浙教版数学八年级下册4.6 反证法.docx

4．6反证法
1．用反证法证明“a<b”时，第一步应假设(C)
A．a>b B．a≤b
C．a≥b D．a≠b
2．用反证法证明“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”时，第一步应假设(D) A．两条直线相交
B．两条直线不垂直
C．在同一平面内，两条直线不同时垂直于同一条直线
D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相交
3．用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设(D)
A. 有一个锐角小于45°
B. 每一个锐角都小于45°
C. 有一个锐角大于45°
D. 每一个锐角都大于45°
4．用反证法证明“若实数a，b满足ab＝0，则a，b中至少有一个是0”时，应先假设(C) A．a，b中至多有一个是0
B．a，b中至少有两个是0
C．a，b中没有一个是0
D．a，b都等于0
(第5题)
5．如图，直线AB，CD相交．
求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD交于两点O与O′，那么过O，O′两点就有__两__条直线．这与“两点确定一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．
6．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b”时，应先假设a＝b．
7．完成下面的证明，用反证法证明“两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”．
已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2.
求证：直线a不平行于直线b.
证明：假设a∥b，那么∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
这与已知的∠1≠∠2矛盾，
∴假设a∥b不成立，
∴直线a与直线b不平行．
(第7题) (第8题)
8．用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补(填空)．
已知：如图，l1∥l2，l1，l2都被l3所截．
求证：∠1＋∠2＝180°.
证明：假设∠1＋∠2__≠__180°.
∵l1∥l2(已知)，
∴∠1__＝__∠3(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1＋∠2__≠__180°，
∴∠3＋∠2≠180°，这和平角的定义矛盾，
∴假设∠1＋∠2__≠__180°不成立，
∴∠1＋∠2＝180°.
9．求证：两个三角形有两条边对应相等，如果所夹的角不相等，那么夹角所对的边也不相等．【解】已知：如解图，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B≠∠B′.
(第9题解) 求证：AC≠A′C′.
证明：假设AC＝A′C′.
∵AB＝A′B′，BC＝B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
∴∠B＝∠B′，这与已知矛盾，
∴假设不成立，
∴AC≠A′C′.
(第10题)
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点H.求证：AD与BE 不能被点H互相平分．
【解】假设AD，BE被点H互相平分，连结DE，
则四边形ABDE是平行四边形．
∴AE∥BD，即AC∥BC.
这与“AC，BC相交于点C”矛盾，
∴假设AD，BE被点H互相平分不成立．
∴AD与BE不能被点H互相平分．
11．已知a，b，c，d四个数满足a＋b＝1，c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：这四个数中至少有一个是负数．【解】假设这四个数都大于零或等于零．
∵a＋b＝1，c＋d＝1，
∴(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc＝1.
∵a，b，c，d都大于零或等于零，
∴ad＋bc≥0，∴ac＋bd≤1，
这与“ac＋bd＞1”矛盾，∴假设不成立．
∴a，b，c，d这四个数中至少有一个是负数．
12．求证：形如4x＋3的整数k(x为整数)不能化为两个整数的平方和．
【解】假设k＝a2＋b2.
当a，b都是偶数时，即a＝2m，b＝2n，m，n为整数时，
可得k＝a2＋b2＝4m2＋4n2＝4(m2＋n2)＝4p(其中p为整数)；
当a，b都是奇数时，即a＝2m＋1，b＝2n＋1，m，n为整数时，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2＋n)＋2＝4p＋2(其中p为整数)；
当a与b为一奇一偶时，不妨设a＝2m＋1，b＝2n，m，n为整数，可得k＝a2＋b2＝4(m2＋m＋n2)＋1
＝4p ＋1(其中p 为整数)．
∴k 被4除的余数是0，1或2，这与“k ＝4x ＋3(x 为整数)”矛盾，所以假设不成立，即形如4x ＋3的整数k (x 为整数)不能化为两个整数的平方和．
13．设a ，b ，c 是不全相等的任意整数，若x ＝a 2－bc ，y ＝b 2－ac ，z ＝c 2－ab .求证：x ，y ，z 中至少有一个大于零．
【解】 假设x ≤0，y ≤0，z ≤0，
则x ＋y ＋z ≤0.
∵x ＋y ＋z ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc
＝12
[]（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）2， 又∵a ，b ，c 是不全相等的任意整数，
∴x ＋y ＋z ＝12
[]（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）2＞0， 这与“x ＋y ＋z ≤0”矛盾．∴假设不成立．
∴x ，y ，z 中至少有一个大于零．
14．用反证法证明：若整数系数方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)存在有理数根，则a ，b ，c 中至少有一个是偶数．
【解】 假设a ，b ，c 都为奇数.
∵方程存在有理数根， ∴－b ±b 2－4ac 2a
为有理数， ∴b 2－4ac 为有理数．
∵a ，b ，c 均为整数，∴b 2－4ac 必为整数，且是完全平方数，
∴可设b 2－4ac ＝d 2，d 为整数，
则(b ＋d )(b －d )＝4ac .
∵b为奇数，(b＋d)与(b－d)的奇偶性相同，且4ac为偶数，∴d只能是奇数，故可设b＝2p＋1，d＝2q＋1，p，q为整数，
则b2－d2＝(b＋d)(b－d)＝(2p＋2q＋2)(2p－2q)＝4ac，
(p＋q＋1)(p－q)＝(p＋q＋1)(p＋q－2q)＝ac①.
若p＋q为奇数，则p＋q＋1为偶数，①式左边为偶数；
若p＋q为偶数，则p＋q－2q为偶数，①式左边为偶数；
而①式右边ac为奇数，显然等式不成立.
∴假设不成立，即a，b，c中至少有一个数是偶数．
初中数学试卷
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