三角函数专题(知识归纳记忆技巧典型真题题剖析).doc
三角函数与解三角形题型归纳及习题含详解
题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示
（1） 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决.
（2） 注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也 可以是坐标轴角；锐角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标
4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值
和简单恒等式的证明.
命题趋势探究
1.一般以选择题或填空题的形式进行考查.
2.角的概念考查多结合函数的基础知识.
3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点. 知识点精讲 一、基本概念
正角---逆时针旋转而成的角； （1）任意角 负角---顺时针旋转而成的角；
二、任意角的三角函数 1.定义 已 知 角 终 边 上 的 任 一 点 P(x, y) （ 非 原 点 O ）， 则 P 到 原 点 O 的 距 离
r OP x2 y2 0 . sin y , cos x , tan y .
r
r
x
此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比，对 y ，邻 x ，斜 r ， 如图 4-2 所示.
的终边逆时针旋转整数圈，终边位置不变.
注：弧度或 rad 可省略 （5）两制互化：一周角= 3600 2 r 2 （弧度），即 1800 .
r
1（弧度）
180
0
57.30
57018
故在进行两制互化时，只需记忆 1800 ，10 两个换算单位即可：如： 180
5 5 1800 1500 ； 360 36 .
C. 0, ，是第一、二象限角
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。
按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。
4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。
二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
三角函数的专题复习-最经典最全
三角函数的专题复习-最经典最全
1. 三角函数的基本概念
- 正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义及其关系- 弧度和角度的转换及其应用
- 三角函数在直角三角形中的应用
2. 三角函数的性质
- 周期性和奇偶性
- 正负变化规律
- 三角函数的大小关系及其应用
3. 三角函数的图像和性质
- 正弦函数的图像和性质
- 余弦函数的图像和性质
- 正切函数的图像和性质
- 三角函数图像的平移、伸缩等变换
4. 三角函数的求值和计算
- 特殊角的三角函数值
- 三角函数的和差化积公式
- 三角函数的倍角和半角公式
- 三角函数的三角恒等式
5. 三角函数的应用
- 三角函数在几何中的应用
- 三角函数在物理中的应用
- 三角函数在工程中的应用
- 三角函数在生活中的应用
6. 典型例题和题解析
- 理解和掌握三角函数的概念和性质
- 运用不同的定理和公式解决相关问题
- 练解题技巧和应用能力
以上是三角函数的专题复习内容，包括基本概念、性质、图像和性质、求值和计算、应用以及典型例题和习题解析。
希望这份文档对您的复习有所帮助，祝您复习顺利！。
三角函数知识归纳与典型例题
三角函数知识归纳与典型例题1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形.按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角,一条射线没有作任何旋转时,称它形成一个零角.射线的起始位置称为始边,终止位置称为终边.2、象限角的概念：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限.3.终边相同的角的表示：〔1〕α终边与θ终边相同<α的终边在θ终边所在射线上>⇔2()k k αθπ=+∈Z ,注意：相等的角的终边一定相同,终边相同的角不一定相等.例1．与角1825-的终边相同,且绝对值最小的角的度数是＿25-,合＿536π-＿弧度. 〔2〕α终边与θ终边共线<α的终边在θ终边所在直线上>⇔()k k αθπ=+∈Z . 〔3〕α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . 〔4〕α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . 〔5〕α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .〔6〕α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.例2．α的终边与6π的终边关于直线x y =对称,则α＝____Z k k ∈+,32ππ________. 4、α与2α的终边关系：由"两等分各象限、一二三四"确定.例3．若α是第二象限角,则2α是第__一、三___象限角 5.弧长公式：||l R α=,扇形面积公式：211||22S lR R α==,1弧度<1rad>57.3≈.例4．已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度,求该扇形的面积. 答案：22cm 〕6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点〔异于原点〕,它与原点的距离是r =>,那么sin ,cos y x r r αα==,()tan ,0y x x α=≠,cot x y α=(0)y ≠,sec rxα=()0x ≠,()csc 0ry yα=≠.三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关.例5．〔1〕已知角α的终边经过点P<5,－12>,则ααcos sin +的值为＿713-＿.〔2〕设α是第三、四象限角,m m --=432sin α,则m 的取值范围是___〔－1,)23____.〔3〕若0|cos |cos sin |sin |=+αααα,试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号答：负 7.三角函数线的特征是：正弦线MP"站在x 轴上<起点在x 轴上>"、余弦线OM"躺在x 轴上<起点是原点>"、正切线AT"站在点(1,0)A 处<起点是A >".三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式.例6．〔1〕若08πθ-<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____〔tan sin cos θθθ<<〕〔2〕若α为锐角,则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ ,〔sin tan ααα<<〕〔3〕函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______,答案：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〔1〕平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= 〔2〕倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, 〔3〕商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==同角三角函数的基本关系式的主要应用是,已知一个角的三角函数值,求此角的其它三角函数值.在运用平方关系解题时,要根据已知角的范围和三角函数的取值,尽可能地压缩角的范围,以便进行定号；在具体求三角函数值时,一般不需用同角三角函数的基本关系式,而是先根据角的范围确定三角函数值的符号,再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值.例7．〔1〕函数sin tan cos cot y αααα+=+的值的符号为____大于0,〔2〕若π220≤≤x ,则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____,yTA xα B SO M P答案：[0,]4π],43[ππ 〔3〕已知53sin +-=m m θ,)2(524cos πθπθ<<+-=m m ,则θtan ＝___125-,〔4〕已知11tan tan -=-αα,则ααααcos sin cos 3sin +-＝____35-； 2cos sin sin 2++ααα＝________513_;〔5〕已知a = 200sin ,则160tan 等于 〔 B 〕A 、21aa-- B 、21a a- C 、a a 21-- D 、a a 21-；〔6〕已知x x f 3cos )(cos =,则)30(sinf 的值为______－1.10.三角函数诱导公式〔2kπα+〕的本质是：奇变偶不变〔对k 而言,指k 取奇数或偶数〕,符号看象限〔看原函数,同时可把α看成是锐角〕.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤：〔1〕负角变正角,再写成2k π+α,02απ≤<；<2>转化为锐角三角函数.例8．〔1〕97cos tan()sin 2146πππ+-+的值为____23-____； 〔2〕已知54)540sin(-=+α,则=-)270cos( α___54-___,若α为第二象限角,则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα ____1003-____. 11、两角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-例9．〔1〕下列各式中,值为12的是 〔 C 〕A 、1515sin cosB 、221212cos sin ππ-C 、22251225tan .tan .-D 30； 〔2〕命题P ：0tan(A B )+=,命题Q ：0tan A tan B +=,则P 是Q 的 〔 〕A 、充要条件B 、充分不必要条件C 、必要不充分条件D 、既不充分也不必要条件；〔3〕已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=,那么2cos β的值为___725_； 〔4〕131080sin sin -的值是____4__；<5>已知0tan110a =,求0tan 50的值〔用a ,乙求得的结果是212a a-,对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______甲、乙都对;12.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系,通常"切化弦"；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:〔1〕巧变角〔已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,22αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等〕,例10．〔1〕已知2tan()5αβ+=,1tan()44πβ-=,那么tan()4πα+的值是____322_； 〔2〕已知02πβαπ<<<<,且129cos()βα-=-,223sin()αβ-=,求cos()αβ+的值；答案：490729〔3〕已知,αβ为锐角,sin ,cos x y αβ==,3cos()5αβ+=-,则y 与x 的函数关系为______43(1)55y x x =<<；<2>三角函数名互化<切割化弦>,例11．〔1〕求值sin 50(13tan10)+；〔答案：1〔2〕已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--,求tan(2)βα-的值；答案：18<3>公式变形使用〔tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±.例12．〔1〕已知A 、B 为锐角,且满足tan tan tan tan 1A B A B =++,则cos()A B +＝__2-_；<2>设ABC ∆中,tan A tan B Atan B ++=,4sin Acos A =,则此三角形是__等边__三角形；<4>三角函数次数的降升<降幂公式：21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=>.例13．<1>若32(,)αππ∈,为_____sin 2α；〔2〕函数25f (x )sin x cos x x =-x R )∈的单调递增区间为_______51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈<5>式子结构的转化<对角、函数名、式子结构化同>. 例14．〔1〕化简tan (cos sin )ααα-sin tan cot csc αααα+++；〔〕〔2〕求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；〔sin α〕〔3〕：化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ 〔1cos 22x 〕 <6>常值变换主要指"1”的变换〔221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅ tan sin 42ππ===等〕,例15．已知tan 2α=,求22sin sin cos 3cos αααα+-.〔35〕<7>正余弦"三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、"的内存联系――"知一求二",例16．〔1〕若sin cos x x t ±=,则sin cos x x =212t -± __,特别提醒：这里[t ∈；〔2〕若1(0,),sin cos 2απαα∈+=,求tan α的值.；〔3〕已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<,试用k 表示sin cos αα-的值13、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+<其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定,θ角的值由tan baθ=确定>在求最值、化简时起着重要作用. 例17．〔1〕若方程sin x x c =有实数解,则c 的取值范围是___[－2,2]________.；〔2〕当函数23y cos x sin x =-取得最大值时,tanx 的值是___32-___；〔3〕如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数,则tan ϕ=－2；〔4〕求值：=︒+︒-︒20sin 6420cos 120sin 3222_______32_； 14、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,3,,,222ππππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象.15、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： 〔1〕定义域：都是R.〔2〕值域：都是[]1,1-,对sin y x =,当()22x k k Z ππ=+∈时,y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1；对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1. 例18．〔1〕若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23,最小值为21-,则=a __,=b ；答案：1,12a b ==或1b =- 〔2〕函数x x x f cos 3sin )(+=〔]2,2[ππ-∈x 〕的值域是____[－1, 2]； 〔3〕若2αβπ+=,则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是_7___ 、__－5___；〔4〕函数2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是__2___,此时x ＝()12k k Z ππ+∈；〔5〕己知21cos sin =βα,求αβcos sin =t 的变化范围；1[0,]2〔6〕若αβαcos 2sin 2sin 22=+,求βα22sin sin +=y 的最大、最小值.1max =y ,222min -=y特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时,你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？〔3〕周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 例19．<1>若3sin)(xx f π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___0； <2> 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为___π_； <3> 设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ,若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立,则||21x x -的最小值为__2__；〔4〕奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,对称轴是直线()x k k Z π=∈〔正<余>弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点〕.例20．〔1〕函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______偶函数； 〔2〕已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数〕,且57f ()=,则5f ()-=－5_；〔3〕函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________；128k (,)(k Z )ππ-∈；28k x (k Z )ππ=+∈ 〔4〕已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数,求θ的值.6k (k Z )πθπ=+∈〔5〕单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增.特别提醒,别忘了k Z ∈！ 16、形如sin()y A x ωϕ=+的函数： 〔1〕几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率〔周期的倒数〕；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；〔2〕函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定,例21．()sin()(0,0f x A x A ωϕω=+>>,||2πϕ<图所示,则()f x ＝___15()2sin()23f x x π=+； 〔3〕函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①"五点法"――设X x ωϕ=+,令X ＝0,3,,,222ππππ求出相应的x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法.〔4〕函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变,横坐标向左〔ϕ>0〕或向右〔ϕ<0〕平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的1ω,得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的A 倍,得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变,纵坐标向上〔0k >〕或向下〔0k <〕,得到()sin y A x k ωϕ=++的图象.要特别注意,若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象,则向左或向右平移应平移||ϕω个单位, 例22．〔1〕函数2sin(2)14y x π=--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？；2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象<2> 要得到函数cos()24x y π=-的图象,只需把函数sin 2xy =的图象向_左__平移__2π__个单位； 〔3〕将函数72sin(2)13y x π=-+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一？若唯一,求出a ；若不唯一,求出模最小的向量；答案：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--答：〕 〔4〕若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点,则k 的取值范围是；〔5〕研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质,只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x ,但在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时,要特别注意A 和ω的符号,通过诱导公式先将ω化正.例23．〔1〕函数23y sin(x )π=-+的递减区间是______；〔2〕1234x y log cos()π=+的递减区间是_______；〔3〕设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则 〔 〕A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,125()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A ； 〔4〕对于函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π个单位,即得到函数2cos 2y x =的图像.其中正确结论是_______； 〔5〕已知函数()2sin()f x x ωϕ=+图象与直线1y =的交点中,距离最近两点间的距离为3π,那么此函数的周期是_______； 17、正切函数tan y x =的图象和性质：〔1〕定义域：{|,}2x x k k Z ππ≠+∈.遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗？〔2〕值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；〔3〕周期性：是周期函数且周期是π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π.绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定. 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2π,而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+,|tan |y x =的周期不变；〔4〕奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是,02k π⎛⎫⎪⎝⎭()k Z ∈,特别提醒：正<余>切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处.〔5〕单调性：正切函数在开区间(),k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪内都是增函数.但要注意在18. 三角形中的有关公式：<1>内角和定理：三角形三角和为π,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.<2>正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===<R 为三角形外接圆的半径>.注意：①正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2cR=；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；②已知三角形两边一对角,求解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解.<3>余弦定理：2222222cos ,cos 2b c a a b c bc A A bc+-=+-=等,常选用余弦定理鉴定三角形的形状.<4>面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++〔其中r 为三角形内切圆半径〕.如ABC ∆中,若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-,判断ABC ∆的形状〔答：直角三角形〕.特别提醒：〔1〕求解三角形中的问题时,一定要注意A B C π++=这个特殊性：,sin()sin ,sincos 22A B CA B C A B C π++=-+==；〔2〕求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化.例24．〔1〕ABC ∆中,A 、B 的对边分别是 a b 、,且A=60 4,a b ==,那么满足条件的ABC ∆ A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定 〔 〕；〔2〕在ABC ∆中,A ＞B 是sin A sin B >成立的____条件；〔3〕在ABC ∆中,112(tan A)(tan B )++=,则2log sinC ＝_____；<4>在ABC ∆中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边,若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=,则C ∠＝____；〔5〕在ABC ∆中,若其面积222S =,则C ∠=____；〔6〕在ABC ∆中,60 1A ,b ==,这个三角形的面积为,则ABC ∆外接圆的直径是_______；〔7〕在△ABC 中,a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边,21,cos 32B C a A +==则=,22b c +的最大值为；〔8〕在△ABC 中AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是；〔9〕设O 是锐角三角形ABC 的外心,若75C ∠=,且,,AOB BOC COA ∆∆∆的面积满足关系式AOB BOC COA S S ∆∆∆+=,求A ∠．19.反三角函数：〔1〕反三角函数的定义〔以反正弦函数为例〕：arcsin a 表示一个角,这个角的正弦值为a ,且这个角在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内(11)a -≤≤.<2>反正弦arcsin x 、反余弦arccos x 、反正切arctan x 的取值范围分别是)2,2(],,0[],2,2[πππππ--. 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角以与两向量的夹角时,你是否注意到了它们的范围？(0,],[0,],[0,]22πππ,[)π,0,[0,),[0,),[0,]2πππ． 20、求角的方法：先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数〔要注意选择,其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值〕.例25．〔1〕若,(0,)αβπ∈,且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根,则求αβ+的值______；〔2〕ABC ∆中,3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=,则C ∠＝_______；〔3〕若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=,0cos cos cos αβγ++=,求βα-的值例26．已知函数xx x x f 2cos 4sin 5cos 6)(24-+=,求：〔1〕函数f <x >的定义域； 〔2〕函数f <x >的周期和值域.例27．已知.0cos 35cos sin )515(sin ),23,(22=---∈θθθθππθ〔I 〕求θcos ； 〔Ⅱ〕若)(,21cos sin cos 34cos sin 15154)(2x f x x x x f 求+-=θθ的最小正周期与单调 递减区间.例28．已知： 〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦若在上最大值与最小值之和求的值.〔答：25-；536π-〕 〔答：Z k k ∈+,32ππ〕〔答：一、三〕〔答：22cm 〕〔答：713-〕；〔答：〔－1,)23〕；〔答：负〕<答：tan sin cos θθθ<<>；〔答：sin tan ααα<<〕；〔答：2(2,2]()33k k k Z ππππ-+∈〕〔答：大于0〕；〔答：[0,]4π],43[ππ〕；〔答：125-〕；〔答：35-；513〕；答：B 〔答：－1〕〔答：2-〕〔答：54-；1003-〕〔答：C 〕〔答：725〕〔答：4〕〔答：甲、乙都对〕〔答：322〕〔答：490729〕〔答：43(1)55y x x =<<〕〔答：1〕〔答：18〕〔答：2-〕〔答：等边〕〔答：sin 2α〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：sin α〕〔答：1cos 22x 〕〔答：35〕〔答：212t -±〕〔答：〕〔答：[－2,2]〕<答：32-><答：－2><答：32>〔答：1,12a b ==或1b =-〕〔答：[－1, 2]〕〔答：7；－5〕〔答：2；()12k k Z ππ+∈〕〔答：1[0,]2〕〔答：1max =y ,222min -=y 〕〔答：0〕〔答：π〕〔答：2〕〔答：偶函数〕〔答：－5〕〔答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈〕〔答：6k (k Z )πθπ=+∈〕〔答：15()2sin()23f x x π=+〕〔答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象,再向左平移8π个单位得2sin 2y x =的图象,横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象,最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象〕〔答：左；2π〕〔答：存在但不唯一,模最小的向量(,1)6a π=--〕〔答：〕〔答：51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈〕〔答：C 〕〔答：②④〕〔答：π〕答：C 〔答：充要〕〔答：12-〕〔答：60〕〔答：30〕〔答：3〕〔答：1932;〕〔答：06C π<≤〕〔答：45〕〔答：34π〕〔答：3π〕〔答：23π〕解：〔1〕2202cos ππ+≠⇒≠k x x 得)(22Z k k x ∈+≠ππ 〔2〕化简得).42(212cos 23)(ππ+≠+=k x x x f 所以周期T=]2,21()21,1[,⋃-值域为π 解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当已知： ()()22cos 2.f x x x a a R =+∈其中〔Ⅰ〕(),x R f x ∈若求的最小正周期;〔Ⅱ〕解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分 〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分 〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =解：〔I 〕035tan )515(tan ),23,(2=---∈θθππθ则 解出5tan 15tan -==θθ或〔舍去〕)](65,3[)()(653,)(,)(2326222:22)62sin(2cos 212sin 232122cos 12sin 2321cos cos sin 321cos sin )41(34cos )415(15154)()23,(,415cos 1sin )(41tan 11cos 2222Z k k k x f Z k k x k x f Z k k x k x T x x x x x x x x x x x x f II ∈++∴∈+≤≤+∈+≤-≤+==∴-=-=++-=+-=+-⨯--⨯=∈-=--=-=+-=∴ππππππππππππππππππθθθθθ单调减区间为即是减函数时满足当解：()1cos 222sin(2)16f x x x a x a π=++=+++ ……3分〔Ⅰ〕最小正周22T ππ== ……6分(),3,66f x a ππ⎡⎤-⎢⎥⎣若在上最大值与最小值之和求的值.〔Ⅱ〕1[,]2[,]sin(2)16666226x x x ππππππ∈-∴+∈-∴-≤+≤ ……9分 即max min ()21()11f x a f x a =++⎧⎨=-++⎩233a ∴+= 即：0a =。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
三角函数专题总复习知识点总结与经典例题讲解-高三数学
三角函数专题复习讲义1、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1弧度；三角函数线：如右图，有向线段 AT 与MR OM 分别叫做o （的 正切线、正弦线、余弦线。
角度制与弧度制的互化：360° =2二，180° ",1rad = 18057.30 ° =57° 18兀0 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 27003600313131312兀 3^ 5兀3兀2643234622、特殊角的三角函数值:c° si n 0 = 01 sin 3 0=—"0 J2c 。
丿3sin9 00 =12sin 45 = -----sin6 0 = -----2 2.0cos 0 = 1\'3c0cos9 0 =0cos30 = -------22n 01 cos60=一cos 45 = ------2、、tan 0 = 02tan9 0无意义1 °=二~ 0.01745( rad )1803、弧长及扇形面积公式弧长公式：I = a .r扇形面积公式:S=1l.r2、丄—是圆心角且为弧度制。
r ------- 是扇形半径 4、任意角的三角函数设〉是一个任意角，它的终边上一点 p (x,y ), r= . x 2 y 26.诱导公式:k 兀把y _ :•的三角函数化为：•的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限 1 sin 2k 二：=si n ： ， cos 2k 二：-cos ： ， tan 2k 二 ：-ta n ：“k 二 i 2 sin 二：--sin ： ， cos 二 ：--cos ： ， tan 二：=tan ： 3 sin - -sin ： ， cos -： 二cos ： ， tan - -tan ： 4 sin 二-sin ：，cos 二-：--cos ： ， tan ~ - :- - -tan ：(1) 正弦 sin :-=-r(2) 各象限的符号:余弦 cos =- r正切 tan =—xs in :- 5.同角三tan(2)商数关系:■ 2 2sin 、工 + cos 〔 =1sin 二./=ta n ot ( a cos .：: JI丰2(n )5 sincos ：，12cos —： E.2% )(6 )sin . —J=cos a ，12丿(n 、cos I —= -sin a .12丿7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质y=s inx y=cosxy=ta nx定义域：R RI< | x € R, x 式k n + —> 2：值域:[-1,1] [-1,1] R周期：2 n 2 n n奇偶性：奇函数单调区间：偶函数奇函数增区间；［兀+2k兀+2k J；Ln +2kjr,2k兀].1-' +k ji," +k jr ]1 2 2 1 2 2」减区间尹号诃2k 贰，兀+2k n 1 无减区间对称轴：x = k兀+2x = k兀无对称轴对称中心:伽,0)仕\+ g0 I<2 '丿,0(以上k均为整数)l2 '丿考点一：求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质(包括奇偶性、单调性、周期性)这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多，主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础知识。
三角函数知识点和题型归纳
.WORD 完美格式.三角函数高考题型分类总结一．求值1. 若4sin , tan 05，则c os .2. 是第三象限角，1 5sin( ) ，则cos = cos( ) =2 23. 若角的终边经过点P(1，2) ，则cos = tan2 =4. 下列各式中，值为32的是( )2 2（A）2sin15 cos15 （B）cos 15 sin 152 2 2 （C）2 sin 15 1（D）sin 15 cos 155. 若0 2 ,sin 3 cos ，则的取值范围是：( )（Ａ）,3 2 （Ｂ）,3（Ｃ）4,3 3（Ｄ）3,3 2二. 最值1. 函数 f ( x) sin xcos x 最小值是。
2. 若函数 f (x) (1 3 tan x) cos x ， 0 x，则 f (x)的最大值为23. 函数 f ( x) cos 2x 2sin x 的最小值为最大值为。
4．已知函数 f (x) 2sin x( 0) 在区间,3 4上的最小值是2，则的最小值等于5. 设0x ，，则函数2 y22sin x 1sin 2x的最小值为．6．将函数y sin x 3cos x 的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是A ．7π6B ．π3C ．π6D．π27. 若动直线x a与函数 f (x) sin x 和g(x) cos x的图像分别交于M，N 两点，则MN 的最大值为（）A ．1 B． 2 C． 3 D ．28. 函数 2f ( x) sin x 3 sin x c os x在区间,4 2上的最大值是( )A.1B. 1 32C.32D.1+ 3. 技术资料. 专业整理..WORD 完美格式.三. 单调性6.函数y 2 sin( 2x) (x [0, ]) 为增函数的区间是（）.67 5 5A. [0, ]B. [ , ]C. [ , ]D. [ , ]3 12 12 3 6 67.函数y sin x 的一个单调增区间是（）A ．，B．3，C．，D．3，28.函数 f ( x) sin x 3 cos x(x [ ,0]) 的单调递增区间是（）A．5[ , ]6B ．5[ , ]6 6C ．[ ,0]3D ．[ ,0]64．设函数f (x) sin x (x R) ，则f (x) （）3A．在区间27，上是增函数B．在区间3 6，上是减函数2C．在区间，上是增函数D．在区间3 45，上是减函数3 64.函数 2y 2cos x 的一个单调增区间是( )A．( , )4 4 B ．(0, )2C ．3( , )4 4D ．( , )26．若函数 f (x) 同时具有以下两个性质：① f (x) 是偶函数，②对任意实数x，都有 f ( x4 )= f ( x4) ，则f (x) 的解析式可以是（）A．f (x)=cosx B．f (x)=cos(2x ) C．f (x)=sin(4x ) D．f (x) =cos6x2 2四. 周期性1．下列函数中，周期为的是（）2x xA．siny B ．y sin 2x C ．y cos D ．y cos 4x2 46.cosf x x 的最小正周期为6 5，其中0，则=x7.函数y | sin |的最小正周期是（）.28.（1）函数 f (x) sin x cos x 的最小正周期是.（2）函数y 2 cos2 x 1 (x R) 的最小正周期为（）.9.（1）函数 f (x) sin2 x cos2 x 的最小正周期是. 技术资料. 专业整理..WORD 完美格式.(2) 函数 f (x) (1 3 tan x)cos x 的最小正周期为(3). 函数 f ( x) (sin x cos x)sin x 的最小正周期是．(4) 函数 f (x) cos 2x 2 3 sin x cos x的最小正周期是.y 2 cos ( 是( )2 x9.函数) 14A ．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数2 210.函数2y (sin x cos x) 1的最小正周期是.8．函数1 x2f ( x) cos wx (w 0) 的周期与函数g(x) tan 的周期相等，则w 等于（）3 21 1(A)2 (B)1 (C) ( D)2 4五. 对称性5.函数y sin(2x )图像的对称轴方程可能是（）3A．x B．6 x C．12x D．6x122．下列函数中，图象关于直线x对称的是（）3xA )y sin(2 x B y sin( 2x) C y sin( 2x) D y sin( )3 6 6 2 63．函数πy sin 2x的图象（）3Ａ．关于点π，0 对称Ｂ．关于直线3πx 对称4Ｃ．关于点π，对称Ｄ．关于直线4πx 对称310.如果函数y 3cos(2 x ) 的图像关于点4( ,0)3中心对称，那么的最小值为（）(A) (B) (C) (D)6 4 3 25．已知函数y=2sinwx 的图象与直线y+2=0 的相邻两个公共点之间的距离为23，则w的值为（）A．3 B．32C．23D．13. 技术资料. 专业整理..WORD 完美格式.六. 图象平移与变换11.函数y=cos x(x ∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x) 的图象，则g(x) 的解析式为212.把函数y sin x（x R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到31原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是213.将函数y sin 2x 的图象向左平移个单位, 再向上平移 1 个单位, 所得图象的函数解析式是414.（1）要得到函数y sin x 的图象，只需将函数y cos x 的图象向平移个单位15.已知函数 f )( , 0) 的最小正周期为，将y f (x)的图像向左平移| |个单位长度，(x) sin( w x x R w4所得图像关于y轴对称，则的一个值是（）A B2 38C4D816.将函数y = 3 cos x－sin x 的图象向左平移m（m> 0 ）个单位，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小正值是（）A. B. C.6 3 23D.5617.函数f ( x)=cos x( x)( x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y=- f ′( x)的图象，则m的值可以为( )A. B. C.－ D. －2 28．将函数y=f （x）sinx 的图象向右平移个单位，再作关于x轴的对称曲线，得到函数y=1－2sin42x 的图象，则f （x）是（）A．cosx B ．2cosx C ．Sinx D ．2sinx9．若函数y 2 s in x 的图象按向量, 2)( 平移后，它的一条对称轴是6 x ，则的一个可能的值是45A ．B ．C ．D ．12 3 6 12 七．图象1．函数ππy sin 2x在区间3 2，的简图是（）πy y112 3xOO62 36 11Ａ．Ｂ．xy y11O2 6 31 . 技术资料. 专业整理.x26O13xＣ．.WORD 完美格式.x 32 在同一平面直角坐标系中，函数cos( )( x [0，2 ])y 的图象和直线2 21y 的交点个数是2（A）0 （B）1 （C）2 （D）418.已知函数y=2sin( ωx+φ)( ω>0) 在区间[0 ，2π] 的图像如下：那么ω=A. 1B. 2C. 1/2D. 1/34．下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（）（A）y sin x （B）sin 2y x66（C）y cos 4x （D）cos 2y x36ππ6．为了得到函数y＝sin 2x－3 的图象，只需把函数y＝sin 2x＋6 的图象( )A．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位C．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位7．已知函数y＝sin x－π12cos x－π12，则下列判断正确的是( )A．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π，0 12B．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是π，0 12C．此函数的最小正周期为2π，其图象的一个对称中心是π6，0D．此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是π6，0八.. 综合6.定义在R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数，若 f ( x) 的最小正周期是，且当x [0, ] 时，2 5f (x) sin x，则 f ( ) 的值为32．函数f(x) sin2 sin2f（x）（x ）（x ）是（）4 4A．周期为的偶函数B．周期为的奇函数C．周期为 2 的偶函数D．. 周期为 2 的奇函数3．已知函数 f ) sin( )( ) ，下面结论错．误．的是( )(x x x R2A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2B. 函数 f (x) 在区间［0，］上是增函数2 C. 函数 f ( x) 的图象关于直线x ＝0 对称 D. 函数 f (x) 是奇函数. 技术资料. 专业整理..WORD 完美格式.4．函数)f (x) 3sin( 2x 的图象为C, 如下结论中正确的是3①图象C关于直线11 2x 对称; ②图象C关于点( ,0) 对称;12 3③函数5f ( x)在区间( , ) 内是增函数;12 12④由y 3 sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象 C. 319.已知函数 2f (x) (1 cos 2x)sin x, x R ，则 f (x) 是（）A、最小正周期为的奇函数 B 、最小正周期为的奇函数2C、最小正周期为的偶函数 D 、最小正周期为的偶函数2x 320.在同一平面直角坐标系中，函数cos( )( x [0，2 ])y 的图象和直线2 2（A）0 （B）1 （C）2 （D）41y 的交点个数是 C 27．已知函数 f (x) 2sin( x ) 对任意x 都有( ) ( )f x f x ，则 f ( ) 等于（）6 6 6 A、2 或0 B 、2或2 C 、0 D 、2或0九. 解答题7.已知函数 2 2f (x) sin x 3 sin x cos x 2cos x, x R.（I ）求函数 f ( x) 的最小正周期和单调增区间；（II ）函数 f (x)的图象可以由函数y sin 2x(x R) 的图象经过怎样的变换得到？8.已知函数 2 πf x x x x （0 ）的最小正周期为π．( ) sin 3 sin sin2（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间2π0，上的取值范围．39.已知函数( ) cos(2 ) 2sin( )sin( )f x x x x3 4 4（Ⅰ）求函数 f (x) 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[ , ]12 2上的值域10.已知函数 f (x) Asin( x ), x R （其中0, 0,011. A ）的周期为，且图象上一个最低点为2 2M ( , 2) .3. 技术资料. 专业整理..WORD 完美格式.( Ⅰ) 求f ( x) 的解析式；（Ⅱ）当[0, ]x ，求 f (x) 的最值.12. 技术资料. 专业整理.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数专题（知识归纳/记忆技巧/典型真题剖析）一、三角函数的概念任意角的三角函数的定义：设G 是任意一个角，P （兀刃是Q 的终边上的任意一点（异于原 点），它与原点的距离是>0 ,厂esc a = —（y H O ）yo 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。
如已知角。
的终边经过点P （5, -12）,贝Ijsina + cosa 的值_2_为—。
（答：13）； 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式1、同角三角函数的基本关系式（1）倒数关系：（2）商的关系（3）平方关系：sm 2a + cos 2a = l 2、诱导公式三、两角和与差的三角函数1、 两角和与差的三角函数公式:2、 二倍角公式©2—叽血仏2曲-1亠2sin 仏器务tan2四、三角函数的图象及性质TT（2）注意求单调区间时的整体意识。
如：求y = sin 2x — 的单调增区间，在［0,2刃上的 I 6丿2「的单调递减区间。
（3）求对称轴、对称中心时,注意整体意识，同时y = siny = cosx 在对称轴处取最值。
五、图象变换：（1）注意会解三角函数在区间上的值域如：求sin单调增区间。
/而 y = sin ------ 2x(6求单调增区间时,先化成y = -sm （2x~-\ 6丿的形式，再求 xrr （円）,sin 20 = 2sin0cos& = 2tan0l + tai? &1.函数y = Asin （or+0）（A > Og > 0）的图象可由y = sin x 的图象做如下变换得到 （1）、先平移后伸缩向左@>0）或向右（炉<0）尸S 方的图象平移岡个单位长度得=sin （x +（P ）的图象横坐标伸长（0<“〈1）或缩短（Q1） 到原來的丄（纵坐标不变）3纵坐标伸长04>1）或缩短（O 〈A<1）得y = sin （69x +（P ）的图象为原來的人倍（横坐标不变） “得y =Asin （6?x + 0）的图象向上伙 >（））或向下伙<0）平移网个单位长度 得〉'=人sin （兀+ 0）+ &白勺图象.（2）、先伸缩后平移纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<l ）y = sin 兀0勺图象 为原来的A 倍（橫坐标不变） 得）'=人$i 口兀白勺图象得）'，=山皿血）的图象 向上伙>0）或向下伙<0）得y = Asinx （cox +（p ）的图象半移呦个单位长度 “得y = Asin （亦+ ©） +R 的图象.2.注意：（1）要会画>'=As\x （a ）^（p ）在一个周期的图象：（即五点作图法：设2亦+防0,一更，龙求相应的兀值和对应的y 值,描点作图）如y = 2sin 2x + -，在［0,刃 22I6 丿 上的图象的画法。
（2） 注意图彖变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。
②要先使函数名称相同再变换。
如：为得到函数〉+（2“彳）的图象，只需将函数J = sin2x 的图象向 ________ 平移_个单 位。
（3） 丁 =込，f =〒（频率）。
注意y = Asin （mr+0）、y = Ac （）s （亦+©）相邻两对称轴间的距离 岡 T为 I = Ao2 H（4） 已知图象求解析式时注意： 看振幅求A,看周期求⑵，看特殊点求° （通常是最大值或最小值时的位置）（5）已知变换求解析式时，注意只能对自变量力进行变换。
六. 方法技巧归纳：1. 八大基本关系依据它们的结构分为倒数关系、商数关系、平方关系，用三角函数的定义反复 证明强化记忆，这是最有效的记忆方法。
诱导公式用角度制和弧度制表示都成立，记忆方法可 概括为“奇变偶不变，符号看象限”，变与不变是相对于奇偶关系的函数而言的。
向左（0>0）平向右（X ））》 平移£个单位 （O横坐标伸长（0<od ）或缩短（0>1）〉至I 」原来的丄（纵坐标不变）2.三角函数值的符号在求角的三角函数值和三角恒等变换屮,显得十分重要3.在利用同角三角函数的基本关系式化简、求值和证明恒等关系时•要注意用是否“同角”来区分和选用公式•注意切化弦、“1”的妙用、方程思想等数学思想方法的运用，在利用诱导公式进行三角式的化简、求值时，要注意正负号的选収c4.求三角函数值域的常用方法：求三角函数值域除了判别式、重要不等式、单调性等方法Z外，结合三角函数的特点,还有如下方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数,通过配方法求值域；(2)利用sin兀,cosx的有界性求值域;(3)换元法，利用换元法求三角函数的值域,要注意前后的等价性，不能只注意换元，不注意等价性。
七.同角三角函数的基本关系式：同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。
在运用平方关系解题时，要根据己知角的范围和三角函数的取值，尽对能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。
如.n m_3 八 4-2m z^ n、 5sin 0 = ------- cos 0 = ------------ (—<0 < 7T) -----(1)已知加+ 5, 加+ 5 2 ，贝ij tan =_ (答：12)；tan a sin^z -3cos a 5----------- =_ ] ------------------ ------- 9 1 Q(2)L L知tan <7 -1 ，贝g sina + coscr = 3 ; sirr a + sinacosa + 2 = li(4)/(cosx) = cos3兀,则/(sin30°)的值为_i八.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：.二角二名三结构。
即首先观察角与角之I'可的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有：1.巧变角(己知角与特殊角的变换、己知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如a =(Q + 0)_ 0 =(Q _ 0)+ 0 , 2Q = (a + /?) + (a _ 0),2Q = (0 十a) —(/? 一a)十-分侈“)等),(3)已知sin20(y =6Z,则tan} 60等于Btan(a + 0) = —(1)己知5, tan(cr+ —)4的值是________3_(答:22)；490值（答：729）；(3) 已知⑦“为锐角,sina =兀,cos0 = y, cos(a + 0) = -二 3「、 - 4 3 y = --yji-x +-x(7<x<l)______ (答： 5 5 5 )2•三角函数名互化(切割化眩)，如 (1)求值sin5° d+^tanlO)(答：J ；sin a cos a _21⑵己知—COS 2Q‘加"3 ,求tan(0 — 2a)的值(答：8)3•公式变形使用(tana 土tan0=tan(a±0)(l tantan/?)如(1)已知 A 、B 为锐角，且满足tanAtanB = tan4 + tanB + l,则cos(A + B)= ______________V2 （答：2）.（2）设 ZBC 中，tan A + tan 8 + =巧 tan Atari B—三角形（答：等边）4 •三角函数次数的降升（7）正余弦“三兄妹一血兀土cos 兀、sin 兀COSH ”的内存联系——“知一求二”，如2 + 2血匕=心心）（3）已知 1 + tana4 2，试用R 表示SIIS —COSG 的值（答:JI0< /? < — <a <71 cos( a 一(2)己知2 ，且 ［咖牛0罔，求回Q + 0的则y 与％的函数关系为sinAcosA =,则此三角形是(1)若 sinx±cosx = r t 贝ijsinxcos = t G[―5/2,5/25 .9土上（答：2） 特别提醒：这里a G (0,sin a + cos a(2)若4 + "求tag 的值。
（答：3）. J1 — R )7171(p=71 ~6Ad卩=6 B. CD = \(p =_ 6 C. ^=2/(為S • 711 -^14(@ 27.函数的 最 8 •已知。
是第二象限的角,tan(^ + 2«) = -—则 tan a = 2典型真题1 •.若IB C 的三个内角满足sinA:sinB:sinC = 5:ll:13,则B （A ） 一定是锐角三角形. （C ） 一定是钝角三角形.（B ） 一定是直角三角形.（D ）可能是锐角三角形，也可能是钝角三角2.设函数/U ） = 4sin （2x + l ）-x,则在下列区间中函数/（兀）不存在零点的是A(A) HT(B) [-2,0] (c) [0,2] ⑴)[2,4]y = sin （2x -- ）y = sin （2x + —）3•为了得到函数’3的图像，只需把函数•6的图像B71 71 71（A ）向左平移°个长度单位（B ）向右平移°个长度单位（C ）向左平移2个长度单位71（D ）向右平移亍个长度单位y = sin （69x + —） + 2 — 4.设⑵>°,函数 3 的图像向右平移3个单位后与原图像重合，则血的最小值是C714兀5.设">0,函数y=sin （Qx+§）+2的图像向右平移3个单位后与原图像重合，则血的最小 值是C2 43（A ） 3 （B ）3 （C ）2 （D ）32 4 (A)3 (B)32(C)2 (D )图所示， D. e 二2小正y = sin （cox+（p ）（co> 0,6•已知函数' ）'2的部分图象如题（6）3 sin tz = — . c9.已知a 为第二象限的角，5，则tan 2a =—+ —= 6cosC10.在锐角三角形ABC, A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, a h ，则巾A tn B= ___[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。
一题多解。
(方法一)考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。