2017届高考数学(理)一轮复习学案 62离散型随机变量的数学期望与方差

离散型随机变量的数学期望与方差考纲要求1.理解随机变量的均值、方差的意义、作用，能解决一些简单的实际问题．2.理解二项分布、超几何分步的数学期望与方差. 基础知识梳理1．离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n . (1)数学期望：称E (X )＝为离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的． (2)方差：称D (X )＝叫做这个离散型随机变量X 的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的(或说离散程度)，D (X )的算术平方根D (X )叫做离散型随机变量X 的标准差． 2．二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差预习自测1．若随机变量ξ的分布列如下表，则E (ξ)的值为________.2得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的，记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E (ξ)＝8.9( )A ．0.4B ．0.6C ．0.7D ．0.94．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )( )A.73B ．4C ．－1D ．15．设随机变量X ～B (n ，p )，且E (X )＝1.6，D (X )＝1.28，则( )A ．n ＝8，p ＝0.2B ．n ＝4，p ＝0.4C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45课堂探究案典型例题考点1 离散型随机变量的均值、方差【典例1】根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率．【变式1】某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题： (1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率； (2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．考点2 二项分布的均值、方差【典例2】某人投弹命中目标的概率p ＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X 的均值和方差； (2)求重复10次投弹时命中次数Y 的均值和方差．【变式2】为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D (ξ)为62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．考点3 均值与方差的应用【典例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润． (1)求X 1，X 2的概率分布列和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围．【变式3】 A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 12A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．当堂检测1．已知某一随机变量X 的概率分布列如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为( )C ．7D ．82．已知X 的分布列为 且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目X 的期望值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.44．体育课的排球发球项目考试的规则是每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，712B.⎝⎛⎭⎫712，1C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫12，15．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.7．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________.课后拓展案 A 组全员必做题1．若X 是离散型随机变量，P (X ＝x 1)＝23，P (X ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (X )＝43，D (X )＝29，则x 1＋x 2的值为 ( )A.53B.73C ．3D.1132．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望E (ξ)为( ) A.89B.35C.25D.133．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b 的最小值为( )A.323B.283C.143D.1634．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________.5．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________．6．为了某项大型活动能够安全进行，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A 、B 、C 、D )拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响．(1)求A 能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选1人，则相应的训练基地得到3 000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．B 组提高选做题1．设l 为平面上过点(0,1)的直线，l 的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝________. 2．某市公租房的房源位于A 、B 、C 三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： (1)恰有2人申请A 片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．3.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．参考答案预习自测 1．【答案】209【解析】根据概率之和为1，求出x ＝118，则E (ξ)＝0×2x ＋1×3x ＋…＋5x ＝40x ＝209.2．【答案】53【解析】由题意知P (X ＝0)＝13(1－p )2＝112，∴p ＝12.随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.3．【答案】 A【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝17x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.4．【答案】 A【解析】 E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.∴E (Y )＝2E (X )＋3＝2×⎝⎛⎭⎫－13＋3＝73. 5．【答案】 A【解析】 ∵X ～B (n ，p )，∴E (X )＝np ＝1.6，D (X )＝np (1－p )＝1.28，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝8，p ＝0.2.典型例题【典例1】【解析】 (1)由已知条件和概率的加法公式有P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4，P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2， P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为于是，E (Y )＝0×0.3＋2D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7， 又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6. 由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P (300≤X <900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67. 故在降水量X 至少是300 mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.【变式1】【解析】 (1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p 1＝A 3443＝38；(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P (ξ＝0)＝3343＝2764，P (ξ＝1)＝C 133243＝2764，P (ξ＝2)＝C 23343＝964，P (ξ＝3)＝C 3343＝164.所以ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.【典例2】【解析】(1)随机变量X 的分布列为因为X 服从二点分布，故E (X )p )＝0.8×0.2＝0.16. (2)由题意知，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (10，0.8)，∴E (Y )＝np ＝10×0.8＝8，D (Y )＝np (1－p )＝10×0.8×0.2＝1.6. 探究提高 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．【变式2】【解析】(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p＝12. ξ的分布列为(2)记“P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132【典例3】【解析】 (1)X 1的概率分布列为E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×13＝1.18.由题设得X ～B (2，p )，即X 的概率分布列为故X 2所以E (X 2)＝1.32p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2 ＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3.因为0<p <1，所以当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是0<p <0.3. 【变式3】【解析】 (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列为E (Y 1)＝5×0.8＋10×0.2＝6D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4， E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝⎛⎭⎫x 100Y 1＋D ⎝⎛⎭⎫100－x 100Y 2＝⎝⎛⎭⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 当且仅当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值．当堂检测1．【答案】C【解析】由分布列性质知：0.5＋0.1＋b ＝1，∴b ＝0.4. ∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a ＝7. 2．【答案】B【解析】先求出E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y ＝aX ＋3得E (Y )＝aE (X )＋3.∴73＝a ×⎝⎛⎭⎫－13＋3.解得a ＝2. 3．【答案】C【解析】X 的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为∴E (X )＝3×0.6＋24．【答案】C【解析】由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，则E (X )＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>1.75，解得p >52或p <12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 5．【答案】 0.7【解析】 E (X )＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. 6．【答案】916【解析】由题意知取到次品的概率为14，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫3，14，∴D (X )＝3×14×⎝⎛⎭⎫1－14＝916. 7．【答案】2【解析】设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.A 组全员必做题 1．【答案】C【解析】分析已知条件，利用离散型随机变量的均值和方差的计算公式得：⎩⎨⎧x 1·23＋x 2·13＝43，⎝⎛⎭⎫x 1－432·23＋⎝⎛⎭⎫x 2－432·13＝29，解得⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1，x 2＝2，又∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2， ∴x 1＋x 2＝3.故选C. 2．【答案】A【解析】∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，∴－b 2a <0，即ba>0，也就是a ，b 必须同号， ∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×13＋1×49＋2×29＝89.3．【答案】D【解析】由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋22b a ·a 2b ＝163， 当且仅当2b a ＝a2b ，即a ＝2b 时取“等号”，又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163，故选D.4．【答案】125【解析】因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，ξ为取得红球(成功)的次数，则ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，35，从而有E (ξ)＝np ＝4×35＝125. 5．【答案】5.25【解析】由题意可知，X 可以取3,4,5,6，P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25.6．解 (1)设A 通过体能、射击、反应分别记为事件M 、N 、P ，则A 能够入选包含以下几个互斥事件：MN P ，M N P ，M NP ，MNP .∴P (A )＝P (MN P )＋P (M N P )＋P (M NP )＋P (MNP )＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＋23×23×12＝1218＝23. 答 A 能够入选的概率为23.(2)P (没有入选任何人)＝⎝⎛⎭⎫1－234＝181，P (入选了一人)＝C 14⎝⎛⎭⎫23⎝⎛⎭⎫133＝881， P (入选了两人)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫132＝2481，P (入选了三人)＝C 34⎝⎛⎭⎫233⎝⎛⎭⎫13＝3281， P (入选了四人)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681，记ξ表示该训练基地得到的训练经费，该基地得到训练经费的分布列为E (ξ)＝3 000×881＋6 000×2481＋9 000×3281＋12 000×1681＝8 000(元)所以，该基地得到训练经费的数学期望为8 000元．B 组提高选做题1．【答案】47【解析】当l 的斜率k 为±22时，直线l 的方程为±22x －y ＋1＝0，此时坐标原点到l 的距离d ＝13；当k 为±3时，d ＝12；当k 为±52时， d ＝23；当k 为0时，d ＝1，由古典概型的概率公式可得分布列如下：所以E (ξ)＝13×27＋12×27＋23×27＋1×17＝47.2．解 (1)方法一 所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A 片区房源的申请方式有C 24·22种，从而恰有2人申请A 片区房源的概率为C 24·2234＝827.方法二 设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验． 记“申请A 片区房源”为事件A ，则P (A )＝13.04C从而，由独立重复试验中事件A 恰发生k 次的概率计算公式知，恰有2人申请A 片区房源的概率为 P 4(2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P (ξ＝1)＝334＝127，P (ξ＝2)＝C 23(C 12C 34＋C 24C 22)34＝1427⎝⎛⎭⎫或P (ξ＝2)＝C 23(24－2)34＝1427， P (ξ＝3)＝C 13C 24C 1234＝49⎝⎛⎭⎫或P (ξ＝3)＝C 24A 3334＝49. 综上知，ξ的分布列为从而有E (ξ)＝1×127＋2×1427＋3×49＝6527.3解 (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80.当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80.所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n <16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)①X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60X 的方差为D (X )＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44. ②法一 花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 的数学期望为E (Y )＝76.4.Y 的方差为D (Y )＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D (X )<D (Y )，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小． 另外，虽然E (X )<E (Y )，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花． 法二 花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝76.4.由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y)，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．。