2015高考真题函数
2015年高考山东理科数学试题及答案解析
2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． （1）【2015年山东，理1】已知集合2{|430}x x x -+<,{|24}B x x =<<，则A B =（ ）（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，故选C ．（2）【2015年山东，理2】若复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位,则z =（ ） （A)1i - (B ）1i + （C ）1i -- (D)1i -+ 【答案】A【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+，1i z =-,故选A ．（3）【2015年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像（ ）（A)向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位(C ）向左平移3π个单位（D)向右平移3π个单位 【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位,故选B ．(4)【2015年山东,理4】已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（ ）（A ）232a - (B ）234a - （C)234a （D ）232a【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，故选D ．（5）【2015年山东,理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是（ ）（A ）(,4)-∞ (B)(,1)-∞ （C ）(1,4) （D ）(1,5)【答案】A【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，则14x ≤<；当5x ≥时,1(5)42x x ---=<不成立．综上4x <，故选A ． （6）【2015年山东,理6】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩若z ax y =+的最大值为4,则a =（ ）（A)3 （B)2 （C ）—2 （D ）-3 【答案】B 【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥,即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<,即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足10a -<≤;当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==,不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >,故选B ． （7）【2015年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=,//AD BC ,222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）（A ）23π （B)43π （C)53π (D ）2π 【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，故选C ．(8)【2015年山东，理8】已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件,其长度误差落在区间()3,6内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=)（A)4.56% （B ）13.59% （C ）27.18% （D)31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，故选D ．(9）【2015年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切,则反射光线所在的直线的斜率为（ ）（A ）53-或35- （B ）32-或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34-【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=,则22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++,解得43k =-或34-,故选D ． （10）【2015年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()(())2f a f f a =的取值范围是（ ）（A ）2[,1]3 （B)[0,1] （C ）2[,)3+∞ （D ）[1,)+∞【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，则121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，故选C ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分（11）【2015年山东，理11】观察下列各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++ 021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= (12）【2015年山东，理12】若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤"是真命题，则实数m 的最小值为 ．【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则tan 14m π≥=,于是实数m 的最小值为1．（13）【2015年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．（14）【2015年山东,理14】已知函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-,则a b += ．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，则13222a b +=-=-．（15)【2015年山东,理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点,则1C 的离心率为 ． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为by x a =±，则22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ，则22222AFpb pa a k pb b a-==,即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 三、解答题:本大题共6题，共75分．（16）【2015年山东，理16】（本小题满分12分）设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()0,12Af a ==,求ABC ∆面积．解：（Ⅰ）由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=-,由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈,则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈；由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈,则()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈．(Ⅱ）在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==，6A π=，而1a =，由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc π=+-≥-=-,当且仅当b c =时等号成立,即12323bc ≤=+-,11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤故ABC ∆面积的最大值为234+． （17）【2015年山东，理17】（本小题满分12分)如图,在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． （Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ;(Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=,求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角)的大小．解：（Ⅰ）证明：连接DG ,DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中,2AB DE =，则2AC DF =， 而G 是AC 的中点,DF AC ，则//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，则TH DB ，又BD ⊄平面FGH ,TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．（Ⅱ）由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，则GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直,以点G 为坐标原点，,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,设2AB =,则1,22,2DE CF AC AG ====,22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,,0)22B C F H ---, 则平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，则2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取21x =，则221,2y z ==,2(1,1,2)n =，1211cos ,2112n n <>==++，故平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60．（18）【2015年山东，理18】（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233nn S =+．(Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥，而11133a -=≠，则13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩．（Ⅱ)由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩,可得3111log 3113n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩ 2311123133333n n n T --=+++++,2234111123213333333n n n n n T ---=++++++，22312231211111111111111()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n n n n n n nn n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅- 113211243n n n T -+=-⋅ （19）【2015年山东，理19】（本小题满分12分）若n 是一个三位正整数,且n 的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取一个数，且只能抽取一次,得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除，但不能被10整除，得—1分;若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；(Ⅱ）若甲参加活动,求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．解：（Ⅰ）125,135，145，235，245,345；（Ⅱ)X 的所有取值为-1,0，1．32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-=====0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．（20）【2015年山东，理20】（本小题满分13分)平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离,左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心,以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程;(Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,AB 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．（i ）求||||OQ OP 的值；(ii）求ABQ ∆面积最大值．解：（Ⅰ）由椭圆2222:1(0)x y Ca b a b+=>>可知c e a ==,而222a b c =+则2,a b c ==， 左、右焦点分别是12(,0),,0)FF ，圆1F ：22()9,x y +=圆2F ：22()1,x y +=由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上,则224134b b +=⋅，整理得424510b b -+=,解得21b =，214b =(舍去）， 故21b =，24a =,椭圆C 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）(i ）椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y ，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==． （ii ）点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=,整理得222(14)84160k x kmx m +++-=．2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->,||AB = 211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅=+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+,当且仅当22||82m m k ==+等号成立．而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ，则2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解, 即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥， 则上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，则S ∆==(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆==ABQ ∆面积最大值为12．（21）【2015年山东，理21】(本题满分14分）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； （Ⅱ）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点．当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-,若809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥,函数()f x 在(1,)-+∞为增函数,无极值点．若89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <,且1212x x +=-，而(1)10g -=>,则12114x x -<<-<,所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增． 因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>,121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减,所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点;当89a >时,()f x 的有两个极值点．（Ⅱ)由(Ⅰ）可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x >,符合题意； 当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =, 则当(0,)x ∈+∞时,()0f x >，符合题意;当1a >时,2(0)0,0g x <>,所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =,则当2(0,)x x ∈时，()0f x <,不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．另解：（Ⅰ)2()ln(1)()f x x a x x =++-,定义域为(1,)-+∞21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax af x a x x x x -++++-'=+-==+++, 当0a =时,1()01f x x '=>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点．设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-,当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．若(98)0a a ∆=-≤，即809a <≤时，()0g x ≥,()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点．若(98)0a a ∆=->，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g -≥此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根,此时函数()f x 只有一个极值点;当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根,此时函数()f x 有两个极值点；综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1;当89a >时，()f x 的极值点个数为2．（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,0x ∀>,都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln 20≥恒成立；当1x >时，20x x ->,2ln(1)0x a x x++≥-；当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立．故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞,则只需0a ≥； 当01x <<时,2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，则需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>,都有()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可,故所求a 的取值范围是01a ≤≤． 另解：（Ⅱ）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可,于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立，当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+， 则0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-,令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增，则2()(1)11(13)g t g >-=-=--+，则1a ≤，于是01a ≤≤． 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =， 则当2(0,)x x ∈时，()0f x <,不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+,当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++, ()h x 在(0,)+∞单调递增,因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解:一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法,求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．。
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标i)附详细解析
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）B2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）255211．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD ，DF 丄平面 ABCD ，BE=2DF ，AE 丄EC ． （Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）满足=iB．2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．=﹣（﹣＜＜6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（），则，××（，÷7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．利用向量的三角形法则首先表示为=本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+）的部分图象，可得函数的周期为（﹣可得+=，）≤≤2k+）的单调递减区间为（）9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）﹣﹣≤﹣≤﹣=﹣=2552，的通项为=的系数为11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）×+22r+12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[＜﹣时，，＞﹣时，﹣，，解得二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．x+14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．解：一个圆经过椭圆，解得，，）．）15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．，则，解得，即=3的最大值为16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．x x xx+m=+AD=x+mx+m=，x+m x=+x的取值范围是（﹣+﹣，）三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．，利用裂项法即可求数列==（﹣（﹣+﹣）（﹣．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．AG=GC=，且BE=，故，，EF=，），=，）=，﹣，，＞=﹣．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．w=，建立y=c+dw=的线性回归方程，由于===563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68，的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68）﹣+20.12=20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由），利用导数的运算法则，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．．）联立M Ny=点处的切线斜率为=a=处的切线方程为：，化为==．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．，，即可得出零点的个数；，解得．时，﹣=a+＜﹣=a+=，∴当）在内单调递减，在x==，即，则，即，=a+a时，或时，或选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．，BE=选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．3的面积（3=2=．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．，或求得＜，a|=，，[2a+1]参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年7月20日。
2015年高考理科数学试题汇编(含答案)三角函数大题
2015年高考理科数学试题汇编(含答案)：三角函数大题(江苏)15.(本小题满分14分) ,在中，已知. ,ABCAB,2,AC,3,A,60 (1)求的长; BC (2)求的值. sin2C 43【答案】(1)(2) 77 【解析】考点:余弦定理，二倍角公式fxx,,，sin,,,(10)(安徽)已知函数(，，均为正的常数)的最小正,,，，，，2,fx,,周期为，当x时，函数取得最小值，则下列结论正确的是( ) ，，3 fff220,,,fff022,,, (A) (B) ，，，，，，，，，，，，fff,,,202fff202,,, (C)(D) ，，，，，，，，，，，，【答案】A of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-moneytransaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than 95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 1/6页考点:1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较. (福建)19(已知函数的图像是由函数的图像经如下变换得到:先将f()xgxx()cos= 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像向右平gx() p移个单位长度. 2 (?)求函数的解析式，并求其图像的对称轴方程; f()x (?)已知关于的方程在内有两个不同的解( xf()g()xxm+=[0,2)pab, (1)求实数m的取值范围; 22mcos)1.(ab-=- (2)证明: 5 pxk=+ p(kZ).【答案】(?) ，;(?)(1);(2)详见解f()2sinxx=(5,5)-2 析( 【解析】试题分析:(?)纵向伸缩或平移: gxkgx()(),或gxgxk()(),，;横向伸缩或平移: 1a,0gxgx()(),,(纵坐标不变，横坐标变为原来的倍)，gxgxa()(),，(时，向, a,0aa左平移f()2sinxx=个单位;时，向右平移个单位);(?) (1)由(?)得，则of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than 95% of the amount, some firestaff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and 'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 2/6页，利用辅助角公式变形为(其中f()g()2sincosxxxx+=+f()g()xx+=+5sin()xj 12)，方程在内有两个不同的解，等价f()g()xxm+=[0,2)pab,sin,cosjj== 55 于直线和函数有两个不同交点，数形结合求实数m的取值范围;ym,yx=+5sin()j p3p(2)结合图像可得和，进而利用诱导公式结合已知条件abj+=2()-abj+=2()-22求解( 试题解析:解法一:(1)将的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐gxx()cos= p标不变)得到的图像，再将的图像向右平移个单位长度后得到y2cos=xy2cos=x2 py2cos()=-x的图像，故，从而函数图像的对称轴方程为f()2sinxx=f()2sinxx=2pxk=+ p(kZ). 2 21(2)1)f()g()2sincos5(sincos)xxxxxx+=+=+ 55 12 (其中) sin,cosjj===+5sin()xj 55 mm依题意，在区间内有两个不同的解当且仅当，故msin()=x+j||1[0,2)pab, 55 的取值范围是. (5,5)- 2)因为是方程在区间内有两个不同的解，ab,[0,2)p5sin()=mx+j mm所以，. sin()=aj+sin()=bj+ 55 p1m?abjabpbj+=2(),2();--=-+当时，23p-5abjabpbj+=2(),32();--=-+当时, 2 2mm222所以cos)cos2()2sin()12()11.(abbjbj-=-+=+-=-=-55解法二:(1)同解法一. (2)1) 同解法一. of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventive fire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspectionsand more than 95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 3/6页2) 因为是方程在区间内有两个不同的解，ab,[0,2)p5sin()=mx+j mm所以，. sin()=aj+sin()=bj+ 55 p当时，1m?abjajpbj+=2(),+();-=-+即2 3p当时, -5abjajpbj+=2(),+3();-=-+即2 所以cos+)cos()(ajbj=-+于是cos)cos[()()]cos()cos()sin()sin()(abajbjajbjajbj-=+-+=+++++2mmm2222 =-++++=--+=-cos()sin()sin()[1()]()1.bjajbj555考点:1、三角函数图像变换和性质;2、辅助角公式和诱导公式( (湖南)17.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且B 为钝,ABCabA,tan角》,(1)证明: ,,BA2 sinsinAC，(2)求的取值范围29【答案】(1)详见解析;(2)(，]. 28 【解析】,试题分析:(1)利用正弦定理，将条件中的式子等价变形为inB=sin(+A)，从而得证;2 sinA，sinC(2)利用(1)中的结论，以及三角恒等变形，将转化为只与有关的表达A式，再利用三角函数的性质即可求解. sinsinAbB试题解析:(1)由a=btanA及正弦定理，得,,,所以sinB=cosA，即coscosAaB ,sinB=sin(+A). 2 ,,,,,又B为钝角，因此+A(，A)，故B=+A，即B-A=;(2)由(I)知，C=-,2222 ,,,,,,,(A+B)=-(2A+)=-2A>0，所以A，于是sinA+sinC=sinA+sin(-2A)= 0,,,,2224,,19,222sinsinA+cos2A=-2A+sinA+1 =-2(sinA-)+，因为0,所以0,因此4428 of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventivefire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure toforce honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than 95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and 'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 4/6页22199,, sinA,，,,,2488,, 29由此可知sinA+sinC的取值范围是(，]. 28 考点:1.正弦定理;2.三角恒等变形;3.三角函数的性质. (四川)19.如图，A,B,C,D为平面四边形ABCD 的四个内角. AA1cos,(1)证明:tan;, 2sinA oACABBCCDAD，,,,,,180,6,3,4,5,(2)若求ABCDtantantantan，，，的值. 2222 410【答案】(1)详见解析;(2). 3 【解析】AsinA2tan,试题分析:(1)首先切化弦得，为了将半角变为单角，可在分子分母同时A2cos2 A2sin乘以，然后逆用正弦与余弦的二倍角公式即可.(2)由题设知，该四边形的两对角2 22ABCDtantantantan，，，,，互补.再结合(1)的结果，有，所以只需2222sinsinABcoscosCA,,coscosDB,,sin,sinAB求出即可.由于已知四边，且，，故考虑用余cos,cosABsin,sinAB弦定理列方程组求，从而求出. AA2sin2sinAA1cos,22tan,,,试题解析:(1). AAA2sinAcos2sincos222 ,,,AC，,180(2)由CADB,,,,180,180，得. of the audit. Fire is a combination of auditing in the field of law enforcement law enforcement job rotation and fire practice of law enforcement, in the promotion changed, retraining retired key timing synchronization in place audit mechanism, and conducive to self-urged self-restraint, the fire law enforcement, to protect themselves. 1.3 preventivefire-fighting urged the current fire law enforcement corruption involving cases of violating law enforcement has an upward trend, judging from national reports of complaints in recent years, reported cases reflect the fire law enforcement is over 50%. In addition, the multiple corruption cases, with a high incidence of leading cadres, a small number of leading cadres ' corruption, corrupt, power-for-money transaction, especially teams, group reporting increasing complaints involving the supervision of law enforcement jobs, bring great pressure to force honest and serious challenges. Meanwhile, team and Brigade levels bear an administrative license approval, administrative punishment, routine inspections and more than95% of the amount, some fire staff handled a year go through legal instruments and thousands of contact hundreds of social units, once inside lax, their quality is not high, extremely easy to induce discipline and corruption. In practical operation, the fire law enforcement as 'athletes' and 'umpire' internal inspector, inspection, test and not enough problem touches not found to leading policymakers, deviate from system design, system implementation has to deal with. 2 building fire law 5/6页。
2015年高考数学函数部分专题一：求定义域
2015年高考数学函数部分专题一：求定义域主编：宁老师 主编单位：永辉中学生学习中心第一模块：求定义域第一部分：已知函数解析式，求定义域：一、方法：（1）、五大限制条件：1、分母不等于02、偶次根号下的数大于等于03、对数函数的上底大于04、一个式子的0次方，这个式子不等于05、正切函数的角度不等于ππk +2（2）、方法：求定义域就是根据五大限制条件（主要是前三种限制条件）写出不等式或者不等式组，解不等式或者不等式组得到定义域。
二、例题：例一;求函数)1(log 1)(2x x f --=的定义域。
【解析】：根据五大限制条件：偶次根号下大于等于0：1212log )1(log 1)1(log 0)1(log 12222-≥⇒≤-⇒≤-⇒≤-⇒≥--x x x x x对数函数的上底大于0：101<⇒>-x x所以：求两种限制条件结果的交集得到函数定义域：)1,1[-∈x例二：求函数)11lg()(xx x f -+=的定义域。
【解析】：根据五大限制条件：对数函数的上底大于0：110)1)(1(011<<-⇒>-+⇒>-+x x x xx 分母不等于0：101≠⇒≠-x x所以：求两种限制条件结果的交集得到函数定义域：)1,1(-∈x例三：求函数1)(log )(22--=x x x f 的定义域。
【解析】：根据五大限制条件：对数函数上底大于0： ),1()0,(02+∞⋃-∞∈⇒>-x x x偶次根号下大于等于0：),2()1,(22log )(log 1)(log 01)(log 22222222+∞⋃--∞∈⇒≥-⇒≥-⇒≥-⇒≥--x x x x x x x x x 所以：求两种限制条件结果的交集得到函数定义域：),2()1,(+∞⋃--∞∈ x 。
例四：求函数)7632(log )(222--+--=x x x x x f 的定义域。
【解析】：根据五大限制条件：根号下大于等于0：),3[]1,(0322+∞⋃--∞∈⇒≥--x x x),7[]1,(0762+∞⋃--∞∈⇒≥--x x x对数上底大于0：0763222>--+--x x x x 因为：07632076,0322222≥--+--⇒≥--≥--x x x x x x x x 所以：07632076322222≠--+--⇒>--+--x x x x x x x x 因为：1076,032076322222-=⇒=--=--⇒=--+--x x x x x x x x x 所以：10763222-≠⇒≠--+--x x x x x所以：求两种限制条件结果的交集得到函数定义域：),7[)1,(+∞⋃--∞∈ x 。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数doc
2015年高考数学试题专题练习：函数概念与基本初等函数1.函数f(x)=ln(x 2-x)的定义域为( )A.(0,1)B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪[1,+∞)2.已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1 3.函数f(x)=1)(log 122-x 的定义域为( )A. B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.∪[2,+∞) 4.已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)5.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a 的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或86.设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a 的取值范围是 .7.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.1+=x y B.y=(x-1)2 C.y=2-xD.y=log 0.5(x+1) 8.已知实数x,y 满足a x <a y (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( )A.111122+>+y x B.ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C.sin x>sin y D.x 3>y 3 9.下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=B.f(x)=x 3C.f(x)=D.f(x)=3x10.已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, f(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是.11.设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数12.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )A.-3B.-1C.1D.313.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则 f=( )A. B. C.0 D.-14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.15.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时, f(x)=则f= .16.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e是自然对数的底数.(1)证明:f(x)是R上的偶函数;(2)若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数a满足:存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)<a(-+3x0)成立.试比较e a-1与a e-1的大小,并证明你的结论.17.对于c>0,当非零实数a,b 满足4a 2-2ab+4b 2-c=0且使|2a+b|最大时, - + 的最小值为 .18.若函数f(x)=cos 2x+asin x 在区间是减函数,则a 的取值范围是 . 19.在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a (x>0),g(x)=log a x 的图象可能是( )20.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( ) A.a>b>c B.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a21.函数f(x)=)4(log 221-x 的单调递增区间为( )A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(2,+∞)D.(-∞,-2)22.若函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )23.已知f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),x∈(-1,1).现有下列命题:①f(-x)=-f(x);②f =2f(x);③|f(x)|≥2|x|. 其中的所有正确命题的序号是( )A.①②③B.②③C.①③D.①② 24.已知4a =2,lg x=a,则x= .25.函数f(x)=)2(log log 22x x ⋅的最小值为 .26.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )27.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ) A. B. C.(1,2) D.(2,+∞)28.已知函数f(x)=x 2+e x 21 (x<0)与g(x)=x 2+ln(x+a)的图象上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A. B.(-∞,) C. D.29.已知f(x)是定义在R 上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时, f(x)=.若函数y=f(x)-a 在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .30.已知函数f(x)=|x 2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为 .31.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( ) A. B. C. D.-1 32.如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tan θ的最大值是 .(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)33.已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足:①f(0)=f(1)=0;②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若对所有x,y∈[0,1],|f(x)-f(y)|<k恒成立,则k的最小值为( )A. B. C. D.34.设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a, f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)= (x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)35.已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.36.以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间[-M,M].例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sin x时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D, f(a)=b”;②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)参考答案1. C2. A3. C4. D5. D6. (-∞,]7. A 8. D 9. D 10. (-1,3)11. C 12. C 13. A 14. B 15. 116.解析(1)证明:因为对任意x∈R,都有f(-x)=e-x+e-(-x)=e-x+e x=f(x),所以f(x)是R上的偶函数.(2)由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立,令t=e x(x>0),则t>1,所以m≤-=-对任意t>1成立.因为t-1++1≥2+1=3,所以-≥-,当且仅当t=2,即x=ln 2时等号成立.因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)=e x+-a(-x3+3x),则g'(x)=e x-+3a(x2-1).当x≥1时,e x->0,x2-1≥0,又a>0,故g'(x)>0,所以g(x)是[1,+∞)上的单调增函数,因此g(x)在[1,+∞)上的最小值是g(1)=e+e-1-2a.由于存在x0∈[1,+∞),使+-a(-+3x0)<0成立,当且仅当最小值g(1)<0,故e+e-1-2a<0,即a>.令函数h(x)=x-(e-1)ln x-1,则h'(x)=1-.令h'(x)=0,得x=e-1.当x∈(0,e-1)时,h'(x)<0,故h(x)是(0,e-1)上的单调减函数;当x∈(e-1,+∞)时,h'(x)>0,故h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数.所以h(x)在(0,+∞)上的最小值是h(e-1).注意到h(1)=h(e)=0,所以当x∈(1,e-1)⊆(0,e-1)时,h(e-1)≤h(x)<h(1)=0;当x∈(e-1,e)⊆(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0.所以h(x)<0对任意的x∈(1,e)成立.①当a∈⊆(1,e)时,h(a)<0,即a-1<(e-1)ln a,从而e a-1<a e-1;②当a=e时,e a-1=a e-1;③当a∈(e,+∞)⊆(e-1,+∞)时,h(a)>h(e)=0,即a-1>(e-1)ln a,故e a-1>a e-1.综上所述,当a∈时,e a-1<a e-1;当a=e时,e a-1=a e-1;当a∈(e,+∞)时,e a-1>a e-1.17. -2 18. (-∞,2] 19. D 20. C21. D 22. B 23. A 24. 25. -26. C 27. B 28. B 29.30. (0,1)∪(9,+∞) 31. D 32. 33. B 34. (1)(2)x 35. (2,+∞) 36. ①③④。
高考数学真题 函数及其性质
专题二 函数的概念与基本初等函数2.1 函数及其性质考点一 函数的概念及表示1.(2015湖北文,7,5分)设x ∈R,定义符号函数sgn x={1,x >0,0,x =0,-1,x <0.则( )A.|x|=x|sgn x|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgn xD.|x|=xsgn x答案 D 由已知可知xsgn x={x,x >0,0,x =0,-x,x <0,而|x|={x,x >0,0,x =0,-x,x <0,所以|x|=xsgn x,故选D.2.(2014江西理,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax 2-x(a ∈R).若f[g(1)]=1,则a=( ) A.1 B.2 C.3 D.-1 答案 A 由已知条件可知: f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a -1|=0,得a=1.故选A.评析 本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键. 3.(2015重庆文,3,5分)函数f(x)=log 2(x 2+2x-3)的定义域是( ) A.[-3,1] B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 答案 D 由x 2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故选D.4.(2015湖北文,6,5分)函数f(x)=√4-|x|+lgx 2-5x+6x -3的定义域为( ) A.(2,3) B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案 C 要使函数f(x)有意义,需满足{4-|x|≥0,x 2-5x+6x -3>0,即{|x|≤4,(x -3)(x -2)x -3>0,解之得2<x<3或3<x ≤4,故选C. 5.(2014山东理,3,5分)函数f(x)=22的定义域为( )A.(0,12) B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞) D.(0,12]∪[2,+∞)答案 C 要使函数f(x)有意义,需使(log 2x)2-1>0,即(log 2x)2>1,∴log 2x>1或log 2x<-1.解之得x>2或0<x<12.故f(x)的定义域为(0,12)∪(2,+∞).6.(2016课标Ⅱ文,10,5分)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是( )A.y=xB.y=lg xC.y=2xD.y=√x答案 D 函数y=10lg x的定义域、值域均为(0,+∞),而y=x,y=2x的定义域均为R,排除A,C;y=lg x 的值域为R,排除B,故选D.易错警示 利用对数恒等式将函数y=10lg x变为y=x,将其值域认为是R 是失分的主要原因.评析 本题考查函数的定义域和值域,熟练掌握基本初等函数的图象和性质是解题的关键. 7.(2016江苏,5,5分)函数y=√3-2x -x 2的定义域是 . 答案 [-3,1]解析 若函数有意义,则3-2x-x 2≥0,即x 2+2x-3≤0,解得-3≤x ≤1.考点二 分段函数1.(2019天津理,8,5分)已知a ∈R.设函数f(x)={x 2-2ax +2a,x ≤1,x -alnx, x >1.若关于x 的不等式f(x)≥0在R 上恒成立,则a 的取值范围为( )A.[0,1]B.[0,2]C.[0,e]D.[1,e]答案 C 本题主要考查分段函数及不等式恒成立问题,考查学生推理论证能力及运算求解能力,将恒成立问题转化为求最值问题,考查了学生化归与转化思想及分类讨论思想. (1)当x ≤1时, f(x)=x 2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a 2,①若a>1,则f(x)在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)≥f(1)=1>0恒成立;②若a ≤1,则f(x)≥f(a)=2a-a 2,要使f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,只需2a-a 2≥0,得0≤a ≤2,∴0≤a ≤1,综合①②可知,a ≥0时, f(x)≥0在(-∞,1]上恒成立.(2)当x>1时,ln x>0, f(x)=x-aln x ≥0恒成立,即a ≤xlnx恒成立. 令g(x)=x lnx ,g'(x)=lnx -1(lnx)2,令g'(x)=0,得x=e,当x ∈(1,e)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,当x ∈(e,+∞)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,∴g(x)min =g(e)=e,∴a≤e. 综合(1)(2)可知,a 的取值范围是0≤a ≤e,故选C.解后反思 求不等式恒成立时的参数取值范围的方法:一是分离参数法,不等式f(x)≥a 在R 上恒成立⇔f(x)min ≥a, f(x)≤a 在R 上恒成立⇔f(x)max ≤a;二是讨论分析法,根据参数取值情况进行分类讨论,从而确定参数的取值范围.2.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)={2√x,0≤x ≤1,1x, x >1.若关于x 的方程f(x)=-14x+a(a ∈R)恰有两个互异的实数解,则a 的取值范围为( ) A.[54,94] B.(54,94]C.(54,94]∪{1} D.[54,94]∪{1}答案 D 本题以分段函数和方程的解的个数为背景,考查函数图象的画法及应用. 画出函数y=f(x)的图象,如图.方程f(x)=-14x+a 的解的个数,即为函数y=f(x)的图象与直线l:y=-14x+a 的公共点的个数. 当直线l 经过点A 时,有2=-14×1+a,a=94; 当直线l 经过点B 时,有1=-14×1+a,a=54.由图可知,a ∈[54,94]时,函数y=f(x)的图象与l 恰有两个交点. 另外,当直线l 与曲线y=1x,x>1相切时,恰有两个公共点,此时a>0.联立{y =1x ,y =-14x +a,得1x =-14x+a,即14x 2-ax+1=0, 由Δ=a 2-4×14×1=0,得a=1(舍去负根).综上,a ∈[54,94]∪{1}.故选D.一题多解 令g(x)=f(x)+14x={2√x +x4(0≤x ≤1),1x+x 4(x >1),当0≤x ≤1时,g(x)=2√x +x 4为增函数,其值域为[0,94];当x>1时,g(x)=1x +x4,对g(x)求导得g'(x)=-1x 2+14,令g '(x)=0,得x=2,当x ∈(1,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x ∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴当x=2时,g(x)min =g(2)=1,函数g(x)的简图如图所示:方程f(x)=-14x+a 恰有两个互异的实数解,即函数y=g(x)的图象与直线y=a 有两个不同的交点,由图可知54≤a ≤94或a=1满足条件,故选D. 易错警示 本题入手时,容易分段研究方程2√x =-14x+a(0≤x ≤1)与1x =-14x+a(x>1)的解,陷入相对复杂的运算过程.利用数形结合时,容易在区间的端点处出现误判.3.(2015课标Ⅰ文,10,5分)已知函数f(x)={2x -1-2, x ≤1,-log 2(x +1), x >1,且f(a)=-3,则f(6-a)=( )A.-74B.-54C.-34D.-14答案 A 当a ≤1时,f(a)=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,不成立,舍去;当a>1时,f(a)=-log 2(a+1)=-3,即log 2(a+1)=3,得a+1=23=8,∴a=7,此时f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-74.故选A.评析 本题主要考查分段函数,指数与对数的运算,考查分类讨论的思想,属中等难度题. 4.(2015陕西文,4,5分)设f(x)={1-√x,x ≥0,2x , x <0,则f(f(-2))=( )A.-1B.14C.12D.32答案 C ∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f (14)=1-√14=12,选C.5.(2015山东文,10,5分)设函数f(x)={3x -b, x <1,2x, x ≥1.若f (f (56))=4,则b=( )A.1B.78 C.34D.12答案 D f (56)=3×56-b=52-b,当52-b ≥1,即b ≤32时,f (52-b)=252-b, 即252-b=4=22,得到52-b=2,即b=12;当52-b<1,即b>32时,f (52-b)=152-3b-b=152-4b,即152-4b=4,得到b=78<32,舍去. 综上,b=12,故选D.6.(2014江西文,4,5分)已知函数f(x)={a ·2x ,x ≥0,2-x , x <0(a ∈R),若f [f(-1)]=1,则a=( )A.14B.12C.1D.2 答案 A 由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故选A.7.(2014课标Ⅰ文,15,5分)设函数f(x)={e x -1, x <1,x 13,x ≥1,则使得f(x)≤2成立的x 的取值范围是 . 答案 (-∞,8]解析 f(x)≤2⇒{x <1,e x -1≤2或{x ≥1,x 13≤2⇒{x <1,x ≤ln2+1或{x ≥1,x ≤8⇒x<1或1≤x ≤8⇒x ≤8,故填(-∞,8].考点三 函数的单调性与最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11-xB.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D 选项A 中,y=11-x =1-(x -1)的图象是将y=-1x 的图象向右平移1个单位得到的,故y=11-x在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B 中,y=cos x 在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=ln x 的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D 符合题意.评析 本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题. 2.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+x 2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1) B.(-∞,13)∪(1,+∞) C.(-13,13) D.(-∞,-13)∪(13,+∞)答案 A 当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+x2,∴f '(x)=11+x +2x (1+x 2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|), ∴|x|>|2x -1|,即3x 2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.3.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x ∈R.( ) A.若f(a)≤|b|,则a ≤b B.若f(a)≤2b,则a ≤b C.若f(a)≥|b|,则a ≥b D.若f(a)≥2b ,则a ≥b 答案 B 依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R 上的增函数,∴a≤b.故选B.4.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sin x+1sinx,则( ) A. f(x)的最小值为2 B. f(x)的图象关于y 轴对称 C. f(x)的图象关于直线x=π对称 D. f(x)的图象关于直线x=π2对称答案 D 对于A,令sin x=t,t ∈[-1,0)∪(0,1],则g(t)=t+1t ,当t ∈(0,1]时,g(t)=t+1t≥2,当且仅当t=1时,取“=”,故g(t)∈[2,+∞),又∵g(t)=-g(-t),∴g(t)为奇函数, ∴g(t)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A 错误; 对于B,由f(x)≠f(-x),知f(x)不是偶函数,故B 错误; 对于C, f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-x)=-sin x-1sinx≠f(x),故C 错误;对于D, f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-x)=sin x+1sinx =f(x),故f(x)的图象关于直线x=π2对称,故D 正确.故选D.5.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=xx -1(x ≥2)的最大值为 . 答案 2解析 解法一:∵f '(x)=-1(x -1)2,∴x≥2时, f '(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法二:∵f(x)=x x -1=x -1+1x -1=1+1x -1,∴f(x)的图象是将y=1x 的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1x在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2. 解法三:由题意可得 f(x)=1+1x -1. ∵x≥2,∴x -1≥1,∴0<1x -1≤1, ∴1<1+1x -1≤2,即1<xx -1≤2. 故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析 本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.6.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)={x 2, x ≤1,x +6x-6, x >1,则f(f(-2))= , f(x)的最小值是 . 答案 -12;2√6-6解析 f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12.当x ≤1时, f(x)=x 2≥0,当x>1时,f(x)=x+6x-6≥2√6-6, 当且仅当x=√6时,等号成立, 又2√6-6<0,所以f(x)min =2√6-6.考点四 函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是( )A.y=x 2sin x B.y=x 2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x答案 B A 中函数为奇函数,B 中函数为偶函数,C 与D 中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A 项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(√1+x2-x)+1, f(a)=4,则f(-a)=.答案-2解析本题考查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(√1+x2-x),则g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.解题关键观察出函数g(x)=ln(√1+x2-x)为奇函数.5.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.6.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a的取值范围是.答案(1,32)2解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-√2), f(-√2)=f(√2),所以f(2|a-1|)>f(√2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.7.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= . 答案 3解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(2+x)=f(2-x)对任意x 恒成立, 令x=1,得f(1)=f(3)=3, ∴f(-1)=f(1)=3.8.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1)2+sinxx 2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m= .答案 2 解析 f(x)=x 2+1+2x+sinx x 2+1=1+2x+sinx x 2+1,令g(x)=2x+sinxx 2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max +g(x)min =0,故M+m=2. 考点五 函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2答案 D 当x>12时,由f (x +12)=f (x -12)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.2.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f (-52)+f(1)= . 答案 -2解析 ∵f(x)是定义在R 上的奇函数, ∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x), 即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0. 又∵f (-52)=f (-12)=-f (12)=-412=-2. ∴f (-52)+f(1)=-2.3.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则f(919)=.答案 6解析本题考查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法小结函数周期性的判断:一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;若f(x+T)=1f(x)(f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.4.(2014安徽文,14,5分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1-x),0≤x≤1,sin πx,1<x≤2,则f(294)+f(416)=.答案516解析依题意得 f(294)=f(8-34)=f(-34)=-f(34)=-34×14=-316, f(416)=f(8-76)=f(-76)=-f(76)=-sin7π6=sin π6=12,因此, f(294)+f(416)=-316+12=516.。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数f （x ）=2ln()x x a x ++为偶函数，则a=【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．二、函数、方程与不等式4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>， 所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故，2(2)(log 12)9f f -+=．5.（2018年1卷9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.6.（2017年3卷15）设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.7.（2017年3卷11）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．三、函数单调性与最值8.（2017年1卷5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【解析】：()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。
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**教育五环教学案
日期：授课人：学生：科目：数学
今日格言：有理想在的地方，地狱就是天堂。
有希望在的地方，痛苦也成欢乐。
课
题
2015高考函数
教
学
目
标
2015高考函数真题
知识点及重难点梳理1、(2015重庆。
)若函数f（x）=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=_______.
2.(2015湖南)已知
3
2
,
()
,
x x a
f x
x x a
⎧≤
=⎨
>
⎩
，若存在实数b，使函数()()
g x f x b
=-有两个零点，则a的取值范围是 .
3.已知函数()(0,1)
x
f x a b a a
=+>≠的定义域和值域都是[]
1,0
-，则a b
+=
4.已知函数()()2
2,2,
2,2,
x x
f x
x x
⎧-≤
⎪
=⎨
->
⎪⎩
函数()()
2
g x b f x
=--，其中b R
∈，若函数()()
y f x g x
=-
恰有4个零点，则b的取值范围是________
考点训练1.（2015重庆）设函数()()
2
3
x
x ax
f x a R
e
+
=∈
（I）若()
f x在0
x=处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()
y f x
=在点()
()
1,1
f处的切线方程；
（II）若()
f x在[)
3,+∞上为减函数，求a的取值范围。
2. （2015天津）已知函数()n,n
f x x x x R
=-∈，其中*
n,n2
N
∈≥.
(I)讨论()
f x的单调性；
(II)设曲线()
y f x
=与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为()
y g x
=,求证：对于任意的正实数x，都有()()
f x
g x
≤；
思维拓展3．（2015广东）设1
a>，函数a
e
x
x
f x-
+
=)
1(
)
(2。
(1) 求)
(x
f的单调区间；
(2) 证明：)
(x
f在()
,
-∞+∞上仅有一个零点；
(3) 若曲线()
y f x
=在点P处的切线与x轴平行，且在点(,)
M m n处的切线与直线OP平行（O是坐标原点）,证明：1
2
3-
-
≤
e
a
m．
4.（2015山东）设函数2
()ln(1)()
f x x a x x
=++-，其中a R
∈.
（Ⅰ）讨论函数()
f x极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若0
x
∀>，()0
f x≥成立，求a的取值范围.
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学案审核：___________
日期： ___________
**教育教务处。