握数量关系，分别填入表格中，则等量关系不难得出，进而列出方程组.例2（2007年沈阳市）甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 分析：解工程问题的关键是抓住工作总量、工作效率、工作时间三者间的关系，工作总量通常看作单位1. 根据题意，将关键数据分别填入表格即可列出方程.解：设甲队单独完成此项工程需要x 天，则乙队单独完成此项工程需要45x 天. 由题意得1012145x x +=.解得25x =. 经检验，25x =是原方程的解. 当25x =时，4205x =. 答：甲、乙两个施工队单独完成此项工程分别需25天和20天．三、参数法对复杂的应用题，可设参数，则往往起到桥梁的作用.例3 （2007年滨州市）某人在电车路轨旁与路轨平行的路上骑车行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行驶的速度都不变（分别为12u u ，表示），请你根据图1，求电车每隔几分钟（用t 表示）从车站开出一部？分析：本题给人数量少，条件不足，好象无从下手的感觉，因此可把需要的量以辅助未知数（参数）的形式表示出来.解决本题的关键是正确求出两部电车的间隔距离，如图1（甲）所示，则从行人身后（人车同向）发来的两辆电车间的距离为：6×（电车行进的速度－行人骑车的速度）；如图1（乙）所示，则从行人前方（人车异向）发来的两辆电车间的距离为：2×（电车行进的速度＋行人骑车的速度）.解：设电车的速度为1u ，行人的速度为2u ，电车每隔t 分钟从车站开出一部.根据题意得1211216()2()u u u t u u u t -=⎧⎨+=⎩，解得122u u =． 再把122u u =代入所列方程组的任意一个方程中，均可解得3t =（分钟）.答：电车每隔3分钟从车站开出一部．四、线示法运用图线，把已知和未知条件间的数量关系，用线性图表示出来，再把数量关系写在直线图上，则等量关系可一目了然.例4（2007年梅州市）梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km 的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h ，人步行的速度是5km/h （上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你能过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．分析：（1）可把单独用一辆小汽车来回接送学生所需要的时间与42分钟做比较即可；（2）若确定去县城的最短时间，可充分考虑“汽车”和“人”这两个运动因素. 显然当汽车到达时，人也同时到达这一情况可使运送学生的总时间最短. 最短时间可利用速度比求得.解：（1）不能在限定时间内使考生到达考场.图1理由如下：如果单独用一辆小汽车来回接送，那么小汽车需要跑3趟，所需要的时间为1533(h)45604⨯==（分钟），由于45分钟42>分钟，所以不能在限定时间内到达考场． （2）方案不惟一，具有开放性. 最短时间的方案设计如下：先让4人乘车，另4人步行，如果恰当的选取第一批学生下车的位置，然后让他们步行到车站，同时第二批4人也步行；小汽车返回后接第二批步行的4人追赶第一批步行的人，使这8人同时到达火车站. 在这个过程中，8个人始终在步行或乘车，没有因为等车而浪费时间，因而应该最节约时间. 其运动过程如图2所示.设先步行的4人的行走路程AB 为km x ，后步行的4人的行走路程CD 为km z ，中间的汽车行走路程BC 为km y . 则汽车在路线A C B →→上所用时间与先步行的4人在路线A B →上所用的时间相等；汽车在路线C B D →→上所用时间与后步行的4人在路线C D →上所用的时间相等. 根据在相等的时间内，路程之比等于速度之比，可以得到：:(2)5:60:(2)5:60x x y z z y +=⎧⎨+=⎩ 整理得212212x y x z y z+=⎧⎨+=⎩ 解得2,112.11x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又因为15x y z ++=，所以可得：2x =，11y =，2z =. 由题知所用最短时间为汽车行走的路程与汽车的速度之比，即3376060x y z ++=（时）37=（分钟）. 因为3742<，所以他们能在截止进考场的时刻前到达考场． 图2。
用方程解决问题五步曲——一设、二列、三解、四检、五答
用方程解决问题五步曲——一设、二列、三解、四检、五答李雪峰
【期刊名称】《数学小灵通：小学5-6年级版》
【年(卷),期】2008(0)10
【摘要】同学们在刚刚接触用方程解决问题时,常常因抓不着头绪、搞不清具体的数量关系而出错。
导致许多同学在解决一些问题时,宁可用比较麻烦的算术法,也不用方程法。
其实,同学们用方程解决问题时只要按照"一设、二列、三解、四检、五答"这五步解答就不容易出错了。
下面举一例说明如何运用"一设、二列、三解、四检、五答"解决问题。
【总页数】3页(P9-10)
【关键词】解决问题;解方程;方程解;梨树;桃树;同学;果园;解答;出错;数量关系【作者】李雪峰
【作者单位】江苏省滨海县八巨镇中心小学
【正文语种】中文
【中图分类】G624.5
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方程常见设元四法答案
解应用题时，首要任务是选设未知元，准确、恰当地设元往往有助于简化解题过程.设什么元需要根据具体问题地条件确定，下面就常见地四种设元法，例析如下：一、直接设元法“直接设元”就是将题目中要求地量设为未知元，即求什么设什么，这是最常用地设元法.例：为了节约水资源，某市对城镇居民每月用水作如下规定：不超过吨收费元，吨到吨之间，每吨收费元，吨以上，每吨收费元.若居民张大娘家月份缴纳水费元，请你帮张大娘算算，她家月共用水多少吨？资料个人收集整理，勿做商业用途分析：此题是分段计算问题，只有一个未知量月份用水地吨数.因为吨收费元（×），因此张大娘家月份用水超过吨.相等关系为“不超过吨地费用吨到吨之间地费用超过吨地费用20.5”.资料个人收集整理，勿做商业用途解：设张大娘家月用水吨，则得方程：×（）×（）答：张大娘家月共用水吨.二、间接设元法所设地量不是要求地，但更易找出符合题意地相等关系，这种把题中要求量以外地量设为未知元地方法，称之为“间接设元法”.对于一些采用直接设元法列方程比较困难地问题，而采用间接设元法，反而比较容易，就可以间接设元列方程，再求出题中地未知量.资料个人收集整理，勿做商业用途例：小民和爷爷在400米地环形操场上跑步，同时同向从同一点出发，如果小民地速度是6米秒，爷爷地速度是4米秒，问爷爷跑几圈后，小民超过爷爷一圈？资料个人收集整理，勿做商业用途分析：可以采用间接设元法，设经过秒后，小民超过爷爷一圈.相等关系为“小民跑地路程爷爷跑地路程米”.当然此题也可以用直接设元法去解，但列出地方程不易理解，同学们不妨一试.资料个人收集整理，勿做商业用途解：设经过秒后，小民超过爷爷一圈，则得方程：（）（×）÷（圈）答：爷爷跑圈后，小民超过爷爷一圈.三、辅助设元法对于一些较复杂地问题，往往条件隐含、关系交错.这时不妨引入辅助元，在已知量和未知量之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间地关系，列出方程.而所设辅助元在解题过程中被消去，不影响问题地结果.这种方法叫做“辅助设元法”，也叫“设而不求法”.资料个人收集整理，勿做商业用途例：甲从地到地需分钟，乙从地到地需分钟，若甲乙两人都从地到地，甲比乙早出发分钟，问乙出发几分钟后追上甲？资料个人收集整理，勿做商业用途分析：由于路程一定时，速度与时间成反比，于是“甲速∶乙速∶∶”，这是此题地隐含条件，据此可增设辅助元甲速为米分钟，乙速为米分钟.相等关系为“甲走地路程乙走地路程”.资料个人收集整理，勿做商业用途解：设乙出发分钟后追上甲，又设甲速为米分钟，乙速为米分钟，得方程：×（）因为≠，方程两边同时约去，得方程：×（）答：乙出发分钟后追上甲.四、整体设元法有些问题未知量太多，而已知关系又太少，如果某一部分未知量存在一个整体关系，则可设这一部分为一个未知元，这样就减少了设元地个数，这种设元地方法叫做“整体设元法”.资料个人收集整理，勿做商业用途例：一个五位数，个位数为，这五位数加上后所得地新五位数地万位、千位、百位、十位、个位上地数恰巧分别为原五位数地个位、万位、千位、百位、十位上地数，试求原五位数.资料个人收集整理，勿做商业用途分析：在解此题时，可以把原五位数去掉个位数以后得到地四位数看作一个整体，设其为，就达到化难为易，化繁为简了.资料个人收集整理，勿做商业用途解：设原五位数去掉个位数后地四位数为，则原五位数可表示为，得方程：（）×，答：原五位数为.。
列方程解应用题的基本步骤
列方程解应用题的基本步骤：①审（审题）；②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系）；③设（设元，包括设直接未知数或间接未知数）；④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；⑤列（列方程）；⑥解（解方程）；⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）增长率问题：1、(2003大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。
设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；2、(2003北京西城)宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下：月份一二三四五六产量(台) 50 51 48 50 52 49(1)求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数；(2)由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生产量平均每月的增长率是多少？3、(2002金华)美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）(1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面积为公顷，比2000年底增加了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72． 6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率行程问题：1、(2001福州)甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。
甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。
已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？2、(2002大连)为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。
小学六年级列方程解应用题方法归纳
小学六年级列方程解应用题专项复习小学六年级列方程解应用题专项复习1 列方程解应用题的意义列方程解应用题的意义★ 正向思维，把未知量当已知量。
正向思维，把未知量当已知量。
2、方法总结.列方程解应用题的步骤是： （1）审题：弄清题意，确定已知量、未知量及它们的关系； （2）设元：选择适当未知数，用字母表示； （3）列代数式：根据条件，用含所设未知数的代数式表示其他未知量； （4）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；）列方程：利用列代数式时未用过的等量关系，列出方程；（5）解方程：正确运用等式的性质，求出方程的解； （6）检验并答题。
）检验并答题。
3列方程解应用题的方法列方程解应用题的方法★ 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种们之间的等量关系，进而列出方程。
这是从部分到整体的一种 思维过程，其思考方向是从已知到未知。
已知到未知。
★ 分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。
这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。
其思考方向是从未知到已知。
4列方程解应用题的范围列方程解应用题的范围a 一般应用题；一般应用题；b 和倍、差倍问题；和倍、差倍问题；c 几何形体的周长、面积、体积计算；几何形体的周长、面积、体积计算； d 分数、百分数应用题；百分数应用题； e 比和比例应用题。
比和比例应用题。
5.常见的一般应用题常见的一般应用题一、以总量为等量关系建立方程一、以总量为等量关系建立方程例题例题 两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少小时？快车每小时行多少小时？解法一：解法一： 快车快车 4小时行的+慢车4小时行的=总路程总路程解设：快车小时行X 千米千米4X+60×4=536 4X+240=536 4X=296 X=74 解法二：解法二：解设：快车小时行X 千米千米(X+60)×4=536 X+60=536÷4 X=134一60 X=74 答：快车每小时行驶74千米。
二元一次方程组应用题归类及精选例题
解得,x = 220,y= 260.二元一次方程组精选应用题库二元一次方程组是最简单的方程组， 其应用广泛，尤其是生活、生产实践中 的许多问题，大多需要通过设元、列二元一次方程组来加以解决。
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五 步，即：（1） 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数， 并用字母表示其中的两个未知数；（2） 找：找出能够表示题意两个相等关系；（3） 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4） 解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5） 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 . 现将中考中常见的几种题型归纳如下：一、市场营销问题例1（ 2005年河南省实验区）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价 40%标 价出售.“春节”期间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八 折和九折出售.某顾客购买甲、乙两种服装共付款 182元，两种服装标价之和为 210元•问这两种服装的进价和标价各是多少元？解：设甲种服装的标价为x 元，则进价为—元；乙种服装的标价为y 元,1.4则进价为書元由题意'得所以，—=50 （元），上=100 （元）.1.41.4故甲种服装的进价和标价分别为 50元、70元，乙种服装的进价和标价分别 为100元、140元.二、生产问题例2（ 2005年长沙市实验区）某工厂第一季度生产两种机器共 480台.改进 生产技术后，计划第二季度生产两种机器共 5544台，其中甲种机器产量要比第 一季度增产10%，乙种机器产量要比第一季度增产 20%.该厂第一季度生产甲、 乙两种机器各多少台？解：设该厂第一季度生产甲种机器x 台，乙种机器y 台.由题意，得｛：0%：；4X =540 — 480.”y =210,0.8x+0.9y =182.解得,x = 70, =140.故该厂第一季度生产甲种机器 220台，乙种机器260台.、校舍改造问题例3为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一 部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80元，建造新校舍每平方米 需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共 7200平方米，在实施中为扩大 绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%, 结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.（1） 求原计划拆、建面积各是多少平方米？（2） 若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资 金用来绿化大约是多少平方米？分析：本题可以设一个未知数列方程来解决，但关系复杂，转化起来比较繁 杂•因此，选用列二元一次方程组来解决•其中有两个很明显的相等关系：一是原 计划拆、建总面积，二是实施当中，拆、建的总面积 .解：（1）设原计划拆除旧校舍x 平方米，新校舍y 平方米.由题意，得‘X + y = 7200,（1+10%）x+80%y =7200.（2）实际比原计划拆除与新建校舍节约资金为:(4800X 80+ 2400X 700)— [4800X( 1 + 10%)x 80 + 2400X 80%]X 700 = 297600.用此资金可绿化面积为 297600- 200 = 1488 （平方米）四、方案选择问题例4 （2005年临沂市实验区）李明家和陈刚家都从甲、乙两供水点购买同样 的一种桶装矿泉水，李明家第一季度从甲、乙两供水点分别购买了 8桶和12桶, 且在乙供水点比在甲供水点多花18元钱.若只考虑价格因素，通过计算说明到哪 家供水点购买这种桶装矿泉水更便宜一些？解：设这种矿泉水在甲、乙两处每桶的价格分别为x 、y 元.由题意，得；10x +6y =51,J2y -8x=18.解得，厂3,$ =3.5.由于3.5 > 3,所以到甲供水点购买便宜一些.解得,；x = 4800, y = 2400.开动脑筋，做一做：1、（2005年无锡市实验区）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批了西红柿和豆角共40kg到菜市场去卖，西红柿和豆角这天的批发价与零售价如下表所示:2、（2005年吉林省实验区）随着我国人口速度的减慢，小学入学儿童数量每 年按逐渐减少的趋势发展，某区2003年和2004年小学儿童人数之比为8 : 7,且 2003年入学人数的2倍比2004年入学人数的3倍少1500人，某人估计2005年 入学儿童数将超过2300人，请你通过计算，判断他的估计是否符合当前的变化 趋势.五、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大 9；如果交换十位上的数与个位上 的数，所得两位数比原两位数大 27,求这个两位数.分析：设这个两位数十位上的数为 x ，个位上的数为y ,则这个两位数及新两位数及其之 间的关系可用下表表示：点评：由于受一元一次方程先入为主的影响， 不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次 方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接 设这个两位数为x ，或只设十位上的数为x ，那将很难或根本就想象不出关于 x 的方程.一般 地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为 元”，然后列多元方程组解之.x = 1‘10x + y= x + y+ 9 解方程组 10y ^10x y y 27，得14.因此，所求的两位数是六、利润问题例2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%;如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为 x 元，进价为y元，则打九折时的卖出价为 0.9x 元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y ;打八折时的 卖出价为0.8x 元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.解方程组C _^20%y ，解得!0.8x-y =10因此，此商品定价为200元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的， 不要误为是相对于定价或卖出价.利润 的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价＞利」润率(盈利百分数)•特 别注意 利润”和利润率”是不同的两个概念.七、配套问题例3某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓 25个或螺母20个，如果一个 螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每 天生产出来的产品配成最多套？分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套， 根据题 意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式： 每天生产的螺栓数 &=每天生产的螺母数X1.因此, 设安排x 人生产螺栓，y 人生产螺母，则每天可生产螺栓 25 x 个，螺母20y 个，依题意，得故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一， 如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系， 其中两种最常见的配套问题的等量关系是：(1)二合一 ”问题：如果a 件甲产品和b 件乙产品配成一套，那么甲产品数的b 倍等于(2)三合一 ”问题：如果甲产品a 件，乙产品b 件，丙产品c 件配成一套，那么各种产lx = 200 y =150'x y =120 50x 2=20y 1解之，得x=20 y =100乙产品数的a 倍，即甲产品数a乙产品数b品数应满足的相等关系式是:甲产品数 乙产品数 丙产品数八、行程问题例4在某条高速公路上依次排列着 A 、B 、C 三个加油站，A 到B 的距离为120千米，B 到C 的距离也是120千米.分别在A 、C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以 相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A 、C 两个加油站驶去，结果往B 站驶来的团伙在1小时后就被其中一 辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上.问巡逻车和 犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为 x 、y 千米/时，则f x — y = 40整理，得f x + y/20，解得f因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评：相向而遇”和 同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在 着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.九、货运问题典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲 种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容 积，甲、乙两重货物应各装多少吨？分析：充分利用这艘船的载重和容积”的意思是货物的总重量等于船的载重量”且货物 的体积等于船的容积”设甲种货物装x 吨，乙种货物装y 吨，则因此，甲、乙两重货物应各装150吨.点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度•化简时一般是去分母或两边 同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.3 x - y =120 x y =120x = 80y =40，x y 二 3006x 2y =1200整理，得x y = 300 3x y = 600解得x =150 y =150十、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装 厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能 完成订货的4；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程， 每天可生产这种工作服200套，这5样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期 限是几天？分析：设订做的工作服是x 套，要求的期限是y 天，依题意，得点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即工作量=工作时间U 作效率”以及它们的变式 工作时间=工作量 V 作效率，工作效率=工作量 V 作时间”.其 次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用 “ 1表示总工作量.十一【典题精析】（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为 车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费 汽车各有多少辆？解析：设中型汽车有x 辆，小型汽车有y 辆.由题意，得‘X + y = 50, 6x +4y = 230.解得，厂1®）=35.故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.例2 （2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示:现在该公司收购了 140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜 6吨或粗加工蔬菜16吨（两 种加工不能同时进行）.150y 二200( y _1 )= x +25解得尸:;75 卜6元/辆，小型汽车的停 230元，问中、小型（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格:(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在 15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应 如何分配加工时间？解：(1)全部直接销售获利为：100X140=14000 (元)；全部粗加工后销售获利为：250X 40=35000 (元);尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：450X(6X 8) + 100X( 140-6X 8)=51800(元)(2)设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工.'x + y = 15, Qx +16y =140. 故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.十二【跟踪练习】为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造 新校舍，拆除旧校舍每平方米需 80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍 与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的 80%，而 拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.(1) 求：原计划拆、建面积各是多少平方米？(2) 若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大 约是多少平方米？答案：(1)原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米;(2)可绿化面积为1488平方米. 由题意，得』解得,x=10, y = 5.。
怎样设元
怎样设元设元的基本方法：1、 直接设元：问什么设什么2、 间接设元：说设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系3、 辅助设元：有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析。
4、 整体设元：若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少设元的个数。
训练：1、如图是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色 不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这 个矩形色块图的面积为 ；2、 植树节时,某班平均每人植树6棵,如果只由女同学完成,每人应植树15棵;如果只由男同学完成，每人应植树几棵？3、某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总数的三分之二，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票数的五分之三；零售票每张16元，共售出零售票的一半，如果在六月份内，团体票按每张16元出售，并计划在六月份售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？4、某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．（1） 请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？100%=⨯投资收益（注：投资收益率）实际投资额（2） 对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？5、某车站在检票前若干分钟即开始排队，排队的人是按一定速度增加，如果开放一个检票口，则要20分钟检票口前的队伍才能消失；如果同时开放两个检票口，则8分钟队伍就消失，设检票速度是一定的，问同时开放三个检票口队伍要几分钟消失？6、欧拉遗产问题是大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题。
浅谈用设元法解题
浅谈用设元法解题摘要： 设元法是数学中的一种创新的解题方法。
在数学解题中可以运用数值设元、整体设元、部分设元、比值设元、均值设元、共轭设元等设元法去解题，达到事半功倍，培养学生的创造性意识和创新思维。
关键词： 设元法 解题方法 数值 整体 部分 比值 均值 共轭 创造性意识 创新思维设元是常用来解题的方法，设元法也是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
通过设元可以沟通条件和结论之间的联系，为开辟解题途径架起桥梁。
我们通常把所设的未知数称为元，所谓设元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，设原式中的某一个部分为一个新的元，然后把这个元代入原来的式子中，使之简化，再进行计算，这样就会使问题容易解决。
设元法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛具体的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取相应的设元方法来解决。
许多同学在解题过程中，习惯于按常规方法进行推理、计算，而不能灵活运用设元法。
我们可以启发学生根据题目的结构和特征，展开丰富的联想拓宽自己的思维范围，巧妙地运用设元法来解题，这样就可以培养学生创造性意识和创新思维，同时对学生的解题能力也有所提高。
一 、 适当运用数值设元，提高学生的解题能力。
我们经常遇到一类问题，很难直接通过推理和演算得到答案，而需要另外找一条捷径，适当设元，代入后计算，方能得解，这样就能提高学生的解题能力。
例1 计算：（1+)716151++)716151()817161511()81716151(++⨯++++-+++⨯ 解：设x =,716151++，则原式=（1+x ）(x +x x )811()81++- =89818922--++x x x =81 这题如果采用常规算法则显然麻烦又容易出错，但是通过数值设元，把数的运算转化成式的运算，这样解题就显得简单、便捷。
二、 巧妙运用整体设元，培养学生的思维能力。
整体思想是一种重要的数学思想。
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１． 乙 ＝ ２ ２ 甲 一 １． 甲 ． ２
所 以乙数为 ＋８：４ ， 数 为 一生 ： ４丙
￣－ － ＇ １
一
１， Ｏ丁数为 一 一１ ＝一１０ ４ ６ ６．
故这 四个数 中最 大的数 乙比最小 的数 丁大
４ ４一（ ６ ） ０ ． 一１ｏ ＝２ ４
答： ． 略
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１ ６
中学教与学
求解应用题
郭 贵 华
设元五方法
刘 道 法
（ 湖北省公安县黄山头 中学 ， ４０ ） （ ４ ３６ 湖北省公安县油江中学 ，３３ ） ３ ４４０ ６
列方 程 （ ） 应用题 既是 初 中代 数的重 组 解
点， 也是难点 ． 在解答应用 题的“ 审题 ” “ 、设 元 ”“ 、列方 程 ”“ 解 ”“ 、求 、检验 ” “ 及 作答 ” 这六 个步骤中， 设元是一个重要环节． 如果能合理 地设立未知数 ， 便能顺利地解答问题 ． 一般情 况 下 ， 立未知 数有 五种方法 ． 设 １ 直 接设元 法 ． 即直接设 欲求 量 为 未知 数 ， 通 过建 立 再 方程直接求出欲求量 ． 例 １ 一列匀速行驶 的火车 ， 从它进入 ６０ ０ ｍ的隧道到完全离开 ， 共需 ３ ， ０ｓ又知在 隧道顶部的一盏固定的灯发出的一束光线垂 直 照射火 车 ５ｓ求 火车的长度 ． ． 分析 ： 这是一 道行程 问题 ， 抓住 “ 应 匀速 ” 二字找等量关系． 若直接设火车长为 ｍ 则 ， 由图 １ 甲可知， 火车从进入隧道到完全离开 共行驶 了（ ６０ ｍ， ＋ ０ ） 其行驶时间为 ３ ， ０ｓ于
．
（） ０ ＜５时 ， Ａ Ｃ 与 正 方 形 ２当 ≤ △ Ｂ
ＣＥ Ｄ Ｆ重合部分是三角形 ，
故＝ ４ ≤ ． ｙ： 三 ０ ｛‘ ≤ Ｌ ≤（ １ 一 －５ ２２ ） ０ ｘ
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２０ 年第 １ ０８ 期
竺
、
１ ７
一
丁数 为 一４ 一１ ． ６
依 题意 得
＋ ＋）（ ｝） （４一６ （ ８＋ 一 ＋ 一 １ ）
＝ 一
９ ０．
’
解 得 ＝ ６ ３．
同时出发， 向而行 ， １２ｈ 相 经 ． 相遇 ． 甲走 若 完全 程需 要 ２ ｈ 则 乙走完 全 程 需要 多 长 ， 时间 ？ 分析 ： 系式 ｓ ｔ 当 ｓ 在关 ＝ｖ 中， 一定时 ， 与ｔ 成反比． 欲求甲、 乙二人走完全程各需多 少时间 ， 可从 求 出他们 的速度之 比求得 ． 因 此， 应先设甲、 乙二人 的速度 为辅助元 ， 再直 接设 乙走 完 全 程需 ｈ列 出二 人 走 完 全 程 ， 的时间比例式既可求解 ． 解 ： 甲、 设 乙二人 的速度分别为 甲 、乙．
、 Ｊ ，
窜
： 一
即先设一个与欲求量相关联的量为未知 数， 继而求 出欲求量 ． 例 ２ 甲 、 、 、 四数 之 和为 一９ ， 乙 丙 丁 ０ 又 甲数减去 一 、 ４ 乙数加上 一 、 ４丙数乘以 一 、 ４ 丁 数除以 一４ 所得值彼此相等 ． 则这四个数 中 的最大数比最小数大多少？ 分析 ： 甲、 丙 、 因 乙、 丁四数均为未知， 所 以不能直接设立未知数 ． 而甲、 丙 、 乙、 丁四数 有等量关系 ， 于是可间接设立未知数 ， 如先设 甲数为 ， 则可用含 的代数式 表示其他各 数， 再根据“ 和为 一 ０ 这一条件建立等量关 ９” 系 ， 方程求 解 ． 列 解： 设甲数为 ， 乙数为 ＋８丙数为 则 、
３“ ． 以少胜 多” 法
所 以 ， 乙＝３ ２ 甲： ：．
设乙走完这条路需 ｈ 依题意得 ，
当题中所求未知量有多个 ， 且它们有等 量关系时 ， 则可以设其 中关键 的量为未知数 ， 用这个未知数表示出其他未知量 ． 例 ３ 在 某 日历 上 ， 一个 ２×３的长 方 用 形圈出六 个数 ， 它们 的和为 ６ ． 这六天 使 ９求 分别 是几 号 ？ 分析 ： 历 中的号数有规律 ， 日 其规律是横 行从左 到右后一个数总 比前 一个数 大 １纵 ， 列 自上而下， 下一个数总 比上一个数多 ７ 于 ． 是只设一个未知数即可 ． 本题应 分横 ３ ２ 纵 或横 ２ ３ 纵 两种情况求解 ， 这里仅给 出一种 情况 ． 解： 当排列顺序是横 ３ ２ ， 纵 时 可设第一 天为 号 ， 其 余 ５天依 次 为 ＋１号、 则 ＋２ 、 号 ＋７号 、 ＋８号 、 ＋９号 ． 题 意 依
ｘ ＋
—
６０ ０
一
—
Байду номын сангаас
３ 一 ５’ Ｏ
因此本题 应直 接 设 元 ， 接设 立 未 知 数 间
亭
难以找到等量关系 ．
正解 ：１ 当 ＝２时 ， Ｃ ＝４ Ａ ＣＧ （） Ｃ ， Ｃ
Ｙ＝ ・ ２ｘ・ ２ｘ＝２ ； ｘ
是等腰直角三角形 ．
１
所 以 ， ＝ ×４ ＝８ ｍ ） ｙ ×４ （ ２ ．
二
当５ ≤１ 时， Ａ Ｃ与正方形 Ｃ Ｅ ≤ ０ Ａ Ｂ ＤＦ
重 合部分 是梯形 ，
ｙ： ×ｌ ０一 （ 一ｌ ） ０×１ ２ ０
２ ４２ ． －０
当 ＝７时 ， Ａ Ｃ移 动 了 １ 此 时 ， Ａ Ｂ ４ｍ，
Ｉ
Ｙ＝５ ０一 １×４ ＝４ （ ２ ×４ ２ ｍ ）
图 ｌ
・
解 ： 火车 长为 ｍ． 设 依题意得
ｘ ＋
—
６０ ０
一
—
３ 一 ５’ Ｏ
解得 ＝１０ ２．
答： ． 略
．
２ 间接 设元 法 ．
是 车 度 ｆ＋０ｍ ． 图１ 可 火 速 为、 Ｕ １／由 乙 知 Ｊ ６， ｓ ｘ ０
其速度为《 ｍｓ由“ 睾Ｉ／， 匀速” 之意可列方程：
可 得
三 一呈
２— ２‘
解得 ＝３ ｈ ． （）