第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题

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高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)

高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》(含答案)一、选择题1.下列说法正确的个数是()①若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交;②若a∥b,则a,b与c所成的角相等;③若a⊥b,b⊥c,则a∥c.A.3B.2C.1 D.0【解析】①中a与c也可能异面,③中a与c也可能相交或异面,②正确.【答案】C2.a、b为异面直线是指①a∩b=∅,且a不平行于b;②a⊂平面α,b⊄平面α,且a∩b =∅;③a⊂平面α,b⊂平面β,且α∩β=∅;④不存在平面α能使a ⊂α,且b⊂α成立.()A.①②③B.①③④C.②③ D.①④【解析】②③中的a,b有可能平行,①④符合异面直线的定义.【答案】D3.下列选项中,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A,B中PQ∥RS,选项D中RS与PQ相交,只有选项C中RS与PQ是异面直线.【答案】C4.如图2119所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F、G、H 分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()图2119A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】连接A1B,BC1,因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点.A1B∥EF,BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角,连接A1C1知,△A1BC1为正三角形,故∠A1BC1=60°.【答案】B5.如图2120,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()图2120A.CC1与B1E是异面直线B.C1C与AE共面C.AE与B1C1是异面直线D.AE与B1C1所成的角为60°【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E 是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误.【答案】C二、填空题6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).图229【解析】①设MP中点为O,连接NO.易得AB∥NO,又AB⊄平面MNP,所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O,易知NO∥AB,NO⊄平面MNP,所以AB与平面MNP不平行.③易知AB∥MP,所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB,且MC⊄平面MNP,所以AB与平面MNP不平行.【答案】①③7.在如图2210所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?______(填“是”或“否”).图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1,同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8.如图2224,在三棱柱ABCA1B1C1中,M是A1C1的中点,平面AB1M∥平面BC1N,AC∩平面BC1N=N.求证:N为AC的中点.图2224【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N,平面ACC1A1∩平面AB1M=AM,平面BC1N∩平面ACC1A1=C1N,所以C1N∥AM,又AC∥A1C1,所以四边形ANC1M为平行四边形,所以AN=C1M=21A1C1=21AC,所以N为AC的中点.9.如图2225,平面EFGH分别平行于CD,AB,E,F,G,H 分别在BD,BC,AC,AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.(1)求证:EFGH是矩形.(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.图2225【解】(1)证明:因为CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,所以CD∥EF.同理HG∥CD,所以EF∥HG.同理HE∥GF,所以四边形EFGH是平行四边形.由CD∥EF,HE∥AB,所以∠HEF为CD和AB所成的角.又因为CD⊥AB,所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形.(2)由(1)可知在△BCD中,EF∥CD,DE=m,EB=n,所以CD EF =DB BE .又CD =a ,所以EF =m +n n a . 由HE ∥AB ,所以AB HE =DB DE .又因为AB =b ,所以HE =m +n mb .又因为四边形EFGH 为矩形,所以S 矩形EFGH =HE ·EF =m +n m b ·m +n n a =(m +n2mn ab .10.对于直线m 、n 和平面α,下列命题中正确的是( )A .如果m ⊂α,n ⊄α,m 、n 是异面直线,那么n ∥αB .如果m ⊂α,n ⊄α,m 、n 是异面直线,那么n 与α相交C .如果m ⊂α,n ∥α,m 、n 共面,那么m ∥nD .如果m ∥α,n ∥α,m 、n 共面,那么m ∥n【解析】 对于A ,如图(1)所示,此时n 与α相交,故A 不正确;对于B ,如图(2)所示,此时m ,n 是异面直线,而n 与α平行,故B 不正确;对于D ,如图(3)所示,m 与n 相交,故D 不正确.故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11.如图2226,三棱柱ABCA 1B 1C 1中,底面是边长为2的正三角形,点E ,F 分别是棱CC 1,BB 1上的点,点M 是线段AC 上的动点,EC =2FB =2,当点M 在何位置时,BM ∥平面AEF .图2226【解】如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.因为EC=2FB=2,所以PE=BF.所以四边形BFEP为平行四边形,所以PB∥EF.又AE,EF⊂平面AEF,PQ,PB⊄平面AEF,所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.又PQ∩PB=P,所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M,即点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.。

【优质文档】第2章点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷及参考答案

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19.如图,在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD ,E 是 PC 的中点. 已 知 AB= 2, AD = 2 2, PA=2.求: (1) 三角形 PCD 的面积; (2) 异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.
20.如图所示, ABCD 是正方形, O 是正方形的中心, PO⊥底面 ABCD ,底面边长为 a, E 是 PC 的中点.
8.如图所示, 在正方体 ABCD — A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点, 则直线 CE 垂直于 (
)
A . AC
B .BD
C. A1D
D . A1D 1
8 题图
9 题图
9.如图所示,将等腰直角△ ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角,此时∠ B′ AC=
60 °,那么这个二面角大小是
(1) 求证: PA∥面 BDE ; (2) 求证:平面 PAC⊥平面 BDE ; (3) 若二面角 E- BD - C 为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.
21.如图,四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA⊥底面 ABCD , AC =2 2, PA=2, E 是 PC 上的一点, PE= 2EC. (1) 证明: PC⊥平面 BED ; (2) 设二面角 A- PB- C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.
时,有 A1C⊥ B1D1( 注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况
).
15 题图
16 题图
16.如图所示,已知矩形 ABCD 中, AB= 3,BC= a,若 PA⊥平面 AC,在 BC 边上取点 E, 使 PE⊥ DE ,则满足条件的 E 点有两个时, a 的取值范围是 ________.

点、直线、平面之间的位置关系单元测试(含解析)

点、直线、平面之间的位置关系单元测试(含解析)

第二章点、直线、平面之间的位置关系单元检测(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共计60分) 1.在空间内,可以确定一个平面的条件是( ). A .两条直线B .三条直线,其中的一条与另外两条直线相交C .三个点D .三条直线,它们两两相交,但不交于同一点 2.下列命题中,正确的是( ).A .平面α内的一条直线和平面β内的无数条直线垂直,则平面α⊥平面βB .过平面α外一点P 有且只有一个平面β和平面α垂直C .直线l ∥平面α,直线l ⊥平面β,则α⊥βD .垂直于同一个平面的两个平面平行3.设P 是△ABC 所在平面α外一点,H 是P 在α内的射影,且P A 、PB 、PC 与α所成的角相等,则H 是△ABC 的( ).A .内心B .外心C .垂心D .重心 4.已知二面角α-l -β的大小为60°,m 、n 为异面直线,且m ⊥α,n ⊥β,则m 、n 所成的角为( ).A .30°B .60°C .90°D .120°5.如图所示,点S 在平面ABC 外,SB ⊥AC ,SB =AC =2,E 、F 分别是SC 和AB 的中点,则EF 的长是( ).A .1C.2D.126.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( ). A .若l ⊥m ,m ⊂α,则l ⊥α B .若l ⊥α,l ∥m ,则m ⊥α C .若l ∥α,m ⊂α,则l ∥m D .若l ∥α,m ∥α,则l ∥m 7.若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1,AB 1与底面ABCD 成60°角,则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( ).B .18.如图,在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,BC 1⊥AC ,则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( ).A .直线AB 上 B .直线BC 上 C .直线AC 上D .△ABC 内部9.已知二面角α-AB -β的平面角是锐角θ,面α内有一点C 到β的距离为3,点C 到棱AB 的距离为4,那么tan θ=( ).A.34B.35C.7D.710.下列命题中错误..的是( ). A .如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB .如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC .如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l ,那么l ⊥平面γD .如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β11.如图所示,在正三角形ABC 中,D ,E ,F 分别为各边的中点,G ,H ,I ,J 分别为AF ,AD ,BE ,DE 的中点.将△ABC 沿DE ,EF ,DF 折成三棱锥以后,GH 与IJ 所成角的度数为( ).A .90°B .60°C .45°D .0°12.如图,若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体,其中E 为线段A1B 1上异于B 1的点,F 为线段BB 1上异于B 1的点,且EH ∥A 1D 1,则下列结论中不正确...的是( ).A .EH ∥FGB .四边形EFGH 是矩形C .Ω是棱柱D .Ω是棱台二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)13.如图所示,A ,B ,C ,D 为不共面的四点,E ,F ,G ,H 分别在线段AB ,BC ,CD ,DA 上.(1)如果EH ∩FG =P ,那么点P 在直线__________上; (2)如果EF ∩GH =Q ,那么点Q 在直线__________上.14.已知平面α∥平面β,P 是α、β外一点,过P 点的两条直线AC 、BD 分别交α于A 、B ,交β于C 、D ,且P A =6,AC =9,AB =8,则CD 的长为__________.15.已知菱形ABCD 中,AB =2,∠A =120°,沿对角线BD 将△ABD 折起使二面角A -BD -C 为120°,则点A 到△BCD 所在平面的距离为__________.16.已知m 、n 是直线,α、β、γ是平面,给出下列说法: ①若α⊥β,α∩β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β;②若α∥β,α∩γ=m ,β∩γ=n ,则m ∥n ;③若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线;④若α∩β=m ,n ∥m 且n α⊄,n β⊄,则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是__________.(注:把你认为正确的说法的序号都填上)三、解答题(本大题共6个小题,共计74分)17.(12分)如图所示,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.18.(12分)如下图,在三棱锥P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△P AC是直角三角形,∠P AC=90°,∠ACP=30°,平面P AC⊥平面ABC.(1)求证:平面P AB⊥平面PBC;(2)若PC=2,求△PBC的面积.19.(12分)如图是一个棱长为1的正方体的表面展开图,MN和PQ是两条面对角线,请在图(2)的正方体中将MN、PQ画出来,并解答下列问题:(1)MN和PQ所成角的大小;(2)四面体M-NPQ的体积.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,且DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD=1,DB=(1)证明:P A∥平面BDE;(2)证明:AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,AB⊥AD,点E在线段AD上,且CE∥AB.(1)求证:CE⊥平面P AD;(2)若P A=AB=1,AD=3,CD CDA=45°,求四棱锥P-ABCD的体积.22.(14分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.答案与解析1.答案:D解析:A 错,因为两条直线可能为异面直线,B 与A 相同也不正确,C 错,三点若在同一条直线上不行.2.答案:C解析:A :若α∩β=l ,且α与β不垂直时,在α内有一条直线α⊥l ,则a 也垂直于β内所有与l 平行的直线,故A 错误;B :一本书竖直立在桌面上,过书脊上一点有很多平面与桌面垂直;D :教室内相邻两面墙都与地面垂直,而这两个平面相交,故选C.3.答案:B解析:由题意知Rt △PHA ≌Rt △PHB ≌Rt △PHC ,得HA =HB =HC ,所以H 是△ABC 的外接圆圆心.4.答案:B解析:本题考查二面角的概念,易知m 、n 所成的角与二面角的大小相等,故选B. 5.答案:B解析:取SA 的中点H ,连接EH 、FH .因为SB ⊥AC ,则EH ⊥FH ,在△EFH 中,应用勾股定理得EF 6.答案:B解析:对于A :若l ⊥m ,m ⊂α,则l ⊂α可能成立,l ⊥α不一定成立,A 错误,对于B :若l ⊥α,l ∥m ,则m ⊥α,正确.同理对于C 、D 可判定错误 .7.答案:D解析:如图,AB =1,∠B 1AB =60°,B 1B =A 1A A 1C 1与底面ABCD 的距离即为1A AD. 8.答案:A解析:∵BA ⊥AC ,BC 1⊥AC ,BA ∩BC 1=B ,∴AC ⊥平面ABC 1.∵AC ⊂平面ABC ,∴平面ABC ⊥平面ABC 1,且交线是AB .故平面ABC 1上一点C 1在底面ABC 上的射影H 必在交线AB 上.9.答案:D解析:如图,过C 作CE ⊥β,垂足为E ,作CF ⊥AB , 垂足为F ,连接EF ,则∠CFE =θ为二面角α-AB -β的平面角,且CE =3,CF =4.∴tan CE EF θ====. 10.答案:D解析:A 选项正确,只需α内的直线平行于α与β的交线即平行于β;B 正确,根据面面垂直的判定定理,若α内存在直线垂直于β,则α⊥β;C 正确,设α内a ⊥r ,β内b ⊥r ,α∩β=l ,则a ∥b ,所以a ∥β,根据线面平行的性质定理,所以a ∥l ,所以l ⊥r .D 错误,平面α内可以存在直线平行于交线而不垂直于平面β.11.答案:B解析:将三角形折成三棱锥如图所示,HG 与IJ 为一对异面直线,过点D 分别作HG 与IJ 的平行线,即DF 与AD ,所以∠ADF 即为所求.因此,HG 与IJ 所成角为60°.12.答案:D解析:∵EH ∥A 1D 1,A 1D 1∥B 1C 1,∴EH ∥B 1C 1. ∴EH ∥平面BCGF .∵FG ⊂平面BCGF , ∴EH ∥FG ,故A 对.∵B 1C 1⊥平面A 1B 1BA ,EF ⊂平面A 1B 1BA , ∴B 1C 1⊥EF .则EH ⊥EF .由上面的分析知,四边形EFGH 为平行四边形,故它也是矩形,故B 对.由EH ∥B 1C 1∥FG ,故Ω是棱柱,故C 对,选D. 13.答案:(1)BD (2)AC 解析:(1)若EH ∩FG =P ,那么点P ∈平面ABD ,P ∈平面BCD ,而平面ABD ∩平面BCD =BD ,∴P ∈BD .(2)若EF ∩GH =Q ,则Q ∈平面ABC ,Q ∈平面ACD ,而平面ABC ∩平面ACD =AC ,∴Q ∈AC .14.答案:20或4解析:若P 在α、β的同侧,由于平面α∥平面β,故AB ∥CD ,则PA ABPC CD=,可求得CD =20;若P 在α、β之间,可求得CD =4.15.答案:2解析:设AC ∩BD =O ,则翻折后AO ⊥BD ,CO ⊥BD ,∴∠AOC 即为二面角的平面角,则∠AOC =120°,且AO =1,所以d =1×sin 60°16.答案:②④解析:①中n 可能只与α、β中的一个相交,但不垂直;③m 只要是斜线就有可能.17.证明:(1)如图所示,连接EF ,FG ,GH ,HE ,在△ABD 中,∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点.∴EH ∥BD ,同理FG ∥BD ,∴EH ∥FG ,∴E ,F ,G ,H 四点共面. (2)由(1)知EH ∥BD ,同理GH ∥AC .又∵四边形EFGH 是矩形,∴EH ⊥GH ,∴AC ⊥BD . 18.(1)证明:∵平面P AC ⊥平面ABC ,且其交线为AC ,P A ⊥AC ,P A ⊂平面P AC ,∴P A ⊥平面ABC ,∵BC ⊂平面ABC ,∴P A ⊥BC .又∵AB ⊥BC ,AB ∩P A =A ,AB ⊂平面P AB ,P A ⊂平面P AB .∴BC ⊥平面P AB .而BC ⊂平面PBC ,∴平面P AB ⊥平面PBC .(2)解:由(1)得,BC ⊥平面P AB , ∴BC ⊥PB ,即∠PBC =90°,由已知PC =2,得AC 222BC AC ===.在Rt △PBC 中,PB ==.∴Rt △PBC 的面积1122S PB BC ⨯===. 19.解:如图:(1)如图,连接MC 、NC 、MN ,可得PQ ∥NC ,则∠MNC (或其补角)就是异面直线MN 和PQ 所成的角,因为△MNC 是等边三角形,所以∠MNC =60°,即异面直线MN 和PQ 所成的角等于60°.(2)因为正方体的棱长为1,所以V 正方体=1,所以--·1136M NPQ Q PMN MNP V V S MQ ===. 20.(1)证明:连接AC ,设AC ∩BD =H ,连接EH ,在△ADC 中,∵AD =CD ,且DB 平分∠ADC , ∴H 为AC 的中点.又E 为PC 的中点,∴EH ∥P A ,又HE ⊂平面BDE ,PA BDE ⊄平面, ∴P A ∥平面BDE . (2)证明:∵PD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴PD ⊥AC ,由(1)知,BD ⊥AC ,PD ∩BD =D ,∴AC ⊥平面PBD .(3)解:由AC ⊥平面PBD 可知,BH 为BC 在平面PBD 内的射影,∴∠CBH 为直线BC 与平面PBD 所成的角.由AD ⊥CD ,AD =CD =1,DB =可知DH =CH =2,2BH =在Rt △BHC 中,t 13an C CBH H BH ∠==. 即直线BC 与平面PBD 所成的角的正切值为13. 21.(1)证明:因为P A ⊥平面ABCD ,CE ⊂平面ABCD , 所以P A ⊥CE .因为AB ⊥AD ,CE ∥AB ,所以CE ⊥AD . 又P A ∩AD =A ,所以CE ⊥平面P AD . (2)解:由(1)可知CE ⊥AD . 在Rt △ECD 中,DE =CD ·cos45°=1,CE =CD ·sin45°=1.又因为AB =CE =1,AB ∥CE , 所以四边形ABCE 为矩形.所以·11522·21121ECD ABCD ABCE S S S AB AE CE DE ⨯⨯⨯ 四边形矩形=+=+=+=. 又P A ⊥平面ABCD ,P A =1,所以-1151336·52P ABCD ABCD V S PA ⨯⨯=四棱锥四边形==. 22.解:(1)如图(a)所示,取AA 1的中点M ,连接EM ,BM .因为E 是DD 1的中点,四边形ADD 1A 1为正方形,所以EM ∥AD .又在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD ⊥平面ABB 1A 1,所以EM ⊥平面ABB 1A 1,从而BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影,∠EBM 为BE和平面ABB 1A 1所成的角.设正方体的棱长为2,则EM =AD =2,3BE =.于是,在Rt △BEM 中,s 23in E EBM M BE ∠==, 即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23.(a) (b)(2)在棱C 1D 1上存在点F ,使B 1F ∥平面A 1BE .事实上,如图(b)所示,分别取C 1D 1和CD 的中点F ,G ,连接EG ,BG ,CD 1,FG .因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ,且A 1D 1=BC ,所以四边形A 1BCD 1是平行四边形, 因此D 1C ∥A 1B .又E ,G 分别为D 1D ,CD 的中点,所以EG ∥D 1C ,从而EG ∥A 1B .这说明A 1,B ,G ,E 共面.所以BG ⊂平面A 1BE . 因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形,F ,G 分别为C 1D 1和CD 的中点,所以FG ∥C 1C ∥B 1B ,且FG =C 1C =B 1B .因此四边形B 1BGF 是平行四边形.所以B 1F ∥BG .而11B F A BE ⊄平面,BG ⊂平面A 1BE ,故B 1F ∥平面A 1BE .。

高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试(一)

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数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试一.单项选择题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.面α⋂面β=l ,A α∈,B α∈,AB ⋂l =D ,C β∈,C l ∉,则平面ABC 与平面β的交线是()A .有无数条B .有两条C .至多有两条D .有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则圆锥的表面积为()A.)π1 B.4π C.3πD.5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中,120ABC ∠=,2AB =,11BC CC ==,则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .10B .5-C .5D .54.点E ,F ,G ,H 分别为空间四边形ABCD 中AB ,BC ,CD ,AD 的中点,若AC=BD ,且AC 与BD 所成角的大小为90°,则四边形EFGH 是()A.梯形B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是平行四边形,Q 为AD 中点,点M 在线段PC 上,且PM tPC =,0t >,试确定实数t 的值,使得//PA 面MQB .A .14B .1C .23D .136.在直三棱柱111ABC A B C -中,2BAC π∠=,12AB AC AA ===,点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点,点,D F 分别为,AC AB 上的动点,且GD EF ⊥,则线段DF 的最小值为A .12B .1C D .二.多项选择题:本大题共2小题,每小题4分,共8分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.7.设a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴,有以下结论:(1)当直线AB 与a 成60 角时,AB 与b 成30角.(2)当直线AB 与a 成60角时,AB 与b 成60角.(3)直线AB 与a 所成角的最小值为45 .(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60.则正确结论的序号为A (1)B(2)C(3)D(4)8.一张A4纸的长宽之比为,E ,F 为AD ,BC 的中点.现分别将ABE ∆,CDF ∆沿BE ,DF 折起,且A ,C 在面BFDE 同侧,下列命题正确的是()(1)A ,G ,H ,C 四点共面.(2)当面ABE //面CDF 时,AC //面BFDE .(3)当A ,C 重合于点P 时,面PDE ⊥面PBF .(4)当A ,C 重合于点P 时,设面PBE ⋂面PDF =l ,则l //面BFDE .A (1)B(2)C(3)D(4)三、填空题:本大题共4题,每小题4分,共16分.9已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,BA 1=C 1D =5,C 1A 1=BD =,DA1=BC 1=.则三棱锥B -A 1DC 1的体积为________10.已知点E ,F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AA 1点,且12AE AB =,113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AB 的中点,F 在1CC 上,且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点,且1//PB 面DEF ,则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α,β,γ为两两不重合的平面,l ,m ,n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题:①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥β;③若α∥β,l ⊂α,则l ∥β;④若α∩β=l ,β∩γ=m ,γ∩α=n ,l ∥γ,则m ∥n.其中正确的命题是________和________.四、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,2AB BC ==,1AA =E 为1CC 中点,F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图,已知二面角α-MN-β的大小为60°,菱形ABCD 在面β内,A ,B 两点在棱MN 上,∠BAD=60°,E 是AB 的中点,DO ⊥面α,垂足为O.(1)证明:AB ⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,过A 1,C 1,B 三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1,且这个几何体的体积为403(1)求棱A 1A 的长;(2)求经过A 1,C 1,B ,D 四点的球的表面积.数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试答案一.单项选择题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1选D 2选C 3选C 4选C 5选D 6选C二.多项选择题:本大题共2小题,每小题4分,共8分,在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分.7选B ,C 8选A BCD三、填空题:本大题共4题,每小题4分,共16分.9.20解析:111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ,易求得5a =,4b =,3c =.所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=.10.无数条解析:取113BH BB =,连接FH ,则//FH AB .在线段1D E 上取113OE D E =,在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ,在段1D E 上任取一点M ,过点M 在面1D HE 中,作//HO MG ,交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ,交1C F 于N ,连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ,又MN ⊂面MNG ,所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点,故与面ABCD 平行的直线MN有无数条.11.11333⎡⎢⎣⎦,.解析:取112AM MA =,连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形,所以1//B M DF .取11D C 中点N ,连接1,B N MN ,则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ,连接MG ,则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B NGM 的交线上,即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是11333⎡⎢⎣⎦,.12(3)和(4)①不正确,面α,β可能相交.②不正确,当直线m ,n 平行时,α,β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m ,n 相交时,α∥β.③正确,根据面面平行的定义可知l 与β无公共点,即可知l ∥β.④正确,因为α∩β=l ,可知l ⊂α,又因为l ∥γ,γ∩α=n ,则m ∥n.四、解答题:本大题共3小题,共52分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分)证明:如图所示,易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ,1111CB A B B ⋂=,所以BE ⊥面11A B C .由于1A C ⊂面11A B C ,所以BE ⊥1AC .又BD ⊥CA ,BD ⊥1A A ,1CA A A A ⋂=,所以BD ⊥面1A AC .由于1A C ⊂面1A AC ,所以BD ⊥1AC .由于BE BD B ⋂=,所以1AC ⊥面EBD ,所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO ⊥α,AB ⊂α,所以DO ⊥AB.连接BD ,由题设知,△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点,所以DE ⊥AB.而DO∩DE=D ,故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ,所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角,即∠ADO 是BC 与OD 所成的角.由(1)知,AB ⊥平面ODE ,所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ,于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角,从而∠DEO=60°.不妨设AB=2,则AD=2,易知DE=3.在Rt △DOE 中,DO=DE·sin 60°=32.连接AO ,在Rt △AOD 中,cos ∠ADO=DO AD =322=34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.15(本小题满分18分)(1)设A 1A=h ,因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为403,所以V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1-V B−A 1B 1C 1=403即S 四边形ABCD ·h-13·S △A 1B 1C 1·h=403,即2×2×h-13×12×2×2×h=403解得h=4.所以棱A 1A 的长为4.(2)如图,连接D 1B ,设D 1B 的中点为O ,连接OA 1,OC 1,OD.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,所以A 1D 1⊥平面A 1AB.因为A 1B ⊂平面A 1AB ,所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=12D 1B.同理OD=OC 1=12D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1,C 1,B ,D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1D 12+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24,所以S 球=4π·(OD 1)2=4π·(D 1B 2)2=π·D 1B 2=24π.故经过A 1,C 1,B ,D 四点的球的表面积为24π.。

点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)

点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)

第二章测试(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知,B正确.答案 B2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.答案 B3.一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是()A.1个B.3个C.1个或3个D.1个或3个或4个解析当A,B,C共线且与l平行或相交时,确定一个平面;当A,B,C共线且与l异面时,可确定3个平面;当A,B,C三点不共线时,可确定4个平面.答案 D4.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是()A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案 D5.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P A⊥面ABC,AB=AC,D是BC的中点,则图中直角三角形的个数是()A.5 B.8C.10 D.6解析这些直角三角形是:△P AB,△P AD,△P AC,△BAC,△BAD,△CAD,△PBD,△PCD.共8个.答案 B6.下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外,它的三条边所在直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R三点共线;②若三条平行线a,b,c都与直线l相交,则这四条直线共面;③三条直线两两相交,则这三条直线共面.A.0个B.1个C.2个D.3个解析易知①与②正确,③不正确.答案 C7.若平面α⊥平面β,α∩β=l,且点P∈α,P∉l,则下列命题中的假命题是()A.过点P且垂直于α的直线平行于βB.过点P且垂直于l的直线在α内C.过点P且垂直于β的直线在α内D.过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM()A.与AC,MN均垂直相交B.与AC垂直,与MN不垂直C.与MN垂直,与AC不垂直D.与AC,MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D,OM⊂面BB1D1D,∴AC⊥OM.计算得OM2+MN2=ON2=5,∴OM⊥MN.答案 A9.如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个命题:①过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交;②过M 点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行.其中真命题是()A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得平面与直线AB,B1C1都相交,故③错误,排除A,B,D.答案 C10.已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离相等,则正确的结论是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必不垂直于αC.平面ABC必与α相交D.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C,故选D.答案 D11.给定下列四个命题:①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面相互平行;②若一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是( )A .①和②B .②和③C .③和④D .②和④ 答案 D12.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点 E ,F ,且EF =12,则下列结论错误的是( )A .AC ⊥BEB .EF ∥平面ABCDC .三棱锥A —BEF 的体积为定值D .△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析 易证AC ⊥平面BB 1D 1D ,∴AC ⊥BE .∵EF 在直线B 1D 1上,易知B 1D 1∥面ABCD ,∴EF ∥面ABCD ,V A -BEF =13×12×12×1×22=224.∴A 、B 、C 选项都正确,由排除法即选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.已知A,B,C,D为空间四个点,且A,B,C,D不共面,则直线AB与CD的位置关系是________.解析如图所示:由图知,AB与CD为异面直线.答案异面14.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,如果EH,FG相交于一点M,那么M一定在直线________上.答案BD15.如图所示,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕.使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面,则:(1)BD与CD的关系为________;(2)∠BAC=________.解析 (1)AB =AC ,AD ⊥BC ,∴BD ⊥AD ,CD ⊥AD ,∴∠BDC 为二面角的平面角,∠BDC =90°,∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ,则斜边长为2a .∴BD =CD =22a .∴折叠后BC =⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2=a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形.∴∠BAC =60°.答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16.在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中,过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ,交CC ′于F ,则:①四边形BFD ′E 一定是平行四边形;②四边形BFD ′E 有可能是正方形;③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形;④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________.(写出所有正确结论的编号)解析 如图所示:∵BE =FD ′,ED ′=BF ,∴四边形BFD ′E 为平行四边形.∴①正确.②不正确(∠BFD ′不可能为直角).③正确(其射影是正方形ABCD).④正确.当E,F分别是AA′,CC′中点时正确.答案①③④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)如图,已知点E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.证明∵点E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接BC1,GF,如图.∴GF是△BCC1的中位线,∴GF∥BC1.∵BE∥C1H,且BE=C1H,∴四边形EBC1H是平行四边形.∴EH∥BC1,∴GF∥EH.∴E,F,G,H四点共面.∵GF≠EH,故EF与HG必相交.设EF∩HG=I.∵I∈GH,GH⊂平面CC1D1D,∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上.即EF,HG,DC三线共点.18.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,P A⊥底面ABCD,P A=AB,点M在棱PD上,PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置,并说明理由;(2)求四棱锥P-ABCD的表面积.解 (1)点M 为PD 的中点.理由如下:连接BD ,设BD ∩AC =O ,则点O 为BD 的中点,连接OM ,∵PB ∥平面ACM ,∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线,故点M 为PD 的中点.(2)∵P A ⊥底面ABCD ,又底面是边长为1的正方形,∴S 正方形ABCD =1,S △P AB =S △P AD =12×1×1=12,S △PBC =12×1×2=22,S △PCD =12×1×2=22.故四棱锥P -ABCD 的表面积为S =1+2×12+22+22=2+ 2.19.(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,M ,N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =23a ,如图.(1)求证:MN ∥面BB 1C 1C ;(2)求MN 的长.解 (1)证明:作NP ⊥AB 于P ,连接MP .NP ∥BC ,∴AP AB =AN AC =A 1M A 1B ,∴MP ∥AA 1∥BB 1, ∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN , ∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC =AN AC =23a2a =13,NP =13a ,同理MP =23a . 又MP ∥BB 1,∴MP ⊥面ABCD ,MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN =49a 2+19a 2=53a .20.(12分)如图,DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,AC =BC =EB =2DC =2,∠ACB =120°,P ,Q 分别为AE ,AB 的中点.(1)证明:PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.解(1)证明:因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQ∥EB.又DC∥EB,因此PQ∥DC,又PQ⊄平面ACD,从而PQ∥平面ACD.(2)如图,连接CQ,DP,因为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC,EB∥DC,所以EB⊥平面ABC,因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ,又PQ =12EB =DC , 所以四边形CQPD 为平行四边形,故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ,∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角, 在Rt △DP A 中,AD =5,DP =1, sin ∠DAP =55,因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21.(12分)如图,在四面体ABCD 中,CB =CD ,AD ⊥BD ,点E ,F 分别是AB ,BD 的中点.求证:(1)直线EF ∥面ACD ; (2)平面EFC ⊥平面BCD . 证明 (1)在△ABD 中,∵E ,F 分别是AB ,BD 的中点, ∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ,EF ⊄平面ACD , ∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中,∵AD ⊥BD ,EF ∥AD , ∴EF ⊥BD .在△BCD中,∵CD=CB,F为BD的中点,∴CF⊥BD.∵CF∩EF=F,∴BD⊥平面EFC,又∵BD⊂平面BCD,∴平面EFC⊥平面BCD.22.(12分)已知四棱锥P-ABCD(图1)的三视图如图2所示,△PBC为正三角形,P A垂直底面ABCD,俯视图是直角梯形.(1)求正视图的面积;(2)求四棱锥P-ABCD的体积;(3)求证:AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD,根据三视图可知,E是BC的中点,且BE=CE=1,AE=CD=1.又∵△PBC 为正三角形, ∴BC =PB =PC =2,且PE ⊥BC , ∴PE 2=PC 2-CE 2=3.∵P A ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥AE . ∴P A 2=PE 2-AE 2=2,即P A = 2. 正视图的面积为S =12×2×2= 2.(2)由(1)可知,四棱锥P -ABCD 的高P A =2,底面积为S =AD +BC 2·CD =1+22×1=32,∴四棱锥P -ABCD 的体积为V P -ABCD =13S ·P A =13×32×2=22. (3)证明:∵P A ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥AC . ∵在直角三角形ABE 中,AB 2=AE 2+BE 2=2, 在直角三角形ADC 中,AC 2=AD 2+CD 2=2, ∴BC 2=AA 2+AC 2=4,∴△BAC 是直角三角形. ∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A =A ,∴AC ⊥平面P AB .。

【优质文档】必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系全章练习题(含答案)

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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面
一、基础过关
1.下列命题: ①书桌面是平面;
②有一个平面的长是 50m,宽是 20m;
③平面是绝对的平、无厚度,可以无限延展的抽象数学概念.
其中正确命题的个数为
()
A.1 个
B.2 个
C. 3 个
D.0 个
2.下列图形中,不一定是平面图形的是 A .三角形
B.菱形
()
C .梯形
D .四边相等的四边形
3.空间中,可以确定一个平面的条件是
()
A .两条直线
B .一点和一条直线
C .一个三角形
D .三个点
4.已知平面 α与平面 β、 γ都相交,则这三个平面可能的交线有
()
A . 1 条或 2 条
B. 2 条或 3 条
即点 S 在交线上, 由于 AB>CD ,则分别延长 AC 和 BD 交于点 E,如图所示. ∵E∈ AC, AC? 平面 SAC, ∴E∈ 平面 SAC. 同理,可证 E∈ 平面 SBD. ∴ 点 E 在平面 SBD 和平面 SAC 的交线上,连接 SE,直线 SE 是平面 SBD 和平面 SAC 的 交线. 8. 证明 ∵ l 1? β, l2? β, l1D ∥ l 2, ∴ l 1、 l 2 交于一点,记交点为 P. ∵ P∈ l 1? α, P∈ l2? γ, ∴P∈ α∩ γ= l3, ∴ l 1, l 2, l3 交于一点. 9. C 10.C 11.③ 12.证明 因为 AB∥ CD,所以 AB,CD 确定平面 AC,AD∩ α= H,因为 H ∈ 平面 AC,H ∈α, 由公理 3 可知, H 必在平面 AC 与平面 α的交线上.同理 F、G、E 都在平面 AC 与平面 α 的交线上,因此 E, F , G, H 必在同一直线上. 13. 证明 (1)∵ C1、 O、 M ∈平面 BDC1, 又 C1、 O、 M ∈ 平面 A1ACC1,由公理 3 知,点 C1、 O、 M 在平面 BDC 1 与平面 A1ACC1 的交线上, ∴ C1、 O、 M 三点共线. (2) ∵ E, F 分别是 AB, A1A 的中点, ∴ EF∥ A1B.∵ A1B∥CD 1, ∴ EF∥ CD 1. ∴ E、 C、 D1、 F 四点共面.

必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题

必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题

直线、平面之间的位置关系单元测试题一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.将球的半径变为原来的两倍,则球的体积变为原来的 ( ) A .2倍 B .4倍 C .8倍 D .0.5倍2.多面体的直观图如右图所示,则其正视图为( )3.关于斜二侧画法,下列说法正确的是( )教材A .三角形的直观图可能是一条线段B .平行四边形的直观图一定是平行四边形C .正方形的直观图是正方形D .菱形的直观图是菱形 4.若l 、a 、b 表示直线,α、β表示平面,下列命题正确的是( ) A .l a l a αα⊂⇒∥,∥ B .a a b b αα⇒∥,∥∥ C .,a b a b αα⊥⇒⊥∥ D .a a ααββ⇒∥,∥∥5.若直线a 不平行于平面α,则下列结论成立的是( )A. α内所有的直线都与a 异面;B. α内不存在与a 平行的直线;C. α内所有的直线都与a 相交;D.直线a 与平面α有公共点. 6.已知两个平面垂直,下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线; ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线; ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.07.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行;B.直线a//α,a//βC.直线a α⊂,直线b β⊂,且a//β,b//αD.α内的任何直线都与β平行8. 如图,将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥,则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为( )A .1∶6B .1∶5C .1∶2D .1∶3二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

把答案填在对应题号后的横线上。

9.圆台的上下底面半径分别为1、2,母线与底面的夹角为60°,则圆台的侧面积...为 10.已知直线a//平面α,平面α//平面β,则a 与β的位置关系为.ABC DABCCAB11.如图,直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中(侧棱垂直于底面), ∠ABC = 90°,且AB = BC = AA 1,则BC 1与面ACC 1A 1所成的角的大小为 .12.α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为 正确的一个命题:若______________________________________.13.已知直线a ⊥直线b, a//平面β,则b 与β的位置关系为 . 三、解答题:本大题共5小题,共68分。

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)

《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题:(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α,则下列结论成立的是( )A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题:(1)和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内; (2)三条两两相交的直线在同一平面内; (3)有三个不同公共点的两个平面重合; (4)两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是( ) A .0B .1C .2D .33.空间四边形ABCD 中,若AB AD AC CB CD BD =====,则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题:(1)直线l 与平面α不平行,则l 与平面α内的所有直线都不平行; (2)直线l 与平面α不垂直,则l 与平面α内的所有直线都不垂直; (3)异面直线,a b 不垂直,则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直; (4)若直线a 和b 共面,直线b 和c 共面,则a 和c 共面 其中错误命题的个数为( )A.0B.1C.2D.35.正方体1111ABCD A B C D -中,与对角线1AC 异面的棱有( )条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点,PO ⊥平面ABC ,垂足为O ,若PA PB PC ==,则点O 是ABC ∆的( )BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中,AB AD ==1CC =,则二面角 1C BD C --的大小为( )A .300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ,下列命题正确的是( )A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥,则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ,则//a αC.若//,a b ααβ=,则//a b D.若,a b αα⊥⊥,则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是( )A.α内有无穷多条直线与β平行;B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中:①BM 与ED 平行. ②CN 与BE 是异面直线.③CN 与BM 成60˚角. ④DM 与BN 垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②④ C.③④D.②③④二、填空题:(本大题共5个小题,每小题5分,共25分)11.已知两条相交直线a ,b ,a α平面∥则b 与α的位置关系是 .12.空间四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,DA 的中点,若AC BD a ==,且AC 与BD 所成的角为90,则四边形EFGH 的面积是 . 13.如图,ABC 是直角三角形,90ABC ∠=,P A ⊥平面ABC ,此图形中 有 个直角三角形.14.已知a b ,是一对异面直线,且a b ,成70角,P 为空间一定点, 则在过P 点的直线中与a b ,所成的角都为70的直线有 条.15.已知平面αβ//,P 是平面αβ,外的一点,过点P 的直线m 与平面αβ,分别交于A C ,两点,过点P 的直线n 与平面αβ,分别交于B D ,两点,若698PA AC PD ===,,,则BD 的长为 。

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第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题
一、选择题
1.(2010全国1文)在直三棱柱(侧面都是矩形的棱柱)中,若,
,则异面直线与所成的角等于( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查直三棱柱的性质,异面直线所成的角的求法.
答案:C.
解析:延长CA到D,使得,则为平行四边形,就是异面直线
与所成的角,又∵三角形为等边三角形,∴.
2.在空间中,下列命题正确的是( ).
A.若∥,∥,则∥
B.若∥,∥,,,则∥
C.若∥,∥,则∥
D.若∥,,则∥
考查目的:考查直线与平面、平面与平面平行的判定.
答案:D.
解析:若∥,∥,则∥或,故A错误;由平面与平面平行的判定定理知,B错误;若∥,∥,则∥或,故C错误.
3.设,,表示三条不同的直线,,表示两个不同的平面,则下列命题不正确的是( ).
A. B.
C. D.
考查目的:考查直线与平面平行、垂直的转化.
答案:D.
解析:由∥,⊥可得,与的位置关系有:∥,,与相交,∴D不正确.
4.(2010宁夏海南)如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是( ).
A. B.三棱锥的体积为定值
C. D.异面直线所成的角为定值
考查目的:考查空间直线、平面之间平行和垂直关系综合应用的能力.
答案:D.
解析:A正确,易证,从而;B正确,可用等积法求得;C 显然正确,∵,∴;D错误.
5.(2012重庆理)设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,和,且长为的棱与长为的棱异面,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
考查目的:考查空间直线与直线之间的位置关系,以及有关计算的能力.
答案:A.
解析:如图所示的四面体,设为中点,在中,
,则,.
6.如图,平面⊥平面,A∈,B∈,AB与两平面,所成的角分别为和,过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为、,则( ).
A.2∶1
B.3∶1
C.3∶2
D.4∶3
考查目的:考查直线与平面所成的角,以及二面角概念的综合运用.
答案:A.
解析:在平面内,过作,且,连结和,因为平面
⊥平面,所以和即为和平面和平面所成的角,先解和
求线段和的长,再解.
二、填空题
7.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________.
考查目的:考查直线与直线、直线与平面垂直关系的判定.
答案:4.
解析:由直线与平面垂直关系可知,图中直角三角形共有4个.
8.(2007湖北理)平面外有两条直线和,如果和在平面内的射影分别是和,给出下列四个命题:
①⊥⊥;②⊥⊥;③与相交与相交或重合;④
与平行与平行或重合.
其中不正确的命题是 .
考查目的:考查空间两条直线的位置关系.
答案:①②③④.
解析:①如图⊥,但与不垂直;②⊥⊥或与重合;③与
相交与相交或重合或异面;④与平行与平行或异面,所以四个命题均不正确.
9.(2010全国1文)在正方体中,与平面所成角的余弦值为________.
考查目的:考查正方体的性质、直线与平面所成的角的求法.
答案:.
解析:∵∥,∴与平面所成的角和与平面所成的角相等.设DO⊥平面,由等体积法得,即
.设,则,,
∴,记与平面所成角为,则,∴
.
10.(2009浙江理)如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面
内过点作,为垂足.设,则的取值范围是 .
考查目的:考查直线与平面的位置关系,以及二面角概念的综合应用.
答案:.
解析:当F位于DC的中点时,;随着点F移动到与点C重合时,∵,,∴平面,∴.对于,,∴.又∵,,
∴,∴,因此的取值范围是
第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试题(二)
三、解答题
11.(2012上海理改编)如图,在四棱锥中,底面是矩形,是四棱锥
的高,是的中点,已知,,,求:
⑴四棱锥的体积;
⑵异面直线与所成的角的大小.
考查目的:考查异面直线所成角的概念及其求法.
答案:⑴,⑵.
解析:⑴根据题意四棱锥的体积.⑵取PB的中点F,连接EF,AF,则EF∥BC,∴∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.连结AC.在直角
△AEF中,,∴.在△AEF中,,,AE=2,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠AEF=,∴异面直线BC与AE所成的角大小为.
12.(2011湖南文)如图,在圆锥PO中,已知,⊙O的直径AB=2,点C在上,且,D为AC的中点.
⑴证明:AC平面POD;
⑵求直线OC和平面PAC所成角的正弦值.
考查目的:考查直线与平面垂直的判定,直线与平面所成角的计算,以及空间想象能力.
答案:⑴略,⑵.
解析:⑴∵OA=OC,D是AC的中点,∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O,底面⊙O,∴AC ⊥OD.PO是平面POD内的两条相交直线,∴AC⊥平面POD.
⑵由⑴知,AC⊥平面POD.又∵,∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中,过O作OH⊥PD于点H,则OH⊥平面PAC.连结CH,则CH是OC在平面PAC上的射影,∴∠OCH
是直线OC和平面PAC所成的角.在中,;在
中,.
13.(2010陕西文)如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.
⑴证明:EF∥平面PAD;
⑵求三棱锥E—ABC的体积V.
考查目的:考查直线与平面平行的判定,以及三棱锥的体积计算.
答案:⑴略;⑵.
解析:⑴在△PBC中,E,F分别是PB,PC的中点,∴EF∥BC.又∵BC∥AD,∴EF∥AD,∵AD平面PAD,EF平面PAD,∴EF∥平面PAD.
⑵连接AE,AC,EC,过E作EG∥PA交AB于点G,则BG⊥平面ABCD,且.在△PAB中,AD=AB,,BP=2,∴,.∴,∴.
14.(2010四川理)已知正方体的棱长为1,点M是棱的中点,点O 是对角线的中点.
⑴求证:OM为异面直线和的公垂线;
⑵求二面角的正切值.
考查目的:考查异面直线、直线与平面垂直、二面角、正方体等基础知识,空间想象能力和逻辑推理能力.
答案:⑴略;⑵.
解析:⑴连结AC,取AC中点K,则K为BD的中点,连结OK.∵M是棱的中点,点O
是的中点,∴,∴.
由⊥AK,得MO⊥.∵AK⊥BD,AK⊥,∴AK⊥平面,∴AK⊥,∴MO⊥.
又∵OM与异面直线和都相交,
∴OM为异面直线和的公垂线.
⑵取中点N,连结MN,则MN⊥平面.过点N作NH⊥于H,连结MH,则由三
垂线定理得⊥MH,从而,∠MHN为二面角的平面角.MN=1,
.在Rt△MNH中,,
∴二面角的正切值大小为.
15.(2012湖南理)如图,在四棱锥中,⊥平面,,,
,,是的中点.
⑴证明:CD⊥平面PAE;
⑵若直线与平面成的角和与平面所成的角相等,求四棱锥
的体积.
考查目的:考查直线与平面垂直的判定,直线和平面所成角的运用,体积计算以及综合运用立体几何知识解决问题的能力.
答案:⑴略;⑵.
解析:⑴连接,由,,,得.又∵,E是
的中点,∴.∵,∴.而是平面
内的两条相交直线,∴⊥平面.
⑵过点作,分别与相交于,连接.由⑴⊥平面知,
⊥平面,∴为直线与平面所成的角,且.由
知,为直线与平面所成的角.,,.由题意知,
.∵,∴.由知,AD ∥BC. 又∵BG∥CD,∴四边形是平行四边形,∴,∴.在
中,,∴,于是
.又∵梯形的面积为,∴四棱锥的体积
为.。

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