(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合7排列组合问题的常用方法总结1,推荐文档

m m m n ! n m

知识内容

1. 基本计数原理

⑴加法原理

分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1 种不同的方法，在第二类办法中

有 m 2 种方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称加法原理．

⑵乘法原理

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成 n 个子步骤，做第一个步骤有 m 1 种不同的方法，做第二个

步骤有 m 2 种不同方法，……，做第 n 个步骤有 m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 种不同的方法．又称乘法原理．

⑶加法原理与乘法原理的综合运用

如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．

分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 2. ⑴排列：一般地，从 n 个不同的元素中任取 m (m ≤ n ) 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 个元素的一个排列．（其中被取的象叫做元素）

排列数：从 n 个不同的元素中取出个元素的排列数，用符号 个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 排列数公式： ， m ， n ∈ N +

，并且 m ≤ n ．

全排列：一般地， n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 ⑵组合：一般地，从 n 个不同元素中，任意取出个元素的一个组合．

表示．规定： 0! = 1 ．

个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取个

组合数：从 n 个不同元素中，任意取出任意取出 m 个元素的组合数，用符号 表示．

元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中， 组合数公式： ， m , n ∈ N + ，并且 m ≤ n ．

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排列组合问题的常用方法总

结 1

m (m ≤ n ) m !

C m n = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) =

n C m

n ! m !(n - m )! (m ≤n ) m (m ≤

n ) N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m n N = m 1 + m 2 + + m n A m n 表示． A m

= n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) n

m (m ≤

n ) n -1

组合数的两个性质：性质 1： C m = C n -m ；性质 2： C m = C m + C m -1 ．（规定 C 0 = 1 ）

n

n

⑶排列组合综合问题

n +1

n

n

n

解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：

1. 特殊元素、特殊位置优先法

元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；

2. 分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，

层次清楚，不重不漏．

3. 排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．

4. 捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列， 然后再给那“一捆元素”内部排列．

5. 插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．

6. 插板法： n 个相同元素，分成 组，每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排， 从 n - 1 个空中选 m - 1 个空，各插一个隔板，有 C m -1 ．

7. 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成

n 堆（组），必须除以 n ！，如果有 m 堆（组）元素个数相等，必须除以 m ！

8. 错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当 n = 2 ，3，4，5 时的错位数各为1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列

的问题．

1. 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：

①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合

数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理

还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．

2. 具体的解题策略有：

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； ⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．

典例分析

直接法

（优先考虑特殊元素特殊位置，特殊元素法，特殊位置法，直接分类讨论）